負の数。 数値の比較
存在する 特定のルール数値の比較。 次の例を考えてみましょう。
昨日の温度計は15℃を示していましたが、今日は20℃を示しています。今日は昨日より暖かいです。 15番 少ない数 20、次のように書くことができます: 15< 20. А, если мы представим эти числа на координатной прямой, то точка со значением 15 будет расположена левее точки со значением 20.
次に、マイナスの気温を見てみましょう。 昨日の外気温は-12℃、今日は-8℃でした。今日は昨日より暖かいです。 したがって、彼らは -12 という数字が -8 という数字よりも小さいと信じています。 水平座標線上では、値が -12 の点は、値が -8 の点の左側に位置します。 次のように書くことができます: -12< -8.
したがって、水平の座標線を使用して数値を比較すると、2 つの数値のうち小さいほうが座標線上の画像が左側に位置する数値となり、大きいほうが画像が右側に位置する数値となります。 たとえば、この図では A > B および C ですが、B > C です。
座標線上では、正の数はゼロの右側に位置し、負の数はゼロの左側に位置します。すべての正の数はゼロより大きく、すべての負の数はゼロより大きくなります。 ゼロ未満したがって、すべての負の数はすべての正の数よりも小さくなります。
これは、数値を比較するときに最初に注意する必要があるのは、比較される数値の符号であることを意味します。 マイナス (負) の付いた数値は常に正の数値より小さくなります。
2 つの負の数を比較する場合、それらの係数を比較する必要があります。大きい数値は係数が小さい数値となり、小さい数値は係数が小さい数値になります。 たとえば、-7 や -5 などです。 比較されている数値は負です。 モジュール 5 と 7 を比較します。7 は 5 より大きく、-7 は -5 より小さいことを意味します。 座標線上に 2 つの負の数値をマークすると、小さい数値が左側に配置され、大きい数値が右側に配置されます。 -7 は -5 の左側にあり、-7 を意味します。< -5.
分数の比較
分母が同じ 2 つの分数のうち、分子が小さい方の分数は小さく、分子が大きい方の分数は大きくなります。
分母が同じ分数のみを比較できます。
普通の分数を比較するアルゴリズム
1) 分数に整数部分がある場合、それとの比較を開始します。 より大きな部分は、全体の部分が大きいものになります。 分数に整数部分がないか、等しい場合は、次の点に進みます。
2) 分数の場合 分母が異なるそれらを共通点に近づける必要があります。
3) 分数の分子を比較します。 分子が大きい分数ほど大きくなります。
整数部分のある分数は、常に整数部分のない分数よりも大きくなることに注意してください。
小数の比較
小数は、小数点の右側の同じ桁数 (桁数) でのみ比較できます。
小数を比較するアルゴリズム
1) 小数点以下の文字数に注意してください。 桁数が同じであれば、比較を開始できます。 そうでない場合は、小数部のいずれかに必要な数のゼロを追加します。
2) 小数を左から右に比較します: 整数と整数、10 の位と 10 の位、100 の位と 100 の位など。
3) 大きい分数は、一方の部分が他の分数よりも大きい分数になります (整数で比較を開始します。一方の分数の整数部分が大きい場合、分数全体も大きくなります)。
たとえば、小数を比較してみましょう。
1) 最初の小数部に必要な数のゼロを追加して、小数点以下の桁数を等しくします。
57.300と57.321
2) 左から右に比較を開始します。
整数と整数: 57 = 57;
10 分の 1 と 10 分の 1: 3 = 3;
100 分の 1 と 100 の割合: 0< 2.
最初の小数部の 100 分の 1 が小さいことが判明したため、分数全体は小さくなります。
57,300 < 57,321
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意味 1. 2つの数字が1の場合） あるそして bで割ると p同じ余りを与える r、そのような数はequiremainderまたはと呼ばれます 弾性率が同等 p.
声明 1. させて p何らかの正の数。 それからすべての数字 ある常に、そしてさらに、唯一の方法で次の形式で表現できます。
ただし、これらの数値は次の設定によって取得できます。 r 0、1、2、...に等しい p−1。 したがって、 sp+r=a可能なすべての整数値を取得します。
この表現が一意であることを示しましょう。 そのふりをしてみましょう p 2つの方法で表すことができます a=sp+rそして ああ 1 p+r 1. それから
 |
 | (2) |
なぜなら r 1 は、0、1、...、のいずれかの数値を受け入れます。 p−1、その後は絶対値 r 1 −r少ない p。 しかし、(2) から次のことがわかります。 r 1 −r複数 p。 したがって、 r 1 =rそして s 1 =s.
番号 r呼ばれた マイナス数字 あるモジュロ p(言い換えれば、その数は r数値の余りと呼ばれる あるの上 p).
声明 2. 数字が2つある場合 あるそして b弾性率が同等 p、 それ a−bで割った p.
本当に。 数字が2つある場合 あるそして b弾性率が同等 pで割ると、 p同じ余りがある p。 それから
で割った p、 なぜなら 右側の部分式(3)は次のように除算されます。 p.
声明 3. 2 つの数値の差が次の数で割り切れる場合 pの場合、これらの数値は係数において同等です。 p.
証拠。 で表しましょう rそして r 1の除算の余り あるそして bの上 p。 それから
 |
例 25≡39 (mod 7)、−18≡14 (mod 4)。
最初の例から、25 を 7 で割ると、39 と同じ余りが得られることがわかります。実際、25 = 3 7 + 4 (余り 4) となります。 39=3・7+4(余り4)。 2 番目の例を検討する場合、剰余は係数 (つまり 4) より小さい非負の数でなければならないことを考慮する必要があります。 次に、−18=−5・4+2 (余り2)、14=3・4+2 (余り2)と書くことができます。 したがって、-18 を 4 で割ると 2 が余り、14 を 4 で割ると 2 が余ります。
モジュロ比較のプロパティ
財産 1. 誰にも あるそして pいつも
常に比較できるわけではありません
どこ λ 数値の最大公約数です メートルそして p.
証拠。 させて λ 最高の 公約数数字 メートルそして p。 それから
なぜなら m(a−b)で割った k、 それ
したがって、
そして メートルは数の約数の 1 つです p、 それ
どこ h=pqs。
負のモジュールに基づく比較を許可できることに注意してください。 比較 a≡bモッド（ p) この場合、違いは次のとおりです。 a−bで割った p。 比較のすべてのプロパティは、否定モジュールに対しても有効です。
一連の自然数の左側に数値 0 を追加すると、次のようになります。 一連の正の整数:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
負の整数
小さな例を見てみましょう。 左の写真は温度計で7℃を示しています。 気温が 4°低下すると、温度計は 3°の熱を示します。 温度の低下は減算の動作に対応します。
温度が 7°低下すると、温度計は 0°を示します。 温度の低下は減算の動作に対応します。
気温が 8°低下すると、温度計は -1° (零下 1°) を示します。 ただし、7 - 8 を引いた結果は、自然数とゼロを使って書くことはできません。
一連の正の整数を使用して引き算を説明してみましょう。
1) 数字の 7 から左に 4 つの数字を数えて 3 を取得します。
2) 数字の 7 から左に 7 つの数字を数えて、0 を取得します。
一連の正の整数で左の 7 から 8 個の数を数えるのは不可能です。 アクション 7 ～ 8 を実行可能にするために、正の整数の範囲を拡張します。 これを行うには、ゼロの左側にすべてを順番に (右から左に) 書きます。 整数、それぞれに記号 - を追加し、この数値がゼロの左側にあることを示します。
エントリ -1、-2、-3、... は、マイナス 1、マイナス 2、マイナス 3 などを読み取ります。
5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
結果として得られる一連の数値は次のように呼ばれます。 一連の整数。 このエントリの左右の点は、シリーズが左右に無限に継続できることを意味します。
この行の数字 0 の右側には、と呼ばれる数字があります。 自然または 正の整数(簡単に言うと - ポジティブ).
この行の数字 0 の左側には、と呼ばれる数字があります。 負の整数(簡単に言うと - ネガティブ).
数値 0 は整数ですが、正でも負の数値でもありません。 正の数と負の数を区切ります。
したがって、 一連の整数は、負の整数、ゼロ、正の整数で構成されます.
整数の比較
2 つの整数を比較する- どちらが大きいか、どちらが小さいかを調べる、または数値が等しいと判断することを意味します。
行に沿って左から右に移動すると、整数の行内の数値が最小から最大の順に配置されるため、整数の行を使用して整数を比較できます。 したがって、一連の整数では、コンマを不等号に置き換えることができます。
5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...
したがって、 2 つの整数のうち、系列の右側にある数が大きいほど、左側にある数が小さいほど、 手段：
1) 正の数はゼロより大きく、負の数よりも大きくなります。
1 > 0; 15 > -16
2) ゼロ未満の負の数:
7 < 0; -357 < 0
3) 2 つの負の数のうち、一連の整数の右側にあるものの方が大きくなります。
主題
レッスンタイプ
- 新しい物質の研究と一次同化
レッスンの目的
レッスンプラン
1. はじめに。
2. 理論部分
3. 実践的な部分。
4. 宿題。
5. 質問
導入
見てみましょう ビデオ負の数を並べ替える方法
次に、負の数を並べて、レッスンのトピックを解読します。
答えは「比較」という言葉です。
理論部分
数値の比較。 ルール
2 つの数値を比較するとき、最初に注意する必要があるのは、比較される数値の符号です。 マイナス (負) の付いた数値は常に正の数値より小さくなります。
比較する両方の数値にマイナス記号 (負の符号) がある場合、それらの絶対値を比較する必要があります。つまり、マイナス記号を考慮せずに比較する必要があります。 係数が大きい数は実際には小さいです。
たとえば、-3 と -5 です。 比較されている数値は負です。 これは、モジュール 3 と 5 を比較することを意味します。5 は 3 より大きく、-5 は -3 より小さいことを意味します。
比較される数値の 1 つがゼロの場合、負の数値はゼロより小さくなります。
(-3 < 0) そして、さらにポジティブなことがあります。
(3 > 0)
水平座標線を使用して数値を比較することもできます。 左側にある数値は右側にある数値より小さいです。
こちらも有効 逆の法則。 座標線上で座標が大きい点は、座標が小さい点よりも右側に位置します。
たとえば、図では、点 E は点 A の右側にあり、その座標は点 A より大きくなります。 (5 > 1)
整数の比較
数値の絶対値(モジュール)の比較
係数に関する不等式
実践編
数直線上の数値を比較する
タスク
1. 理由を説明します。
-5 より -1 未満、
-2 オーバー -16、
-25 3 未満、
あと0 – 9。
2. 比較します:
数値は座標線上に表示されます: 0; A; V; と。 比較する：
1) a > 0; 2) で< 0; 3) 0 >と。
数値は座標線上に表示されます: 0; A; V; と。 比較してください:
1) a > b; 2) と< а; 3) в < с.
3. どの不等式が真実ですか?
数値 a と b は負です。 | | > | |で。
a) a > b; b) a< в.
4. 数値 a と b の絶対値を比較します。
数値 a と b は負です。 あ< в.
5. どの不等式が真実ですか?
a は正の数であり、
c は負の数です。
a) a > b; b) a< в?
6. 比較します:
宿題
1. 数値を比較する
2. 計算する
3. 数字を昇順に並べます
質問
直線上の点の座標は何を示していますか?
数値 c の係数は何ですか 幾何学的な点ビジョン？
正の数の係数は何ですか?
負の数の係数は何ですか?
ゼロの係数は何ですか?
任意の数値の法が負の数になることはありますか?
5の反対の数字は何ですか?
自分自身の反対の数は何ですか?
結論
負の数は、正の数よりも小さくなります。
2 つの負の数のうち、大きさが大きい方が小さくなります。
ゼロは、どの負の数よりも大きくなりますが、どの正の数よりも小さくなります。
水平座標線上では、大きい座標の点は小さい座標の点の右側にあります。
使用したソースのリスト
1. 数学百科事典 (5 巻)。 - M.: ソビエト百科事典、2002。 - T. 1。
2. 『最新学童図鑑』『HOUSE XXI Century』2008年
3. 「数字の比較」というテーマの授業の概要 著者: Petrova V.P.、数学教師 (5 年生から 9 年生)、キエフ
4. N.Ya.Vilenkin、A.S. チェスノコフ、S.I. シュヴァルツブルド、V.I. ジョホフ、6 年生の数学、高校の教科書
私たちはレッスンに取り組みました
パウティンカ A.V.
ペトロワ副社長
パウティンカ A.V. によって編纂および編集されました。
について質問する 現代教育、アイデアを表現したり、差し迫った問題を解決したりできます。 教育フォーラム、新鮮な思想と行動の教育評議会が国際的に会合します。 作成した
私たちは有理数の研究を続けています。 このレッスンでは、それらを比較する方法を学びます。
これまでのレッスンで、数値が座標線上で右にあるほど大きいことを学びました。 したがって、座標線上で数値が左にあるほど、数値は小さくなります。
たとえば、数字 4 と 1 を比較すると、4 は 1 より大きいとすぐに答えることができます。これは完全に論理的なステートメントであり、誰もがそれに同意します。
その証拠として、座標線を挙げることができます。 4 つが 1 つの右側にあることを示しています
この場合、必要に応じて使用できるルールもあります。 次のようになります。
2 つの正の数のうち、係数が大きいほうの数が大きくなります。
どの数値が大きくてどの数値が小さいかという質問に答えるには、まずこれらの数値のモジュールを見つけ、これらのモジュールを比較してから、質問に答える必要があります。
たとえば、上記のルールを適用して、同じ数値 4 と 1 を比較します。
数値のモジュールを見つける:
|4| = 4
|1| = 1
見つかったモジュールを比較してみましょう。
4 > 1
という質問に答えます。
4 > 1
負の数については、次のような別のルールがあります。
2 つの負の数のうち、係数が小さいほうの数が大きくなります。
たとえば、数値 −3 と −1 を比較します。
数値のモジュールを見つける
|−3| = 3
|−1| = 1
見つかったモジュールを比較してみましょう。
3 > 1
という質問に答えます。
−3 < −1
数値の係数を数値自体と混同しないでください。 多くの初心者が犯すよくある間違い。 たとえば、-3 の係数が -1 の係数より大きい場合、これは -3 が -1 より大きいことを意味するわけではありません。
数値 -3 は数値 -1 より小さいです。 これは座標線を使ってみると分かります
数値 -3 が -1 よりも左にあることがわかります。 そして、左に行くほど少なくなることがわかります。
負の数と正の数を比較すると、答えが自ずと見えてきます。 負の数は、正の数よりも小さくなります。 たとえば、-4 は 2 未満です。
-4 は 2 よりも左にあることがわかります。そして、「左に行くほど小さい」ことがわかります。
ここでは、まず数字の符号に注目する必要があります。 数値の前のマイナス記号は、その数値が負であることを示します。 番号記号がない場合、その数値は正ですが、わかりやすくするために書き留めることができます。 これはプラス記号であることを思い出してください
例として、-4、-3、-1、2 の形式の整数を調べました。このような数値を比較したり、座標線上に表現したりすることは難しくありません。
分数など、他の種類の数値を比較することははるかに困難です。 帯分数小数もあり、一部は負になります。 このような数値を座標線上に正確に表現できるとは限らないため、ここでは基本的にルールを適用する必要があります。 場合によっては、比較して理解しやすくするために数値が必要になります。
例1.有理数を比較する
したがって、負の数と正の数を比較する必要があります。 負の数は、正の数よりも小さくなります。 したがって、時間を無駄にすることなく、以下であると答えます。
例2。
2 つの負の数値を比較する必要があります。 2 つの負の数のうち、大きさが小さい方が大きくなります。
数値のモジュールを見つける:
見つかったモジュールを比較してみましょう。
例 3. 2.34 と 2.34 という数字を比較してください。
正の数と負の数を比較する必要があります。 正の数は、負の数よりも大きくなります。 したがって、時間を無駄にすることなく、2.34 は以上であると答えます。
例4.有理数を比較し、
数値のモジュールを見つける:
見つかったモジュールを比較します。 ただし、その前に、比較しやすいように明確な形にしましょう。つまり、仮分数に変換して共通の分母にします。
2つの負の数のうち、絶対値が小さい方が大きいという法則があります。 これは、数値の法が数値の法より小さいため、有理数が より大きいことを意味します
例5。
ゼロと負の数を比較する必要があります。 ゼロはどの負の数よりも大きいため、時間を無駄にすることなく、0 はより大きいと答えます。
例6。有理数 0 と
ゼロと正の数を比較する必要があります。 ゼロは任意の正の数より小さいため、時間を無駄にすることなく、0 はより小さいと答えます。
例 7。 有理数 4.53 と 4.403 を比較する
2 つの正の数値を比較する必要があります。 2 つの正の数のうち、係数が大きいほうの数が大きくなります。
どちらの分数でも小数点以下の桁数を同じにしましょう。 これを行うには、分数 4.53 の最後にゼロを 1 つ追加します。
数値のモジュールを見つける
見つかったモジュールを比較してみましょう。
ルールによれば、2 つの正の数のうち、絶対値が大きい数のほうが大きくなります。 これは、4.53 の法が 4.403 の法より大きいため、有理数 4.53 は 4.403 より大きいことを意味します。
例8。有理数を比較し、
2 つの負の数値を比較する必要があります。 2 つの負の数のうち、係数が小さいほうの数が大きくなります。
数値のモジュールを見つける:
見つかったモジュールを比較します。 しかし、まず、比較しやすいようにそれらを明確な形式にしましょう。つまり、帯分数を次のように変換しましょう。 仮分数, 次に、両方の分数を共通の分母にします。
2つの負の数のうち、絶対値が小さい方が大きいという法則があります。 これは、数値の法が数値の法より小さいため、有理数が より大きいことを意味します
小数の比較は、分数や帯分数の比較よりもはるかに簡単です。 場合によっては、そのような分数の全体を見ることで、どの分数が大きくてどの分数が小さいかという質問にすぐに答えることができます。
これを行うには、パーツ全体のモジュールを比較する必要があります。 これにより、タスク内の質問にすぐに答えることができます。 結局のところ、ご存知のとおり、部品全体が 小数分数よりも重みが大きくなります。
例9。有理数 15.4 と 2.1256 を比較する
分数全体の係数は、分数全体の係数 2.1256 よりも 15.4 大きくなります。
したがって、分数 15.4 は分数 2.1256 よりも大きくなります。
15,4 > 2,1256
言い換えれば、分数 15.4 にゼロを加算し、得られた分数を通常の数値と同様に比較するという時間を無駄にする必要はありませんでした。
154000 > 21256
比較ルールは変わりません。 この例では、正の数を比較しました。
例10。有理数 -15.2 と -0.152 を比較する
2 つの負の数値を比較する必要があります。 2 つの負の数のうち、係数が小さいほうの数が大きくなります。 ただし、整数部分のモジュールのみを比較します。
分数全体の係数は、分数全体の係数 -0.152 よりも -15.2 大きいことがわかります。
これは、数値 -0.152 の整数部分の係数が数値 -15.2 の整数部分の係数より小さいため、有理数 -0.152 が -15.2 より大きいことを意味します。
−0,152 > −15,2
例11.有理数 -3.4 と -3.7 を比較する
2 つの負の数値を比較する必要があります。 2 つの負の数のうち、係数が小さいほうの数が大きくなります。 ただし、部品全体のモジュールのみを比較します。 しかし、問題は、整数の係数が等しいということです。
この場合、有理数のモジュールを見つけてこれらのモジュールを比較するという古い方法を使用する必要があります。
見つかったモジュールを比較してみましょう。
2つの負の数のうち、絶対値が小さい方が大きいという法則があります。 これは、数値 -3.4 の法が数値 -3.7 の法より小さいため、有理数 -3.4 が -3.7 より大きいことを意味します。
−3,4 > −3,7
例12。有理数 0、(3)、およびを比較します。
2 つの正の数値を比較する必要があります。 さらに、周期分数と単分数を比較します。
周期分数 0,(3) を次のように変換しましょう。 公分数そしてそれを分数と比較します。 周期分数 0,(3) を普通分数に変換すると、分数になります。
数値のモジュールを見つける:
見つかったモジュールを比較します。 しかし、まず、比較しやすくするために、それらをわかりやすい形式にして、共通の分母を見つけてみましょう。 
ルールによれば、2 つの正の数のうち、絶対値が大きい数のほうが大きくなります。 これは、数値の法が数値 0,(3) の法より大きいため、有理数は 0,(3) より大きいことを意味します。
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