サインがコサインと等しい場合。 サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント - OGE と USE について知っておくべきことすべて

サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの概念は、数学の一分野である三角法の主要なカテゴリーであり、角度の定義と密接に関連しています。 この数学科学を習得するには、公式と定理の暗記と理解、そして発達した空間的思考が必要です。 三角関数の計算が学童や学生にとってしばしば困難を引き起こすのはこのためです。 これらを克服するには、三角関数と公式にもっと慣れる必要があります。

三角法の概念

三角法の基本概念を理解するには、まず直角三角形と円の角度とは何か、そしてすべての基本的な三角法の計算がそれらに関連する理由を理解する必要があります。 角の 1 つが 90 度である三角形は長方形です。 歴史的に、この数字は建築、航海、芸術、天文学の分野でよく使用されていました。 したがって、人々はこの図形の特性を研究し分析することによって、そのパラメータの対応する比率を計算するようになりました。

直角三角形に関連する主なカテゴリは、斜辺と脚です。 斜辺 - 三角形の反対側の辺 直角。 脚はそれぞれ残りの 2 つの側面です。 三角形の角度の合計は常に 180 度になります。

球面三角法は三角法の一部であり、学校では学習しませんが、天文学や測地学などの応用科学では科学者が使用しています。 球面三角法の三角形の特徴は、角度の合計が常に 180 度を超えることです。

三角形の角度

で 直角三角形角度の正弦は、三角形の斜辺に対する、目的の角度の反対側の脚の比率です。 したがって、コサインは隣接する脚と斜辺の比になります。 斜辺は常に脚よりも長いため、これらの値は両方とも常に 1 より小さい値になります。

角度の正接は比率に等しい値です 反対側の足目的の角度の隣接する側に、またはサインからコサインに。 コタンジェントは、目的の角度の隣接する側と反対側の比です。 角度の余接は、1 を接線値で割ることによっても取得できます。

単位円

幾何学における単位円は、半径が次の円です。 1に等しい。 このようなサークルが構築されるのは、 デカルト座標系円の中心は原点に一致し、動径ベクトルの初期位置は X 軸 (横軸) の正の方向に沿って決定されます。 円上の各点には、XX と YY の 2 つの座標、つまり横座標と縦座標があります。 XX 平面内の円上の任意の点を選択し、そこから横軸に垂線を引くと、選択した点 (文字 C で示される) までの半径によって形成される直角三角形が得られ、その垂線は X 軸に引かれます。 （交点は文字 G で示されます）、線分は原点（点は文字 A で示されます）と交点 G の間の横軸です。得られる三角形 ACG は円に内接する直角三角形です。ここで、AG は斜辺、AC と GC は脚です。 円ＡＣの半径とＡＧで示される横軸のセグメントとの間の角度は、α（アルファ）として定義される。 したがって、cos α = AG/AC となります。 AC が単位円の半径であり、1 に等しいと考えると、cos α=AG であることがわかります。 同様に、sinα=CGです。

さらに、このデータがわかれば、cos α=AG、sin α=CG であるため、円上の点 C の座標を決定できます。これは、点 C が指定された座標 (cos α;sin α) を持つことを意味します。 タンジェントがサインとコサインの比に等しいことがわかっているので、tan α = y/x、cot α = x/y と判断できます。 負の座標系で角度を考慮すると、一部の角度のサイン値とコサイン値が負になる可能性があることを計算できます。

計算と基本的な公式

三角関数の値

本質を考えた上で 三角関数を通して 単位円、いくつかの角度に対するこれらの関数の値を導き出すことができます。 値は以下の表に記載されています。

最も単純な三角恒等式

三角関数の符号の下に未知の値がある方程式を三角関数といいます。 値 sin x = α, k - 任意の整数を持つ恒等式:

1. sin x = 0、x = πk。
2. 2. sin x = 1、x = π/2 + 2πk。
3. sin x = -1、x = -π/2 + 2πk。
4. sin x = a, |a| > 1、解決策はありません。
5. sin x = a, |a| ≦ 1、x = (-1)^k * arcsin α + πk。

値 cos x = a を持つ恒等式 (k は任意の整数):

1. cos x = 0、x = π/2 + πk。
2. cos x = 1、x = 2πk。
3. cos x = -1、x = π + 2πk。
4. cos x = a, |a| > 1、解決策はありません。
5. cos x = a, |a| ≦ 1、x = ±arccos α + 2πk。

値 tg x = a を持つ恒等式 (k は任意の整数):

1. Tan x = 0、x = π/2 + πk。
2. Tan x = a、x = arctan α + πk。

値 ctg x = a を持つ恒等式 (k は任意の整数):

1. cot x = 0、x = π/2 + πk。
2. ctg x = a、x = arcctg α + πk。

還元式

このカテゴリの定数式は、形式の三角関数から引数の関数に移行できるメソッドを示します。つまり、任意の値の角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを、角度の対応するインジケーターに換算します。計算の利便性を高めるために、0 から 90 度までの範囲を指定します。

角度の正弦に対する換算関数の公式は次のようになります。

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600+α)=sinα。

角度の余弦の場合:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α。

上記の式は 2 つの規則に従って使用できます。 まず、角度が値 (π/2 ± a) または (3π/2 ± a) として表現できる場合、関数の値は次のように変化します。

• 罪から余程まで。
• コスから罪へ。
• tgからctgへ。
• ctgからtgへ。

角度が (π ± a) または (2π ± a) で表現できる場合、関数の値は変わりません。

第 2 に、還元された関数の符号は変化しません。最初に正であった場合、そのまま残ります。 負の関数も同様です。

加算式

これらの公式は、三角関数を通じて 2 つの回転角の和と差のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値を表します。 通常、角度はαとβで表されます。

式は次のようになります。

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin。
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin。
3. Tan(α ± β) = (tg α ± Tan β) / (1 ∓ Tan α * Tan β)。
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β)。

これらの公式は、任意の角度 α および β に対して有効です。

二重角と三重角の公式

２倍角三角関数、３倍角三角関数は、それぞれ、角度２α、３αの関数と、角度αの三角関数とを関係付ける式である。 加算式から導出される:

1. sin2α = 2sinα*cosα。
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α。
3. Tan2α = 2tgα / (1 - Tan^2 α)。
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3 α。
5. cos3α = 4cos^3 α - 3cosα。
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α)。

和から積への遷移

2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) であることを考慮して、この式を簡略化すると、恒等罪 sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 が得られます。 同様に、sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; Tanα + Tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α)。

積から和への遷移

これらの公式は、和から積への遷移の恒等式から導き出されます。

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*。

度数換算式

これらの恒等式では、サインとコサインの 2 乗と 3 乗は、倍角の 1 乗のサインとコサインで表現できます。

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8。

汎用置換

普遍三角関数置換の公式は、半角の正接に関して三角関数を表します。

• sin x = (2tgx/2) * (1 + Tan^2 x/2)、x = π + 2πn;
• cos x = (1 - Tan^2 x/2) / (1 + Tan^2 x/2)、ここで x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2)、ここで x = π + 2πn;
• cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2)、x = π + 2πn。

特殊なケース

原虫の特殊なケース 三角方程式を以下に示します (k は任意の整数)。

正弦の商:

罪×値	x値
0	πｋ
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk または 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk または -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk または 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk または -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk または 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk または -2π/3 + 2πk

コサインの商:

cos x 値	x値
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4+2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

接線の商:

tg×値	x値
0	πｋ
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

コタンジェントの商:

ctg x 値	x値
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

定理

正弦定理

定理には、単純なものと拡張されたものの 2 つのバージョンがあります。 単純な正弦定理: a/sin α = b/sin β = c/sin γ。 この場合、a、b、c は三角形の辺、α、β、γ はそれぞれ対角です。

任意の三角形の拡張正弦定理: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R。 この恒等式において、R は与えられた三角形が内接する円の半径を示します。

コサイン定理

恒等式は次のように表示されます: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α。 式中、a、b、c は三角形の辺、α は辺 a の対角です。

正接定理

この公式は、2 つの角度の接線とその反対側の長さの関係を表します。 辺には a、b、c のラベルが付けられ、対応する対角は α、β、γ となります。 正接定理の公式: (a - b) / (a+b) = Tan((α - β)/2) / Tan((α + β)/2)。

余接定理

三角形に内接する円の半径と辺の長さを結びます。 a、b、c が三角形の辺、A、B、C がそれぞれその対角、r が内接円の半径、p が三角形の半周長である場合、次のようになります。 ID は有効です:

• cot A/2 = (p-a)/r;
• cot B/2 = (p-b)/r;
• cot C/2 = (p-c)/r。

応用

三角法は、数式に関連する単なる理論科学ではありません。 その特性、定理、規則は、天文学、航空航行および海洋航行、音楽理論、測地学、化学、音響学、光学、エレクトロニクス、建築、経済学、機械工学、測定作業、コンピューターグラフィックスなど、人間の活動のさまざまな分野で実際に使用されています。地図作成、海洋学、その他多数。

サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは三角法の基本概念であり、これを利用して三角形の辺の角度と長さの関係を数学的に表現したり、恒等式、定理、法則を通じて必要な数量を求めることができます。

副鼻腔直角三角形の鋭角αは比です 反対脚から斜辺まで。
それは次のように表されます: sin α。

余弦直角三角形の鋭角 α は、隣接する脚と斜辺の比です。
それは次のように指定されます: cos α。

正接鋭角 α は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。
それは次のように指定されます:tg α。

コタンジェント鋭角 α は、隣接する辺と反対側の辺の比です。
これは、ctg α として指定されます。

角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは、角度の大きさにのみ依存します。

ルール:

直角三角形の基本的な三角恒等式:

(α - 脚の反対側の鋭角 b そして脚の隣に ある 。 側 と – 斜辺。 β – 2 番目の鋭角)。

b sin α = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
ある cosα = - c	1 1 + Tan 2 α = -- cos2α
b タンα = - ある	1 1 + cotg 2 α = -- 罪2α
ある ctg α = - b	1 1 1 + -- = -- Tan 2 α sin 2 α
罪α tg α = -- cosα

鋭角が大きくなるにつれて罪αとTanαが増加し、cosαが減少します。

任意の鋭角 α の場合:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

例と説明:

直角三角形ABCを入れてみましょう
AB = 6、
BC = 3、
角度 A = 30°。

角度 A のサインと角度 B のコサインを求めてみましょう。

解決 。

1) まず、角度 B の値を求めます。ここではすべてが簡単です。直角三角形では鋭角の合計が 90 度であるため、角度 B = 60 度になります。

B = 90° – 30° = 60°。

2) sin A を計算してみましょう。sin は斜辺の反対側の比に等しいことがわかっています。 角 A の反対側は辺 BC です。 それで：

紀元前3 1
sin A = -- = - = -
AB62

3) 次に、cos B を計算しましょう。コサインは、隣接する脚と斜辺の比に等しいことがわかっています。 角度 B の場合、隣接する脚は同じサイド BC です。 これは、再び BC を AB で割る必要があることを意味します。つまり、角度 A の正弦を計算するときと同じ操作を実行します。

紀元前3 1
cos B = -- = - = -
AB62

結果は次のとおりです。
sin A = cos B = 1/2。

sin 30° = cos 60° = 1/2。

このことから、直角三角形では、一方の鋭角のサインは他方の鋭角のコサインに等しく、またその逆も成り立ちます。 これはまさに 2 つの式が意味するものです。
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

これをもう一度確認してみましょう。

1) α = 60°とします。 α の値を正弦式に代入すると、次のようになります。
sin (90° – 60°) = cos 60°。
sin 30° = cos 60°。

2) α = 30°とします。 α の値をコサイン公式に代入すると、次のようになります。
cos (90° – 30°) = sin 30°。
cos 60° = sin 30°。

(三角法の詳細については、「代数」セクションを参照してください)

直角三角形を解く問題が検討された場合、私はサインとコサインの定義を覚えるためのテクニックを紹介することを約束しました。 これを使用すると、どの辺が斜辺に属するか (隣接または反対側) をいつでもすぐに思い出すことができます。 あまり長く放置しないことに決めたのですが、 必要な材料以下、読んでください😉

実際、私は 10 年生から 11 年生の生徒がこれらの定義を覚えるのがいかに難しいかを繰り返し観察してきました。 彼らは脚が斜辺を指すことをよく覚えていますが、どれが斜辺なのか- 彼らは忘れてしまいます、そして 混乱した。 試験ではご存知のとおり、間違いの代償は減点です。

私が数学に直接提示する情報は数学とは何の関係もありません。 それは想像力豊かな思考と言語的論理的コミュニケーションの方法に関連しています。 まさにそれが私が覚えている方法です、一度きり定義データ。 忘れてしまっても、ここで紹介するテクニックを使えばいつでも簡単に思い出すことができます。

直角三角形のサインとコサインの定義を思い出してください。

余弦直角三角形の鋭角は、隣接する脚と斜辺の比です。

副鼻腔直角三角形の鋭角は、斜辺に対する反対側の辺の比です。

それでは、コサインという言葉からどのような連想を抱きますか?

おそらく誰もが独自のものを持っています😉リンクを覚えておいてください:

したがって、その表現はすぐにあなたの記憶に現れます -

«… ADJACENT 脚と斜辺の比».

コサインの決定に関する問題は解決されました。

直角三角形のサインの定義を覚えておく必要がある場合は、コサインの定義を覚えておけば、直角三角形の鋭角のサインが斜辺に対する反対側の辺の比であることを簡単に証明できます。 結局のところ、脚は 2 つしかありません。隣接する脚がコサインによって「占有」されている場合、反対側の脚だけがサインとともに残ります。

タンジェントとコタンジェントはどうでしょうか？ 混乱も同様だ。 生徒はこれが脚の関係であることは知っていますが、問題は、どちらがどの脚を指すのか、つまり反対側と隣接する脚、またはその逆を思い出すことです。

定義:

正接直角三角形の鋭角は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。

コタンジェント直角三角形の鋭角は、隣接する辺と反対側の辺の比です。

どうやって覚えるの？ 方法は 2 つあります。 1 つは言語と論理の接続を使用し、もう 1 つは数学的な接続を使用します。

数学的方法

そのような定義があります - 鋭角のタンジェントは、角度のサインとコサインの比です。

*公式を覚えておけば、直角三角形の鋭角の接線が、隣り合う辺に対する反対側の辺の比であることをいつでも求めることができます。

同じく。鋭角のコタンジェントは、角度の余弦とその正弦の比です。

それで！ これらの公式を覚えておけば、いつでも次のことを判断できます。

- 直角三角形の鋭角の接線は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。

— 直角三角形の鋭角の余接は、隣接する辺と反対側の辺の比です。

ワードロジカルメソッド

タンジェントについて。 リンクを覚えておいてください:

つまり、接線の定義を覚える必要がある場合、この論理接続を使用すると、接線が何であるかを簡単に思い出すことができます。

「...隣り合う辺に対する反対側の辺の比率」

コタンジェントについて話す場合、タンジェントの定義を覚えていれば、コタンジェントの定義を簡単に説明できます。

「…隣接する辺と反対側の比率」

タンジェントとコタンジェントを覚えるための興味深いトリックがウェブサイトにあります。 " 数学的タンデム " 、 見て。

ユニバーサルメソッド

暗記するだけで済みます。しかし、実践が示すように、言語と論理のつながりのおかげで、人は数学的な情報だけでなく、情報を長期間記憶します。

この資料がお役に立てば幸いです。

よろしくお願いします、アレクサンダー・クルチツキーク

P.S: ソーシャルネットワーク上でこのサイトについて教えていただければ幸いです。

この記事では総合的に見ていきます。 基本的な三角関数の恒等式は、ある角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの間の関係を確立する等式であり、既知の他の三角関数を介してこれらの三角関数のいずれかを見つけることができます。

この記事で分析する主な三角関数の恒等式をすぐにリストアップしましょう。 これらを表に書き留めて、以下にこれらの式の出力と必要な説明を示します。

ページナビゲーション。

ある角度のサインとコサインの関係

場合によっては、上の表にリストされている主要な三角関数の恒等式については話さず、ただ 1 つの三角関数について話すことがあります。 基本的な三角恒等式タイプ 。 この事実の説明は非常に簡単です。等式は、主三角恒等式の両方の部分をそれぞれ と で除算した後、等式から得られます。 そして サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義に従います。 これについては、次の段落で詳しく説明します。

つまり、特に興味深いのは等式であり、三角関数の主要な恒等式の名前が付けられています。

主要な三角関数の恒等式を証明する前に、その公式を示します。1 つの角度のサインとコサインの二乗の合計はまったく 1 に等しいです。 では、それを証明しましょう。

基本的な三角恒等式は、次のような場合によく使用されます。 三角関数式の変換。 これにより、1 つの角度のサインとコサインの二乗和を 1 に置き換えることができます。 同様に、基本的な三角関数の単位は逆の順序で使用されます。単位は、任意の角度のサインとコサインの二乗の合計に置き換えられます。

サインとコサインによるタンジェントとコタンジェント

1つの画角の正接と余弦を正弦と余弦で結ぶ恒等式と サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義からすぐに得られます。 実際、定義上、サインは y の縦座標、コサインは x の横座標、タンジェントは縦座標と横座標の比です。つまり、次のようになります。 、コタンジェントは横軸と縦軸の比です。つまり、 .

このようなアイデンティティの明白さのおかげで、 タンジェントとコタンジェントは、横軸と縦軸の比ではなく、サインとコサインの比によって定義されることがよくあります。 したがって、角度のタンジェントはこの角度のサインとコサインの比であり、コタンジェントはコサインとサインの比です。

この段落の結論として、アイデンティティと 関数に含まれる三角関数が意味をなすすべての角度に対して行われます。 したがって、この式は、 (そうしないと分母がゼロになり、ゼロによる除算を定義しなかった) 以外のすべての に対して有効です。 - for all 、 とは異なります。ここで、 z は any です。

タンジェントとコタンジェントの関係

前の 2 つよりもさらに明らかな三角関数の恒等式は、図形の 1 つの角の接線と余接を結ぶ恒等式です。 。 以外の角度についてはこれが成り立つことは明らかですが、そうでない場合は接線または余接が定義されません。

式の証明 とてもシンプルです。 定義とどこから 。 証明は少し違った方法で実行された可能性があります。 以来 、 それ .

したがって、意味をなす同じ角度のタンジェントとコタンジェントは です。

三角恒等式- これらは、ある角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの間の関係を確立する等式であり、他の関数が既知であれば、これらの関数のいずれかを見つけることができます。

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

この恒等式は、1 つの角度のサインの 2 乗と 1 つの角度のコサインの 2 乗の合計が 1 に等しいことを示しています。これにより、実際には、ある角度のコサインが既知の場合は、ある角度のサインを計算することが可能になり、その逆も同様です。 。

三角関数の式を変換する場合、この恒等式がよく使用されます。これにより、ある角度のコサインとサインの二乗和を 1 に置き換えたり、逆の順序で置き換え操作を実行したりすることができます。

サインとコサインを使用してタンジェントとコタンジェントを求める

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

これらの恒等式は、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義から形成されます。 結局のところ、これを見ると、定義上、縦座標 y はサイン、横座標 x はコサインです。 そうすれば、タンジェントは比率と等しくなります \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)、および比率 \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- は余接になります。

角度 \alpha に含まれる三角関数が意味をなす場合にのみ恒等式が成り立つことを付け加えましょう。 ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

例えば： tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)は、角度 \alpha が異なる場合に有効です。 \frac(\pi)(2)+\pi z、A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z 以外の角度 \alpha の場合、z は整数です。

タンジェントとコタンジェントの関係

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

この恒等式は、角度 \alpha が異なる場合にのみ有効です。 \frac(\pi)(2) z。 それ以外の場合、コタンジェントまたはタンジェントは決定されません。

上記の点に基づいて、次のことがわかります。 tg \alpha = \frac(y)(x)、A ctg \alpha=\frac(x)(y)。 したがって、 tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1。 したがって、意味をなす同じ角度の正接と余接は、相互に逆数になります。

タンジェントとコサイン、コタンジェントとサインの関係

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- 角度 \alpha の正接の 2 乗と 1 の和は、この角度の余弦の逆 2 乗に等しい。 この ID は、\alpha 以外のすべての \alpha に対して有効です。 \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 と角度 \alpha の余接の 2 乗の和は、指定された角度の正弦の逆 2 乗に等しい。 この ID は、\pi z とは異なるあらゆる \alpha に対して有効です。

三角恒等式を使用した問題の解決策の例

例1

\sin \alpha と tg \alpha を検索します。 \cos \alpha=-\frac12そして \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

解決策を表示する

解決

関数 \sin \alpha と \cos \alpha は次の式で関連付けられます。 \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1。 この式に代入すると \cos \alpha = -\frac12、 我々が得る：

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

この方程式には 2 つの解があります。

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

条件別 \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi 。 第 2 四半期では、正弦が正であるため、 \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Tan \alpha を求めるには、次の式を使用します。 tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

例 2

\cos \alpha と ctg \alpha を検索します。 \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

解決策を表示する

解決

式に代入すると \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1指定された番号 \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2)、 我々が得る \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1。 この方程式には 2 つの解があります \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

条件別 \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi 。 第 2 四半期ではコサインが負であるため、 \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alpha を見つけるには、次の式を使用します。 ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)。 対応する値はわかっています。

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).