コサインとサインを含む円形の円。角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントのプロパティ

三角円。単位円。数字の円。それは何ですか？

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非常に頻繁に使用される用語 三角円、単位円、数円生徒にはあまり理解されていない。そして完全に無駄でした。これらの概念は、三角法のあらゆる分野において強力かつ普遍的なアシスタントです。実は、これは法律上のカンニングペーパーなのです。三角関数の円を描いたらすぐに答えが見えました！誘惑的ですか？だから学びましょう、そのようなものを使用しないのは罪です。しかも、それは決して難しいことではありません。

三角円をうまく扱うには、3 つのことだけを知っておく必要があります。

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三角円上の角度を数えます。

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前回のレッスンとほぼ同じです。軸があり、円があり、角度があり、すべてが整っています。 (大きな正方形の隅に) 1 番目から 4 番目までの四半期番号を追加しました。誰かが知らない場合はどうなりますか? ご覧のとおり、四分の一 (「四分円」という美しい言葉とも呼ばれます) には反時計回りに番号が付けられています。軸に角度値を追加しました。すべてが明確で、問題はありません。

そして緑色の矢印が追加されます。プラス付き。それはどういう意味ですか？角度の固定側を思い出してください。 いつも 正の半軸OXに釘付け。したがって、角度の可動側を回転すると、 矢印に沿ってプラスを付けます、つまり四半期番号の昇順で、 角度は正とみなされます。例として、図は +60° の正の角度を示しています。

角を脇に置いたら 反対方向、時計回りに、 角度は負とみなされます。画像の上にカーソルを置くと (またはタブレットで画像に触れると)、マイナス記号の付いた青い矢印が表示されます。これは負の角度を読み取る方向です。たとえば、負の角度 (-60°) が示されています。また、軸上の数値がどのように変化したかがわかります。また、それらを負の角度に変換しました。象限の番号は変わりません。

通常、最初の誤解はここから始まります。どうして！？円上の負の角度が正の角度と一致したらどうなるでしょうか? そして一般に、移動する側の同じ位置 (または数字円上の点) は、負の角度と正の角度の両方と呼ぶことができることがわかります。

はい。その通り。正の角度 90 度が円を描くとします。 まったく同じ マイナス 270 度の負の角度として位置します。正の角度、たとえば +110° の場合は、 まったく同じ 負の角度 -250° として位置します。

問題ない。どれも正しいです。) 角度計算の正または負の選択は、タスクの条件によって異なります。条件が何も言わない場合 平文で 角度の符号について（「最小値を決定する」など） ポジティブ角度」など）、私たちにとって都合の良い値を使用して作業します。

例外 (三角関数なしでどうやって生きていけるでしょうか?!) は三角関数の不等式ですが、そこでこのトリックをマスターします。

それでは、あなたに質問です。 110° の角度の位置が -250° の角度の位置と同じであることはどのようにしてわかりましたか?
これが完全な革命に関係していることを示唆させてください。 360°で...よくわかりませんか? 次に、円を描きます。私たちはそれを自分たちで紙に描きます。コーナーのマーキング約 110°。そして 我々が考えます、完全に回転するまでの残り時間。残りは 250° だけです...

わかった？そして今 - 注目してください！角度 110° と -250° が円を占める場合同じ状況、それでは？はい、角度は 110° と -250° です まったく同じ サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント！
それらの。 sin110° = sin(-250°)、ctg110° = ctg(-250°) など。さて、これは本当に重要です！そしてそれ自体、式を単純化する必要があり、その後の換算公式やその他の複雑な三角法の習得の基礎として、式を単純化する必要があるタスクがたくさんあります。

もちろん、純粋に例として、110° と -250° をランダムに取り上げました。これらすべての等式は、円上の同じ位置を占めるあらゆる角度に対して機能します。 60° と -300°、-75° と 285° など。これらのペアの角度は次のとおりであることにすぐに注目してください。 違う。しかし、それらには三角関数があります - 同じ。

負の角度がどのようなものか理解できたと思います。とてもシンプルです。反時計回り - 正のカウント。途中で - 否定的です。角度が正か負かを考慮してください 私たち次第です。私たちの願望から。もちろん、タスクからも... 三角関数を負の角度から正の角度に、そしてその逆に移動する方法を理解できたと思います。円とおおよその角度を描き、完全な回転を完了するためにどれだけ不足しているかを確認します。 360°まで。

360°を超える角度。

360° を超える角度を扱ってみましょう。そんなことあるの？もちろんあります。それらを円上に描くにはどうすればよいでしょうか? 問題ない！角度 1000° がどの 4 分の 1 に該当するかを理解する必要があるとします。簡単に！反時計回りに 1 回転します (指定された角度は正です!)。 360°巻き戻してみました。さて、次に進みましょう！もう 1 回転すると、すでに 720° になります。残りはいくらですか? 280°。完全に回転するには十分ではありません...しかし、角度は 270° を超えています。これが第 3 四半期と第 4 四半期の境界です。したがって、角度 1000° は第 4 四半期に入ります。全て。

ご覧のとおり、非常にシンプルです。もう一度思い出してもらいたいのですが、「余分な」完全回転を破棄して得られた 1000° と 280° の角度は、厳密に言えば、違う角。しかし、これらの角度の三角関数は まったく同じ！それらの。 sin1000° = sin280°、cos1000° = cos280°など。もし私が正弦波だったら、これら 2 つの角度の違いに気付かないでしょう...

なぜこれだけが必要なのでしょうか? なぜ角度をある角度から別の角度に変換する必要があるのでしょうか? はい、すべて同じことです。) 式を簡略化するため。実際、式を簡略化することは学校数学の主な仕事です。まあ、その過程で頭も鍛えられます。）

さて、練習しましょうか？）

質問にお答えします。まずは簡単なものから。

1. -325° の角度はどの四半期に該当しますか?

2. 3000° の角度はどの四半期に該当しますか?

3. 角度 -3000° はどの四半期に該当しますか?

問題があります？それとも不確実性ですか？セクション555、三角円の実習に進みましょう。この「実践的な作業...」の最初のレッスンでは、すべてが詳しく説明されています... そのような不確実性に関する質問 そうすべきではありません！

4. sin555°は何の符号を持っていますか?

5. tg555°の符号は何ですか?

決めましたか？素晴らしい！何か疑問はありますか？セクション 555 に進む必要があります... ちなみに、そこでは三角円上の接線と余接を描くことを学びます。とても便利なものです。

そして今、質問はより洗練されています。

6. 式 sin777° を正の最小角度のサインに換算します。

7. 式 cos777° を最大の負の角度の余弦に換算します。

8. 式 cos(-777°) を正の最小角度の余弦に換算します。

9. 式 sin777° を最大の負の角度のサインに換算します。

質問 6 ～ 9 は不可解ですか? 慣れてください、統一州試験ではそのような公式は見つかりません...それでいいので、私が翻訳します。あなただけのために！

「式を...に持ち込む」という言葉は、その値が次のように式を変換することを意味します。 変わっていないタスクに応じて見た目も変化します。したがって、タスク 6 と 9 では、サインを取得する必要があります。その中には 正の最小角度。それ以外は関係ありません。

順番に答えていきます（ルール違反です）。しかし、どうすればよいでしょうか。標識は 2 つしかなく、4 つの区画しかありません...選択に迷うことはありません。

6. sin57°。

7.cos(-57°)。

8.cos57°。

9. -sin(-57°)

質問 6 ～ 9 の答えを見て混乱した人もいると思います。特に -sin(-57°)、本当ですか?) 確かに、角度を計算するための初歩的な規則には間違いの余地があります...そのため、「関数の符号を決定し、三角円上で角度を与えるにはどうすればよいですか?」というレッスンを行う必要がありました。セクション 555 では、タスク 4 ～ 9 が説明されています。落とし穴も含めて、よく整理されています。そして彼らはここにいる。）

次のレッスンでは、謎のラジアンと数字「円周率」を扱います。度をラジアンに、またはその逆に簡単かつ正確に変換する方法を学びましょう。そして、このサイトの基本情報を知って驚くでしょう。 もういい カスタム三角関数の問題を解決します。

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関数と導関数について知ることができます。

前回のレッスンでは、すべての三角法の主要な概念をマスター (または、選択する人に応じて繰り返し) しました。これ 三角円 , 円上の角度 , この角度のサインとコサイン 、またマスターしました 四半期ごとの三角関数の符号 . 私たちはそれを詳細にマスターしました。指については、こう言う人もいるかもしれない。

しかし、これではまだ十分ではありません。これらすべての単純な概念を実際にうまく適用するには、もう 1 つ便利なスキルが必要です。つまり、正しいものは、 コーナーを使った作業 三角法で。この三角関数のスキルがなければ、どうしようもありません。最も原始的な例であっても。なぜ？はい、角度はすべての三角法において重要な動作数値であるためです。いいえ、三角関数ではありません、サインとコサインではありません、タンジェントとコタンジェントではありません。 コーナーそのもの。角度がないということは三角関数がないということです、そうです...

円の角度を操作するにはどうすればよいですか? そのためには2つのポイントをしっかりと押さえておく必要があります。

1) どうやって角度は円上で測定されますか?

2) 何それらはカウント（測定）されていますか？

最初の質問に対する答えが今日のレッスンのテーマです。最初の質問については、ここで詳しく説明します。 2番目の質問についてはここでは答えません。かなり発展してるからね。 2 番目の質問自体が非常に滑りやすいのと同じように、そうです。）詳細についてはまだ説明しません。これは次の個別のレッスンのトピックです。

始めましょうか？

円周上の角度はどのように測定されますか? 正の角度と負の角度。

この段落のタイトルを読んだ人は、すでに髪の毛が逆立っているかもしれません。どうして？！マイナスの角度？これも可能でしょうか？

ネガティブに数字もう慣れてきました。それらを数値軸上に表すことができます。ゼロの右側は正、ゼロの左側は負です。はい、私たちは窓の外の温度計を定期的に見ます。特に冬は寒いです。）そして、電話のお金はマイナスです（つまり、義務）時々彼らは去ります。これはすべておなじみです。

コーナーはどうですか？数学における負の角度は もありますよ！それはすべて、まさにこの角度を測定する方法にかかっています...いいえ、数直線ではなく、数円に基づいています。つまり円周上です。円 – これは、三角法の数直線に相当します。

それで、 円周上の角度はどのように測定されますか?私たちにできることは何もありません。まずこの円を描く必要があります。

この美しい絵を描きます。

前回のレッスンの写真とよく似ています。軸があり、円があり、角度があります。しかし、新しい情報もあります。

また、軸に 0°、90°、180°、270°、360° の数字を追加しました。これはさらに興味深いことです。) これはどのような数字ですか? 右！これらは、落下する固定側から測定した角度の値です。 座標軸に。角度の固定側は常に正の半軸 OX にしっかりと結びついていることを思い出してください。そして、三角法のあらゆる角度は、この半軸から正確に測定されます。この角度の基本的な開始点をしっかりと覚えておく必要があります。そして軸は直角に交差しますよね？したがって、各四半期に 90° を追加します。

さらに追加されました 赤い矢。 プラス付き。目を引くようにわざと赤を入れています。そしてそれは私の記憶にしっかりと刻まれています。これは確実に覚えておく必要があるため。）この矢印は何を意味しますか？

つまり、角をひねると、 矢印に沿ってプラスを付けます(四半期の番号に従って反時計回りに)、角度 ポジティブとみなされるでしょう！図では例として+45°の角度を示しています。ちなみに軸角度0°、90°、180°、270°、360°もプラス側に巻き戻されますのでご注意ください！赤い矢印に従ってください。

次に、別の写真を見てみましょう。

ここではほとんどすべてが同じです。軸上の角度のみに番号が付けられています 逆転した。時計回り。マイナス記号が付いています。) まだ描画されています 青い矢印。 こちらもマイナス付き。この矢印は、円上の負の角度の方向です。彼女は私たちに、もし私たちが角を曲がったら 時計回りに、それ 角度は負とみなされます。たとえば、-45°の角度を示しました。

ちなみに、四半期の番号は決して変わらないことに注意してください。角度をプラスに動かすかマイナスに動かすかは問題ではありません。常に厳密に反時計回りです。)

覚えて：

1. 角度の開始点は、正の半軸 OX からです。時計通りは「マイナス」、時計に対しては「プラス」。

2. 角度が計算される方向に関係なく、四半期の番号付けは常に反時計回りになります。

ちなみに、円を描くたびに軸上の角度に 0°、90°、180°、270°、360° とラベルを付けることは、まったく必須ではありません。これは単に要点を理解するために行われています。ただし、これらの数字は存在する必要があります あなたの頭の中で三角関数の問題を解くとき。なぜ？はい、この基本的な知識は、三角法に関する他の多くの質問に対する答えを提供してくれるからです。最も重要な質問は 関心のある角度はどの四半期に該当しますか? 信じられないかもしれませんが、この質問に正しく答えると、他のすべての三角法の問題の大部分が解決されます。この重要なタスク (角度を 4 等分に分配する) については、同じレッスンで少し後で扱います。

座標軸上の角度の値 (0°、90°、180°、270°、360°) を覚えておく必要があります。自動的にできるようになるまで、しっかりと覚えておきましょう。そしてプラスとマイナスの両方。

しかし、この瞬間から最初の驚きが始まります。そしてそれらと一緒に、私に向けられたトリッキーな質問も、そうです...) 円に負の角度がある場合はどうなりますか ポジティブと一致しますか？判明したのは、 同じ点円上のは正の角度と負の角度の両方で表すことができます。

絶対的に正しい！これは真実です。) たとえば、+270° の正の角度は円を占めます。 同じ状況 、負の角度 -90° と同じです。または、たとえば、円上の正の角度 +45° には次の時間がかかります。 同じ状況 、負の角度 -315° と同じです。

次の図を見ると、すべてがわかります。

同様に、+150°の正の角度は -210°の負の角度と同じ位置にあり、+230°の正の角度は -130°の負の角度と同じ位置にあります。等々…

そして今、私に何ができるでしょうか？あれやこれやできるとしたら、角度を正確にカウントするにはどうすればよいでしょうか? どちらが正しい？

答え： あらゆる点で正しいです！数学では、角度を数える 2 つの方向のどちらも禁止していません。そして、特定の方向の選択はタスクのみに依存します。割り当てが角度の符号についてプレーンテキストで何も述べていない場合 (例: 「最大のものを定義する ネガティブコーナー"など）、次に、私たちにとって最も便利な角度で作業します。

もちろん、たとえば、三角方程式や不等式などの興味深いトピックでは、角度の計算の方向が答えに大きな影響を与える可能性があります。関連するトピックでは、これらの落とし穴について検討します。

覚えて：

円上の任意の点は、正または負の角度で指定できます。誰でも！私たちが望むものは何でも。

では、これについて考えてみましょう。角度 45° は角度 -315° とまったく同じであることがわかりました。同じ 315 についてどうやって知りましたか° ? 推測できませんか？はい！完全に回転します。) 360°で。角度は45°です。完全に一回転するまでにどれくらい時間がかかりますか? 45 を引く° 360度から° - つまり 315 になります° 。負の方向に移動すると、角度は -315° になります。まだ明確ではありませんか? 次に上の写真をもう一度見てください。

そして、これは、正の角度を負の角度に変換するとき（またはその逆の場合）に常に実行する必要があります - 円を描いてマークを付けます約指定された角度で、1 回転を完了するために不足している度数を計算し、結果として生じる差を反対方向に移動します。それだけです。）

円上の同じ位置を占める角度について他に何が興味深いと思いますか? そして、そのようなコーナーでは まったく同じ サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント！いつも！

例えば：

sin45° = sin(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = Ctg(-27°)

しかし、これは非常に重要です! 何のために？はい、すべて同じことです!) 式を簡素化するため。式を単純化することは、ソリューションを成功させるための重要な手順であるため どれでも数学の課題。あと三角関数も。

そこで、円上の角度を数える一般的な規則を考え出しました。さて、フルターンや 4 分の 1 ターンについて話し始めたら、今度はこれらのコーナーをひねったり描いたりするときです。絵を描きましょうか？）

まずは始めましょう ポジティブコーナー描きやすくなります。

1 回転内 (0° ～ 360°) で角度を描きます。

たとえば、60°の角度を描いてみましょう。ここではすべてが簡単で、面倒なことはありません。座標軸と円を描きます。コンパスや定規を使わずに直接手で行うことができます。絵を描きましょう 概略的に：私たちはあなたと一緒に絵を描いているわけではありません。 GOST に従う必要はなく、罰せられることはありません。)

(自分で) 軸上の角度の値をマークし、矢印の方向を指すことができます。 時間に追われて。結局のところ、プラスとして節約するつもりですか？）これを行う必要はありませんが、すべてを念頭に置く必要があります。

次に、コーナーの 2 番目の (移動側) 側を描画します。どの四半期ですか？もちろん最初は！ 60 度は厳密には 0 ° と 90 ° の間にあるためです。したがって、第1クォーターで引き分けます。斜めに約固定側に対して60度。数え方約分度器なしで60度？簡単に！ 60°は 直角の3分の2！私たちは心の中でサークルの最初の悪魔を3つの部分に分割し、3分の2を自分たちに取ります。そして私たちは描きます...実際にそこにどのくらい到達するか（分度器を取り付けて測定した場合）-55度または64度-それは問題ではありません！それがまだどこかに残っていることが重要です 約60°.

次のようなイメージが得られます。

それだけです。そして工具は必要ありませんでした。目を養いましょう！これは幾何学の問題で役に立ちます。) この見苦しい描画は、美しさについてあまり考えずに、円と角度をすばやく落書きする必要がある場合に不可欠です。でも同時に落書きもする右、エラーがなく、必要な情報がすべて含まれています。たとえば、三角方程式や不等式を解く際の補助として使用します。

たとえば 265° などの角度を描いてみましょう。それがどこにあるのか調べてみましょう。そうですね、第 1 四半期だけでなく、第 2 四半期ですらそうではないことは明らかです。それらは 90 度と 180 度で終わります。 265°は 180° にさらに 85° を加えたものであることがわかります。つまり、負の半軸 OX (180°) に次の値を追加する必要があります。約 85°。あるいは、さらに単純に、265° が負の半軸 OY (270° である) に残念ながら 5° 届かないと推測します。つまり、第3四半期にはこの角度になるでしょう。負の半軸 OY の 270 度に非常に近いですが、まだ 3 番目にあります。

描いてみましょう:

繰り返しますが、ここでは絶対的な精度は必要ありません。実際には、この角度がたとえば 263 度になるとします。しかし、最も重要な質問には （何四半期ですか？）私たちは正しく答えました。なぜこれが最も重要な質問なのでしょうか? そうです。なぜなら、三角法の角度を使った作品はすべて (この角度を描くかどうかは関係ありません)、まさにこの質問に対する答えから始まるからです。いつも。この質問を無視したり、頭の中で答えようとすると、間違いはほぼ避けられません。そうです...必要ですか?

覚えて：

角度を含む作業 (円上にその角度を描くことを含む) は常に、この角度がどの四半期に当たるかを決定することから始まります。

今度は、182°、88°、280° などの角度を正確に描写できるようになりました。で 正しい四分の一。 3番目、1番目、4番目でしたら...)

第 4 四半期は 360° の角度で終了します。これは完全な 1 つの革命です。この角度が円上で 0° (つまり原点) と同じ位置を占めることは明らかです。しかし、角度はそれだけではありません、そうです...

360°を超える角度はどうすればよいでしょうか?

「本当にそんな事あるの？」- あなたが尋ねる。それらは実際に起こります！たとえば、444°の角度があります。そして場合によっては、たとえば 1000 度の角度になることもあります。あらゆる種類の角度があります。) ただ、そのようなエキゾチックな角度は、私たちが 1 回転内で慣れ親しんでいる角度よりも視覚的に少し難しく認識されるだけです。ただし、そのような角度を描画して計算できる必要もあります。

円上にそのような角度を正しく描くには、同じことを行う必要があります。 関心のある角度はどの四半期に該当しますか? ここでは、0° から 360° までの角度よりも、四半期を正確に決定する能力の方がはるかに重要です。四半期を決定する手順自体が 1 ステップだけ複雑になります。それが何であるかはすぐにわかります。

したがって、たとえば、444° の角度がどの象限に該当するかを把握する必要があります。回転を始めましょう。どこ？もちろんプラスです！彼らは私たちにポジティブな角度を与えてくれました！ +444°。ひねって、ひねって…一回転ひねって、360°に到達しました。

444°まであとどれくらいある?残りの尾を数えます。

444°-360° = 84°。

したがって、444° は 1 回転 (360°) にさらに 84° を加えたものになります。明らかに、これは第 1 四半期です。したがって、角度 444° は下がります。 第1四半期に。戦いは半分終わった。

あとはこの角度を描くだけです。どうやって？とてもシンプルです！赤い（プラス）矢印に沿って 1 回転し、さらに 84° を追加します。

このような：

ここでは、四分の一にラベルを付けたり、軸に角度を描いたりして、図面を煩雑にすることはしませんでした。この素晴らしいことはすべて、長い間私の頭の中にあったはずです。)

しかし、私は「カタツムリ」またはらせんを使用して、360° と 84° の角度から 444° の角度がどのように形成されるかを正確に示しました。赤い点線は 1 回転です。 84°（実線）を追加ネジ止めします。ちなみに、この完全な回転が破棄されても、角度の位置にはまったく影響しないことに注意してください。

でも、これが大事なんです！角度位置 444° 完全に一致する角度位置は84°です。奇跡などない、結果的にそうなってしまうだけだ。)

1 回転ではなく 2 回転以上を破棄することは可能ですか?

なぜだめですか？角度が大きい場合は、可能であるだけでなく、必要ですらあります。角度は変わらない！より正確に言えば、角度そのものの大きさは当然変化します。しかし、サークル内での彼の立場は - ありえない!) だからこそ、彼らは満杯どれだけコピーを追加しても、どれだけ減算しても、最終的には同じ点に到達するということです。いいですね。

覚えて：

角度に任意の量を加算（減算）すると全体完全な回転数によって、円上の元の角度の位置は変わりません。

例えば：

角度 1000 度はどの四半期に該当しますか?

問題ない！ 1,000 度で何回転するかを数えます。 1 回転は 360°、もう 1 回転はすでに 720°、3 回転目は 1080°... やめて! 過度に！これは、1000°の角度で設置されていることを意味します二フルターン。それらを 1000° から切り出し、余りを計算します。

1000° - 2 360° = 280°

したがって、角度の位置は円上で1000°になります。同じ、280°の角度で。どちらの方が作業が楽です。) そして、この隅はどこに当たるのでしょうか? これは、270° (負の半軸 OY) にさらに 10 を加えた第 4 四半期に該当します。

描いてみましょう:

ここでは、点線の螺旋を 2 回完全に描くのはやめました。長すぎることがわかりました。残った尻尾を描いただけです ゼロから、破棄全て追加ターン。まるで存在しなかったかのようです。）

もう一度。 444°と84°、1000°と280°は良い意味で違います。しかし、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの場合、これらの角度は次のようになります。 同じ！

ご覧のとおり、360° を超える角度を扱うには、次のことを決定する必要があります。 特定の大きな角度で何回転するか。 これは、このような角度で作業するときに最初に実行する必要がある非常に追加の手順です。何も複雑なことはありませんよね？

もちろん、完全な回転を拒否するのは楽しい経験です。) しかし、実際には、まったくひどい角度で作業する場合、問題が発生します。

例えば：

角度 31240° はどの四半期に該当しますか?

では、360 度を何度も追加するのでしょうか? あまり燃えすぎなければ可能です。ただし、加算するだけではありません。）分割することもできます。

それでは、この巨大な角度を 360 度に分割してみましょう。

このアクションにより、31240 度に隠されている完全な回転数が正確にわかります。それを隅に分割することもできますし、(耳元でささやきます:)) 電卓で分割することもできます。)

31240:360 = 86.777777… となります。

数字が端数であることが判明したという事実は、怖いことではありません。私たちだけ全体回転数に興味がある！したがって、完全に分割する必要はありません。）

つまり、毛むくじゃらの石炭には 86 回転もの回転が可能です。ホラー…

度単位になります86・360° = 30960°

このような。これは、31240 度の特定の角度から、痛みなく何度まで投げることができるかを正確に表します。残り:

31240° - 30960° = 280°

全て！角度31240°の位置を完全特定！ 280°と同じ場所。それらの。 ) この角度については以前にも描写したと思いますが? 1000 度の角度はいつ描かれたのですか?) そこでは 280 度にも行きました。偶然。）

したがって、この話の教訓は次のとおりです。

恐ろしいほど難しい角度が与えられた場合、次のようになります。

1. このコーナーに何回転するかを決定します。これを行うには、元の角度を 360 で割り、小数部分を破棄します。

2. 結果の回転数が何度になるかを数えます。これを行うには、回転数を 360 倍します。

3. これらの回転を元の角度から差し引き、0° から 360° までの通常の角度で作業します。

負の角度を扱うにはどうすればよいですか?

問題ない！ポジティブなものとまったく同じですが、唯一の違いがあります。どれ？はい！角を曲がる必要がある裏、マイナス！時計回りに進みます。)

たとえば、-200°の角度を描いてみましょう。まず、正の角度、つまり軸、円の場合はすべて通常どおりです。また、マイナスの付いた青い矢印を描き、軸上の角度に異なる符号を付けてみましょう。当然、マイナス方向にもカウントする必要があります。これらは 90° ずつ同じ角度になりますが、逆方向にカウントされ、マイナスになります: 0°、-90°、-180°、-270°、-360°。

画像は次のようになります。

負の角度を扱うときは、わずかな戸惑いを感じることがよくあります。どうして？！同じ軸が、たとえば +90° と -270° であることがわかりますか? いや、何か怪しいところがあります...

はい、すべてがきれいで透明です！円上の任意の点を正の角度または負の角度と呼ぶことができることはすでに知っています。絶対にどれでも。一部の座標軸に含まれます。私たちの場合、必要なのは ネガティブ角度の計算。したがって、すべての角をマイナスにスナップします。)

角度 -200° を正確に描くことは難しくありません。これは-180°であり、 マイナスさらに20°。ゼロからマイナスへのスイングが始まります。第 4 四半期を通過し、第 3 四半期も逃し、-180 度に達します。残りの20をどこに使えばいいでしょうか？はい、すべてがそこにあります！時間単位）合計角度 -200° 以内に収まる 2番四半期。

座標軸の角度をしっかりと覚えておくことがいかに重要か理解できたでしょうか？

角度がどの四半期に当たるかを正確に判断するには、座標軸上の角度 (0°、90°、180°、270°、360°) を正確に覚えておく必要があります。

角度が大きく、数回転する場合はどうなるでしょうか? 大丈夫です！これらの完全な回転がプラスに向かうかマイナスに向かうかによって、どのような違いが生じるのでしょうか? 円上の点の位置は変わりません。

例えば：

-2000°の角度はどの四半期に該当しますか?

全く同じです！まず、この邪悪な隅に完全な革命が何回座っているかを数えます。符号を間違えないように、ここではマイナスはそのままにして、単純に 2000 を 360 で割ります。プラスは 5 になります。今のところ尾は気にしません。少し後でコーナーを描くときに数えます。私たちは数えます五全回転数 (度):

5 360° = 1800°

おお。これはまさに、健康を損なうことなく隅から安全に放り出せる余分な度数の数です。

残りの尾を数えます。

2000° – 1800° = 200°

しかし、今ではマイナスのことを思い出すことができます。) 200°のテールをどこに巻くつもりですか? もちろんマイナスです！負の角度が与えられています。)

2000° = -1800° - 200°

したがって、追加の回転を行わずに -200° の角度を描きます。さっき描いたばかりですが、もう一回落書きしてみます。手で。

指定された角度 -2000° および -200° が範囲内に収まることは明らかです。 第2四半期。

それで、夢中になってみましょう...ごめんなさい...頭の上で：

非常に大きな負の角度が指定された場合、その角度を扱う最初の部分 (完全な回転数を見つけてそれらを破棄する) は、正の角度を扱う場合と同じです。マイナス記号は、ソリューションのこの段階では何の役割も果たしません。符号は、完全な回転を取り除いた後に残った角度を使用して作業するとき、最後にのみ考慮されます。

ご覧のとおり、円上に負の角度を描くことは、正の角度を描くことと同じくらい難しくありません。

すべては同じですが、方向が違うだけです。時間までに！

ここからが最も興味深い部分です。私たちは、正の角度、負の角度、大きな角度、小さな角度など、あらゆる範囲を調べました。また、円上の任意の点が正の角度と負の角度と呼ばれる可能性があることもわかりました。完全な回転は破棄されました...何か考えはありますか? 延期すればいいのに…

はい！円上のどの点を取っても、それは次のようになります。 角度は無限大！ 大きいものもそれほど大きくないものも、ポジティブなものもネガティブなものも、さまざまです。そして、これらの角度の差は次のようになります。全体完全な回転数。いつも！三角円ってそういう仕組みだよな…）だから 逆行するタスクは、既知のサイン/コサイン/タンジェント/コタンジェントを使用して角度を見つけることです - 解決可能 曖昧な。そしてさらに難しい。直接的な問題とは対照的に、角度が与えられた場合、その三角関数のセット全体を求めます。そして、三角法のより深刻なトピックでは ( アーチ、三角関数方程式そして不平等）私たちは常にこのトリックに遭遇するでしょう。私たちはそれに慣れてきています。)

1. -345° の角度はどの四半期に該当しますか?

2. 角度 666° はどの四半期に該当しますか?

3. 角度 5555° はどの四半期に該当しますか?

4. -3700° の角度はどの四半期に該当しますか?

5. サインの役割コス999°?

6. サインの役割ctg999°?

そしてそれはうまくいきましたか？素晴らしい！問題があります？それからあなた。

答え:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

今回は伝統を破り、順番に答えが述べられました。というのは、四分の一しかなく、標識も二つしかないからである。あまり逃げるなよ…）

次のレッスンでは、ラジアンと謎の数字「パイ」について説明し、ラジアンを度に、またその逆に簡単に変換する方法を学びます。そして、この単純な知識とスキルだけでも、多くの重要な三角法の問題をうまく解決できることに驚くでしょう。

多様な。それらの中には、どの四半期のコサインが正と負になるか、どの四半期のサインが正と負になるかに関するものもあります。これらの関数の値をさまざまな角度で計算する方法を知っており、グラフ上に関数をプロットする原理に精通していれば、すべてが簡単であることがわかります。

コサイン値とは何ですか?

それを考慮すると、次のアスペクト比があり、それによって決定されます: 角度の余弦あ隣接する脚 BC と斜辺 AB の比です (図 1): cos ある= BC/AB。

同じ三角形を使用して、角度の正弦、接線、および余接を見つけることができます。サインは、角度 AC の反対側と斜辺 AB の比になります。角度のタンジェントは、目的の角度のサインを同じ角度のコサインで割ると求められます。サインとコサインを求めるための対応する式を代入すると、tg が得られます。ある= AC/BC。コタンジェントはタンジェントの逆関数として、次のように求められます: ctg ある= BC/AC。

つまり、角度の値が同じであれば、直角三角形ではアスペクト比が常に同じであることがわかりました。これらの値がどこから来たのかは明らかになったように思えますが、なぜ負の数値が得られるのでしょうか?

これを行うには、正の値と負の値の両方が存在するデカルト座標系で三角形を考慮する必要があります。

宿舎がどこにあるのかは明らかです

デカルト座標とは何ですか? 2 次元空間について話す場合、点 O で交差する 2 本の有向線があり、これらは横軸 (Ox) と縦軸 (Oy) です。点 O から直線の方向には正の数があり、その逆の方向には負の数があります。最終的に、これにより、どの四半期のコサインが正となり、どの四半期が負になるかが直接決まります。

第 1 四半期

最初の四半期 (0 時から 90 時まで) に直角三角形を配置すると、x 軸と y 軸は正の値になります (セグメント AO と BO は、値が「+」を持つ軸上にあります)符号) の場合、サインとコサインは両方とも正の値になり、プラス符号付きの値が割り当てられます。しかし、三角形を第 2 四半期 (90 度から 180 度) に移動するとどうなるでしょうか?

第2四半期

y 軸に沿って、脚 AO が負の値を受け取ったことがわかります。角度の余弦あるはマイナスに関してこの側面を持っているため、最終的な値はマイナスになります。どの四半期のコサインが正になるかは、デカルト座標系における三角形の配置に依存することがわかります。この場合、角度の余弦は負の値になります。しかし、正弦の場合は何も変わりません。その符号を決定するには OB 側が必要であり、この場合はプラス符号のままです。最初の 2 四半期をまとめてみましょう。

どの四半期のコサインが正で、どの四半期が負であるかを確認するには (サインや他の三角関数も同様に)、どの辺にどの符号が割り当てられているかを確認する必要があります。角度の余弦の場合あるサイド AO は、サイン - OB にとって重要です。

これまでのところ、「サインとコサインが同時にプラスになるのはどの四半期ですか?」という質問に答えられるのは、第 1 四半期だけです。これら 2 つの関数の符号にさらなる一致があるかどうかをさらに見てみましょう。

第 2 四半期では、サイド AO が負の値になり始めました。これは、コサインも負になったことを意味します。正弦は正に保たれます。

第3四半期

これでAO、OBともマイナスになってしまいました。コサインとサインの関係を思い出してみましょう。

Cos a = AO/AB;

Sin a = VO/AV。

AB は、軸によって定義される 2 つの方向のどちらにも向いていないため、特定の座標系では常に正の符号を持ちます。ただし、脚が負になっています。これは、両方の関数の結果も負であることを意味します。これは、1 つだけがマイナス符号を持つ数値を使用して乗算または除算を実行すると、結果もこの符号を持つことになるためです。

この段階での結果は次のとおりです。

1) コサインがプラスになるのはどの四半期ですか? 3 つのうち最初の 1 つ目。

2) どの四半期で正弦波が正になりますか? 3 つのうち 1 つ目と 2 つ目。

第4四半期（270時から360時まで）

ここで、サイド AO は再びプラス記号を取得し、したがってコサインも取得します。

正弦波の場合、脚 OB が開始点 O より下にあるため、状況は依然として「負」です。

結論

コサインが正、負などのどの四半期を理解するには、コサインを計算するための関係、つまり斜辺で割った角度に隣接する脚を覚えておく必要があります。 k(osine) = (k) angle ということを覚えておくよう勧める教師もいます。この「チート」を覚えていれば、サインは反対側の脚と斜辺の比であることが自動的に理解できます。

どの四半期のコサインが正で、どの四半期が負であるかを覚えるのは非常に困難です。三角関数はたくさんあり、それぞれに独自の意味があります。しかし、それでも、結果として、正弦の値は 1.2 四半期 (0 度から 180 度まで) です。コサインの場合は 1.4 四半期 (0 度から 90 度および 270 度から 360 度)。残りの四半期では、関数の値はマイナスになります。

おそらく、機能を描くことで、どの記号がどの記号であるかを覚えやすくなるでしょう。

サインの場合、0 から 180 o まで、尾根が sin(x) 値の線の上にあることは明らかです。これは、ここでの関数が正であることを意味します。コサインについても同様です。どの四半期でコサインが正になり (写真 7)、どの四半期で負になるかは、cos(x) 軸の上下に線を移動することでわかります。その結果、サイン関数とコサイン関数の符号を決定する 2 つの方法を思い出すことができます。

1. 半径が 1 に等しい仮想の円に基づきます (実際には、円の半径が何であるかは問題ではありません。これは教科書で最もよく取り上げられる例です。これにより理解しやすくなりますが、同時に、これは問題ではないと規定されていない限り、子供たちは混乱する可能性があります）。

2. 最後の図のように、(x) に沿った関数の引数 x 自体への依存性を描くことによって。

最初の方法を使用すると、符号が正確に何に依存しているかを理解できます。これについては上で詳しく説明しました。これらのデータから作成された図 7 は、結果の関数とその符号を可能な限り最良の方法で視覚化しています。

座標バツ円上にある点は cos(θ) に等しく、座標は yは、sin(θ) に対応します。ここで、θ は角度の大きさです。

このルールを覚えるのが難しい場合は、(cos と sin) のペアでは「サインが最後に来る」ということを覚えておいてください。
この規則は、直角三角形とこれらの三角関数の定義を考慮することによって導き出すことができます (角度のサインは、反対側の長さの比と、斜辺に隣接する辺のコサインに等しい)。

円上の 4 つの点の座標を書き留めます。「単位円」とは、半径が 1 に等しい円です。これを使用して座標を決定しますバツそして y座標軸と円との交点の 4 点に位置します。上記では、明確にするために、これらの地点を「東」、「北」、「西」、「南」と指定しましたが、確立された名前はありません。

「東」は座標のある点に相当します (1; 0) .
「北」は座標のある点に相当します (0; 1) .
「西」は座標上の点に相当します (-1; 0) .
「南」は座標のある点に相当します (0; -1) .
これは通常のグラフと似ているため、これらの値を覚える必要はなく、基本原則を覚えておくだけで済みます。

第 1 象限内の点の座標を覚えておいてください。第 1 象限は円の右上部分にあり、座標はバツそして y正の値を取ります。覚えておく必要がある座標は次のとおりです。

直線を引き、円との交点の座標を決定します。 1 つの象限の点から水平および垂直の直線を引くと、これらの線と円との 2 番目の交点の座標は次のようになります。バツそして y絶対値は同じですが、符号が異なります。言い換えれば、第 1 象限の点から水平線と垂直線を引き、円との交点に同じ座標のラベルを付けますが、同時に正しい符号 (「+」) のために左側にスペースを残すことができます。または "-"）。

座標の符号を決定するには、対称規則を使用します。「-」記号を配置する場所を決定するには、いくつかの方法があります。

通常のチャートの基本ルールを覚えておいてください。軸バツ左側がマイナス、右側がプラスです。軸 y下からはネガティブ、上からはポジティブ。
最初の象限から始めて、他の点まで線を引きます。線が軸を横切る場合 y、コーディネートバツ符号が変わります。線が軸を横切る場合バツ、座標の符号が変わります y;
第 1 象限ではすべての関数が正、第 2 象限ではサインのみが正、第 3 象限ではタンジェントのみが正、第 4 象限ではコサインのみが正であることを思い出してください。
どちらの方法を使用する場合でも、第 1 象限では (+,+)、第 2 象限では (-,+)、第 3 象限では (-,-)、そして第 4 象限では (+,-) が得られるはずです。

間違いがないか確認してください。以下は、単位円に沿って反時計回りに移動した場合の、「特別な」点 (座標軸上の 4 つの点を除く) の座標の完全なリストです。これらすべての値を決定するには、第 1 象限内の点の座標のみを覚えておくだけで十分であることに注意してください。

第一象限: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)));
第二象限: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)));
第 3 象限: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)));
第 4 象限: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2))).

三角円。 単位円。 数字の円。 それは何ですか？

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第 1 四半期

第2四半期

第3四半期

第4四半期（270時から360時まで）

結論

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