三角形の辺を知って角度の接線を見つける方法。直角三角形: 角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント

タンジェント (tg x) およびコタンジェント (ctg x) の参考データ。幾何学的定義、プロパティ、グラフ、式。接線と余接、導関数、積分、級数展開の表。複雑な変数を使用した式。双曲線関数との接続。

幾何学的定義

|BD| - 点 A を中心とする円の円弧の長さ。
α はラジアンで表される角度です。

タンジェント ( タンα) は、直角三角形の斜辺と脚の間の角度 α に依存する三角関数であり、長さの比に等しい反対側|BC| 隣接する脚の長さ |AB| 。

コタンジェント ( ctgα) は、直角三角形の斜辺と脚の間の角度 α に依存する三角関数で、隣接する脚の長さの比 |AB| に等しくなります。反対側の脚の長さ |BC| 。

正接

どこ n- 全体。

西洋の文献では、タンジェントは次のように表されます。
.
;
;
.

正接関数のグラフ、y = Tan x

コタンジェント

どこ n- 全体。

西洋文献では、コタンジェントは次のように表されます。
.
次の表記も使用できます。
;
;
.

コタンジェント関数のグラフ、y = ctg x

正接と余接の性質

周期性

関数 y = tgxそしてy = ctgx周期πで周期的です。

パリティ

タンジェント関数とコタンジェント関数は奇数です。

定義と値の領域、増加、減少

タンジェント関数とコタンジェント関数は、定義領域内で連続です (連続性の証明を参照)。タンジェントとコタンジェントの主なプロパティを表に示します ( n- 全体）。

	y = tgx	y = ctgx
範囲と継続性
値の範囲	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
増加中		-
降順	-
エクストリーム	-	-
ゼロ、y = 0
縦軸との交点、x = 0	y = 0	-

数式

サインとコサインを使用した式

; ;
; ;
;

和と差からの正接と余接の公式

残りの式は簡単に入手できます。たとえば、

接線の積

接線の和と差の公式

この表は、引数の特定の値に対する正接と余接の値を示しています。

複素数を使った式

双曲線関数による式

;
;

デリバティブ

; .

.
関数の変数 x に関する n 次微分:
.
接線の公式を導出する > > > ; コタンジェントの場合 > > >

積分

シリーズ展開

タンジェントの x 乗の展開を取得するには、関数のべき級数の展開のいくつかの項を取得する必要があります。罪×そして cosxこれらの多項式を互いに除算します。これにより、次の式が生成されます。

で。

で。
どこ Bn- ベルヌーイ数。それらは、次のいずれかの漸化関係から決定されます。
;
;
どこ。
または、ラプラスの公式によれば、次のようになります。

逆関数

逆関数タンジェントとコタンジェントは、それぞれ逆正接と逆余接です。

逆正接、arctg

、どこ n- 全体。

逆余接、arctg

、どこ n- 全体。

参考文献:
で。ブロンスタイン、K.A. Semendyaev、エンジニアと大学生のための数学ハンドブック、「Lan」、2009 年。
G. コーン、科学者および技術者のための数学ハンドブック、2012 年。

紀元前5世紀に古代ギリシャの哲学者エレアのゼノンは有名なアポリアを定式化しました。その中で最も有名なのは「アキレスと亀」のアポリアです。それは次のようになります:

アキレスが亀よりも 10 倍速く走り、亀より 1,000 歩遅れているとします。アキレスがこの距離を走る間に、亀は同じ方向に百歩這うことになります。アキレスが 100 歩走ると、亀はさらに 10 歩這って進みます。このプロセスは無限に続き、アキレスは決して亀に追いつきません。

この推論は、その後のすべての世代にとって論理的な衝撃となりました。アリストテレス、ディオゲネス、カント、ヘーゲル、ヒルベルト...彼らは皆、何らかの形でゼノンのアポリアを考察しました。あまりにも衝撃が強かったので」 ...議論は今日まで続いている;科学界はパラドックスの本質についてまだ共通の意見に達することができていない...数学的分析、集合論、新しい物理的および哲学的アプローチがこの問題の研究に関与した。 ; それらはいずれも、問題に対する一般に受け入れられる解決策にはなりませんでした...「[Wikipedia、「ゼノンのアポリア」。騙されているということは誰もが理解しているが、その欺瞞が何なのかは誰も理解していない。

数学的な観点から見ると、ゼノンはアポリアの中で、量からへの移行を明確に実証しました。この移行は、永続的なものではなく適用を意味します。私の理解する限り、可変の測定単位を使用するための数学的装置はまだ開発されていない、あるいはゼノンのアポリアには適用されていない。通常の論理を適用すると、私たちは罠に陥ります。私たちは思考の慣性により、逆数値に一定の時間単位を適用します。物理的な観点から見ると、これは時間がゆっくりになり、アキレスが亀に追いついた瞬間に完全に停止するように見えます。時間が止まったら、アキレスは亀を追い越せなくなります。

いつもの論理をひっくり返せば、すべてがうまくいきます。アキレスは一定の速度で走ります。彼のパスの後続の各セグメントは、前のセグメントよりも 10 倍短くなります。したがって、それを克服するのに費やされる時間は、以前のものよりも10倍少なくなります。この状況に「無限」の概念を当てはめると、「アキレスは無限に早く亀に追いつく」というのが正しいでしょう。

この論理的な罠を回避するにはどうすればよいでしょうか? にとどまる定数単位時間の測定であり、逆数にはなりません。 Zeno の言語では次のようになります。

アキレスが千歩走る間に、亀は同じ方向に百歩這うことになります。最初の時間と同じ次の時間間隔の間に、アキレスはさらに 1000 歩を走り、亀は 100 歩を這うことになります。今、アキレスは亀より八百歩先を行っています。

このアプローチは、論理的な矛盾なしに現実を適切に説明します。そうではありません完全なソリューション問題。光の速さの抵抗不可能性についてのアインシュタインの発言は、ゼノンのアポリア「アキレスと亀」に非常に似ています。私たちはまだこの問題を研究し、再考し、解決する必要があります。そして、解は無限大の数ではなく、測定単位で求められなければなりません。

ゼノンのもう一つの興味深いアポリアは、飛んでいく矢について語っています。

飛んでいる矢は、あらゆる瞬間に静止しているので動かず、あらゆる瞬間に静止しているので、常に静止している。

このアポリアでは、論理的パラドックスは非常に簡単に克服されます。飛んでいる矢が各瞬間に空間の異なる点で静止しており、実際にはそれが運動であることを明確にするだけで十分です。ここでもう一つ注意しなければならない点があります。道路上の車の 1 枚の写真からは、その移動の事実も、車までの距離も判断することは不可能です。車が動いているかどうかを判断するには、異なる時点で同じ場所から撮影した 2 枚の写真が必要ですが、それらの写真からの距離を判断することはできません。車までの距離を判断するには、から撮影した2枚の写真が必要です。異なる点ある時点の空間は存在しますが、そこから動きの事実を判断することは不可能です (当然のことながら、計算には追加のデータが必要です。三角法が役に立ちます)。指摘したいこと特別な注意、時間的な 2 点と空間的な 2 点は異なるものであり、研究に異なる機会を提供するため、混同すべきではないということです。

2018年7月4日水曜日

セットとマルチセットの違いについては、Wikipedia で詳しく説明されています。見てみましょう。

ご覧のとおり、「セット内に同じ要素が 2 つ存在することはできません」が、セット内に同じ要素が存在する場合、そのようなセットを「マルチセット」と呼びます。理性的な存在は、そのような不合理な論理を決して理解することはできません。これは、「完全に」という言葉からは知性を持たない、話すオウムや訓練されたサルのレベルです。数学者は普通のトレーナーの役割を果たし、彼らの不条理なアイデアを私たちに説教します。

昔々、橋を建設した技術者は橋の下でボートに乗って橋のテストをしていました。橋が崩壊したら、平凡な技術者は自分が作った瓦礫の下敷きになって死亡した。橋が荷重に耐えられるのであれば、才能ある技術者は他の橋を建設しました。

数学者たちが「家の中にいるから気にしてください」、あるいはむしろ「数学は抽象概念を研究する」という言葉の陰にどんなに隠れていても、数学者と現実を分かちがたく結びつけるへその緒が一本あります。このへその緒はお金なのです。該当する数学理論数学者自身に設定します。

私たちは数学をとてもよく勉強し、今ではレジに座って給料を渡しています。そこで数学者がお金を求めて私たちのところにやって来ます。私たちは彼に全額を数えて、それをテーブルの上に別々の山に置き、その中に同じ額面の紙幣を入れます。次に、それぞれの山から 1 枚の請求書を取り出し、数学者に「数学的な給与セット」を渡します。数学者に、同一の要素を含まない集合が同一の要素を含む集合と等しくないことを証明した場合にのみ残りの請求書を受け取ることを説明しましょう。ここからが楽しみの始まりです。

まず第一に、「これは他の人には当てはまるが、私には当てはまらない！」という議員の論理が機能します。そして、彼らは、同じ額面の紙幣には異なる紙幣番号があり、それは同じ要素とはみなされないことを意味すると私たちを安心させ始めます。さて、給料をコインで数えてみましょう - コインには数字がありません。ここで数学者は物理学を必死に思い出し始めます。コインごとに汚れの量が異なり、原子の結晶構造と配置はコインごとに異なります...

そして今、私が一番持っているのは興味がある質問する: マルチセットの要素がセットの要素に変わる、またはその逆になる境界線はどこですか? そのような境界線は存在しません。すべてはシャーマンによって決定され、科学はここで嘘をついているには程遠いです。

ここを見て。フィールド面積が同じサッカースタジアムを選択します。フィールドの面積は同じです。これは、マルチセットがあることを意味します。しかし、これら同じスタジアムの名前を見ると、名前が異なるため、たくさんのスタジアムが表示されます。ご覧のとおり、同じ要素のセットはセットでもあり、マルチセットでもあります。どちらが正しい？そしてここで、数学者兼シャーマン兼シャープニストが袖からトランプのエースを取り出し、集合または多重集合について話し始めます。いずれにせよ、彼は私たちに自分が正しいと説得するでしょう。

現代のシャーマンが集合論を現実と結び付けてどのように運用しているかを理解するには、ある集合の要素が別の集合の要素とどのように異なるのかという 1 つの質問に答えるだけで十分です。「単一の全体として考えられない」とか「単一の全体として考えられない」ということは一切なくして、お見せします。

2018年3月18日日曜日

数字の桁の合計は、タンバリンを持ったシャーマンの踊りであり、数学とは何の関係もありません。確かに、数学の授業では、数字の桁の合計を求めてそれを使うように教えられますが、それが彼らがシャーマンである理由であり、子孫に自分の技術と知恵を教えるためです。そうでなければ、シャーマンは単に絶滅してしまいます。

証拠が必要ですか? Wikipedia を開いて、「数値の桁の合計」というページを探してください。彼女は存在しません。数学には、任意の数値の桁の合計を求めるために使用できる公式はありません。結局のところ、数字というのは、グラフィックシンボル、これを使って数字を書きます。数学の言語で言うと、このタスクは次のように聞こえます。「任意の数を表す図形記号の合計を求めます」。数学者はこの問題を解くことができませんが、シャーマンなら簡単に解くことができます。

与えられた数値の桁の合計を求めるために何をどのように行うかを考えてみましょう。それでは、12345 という数字を考えてみましょう。この数字の桁の合計を求めるには、何をする必要がありますか? すべてのステップを順番に検討してみましょう。

1. 番号を紙に書き留めます。私たちが何をしてしまったのでしょうか？数値をグラフィカルな数値記号に変換しました。これは数学的な演算ではありません。

2. 得られた 1 つの画像を、個別の番号を含む複数の画像に切り分けます。画像の切り取りは数学的な演算ではありません。

3. 個々のグラフィックシンボルを数値に変換します。これは数学的な演算ではありません。

4. 結果の数値を加算します。さて、これは数学です。

12345という数字の合計は15です。これらは数学者が使用するシャーマンによる「裁断と縫製のコース」です。しかし、それだけではありません。

数学的な観点からは、どの記数法で数値を書くかは問題ではありません。それで、異なるシステム微積分では、同じ数字の桁の合計が異なります。数学では、記数法は数字の右側に添え字として示されます。と多数の 12345 頭を騙したくないので、に関する記事の 26 という数字を見てみましょう。この数値を 2 進数、8 進数、10 進数、および 16 進数の表記法で書きましょう。すでにそれを行っているので、すべてのステップを顕微鏡で観察するつもりはありません。結果を見てみましょう。

ご覧のとおり、番号体系が異なると、同じ番号の桁の合計も異なります。この結果は数学とは何の関係もありません。これは、長方形の面積をメートルとセンチメートルで求めた場合に、まったく異なる結果が得られるのと同じです。

ゼロはどの数体系でも同じように見え、桁の合計はありません。これは、その事実を支持するもう一つの議論です。数学者への質問: 数学では数値ではないものはどのように指定されるのでしょうか? 数学者にとって、数字以外には何も存在しないのですか? これはシャーマンには許せますが、科学者には許せません。現実は数字だけではありません。

得られた結果は、数値体系が数値の測定単位であることの証明として考慮される必要があります。結局のところ、異なる測定単位の数値を比較することはできません。同じ量の異なる測定単位で同じ動作を比較した結果、異なる結果が得られる場合、これは数学とは何の関係もありません。

本当の数学とは何ですか? これは、数学的演算の結果が、数値の大きさ、使用される測定単位、およびこの操作の実行者に依存しない場合です。

ドアにサイン彼はドアを開けてこう言いました。

おお！ここは女子トイレじゃないの？
- 若い女性！ここは、昇天中の魂の無邪気な神聖さを研究するための実験室です。上部にハローがあり、上向きの矢印。他にどんなトイレがあるの？

メス…上のハローと下の矢印がオスです。

そんなデザインアートが一日に何度も目の前に現れたら、

そうすれば、突然車の中に奇妙なアイコンを見つけても不思議ではありません。

個人的には、うんこをしている人（1枚の写真）にマイナス4度が見えるように努めています（複数の写真の合成：マイナス記号、数字の4、度の指定）。そして、私はこの女の子が物理学を知らない愚か者だとは思いません。彼女はグラフィックイメージに対する強い固定観念を持っているだけです。そして数学者は常にこれを私たちに教えてくれます。ここに例を示します。

1A は「マイナス 4 度」や「1 度」ではありません。これは「うんこマン」、または16進数表記の「26」という数字です。この数値体系を常に使用している人々は、数字と文字を 1 つのグラフィックシンボルとして自動的に認識します。

この記事では贈り方を紹介します 三角法における角度と数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義。ここでは、表記法について説明し、記入例を示し、図解を示します。結論として、三角法と幾何学におけるサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義の間に類似点を描きましょう。

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サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義

サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの概念がどのように形成されるかを見てみましょう学校のコース数学。幾何学のレッスンでは、直角三角形の鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義が与えられます。そしてその後、回転角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントと数について説明する三角法が研究されます。これらすべての定義を示し、例を挙げ、必要なコメントを加えましょう。

直角三角形の鋭角

幾何学のコースから、直角三角形の鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義がわかりました。それらは直角三角形の辺の比率として与えられます。それらの公式を与えてみましょう。

意味。

直角三角形の鋭角の正弦斜辺の反対側の比率です。

意味。

直角三角形の鋭角の余弦隣接する脚と斜辺の比率です。

意味。

直角三角形の鋭角の接線– これは、反対側と隣接する側の比率です。

意味。

直角三角形の鋭角の余接- これは、隣接する側と反対側の比率です。

ここでは、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの指定 (それぞれ、sin、cos、tg、ctg) も導入されています。

たとえば、ABC が直角 C の直角三角形の場合、鋭角 A の正弦は、対辺 BC と斜辺 AB の比に等しくなります。つまり、sin∠A=BC/AB となります。

これらの定義を使用すると、直角三角形の辺の既知の長さからだけでなく、鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値を計算できます。既知の値サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント、および一方の辺の長さを使用して、もう一方の辺の長さを求めます。たとえば、直角三角形で脚 AC が 3 に等しく、斜辺 AB が 7 に等しいことがわかっている場合、定義に従って鋭角 A の余弦の値を計算できます: cos∠A=AC/ AB=3/7。

回転角度

三角法では、角度をより広く見るようになり、回転角の概念が導入されます。鋭角とは異なり、回転角の大きさは 0 ～ 90 度に限定されず、回転角は度単位 (およびラジアン単位) で -∞ ～ +∞ の実数で表すことができます。

この観点から、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義は鋭角ではなく、任意の大きさの角度、つまり回転角で与えられます。それらは、点 A 1 の x 座標と y 座標によって与えられます。いわゆる開始点 A(1, 0) は、直交デカルト座標系の始点である点 O を中心に角度 α だけ回転した後に到達します。そして単位円の中心。

意味。

回転角の正弦αは点Ａ１の縦座標、すなわちｓｉｎα＝ｙである。

意味。

回転角の余弦αは点A 1 の横座標、つまりcosα=xと呼ばれます。

意味。

回転角の正接αは、点A 1 の縦座標とその横座標の比、すなわち、tanα=y/xである。

意味。

回転角の余接αは、点A 1 の横座標とその縦座標の比、すなわち、ctgα=x/yである。

サインとコサインは、開始点を角度 α だけ回転することによって得られる点の横座標と縦座標を常に決定できるため、任意の角度 α に対して定義されます。ただし、接線と余接はどの角度に対しても定義されていません。接線は、始点がゼロの横座標 (0, 1) または (0, −1) の点に向かう角度 α に対して定義されておらず、これは角度 90°+180° k、k∈Z (π) で発生します。 /2+π・k rad)。実際、そのような回転角度では、式 tgα=y/x は意味を持ちません。ゼロによる除算が含まれるからです。コタンジェントについては、始点が縦座標ゼロの点 (1, 0) または (−1, 0) に向かう角度 α については定義されておらず、これは角度 180° k, k ∈Z で発生します。 (π・k rad)。

したがって、サインとコサインは任意の回転角度に対して定義され、タンジェントは 90°+180°k、k∈Z (π/2+πk rad) を除くすべての角度に対して定義され、コタンジェントは 180° ·k を除くすべての角度に対して定義されます。、ｋ∈Ｚ（π・ｋラジアン）。

定義には、すでに知られている sin、cos、tg、ctg の指定が含まれています。また、回転角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを指定するためにも使用されます (タンジェントとコタンジェントに対応する Tan と cot の指定が見つかる場合もあります)。。したがって、回転角 30 度の正弦は sin30° と書くことができ、エントリ tg(-24°17') と ctgα は、回転角 -24 度 17 分の正接と回転角 α の余接に対応します。。角度のラジアン単位を書くとき、「rad」という指定が省略されることが多いことを思い出してください。たとえば、3 π rad の回転角の余弦は、通常、cos3・πと表されます。

この点の結論として、回転角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントについて話すとき、「回転角度」という語句や「回転」という言葉が省略されることが多いことに注意してください。つまり、通常、「回転角アルファのサイン」という表現の代わりに、「アルファ角のサイン」、またはさらに短い「サインアルファ」という表現が使用されます。コサイン、タンジェント、コタンジェントについても同様です。

また、直角三角形の鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義は、0 度から 90 度の範囲の回転角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントについての定義と一致しているとも言えます。私たちはこれを正当化します。

数字

意味。

数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント t は数字です正弦に等しい、t ラジアン単位の回転角のコサイン、タンジェント、コタンジェント。

たとえば、定義上、数値 8 · π のコサインは、8 · π ラジアンの角度のコサインに等しい数値です。また、8・π rad の角度のコサインは 1 に等しいため、数値 8・π のコサインは 1 に等しくなります。

数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを決定する別のアプローチがあります。それは、各実数 t が直交座標系の原点を中心とする単位円上の点に関連付けられ、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントがこの点の座標を通じて決定されるという事実にあります。これをさらに詳しく見てみましょう。

実数と円上の点との間に対応関係がどのように確立されるかを示しましょう。

数値 0 には開始点 A(1, 0) が割り当てられます。
正の数 t は単位円上の点に関連付けられており、開始点から反時計回りに円に沿って移動し、長さ t の経路を歩くとその点に到達します。
負の数 t は単位円の点に関連付けられており、開始点から時計回りに円に沿って移動し、長さ |t| のパスを歩くと到達します。。

次に、数値 t のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義に移ります。数値ｔが円Ａ１（ｘ，ｙ）上の点に対応すると仮定する（例えば、数値π２は点Ａ１（０，１）に対応する）。

意味。

数値の正弦 t は、数値 t に対応する単位円上の点の縦座標、つまり sint=y です。

意味。

数値のコサイン t は、数 t に対応する単位円の点の横座標と呼ばれます、つまりコスト = x です。

意味。

数値の正接 t は、番号 t に対応する単位円上の点の縦軸と横軸の比、つまり、tgt=y/x です。別の同等の公式では、数値 t のタンジェントは、この数値のサインとコサインの比、つまり tgt=sint/cost になります。

意味。

数のコタンジェント t は、数値 t に対応する単位円上の点の横座標と縦座標の比、つまり ctgt=x/y です。別の公式は次のとおりです。数値 t の正接は、数値 t の余弦と数値 t の正弦の比です: ctgt=cost/sint。

ここで、今与えられた定義がこの段落の冒頭で与えられた定義と一致していることに注意してください。実際、数ｔに対応する単位円上の点は、始点を角度ｔラジアンだけ回転させた点と一致する。

この点を明確にする価値は依然としてある。 sin3 というエントリがあるとします。数字の 3 の正弦について話しているのか、それとも 3 ラジアンの回転角の正弦について話しているのかをどのように理解すればよいでしょうか? これは通常、文脈から明らかですが、そうでない場合は、基本的に重要ではない可能性があります。

角度および数値引数の三角関数

前の段落で与えられた定義によれば、各回転角 α は、非常に特定の値 sinα および値 cosα に対応します。また、90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) 以外のすべての回転角度は tgα 値に対応し、180°k, k∈Z (πk rad) 以外の値は - 値に対応します。 ctgαの。したがって、sinα、cosα、tanα、ctgα は角度 α の関数です。言い換えれば、これらは角度引数の関数です。

数値引数の関数サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントについても同様に言えます。実際、各実数 t は、コストだけでなく非常に具体的な値 sint に対応します。また、π/2+π・k,k∈Z以外の数値は値tgtに、数値π・k,k∈Z-値はctgtに対応します。

関数はサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントと呼ばれます。 基本的な三角関数.

通常、角度引数の三角関数を扱っているのか、それとも数値引数の三角関数を扱っているのかは、文脈から明らかです。それ以外の場合は、独立変数を角度の尺度 (角度引数) と数値引数の両方として考えることができます。

しかし、学校では主に数値関数、つまり引数とそれに対応する関数値が数値である関数を学習します。したがって、もし私たちが話しているのは特に機能については、考慮することをお勧めします。三角関数数値引数の関数。

幾何学と三角法の定義の関係

回転角 α が 0 ～ 90 度の範囲であると考えると、三角法の文脈における回転角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義は、三角関数のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義と完全に一致します。幾何学のコースで与えられる直角三角形の鋭角。これを正当化しましょう。

長方形で描いてみましょうデカルト座標系オキシ座標単位円。開始点 A(1, 0) をマークしましょう。これを 0 ～ 90 度の範囲の角度 α だけ回転させて、点 A 1 (x, y) を取得します。点 A 1 から Ox 軸への垂線 A 1 H を落としてみましょう。

直角三角形では、角度 A 1 OH が回転角 α に等しく、この角度に隣接する脚 OH の長さが点 A 1 の横座標、つまり |OH に等しいことが簡単に分かります。 |=x、角度と反対側の足の長さ A 1 H は点 A 1 の縦軸に等しく、つまり |A 1 H|=y、斜辺 OA 1 の長さは 1 に等しい。それは単位円の半径だからです。次に、幾何学からの定義により、直角三角形 A 1 OH の鋭角 α の正弦は、斜辺に対する反対側の脚の比に等しくなります。つまり、sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y。そして、三角法の定義により、回転角αの正弦は点Ａ１の縦座標に等しい、すなわち、ｓｉｎα＝ｙである。これは、直角三角形の鋭角の正弦を求めることは、α が 0 ～ 90 度の場合の回転角 α の正弦を求めることと同等であることを示しています。

同様に、鋭角 α のコサイン、タンジェント、コタンジェントの定義は、回転角 α のコサイン、タンジェント、コタンジェントの定義と一致していることがわかります。

参考文献。

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サイン ()、コサイン ()、タンジェント ()、コタンジェント () の概念は、角度の概念と密接に関連しています。これらの一見すると複雑な概念（多くの学童に恐怖状態を引き起こす）をよく理解し、「悪魔は描かれているほど恐ろしいものではない」ことを確認するために、次のことから始めましょう。非常に初心者であり、角度の概念を理解しています。

角度の概念: ラジアン、度

写真を見てみましょう。ベクトルは、点に対して一定量だけ「回転」します。したがって、初期位置に対するこの回転の尺度は次のようになります。 コーナー.

角度の概念について他に何を知っておく必要がありますか? もちろん、角度単位です！

角度は、幾何学と三角法の両方で、度およびラジアンで測定できます。

角度 (1 度) は、円の一部に等しい円弧によって囲まれる円の中心角です。したがって、円全体は円弧の「部分」で構成されているか、円が描く角度は等しいです。

つまり、上の図は角度に等しいことを示しています。つまり、この角度は円周のサイズの円弧上にあります。

ラジアン単位の角度は、長さが円の半径に等しい円弧によって囲まれる円の中心角です。さて、わかりましたか？そうでない場合は、図面から理解しましょう。

したがって、図はラジアンに等しい角度を示しています。つまり、この角度は円弧上にあり、その長さは円の半径に等しい（長さは長さまたは半径に等しい）長さに等しい円弧）。したがって、円弧の長さは次の式で計算されます。

中心角はラジアンで表します。

さて、これを知って、円が描く角度には何ラジアンが含まれるか答えられますか? はい、このためには円周の公式を覚えておく必要があります。彼女が来た：

さて、これら 2 つの公式を相関させて、円が描く角度が等しいことを確認しましょう。つまり、度とラジアンの値を相関させることで、それが得られます。それぞれ、。ご覧のとおり、「度」とは異なり、「ラジアン」という単語は省略されています。これは、通常、測定単位が文脈から明らかであるためです。

ラジアンは何ラジアンですか? それは正しい！

わかった？次に、修正してください。

何か問題がありますか? それから見てください答え:

直角三角形: 角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント

そこで、角度という概念を考え出しました。しかし、角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何でしょうか? それを理解しましょう。これを行うには、直角三角形が役立ちます。

直角三角形の辺を何といいますか? そう、斜辺と脚です。斜辺は反対側です。直角(この例では、これが側面です)。脚は残りの 2 つの辺 (直角に隣接する辺) であり、角度に対して脚を考慮すると、脚は隣接する脚、脚はその反対側になります。それでは、角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何ですか?という質問に答えましょう。

角度の正弦- これは、斜辺に対する反対側 (遠い) 脚の比率です。

私たちの三角形で。

角度の余弦- これは、斜辺に対する隣接する (近い) 脚の比率です。

私たちの三角形で。

角度の正接- これは、反対側 (遠い側) と隣接する側 (近い側) の比率です。

私たちの三角形で。

角度の余接- これは、隣接する (近い) 脚と反対側 (遠い) 脚の比率です。

私たちの三角形で。

これらの定義は必要です 覚えて！どの脚を何に分割するかを覚えやすくするには、次のことを明確に理解する必要があります。正接そして コタンジェント脚だけが座っており、斜辺はのみに現れます。 副鼻腔そして余弦。そして、一連の連想を思いつくことができます。たとえば、これは次のとおりです。

コサイン→タッチ→タッチ→隣接。

コタンジェント→タッチ→タッチ→隣接。

まず第一に、三角形の辺の比率は、(同じ角度での) これらの辺の長さに依存しないため、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを覚えておく必要があります。信じないで？次に、画像を見て確認してください。

たとえば、角度の余弦を考えてみましょう。定義上、三角形から: ですが、三角形から角度の余弦を計算できます: 。ご覧のとおり、辺の長さは異なりますが、1 つの角度の余弦の値は同じです。したがって、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値は角度の大きさのみに依存します。

定義を理解したら、先に進んでそれらを統合してください。

下の図に示す三角形について、を求めます。

さて、わかりましたか？次に、自分で試してみてください。角度についても同じように計算してください。

単位（三角関数）円

度とラジアンの概念を理解して、半径が等しい円を考えました。このようなサークルをこう呼びます シングル。三角関数を勉強するときにとても役立ちます。したがって、もう少し詳しく見てみましょう。

ご覧のとおり、この円はデカルト座標系で構築されています。円の半径は 1 に等しく、円の中心は座標の原点にあり、動径ベクトルの初期位置は軸の正の方向に沿って固定されます (この例では、これが半径です)。

円上の各点は、軸座標と軸座標という 2 つの数値に対応します。これらの座標番号は何ですか? そして一般的に、彼らは目の前の話題と何の関係があるのでしょうか？これを行うには、考慮された直角三角形について覚えておく必要があります。上の図では、2 つの完全な直角三角形が見えます。三角形を考えてみましょう。軸に直角なので長方形です。

三角形は何に等しいですか? それは正しい。さらに、が単位円の半径であることもわかります。つまり、です。この値をコサインの式に代入してみましょう。何が起こるかというと、次のとおりです。

三角形は何に等しいですか? まあ、もちろん、！この式に半径の値を代入すると、次のようになります。

では、円に属する点がどのような座標を持っているかわかりますか? まあ、まさか？それに気づいて、ただの数字だったらどうなるでしょうか？どの座標に対応するのでしょうか？そうですね、もちろんコーディネートですよ！そしてそれはどの座標に対応するのでしょうか？そう、コーディネートです！したがって、期間。

では、何が等しいのでしょうか？そうです、タンジェントとコタンジェントの対応する定義を使用して、それを取得しましょう。

角度がもっと大きかったらどうなるでしょうか？たとえば、この図のように:

この例では何が変わったのでしょうか? それを理解しましょう。これを行うには、もう一度直角三角形に戻りましょう。直角三角形: 角度 (角度に隣接するものとして) を考えてみましょう。角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値は何ですか? そうです、三角関数の対応する定義に従います。

ご覧のとおり、角度のサインの値は依然として座標に対応しています。角度の余弦の値 - 座標; そして、対応する比率のタンジェントとコタンジェントの値。したがって、これらの関係は動径ベクトルのあらゆる回転に適用されます。

動径ベクトルの初期位置は軸の正の方向に沿っていることはすでに述べました。ここまではこのベクトルを反時計回りに回転させてきましたが、時計回りに回転させたらどうなるでしょうか? 特別なことは何もありません。特定の値の角度も得られますが、それはマイナスになるだけです。したがって、動径ベクトルを反時計回りに回転すると、次のようになります。 正の角度、時計回りに回転すると - ネガティブ。

したがって、円の周りの動径ベクトルの全回転はまたはであることがわかります。半径ベクトルをまたはに回転させることは可能ですか? もちろん、できますよ！したがって、最初のケースでは、動径ベクトルは 1 回転し、位置 or で停止します。

2 番目の場合、つまり、動径ベクトルは 3 回転し、位置 or で停止します。

したがって、上記の例から、 or ( は任意の整数) によって異なる角度は、動径ベクトルの同じ位置に対応すると結論付けることができます。

下の図は角度を示しています。コーナー等も同じ画像に対応します。このリストは無期限に継続できます。これらすべての角度は、一般式または ( は任意の整数) で表すことができます。

ここで、基本的な三角関数の定義を理解し、単位円を使用して、値が何であるかを答えてみてください。

以下に単位円を示します。

何か問題がありますか? それからそれを理解しましょう。したがって、次のことがわかります。

ここから、特定の角度の尺度に対応する点の座標を決定します。それでは、順番に始めましょう。の角度は座標を持つ点に対応します。したがって、次のようになります。

存在しない;

さらに、同じ論理に従うと、の角がそれぞれ座標を持つ点に対応していることがわかります。これがわかれば、対応する点での三角関数の値を求めるのは簡単です。まずは自分で試してみて、それから答えを確認してください。

答え:

存在しない

したがって、次の表を作成できます。

これらの値をすべて覚えておく必要はありません。単位円上の点の座標と三角関数の値の対応を覚えておくだけで十分です。

ただし、以下の表に示す、との角度の三角関数の値は、 覚えておかなければならない:

怖がらないで、一例をお見せしましょう 対応する値を覚えるのは非常に簡単です:

この方法を使用するには、角度の 3 つの測定値すべてのサインの値 () と、角度のタンジェントの値を覚えておくことが重要です。これらの値がわかれば、テーブル全体を復元するのは非常に簡単です。コサイン値は矢印に従って転送されます。

これを知ることで、値を復元できます。分子「」が一致し、分母「」が一致します。コタンジェント値は、図に示されている矢印に従って転送されます。これを理解し、矢印の付いた図を覚えていれば、表のすべての値を覚えておくだけで十分です。

円上の点の座標

円上の点(その座標)を見つけることはできますか? 円の中心の座標、半径、回転角度を知る?

もちろん、できますよ！出してみましょう 一般式点の座標を見つけるには.

たとえば、これは私たちの目の前にある円です。

点が円の中心であると仮定します。円の半径は等しいです。点を度単位で回転させて得られる点の座標を求める必要があります。

図からわかるように、点の座標はセグメントの長さに対応します。セグメントの長さは円の中心の座標に対応します。つまり、等しいです。セグメントの長さは、コサインの定義を使用して表現できます。

次に、それが点座標になります。

同じロジックを使用して、点の y 座標値を見つけます。したがって、

それで、一般的な見解点の座標は次の式で決定されます。

円の中心の座標、

円の半径、

ベクトル半径の回転角度。

ご覧のとおり、検討している単位円の場合、中心の座標が 0 に等しく、半径が 1 に等しいため、これらの式は大幅に短縮されます。

さて、円上の点を見つける練習をしてこれらの公式を試してみましょう?

1. 点を回転させて得られる単位円上の点の座標を求めます。

2. 点を回転して得られる単位円上の点の座標を求めます。

3. 点を回転して得られる単位円上の点の座標を求めます。

4. 点は円の中心です。円の半径は等しいです。初期動径ベクトルをだけ回転させた点の座標を求める必要があります。

5. 点は円の中心です。円の半径は等しいです。初期動径ベクトルをだけ回転させた点の座標を求める必要があります。

円上の点の座標を見つけるのが難しいですか?

これら 5 つの例を解く (または解くのが上手になる) と、それらを見つける方法が学べます。

それに気づくことができます。しかし、私たちは出発点の完全な回転に何が相当するかを知っています。したがって、目的の点はに曲がったときと同じ位置になります。これを知っていると、必要な点の座標がわかります。

2. 単位円の中心は点にあります。これは、簡略化された式を使用できることを意味します。

それに気づくことができます。開始点の 2 回転に相当するものがわかっています。したがって、目的の点はに曲がったときと同じ位置になります。これを知っていると、必要な点の座標がわかります。

サインとコサインはテーブル値です。それらの意味を思い出すと、次のようになります。

したがって、目的の点は座標を持ちます。

3. 単位円の中心は点にあります。これは、簡略化された式を使用できることを意味します。

それに気づくことができます。問題の例を図で描いてみましょう。

半径により、軸と等しい角度が形成されます。コサインとサインのテーブル値が等しいことを知っており、ここでのコサインは否定的な意味、サインが正の場合、次のようになります。

このような例については、このトピックで三角関数を簡略化する公式を検討する際に詳しく説明します。

したがって、目的の点は座標を持ちます。

ベクトルの半径の回転角度（条件による）

対応するサインとコサインの符号を決定するには、単位円と単位角度を作成します。

ご覧のとおり、値は正であり、値は負です。対応する三角関数の表の値が分かると、次のことが得られます。

取得した値を数式に代入して座標を見つけてみましょう。

したがって、目的の点は座標を持ちます。

5. この問題を解決するには、一般形式の式を使用します。

円の中心の座標 (この例では、

円半径（条件別）

ベクトルの半径の回転角度 (条件による)。

すべての値を数式に代入して次を取得しましょう。

および - テーブルの値。覚えて式に代入してみましょう。

したがって、目的の点は座標を持ちます。

概要と基本公式

角度の正弦は、反対側 (遠い) 脚と斜辺の比です。

角度のコサインは、斜辺に対する隣接する (近い) 脚の比率です。

角度の正接は、反対側 (遠い側) と隣接する (近い側) 側の比です。

角度の余接は、隣接する (近い) 側と反対側 (遠い) 側の比です。

角度の正接は、他の三角関数と同様に、直角三角形の辺と角度の関係を表します。三角関数を使用すると、度測定の量を計算の線形パラメータに置き換えることができます。

説明書

分度器をお持ちの場合は、三角形の指定された角度を測定し、Bradis テーブルを使用して接線の値を見つけることができます。角度の度値を決定できない場合は、図の線形値を測定してその接線を決定します。これを行うには、補助的な作図を作成します。角度の一方の側の任意の点から、もう一方の側に垂線を下げます。角度の辺の垂線の端の間の距離を測定し、測定結果を分数の分子に書き込みます。今度は上からの距離を測ります与えられた角度直角の頂点、つまり垂線を下ろした角度の側の点まで。得られた数値を分数の分母に書き込みます。測定結果から集計された分数は、角度の正接に等しくなります。

角度の正接は、隣接する脚に対する反対側の脚の比率として計算によって求めることができます。問題の角度の直接三角関数 (サインとコサイン) を使用してタンジェントを計算することもできます。角度のタンジェントは、この角度のサインとコサインの比に等しくなります。連続的なサイン関数やコサイン関数とは異なり、タンジェントには不連続性があり、90 度の角度で定義されません。角度がゼロの場合、その接線はゼロになります。直角三角形の関係から、45度の角度には接線があることが明らかです。 1に等しい, このような直角三角形の脚は等しいためです。