直線間の角度計算機。 2本の直線間の角度
説明書
注記
三角正接関数の周期は 180 度に等しく、これは直線の傾斜角が絶対値でこの値を超えることができないことを意味します。
角度係数が互いに等しい場合、そのような線は一致するか平行であるため、そのような線の間の角度は 0 になります。
交差する線の間の角度の値を決定するには、平行移動法を使用して両方の線 (またはそのうちの 1 つ) を交差するまで新しい位置に移動する必要があります。 この後、結果として得られる交差する線の間の角度を見つける必要があります。
必要になるだろう
- ルーラー、 直角三角形、鉛筆、分度器。
説明書
したがって、ベクトル V = (a, b, c) と平面 A x + B y + C z = 0 が与えられるとします。ここで、A、B、C は法線 N の座標です。すると、角度の余弦が求められます。ベクトル V と N の間の α は、cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)) に等しくなります。
角度を度またはラジアンで計算するには、結果の式からコサイン関数の逆関数を計算する必要があります。 逆余弦:α = arsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)))。
例: 検索 コーナー間 ベクター(5、-3、8) および 飛行機、一般方程式 2 x – 5 y + 3 z = 0 で与えられます。 解決策: 平面の法線ベクトルの座標 N = (2, -5, 3) を書き留めます。 すべてを置き換える 既知の値与えられた式に代入します: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°。
トピックに関するビデオ
円と共通点が 1 つある直線は、円に接します。 接線のもう 1 つの特徴は、接線が接触点に引かれた半径に対して常に垂直であることです。つまり、接線と半径が直線を形成します。 コーナー。 円 AB と AC の 2 つの接線が 1 つの点 A から引かれる場合、それらは常に互いに等しくなります。 接線間の角度を決定する ( コーナー ABC）はピタゴラスの定理を使用して作成されます。
説明書
角度を決定するには、円 OB と OS の半径、および円の中心からの接線の開始点の距離 - O を知る必要があります。したがって、角度 ABO と ASO は等しいため、半径 OB は次のようになります。たとえば、10 cm、円の中心までの距離 AO は 15 cm で、ピタゴラスの定理に従って接線の長さを決定します。AB = 平方根 AO2 – OB2 または 152 – 102 = 225 – 100 = 125;
意味。 2 つの行に y = k 1 x + b 1、y = k 2 x + b 2 が与えられた場合、次のようになります。 鋭い角これらの直線の間は次のように定義されます。
k 1 = k 2 の場合、2 本の直線は平行になります。 k 1 = -1/ k 2 の場合、2 本の直線は垂直になります。
定理。係数 A 1 = λA、B 1 = λB が比例する場合、直線 Ax + Bу + C = 0 および A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 は平行になります。 C 1 = λC の場合も、線は一致します。 2 本の直線の交点の座標は、これらの直線の方程式系の解として求められます。
与えられた点を通る直線の方程式
指定された線に垂直
意味。点 M 1 (x 1, y 1) を通り、直線 y = kx + b に垂直な直線は次式で表されます。
点から線までの距離
定理。点 M(x 0, y 0) が与えられた場合、直線 Ax + Bу + C = 0 までの距離は次のように求められます。
.
証拠。点 M 1 (x 1, y 1) を、点 M から所定の直線に下ろした垂線の底辺とする。 次に、点 M と M 1 の間の距離は次のようになります。
(1)
座標 x 1 と y 1 は、連立方程式を解くことで求められます。
システムの 2 番目の方程式は、以下を通る直線の方程式です。 与えられたポイント M 0 は、指定された直線に対して垂直です。 システムの最初の方程式を次の形式に変換すると、次のようになります。
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0、
次に解くと、次のようになります。
これらの式を式 (1) に代入すると、次のことがわかります。
定理は証明されました。
例。 線間の角度を決定します: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1。
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4。
例。 直線 3x – 5y + 7 = 0 と 10x + 6y – 3 = 0 が垂直であることを示します。
解決。 k 1 = 3/5、k 2 = -5/3、k 1* k 2 = -1、したがって、線は垂直であることが分かります。
例。 三角形 A(0; 1)、B (6; 5)、C (12; -1) の頂点が与えられます。 頂点 C から引かれた高さの方程式を求めます。
解決。 辺 AB の方程式を求めます。 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
必要な高さの式は、Ax + By + C = 0 または y = kx + b の形式になります。 k = 。 次に、 y = です。 なぜなら 高さが点 C を通過すると、その座標は次の方程式を満たします。 
b = 17 から。合計: 。 
答え: 3 x + 2 y – 34 = 0。
指定された点を指定された方向に通過する直線の方程式。 指定された 2 つの点を通過する直線の方程式。 2 本の直線の間の角度。 2本の直線の平行度、直角度の状態。 2 本の線の交点の決定
1. 与えられた点を通る直線の方程式 あ(バツ 1 , y 1) 傾きによって決まる特定の方向に k,
y - y 1 = k(バツ - バツ 1). (1)
この方程式は、点を通過する線の鉛筆を定義します。 あ(バツ 1 , y 1)、これはビーム中心と呼ばれます。
2. 2 点を通る直線の方程式: あ(バツ 1 , y 1) そして B(バツ 2 , y 2)、次のように書きます。
指定された 2 点を通過する直線の角度係数は、次の式で求められます。
3. 直線間の角度 あそして B最初の直線を回転する必要がある角度です あこれらの線の交点の周囲を反時計回りに、2 番目の線と一致するまで回転させます。 B。 2 本の直線が傾きのある方程式で与えられる場合
y = k 1 バツ + B 1 ,
y = k 2 バツ + B 2 , (4)
それらの間の角度は次の式で決定されます。
分数の分子では、最初の直線の傾きが 2 番目の直線の傾きから減算されることに注意してください。
直線の方程式が次のように与えられる場合、 一般的な見解
あ 1 バツ + B 1 y + C 1 = 0,
あ 2 バツ + B 2 y + C 2 = 0, (6)
それらの間の角度は次の式で決まります。
4. 2 つのラインが平行になる条件:
a) 直線が角度係数を伴う方程式 (4) で与えられる場合、それらの平行度の必要十分条件は角度係数が等しいことです。
k 1 = k 2 . (8)
b) 線分が一般形式 (6) の方程式で与えられる場合、それらの平行度の必要十分条件は、方程式内の対応する現在の座標の係数が比例することです。
5. 2 つの直線が垂直になる条件:
a) 直線が角度係数を伴う式 (4) で与えられる場合、直線の垂直性の必要十分条件は、角度係数の大きさが逆で符号が逆であることです。
この条件は次の形式でも書くことができます。
k 1 k 2 = -1. (11)
b) 直線の方程式が一般形式 (6) で与えられる場合、直線の垂直性 (必要かつ十分) の条件は次の等式を満たすことです。
あ 1 あ 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. 2 本の直線の交点の座標は、連立方程式 (6) を解くことによって求められます。 線 (6) は次の場合にのみ交差します。
1. 点 M を通る直線の方程式を書きます。一方は指定された直線 l に平行で、もう一方は垂直です。
簡単に説明します。 2 本の直線間の角度は、それらの方向ベクトル間の角度に等しい。 したがって、方向ベクトル a = (x 1 ; y 1 ; z 1) および b = (x 2 ; y 2 ; z 2) の座標を見つけることができれば、角度を見つけることができます。 より正確には、次の式による角度の余弦です。
具体的な例を使用して、この式がどのように機能するかを見てみましょう。
タスク。 立方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 では、点 E と F がマークされています。これは、それぞれ辺 A 1 B 1 と B 1 C 1 の中点です。 線AEと線BFの間の角度を見つけます。
立方体のエッジが指定されていないため、AB = 1 と設定します。標準座標系を導入します。原点は点 A にあり、x、y、z 軸はそれぞれ AB、AD、AA 1 に沿って方向付けられます。 単位セグメントは AB = 1 に等しいです。次に、ラインの方向ベクトルの座標を見つけてみましょう。
ベクトルAEの座標を求めてみましょう。 このためには、点 A = (0; 0; 0) および E = (0.5; 0; 1) が必要です。 点 E は線分 A 1 B 1 の中央であるため、その座標は端の座標の算術平均に等しくなります。 なお、ベクトル AE の原点は座標の原点と一致しているため、AE = (0.5; 0; 1) となります。
次に BF ベクトルを見てみましょう。 同様に、点 B = (1; 0; 0) および F = (1; 0.5; 1) を分析します。 F はセグメント B 1 C 1 の中央です。 我々は持っています：
BF = (1 − 1; 0.5 − 0; 1 − 0) = (0; 0.5; 1)。
これで方向ベクトルの準備が整いました。 直線間の角度の余弦は、方向ベクトル間の角度の余弦であるため、次のようになります。
タスク。 正三角柱 ABCA 1 B 1 C 1 では、すべての辺が 1 に等しい点 D と E がマークされます。点 D と E は、それぞれ辺 A 1 B 1 と B 1 C 1 の中点です。 線分 AD と線分 BE の間の角度を求めます。
標準の座標系を導入しましょう。原点は点 A にあり、x 軸は AB に沿って方向付けられ、z は AA 1 に沿って方向付けられます。 OXY 平面が ABC 平面と一致するように y 軸を向けましょう。 単位セグメントは AB = 1 に等しいです。必要なラインの方向ベクトルの座標を見つけてみましょう。
まず、ベクトル AD の座標を求めます。 A = (0; 0; 0) および D = (0.5; 0; 1) という点を考えてみましょう。 D - セグメント A 1 B 1 の中央。 ベクトル AD の先頭は座標の原点と一致するため、AD = (0.5; 0; 1) が得られます。
ここでベクトル BE の座標を求めてみましょう。 点 B = (1; 0; 0) は計算が簡単です。 点 E (セグメント C 1 B 1 の中央) では、少し複雑になります。 我々は持っています：
角度の余弦を見つけることは残ります。
タスク。 正六角柱 ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 では、すべての辺が 1 に等しく、点 K と L がマークされます。それぞれ、辺 A 1 B 1 と B 1 C 1 の中点です。 。 線分 AK と線分 BL の間の角度を求めます。
プリズムの標準座標系を導入しましょう。座標の原点を下底の中心に置き、x 軸は FC に沿って方向付けられ、y 軸はセグメント AB と DE の中点を通るように方向付けられます。 z 軸は鉛直上向きです。 単位セグメントは再び AB = 1 に等しくなります。注目する点の座標を書き留めてみましょう。
点 K と L はそれぞれセグメント A 1 B 1 と B 1 C 1 の中点であるため、それらの座標は算術平均によって求められます。 点がわかったら、方向ベクトル AK と BL の座標を見つけます。
次に、角度の余弦を求めてみましょう。
タスク。 すべての辺が 1 に等しい正四角錐 SABCD では、辺 SB と辺 SC の中点である点 E と F がマークされます。 線AEと線BFの間の角度を見つけます。
標準の座標系を導入しましょう。原点は点 A にあり、x 軸と y 軸はそれぞれ AB と AD に沿って方向付けられ、z 軸は垂直上向きに方向付けられます。 単位セグメントは AB = 1 に等しい。
点 E と点 F はそれぞれ線分 SB と線分 SC の中点であるため、それらの座標は両端の算術平均として求められます。 興味のある点の座標を書き留めてみましょう。
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
点がわかったら、方向ベクトル AE と BF の座標を見つけます。
点 A が原点であるため、ベクトル AE の座標は点 E の座標と一致します。 角度の余弦を見つけることは残ります。
このマテリアルは、交差する 2 つの線の間の角度などの概念に特化しています。 最初の段落では、それが何であるかを説明し、図で示します。 次に、この角度のサイン、コサイン、および角度自体を見つける方法を見ていきます (平面と 3 次元空間の場合を別々に検討します)。必要な公式を示し、例で正確に示します。実際にどのように使用されるか。
Yandex.RTB R-A-339285-1
2 本の線が交差するときに形成される角度を理解するには、角度、直角度、交点の定義そのものを思い出す必要があります。
定義 1
2 つの直線に 1 つの共通点がある場合、その 2 つの直線を交差していると呼びます。 この点を 2 つの直線の交点と呼びます。
各直線は交点によって光線に分割されます。 両方の直線は 4 つの角度を形成し、そのうち 2 つは垂直で、2 つは隣接しています。 それらの 1 つの尺度がわかれば、残りのものを決定できます。
角度の 1 つが α に等しいことがわかっているとします。 この場合、それに対して垂直な角度もαに等しくなります。 残りの角度を見つけるには、差 180 ° - α を計算する必要があります。 α が 90 度に等しい場合、すべての角度は直角になります。 直角に交差する線は垂直と呼ばれます (垂直の概念については別の記事で説明します)。
写真を見てください。
主な定義の定式化に進みましょう。
定義 2
2 つの交差する線によって形成される角度は、これら 2 つの線を形成する 4 つの角度のうち小さい方の尺度です。
定義から重要な結論を導き出す必要があります: この場合の角度の大きさは、区間 (0, 90] 内の任意の実数で表されます。線が垂直の場合、線間の角度はいずれの場合も次のようになります)。 90度に等しい。
交差する 2 つの線の間の角度を求める機能は、多くの実際的な問題を解決するのに役立ちます。 解決方法はいくつかのオプションから選択できます。
まず、幾何学的な方法を採用できます。 補角について何かわかっていれば、等しいまたは類似の図形の特性を使用して、補角を必要な角度に関連付けることができます。 たとえば、三角形の辺がわかっていて、これらの辺が位置する線の間の角度を計算する必要がある場合、コサイン定理が解決策に適しています。 条件に直角三角形がある場合、計算のために角度のサイン、コサイン、タンジェントも知る必要があります。
座標法は、この種の問題を解決するのにも非常に便利です。 正しい使い方を説明しましょう。
2 本の直線が与えられる直交 (デカルト) 座標系 O xy があります。 それらを文字 a と b で表します。 直線はいくつかの方程式を使用して説明できます。 元の線には交点 M があります。 これらの直線間に必要な角度 (α とします) を決定するにはどうすればよいでしょうか?
与えられた条件下で角度を求める基本原理を定式化することから始めましょう。
直線の概念は、方向ベクトルや法線ベクトルなどの概念と密接に関係していることがわかっています。 特定の直線の方程式がある場合、そこからこれらのベクトルの座標を取得できます。 交差する 2 本の線に対してこれを一度に行うことができます。
2 つの交差する線によって定められる角度は、次の方法で求めることができます。
- 方向ベクトル間の角度。
- 法線ベクトル間の角度。
- 一方の線の法線ベクトルともう一方の線の方向ベクトルの間の角度。
次に、それぞれの方法を個別に見てみましょう。
1. 方向ベクトル a → = (a x, a y) を持つ直線 a と、方向ベクトル b → (b x, b y) を持つ直線 b があると仮定します。 次に、交点から 2 つのベクトル a → と b → をプロットしてみましょう。 この後、それぞれが独自の直線上に配置されることがわかります。 そうすると、選択肢は 4 つあります 相対位置。 図を参照してください:
2 つのベクトル間の角度が鈍角でない場合、それが交差する線 a と b の間に必要な角度になります。 鈍角の場合、目的の角度は角度 a →、b → ^ に隣接する角度と等しくなります。 したがって、 a → 、 b → ^ ≤ 90 ° の場合は α = a → 、 b → ^ 、 a → 、 b → ^ > 90 ° の場合は α = 180 ° - a → 、 b → ^ となります。
等しい角度の余弦は等しいという事実に基づいて、結果の等式を次のように書き直すことができます。 cos α = cos a →, b → ^、a → の場合、b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →、b → ^ = - cos a →、b → ^、a →、b → ^ > 90 °の場合。
2 番目のケースでは、換算式が使用されました。 したがって、
cos α cos a → 、 b → ^ 、 cos a → 、 b → ^ ≥ 0 - cos a → 、 b → ^ 、 cos a → 、 b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
最後の式を言葉で書いてみましょう。
定義 3
2 つの交差する直線によって形成される角度の余弦は、その方向ベクトルの間の角度の余弦の係数に等しくなります。
2 つのベクトル a → = (a x , a y) と b → = (b x , b y) の間の角度の余弦を求める式の一般的な形式は次のようになります。
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
そこから、指定された 2 つの直線の間の角度の余弦の公式を導き出すことができます。
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
次に、角度自体は次の式を使用して求めることができます。
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
ここで、 a → = (a x , a y) および b → = (b x , b y) は、指定されたラインの方向ベクトルです。
問題を解決する例を示しましょう。
例1
平面上の直交座標系において、２本の交線ａ、ｂが与えられる。 これらはパラメトリック方程式 x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R および x 5 = y - 6 - 3 で記述できます。 これらの線の間の角度を計算します。
解決
条件にはパラメトリック方程式があります。これは、このラインの方向ベクトルの座標をすぐに書き留めることができることを意味します。 これを行うには、パラメータの係数の値を取得する必要があります。 直線 x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R の方向ベクトルは a → = (4, 1) になります。
2 行目は、正準方程式 x 5 = y - 6 - 3 を使用して記述されます。 ここで、分母から座標を取得できます。 したがって、この直線の方向ベクトルは b → = (5, - 3) になります。
次に、角度を求める作業に直接進みます。 これを行うには、2 つのベクトルの既存の座標を上記の式 α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 に代入するだけです。 以下の結果が得られます。
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
答え: これらの直線は 45 度の角度を形成します。
法線ベクトル間の角度を求めることで、同様の問題を解決できます。 法線ベクトル n a → = (n a x , n a y) を持つ直線 a と、法線ベクトル n b → = (n b x , n b y) を持つ直線 b がある場合、それらの間の角度は、n a → と n a → の間の角度に等しくなります。 n b → または n a →、n b → ^ に隣接する角度。 この方法を次の図に示します。
法線ベクトルの座標を使用して、交差する線の間の角度の余弦とこの角度自体を計算する式は次のようになります。
cos α = cos na a → , n b → ^ = n a x n b x + na a y + n b y n a x 2 + na a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n by y 2
ここで、n a → および n b → は、指定された 2 つの直線の法線ベクトルを示します。
例 2
直交座標系では、方程式 3 x + 5 y - 30 = 0 および x + 4 y - 17 = 0 を使用して 2 つの直線が与えられます。 それらの間の角度のサインとコサイン、およびこの角度自体の大きさを求めます。
解決
元の線は、A x + B y + C = 0 の形式の法線方程式を使用して指定されます。 法線ベクトルを n → = (A, B) と表します。 1 つのラインの最初の法線ベクトルの座標を見つけて、 n a → = (3, 5) と書きましょう。 2 行目 x + 4 y - 17 = 0 の場合、法線ベクトルの座標は n b → = (1, 4) になります。 次に、取得した値を数式に追加して合計を計算しましょう。
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
角度の余弦がわかっている場合は、基本的な三角関数恒等式を使用してその正弦を計算できます。 直線がなす角度 α は鈍角ではないので、sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34 となります。
この場合、α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 となります。
答え: cos α = 23 2 34、sin α = 7 2 34、α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
最後のケースを分析しましょう。一方の直線の方向ベクトルともう一方の直線の法線ベクトルの座標がわかっている場合に、直線間の角度を求めます。
直線 a の方向ベクトル a → = (a x , a y) 、直線 b の法線ベクトル n b → = (n b x , n b y) があるとします。 これらのベクトルを交点とは別に設定し、それらの相対位置に関するすべてのオプションを考慮する必要があります。 写真を参照してください:
与えられたベクトル間の角度が 90 度以下の場合、a と b の間の角度を直角に補うことがわかります。
a → 、n b → ^ = 90 ° - α (a → 、n b → ^ ≤ 90 ° の場合)。
90 度未満の場合は、次のようになります。
a → 、n b → ^ > 90 °、その後 a → 、n b → ^ = 90 ° + α
等しい角度の余弦が等しいという規則を使用して、次のように書きます。
cos a → 、n b → ^ = cos (90 ° - α) = a → 、n b → ^ ≤ 90 ° の sin α。
cos a → 、n b → ^ = cos 90 ° + α = -sin α (a → 、n b → ^ > 90 °)。
したがって、
sin α = cos a → 、 n b → ^ 、 a → 、 n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → 、 n b → ^ 、 a → 、 n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → 、 n b → ^ 、 a → 、 n b → ^ > 0 - cos a → 、 n b → ^ 、 a → 、 n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
結論を導き出しましょう。
定義 4
平面上で交差する 2 本の線の間の角度の正弦を求めるには、最初の線の方向ベクトルと 2 番目の線の法線ベクトルの間の角度の余弦の係数を計算する必要があります。
書き留めてみましょう 必要な数式。 角度の正弦を求める：
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n by y 2
角度そのものを求める：
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n by y 2
ここで、 a → は最初の線の方向ベクトル、n b → は 2 番目の線の法線ベクトルです。
例 3
2 つの交差する線は、方程式 x - 5 = y - 6 3 および x + 4 y - 17 = 0 で与えられます。 交差角を求めます。
解決
与えられた方程式からガイドと法線ベクトルの座標を取得します。 a → = (- 5, 3) および n → b = (1, 4) であることがわかります。 式 α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 を使用して、次のように計算します。
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
前の問題から方程式を取得し、まったく同じ結果が得られましたが、方法が異なることに注意してください。
答え：α = arc sin 7 2 34
与えられた直線の角度係数を使用して、目的の角度を見つける別の方法を紹介しましょう。
方程式 y = k 1 x + b 1 を使用して直交座標系で定義された線 a と、y = k 2 x + b 2 として定義された線 b があります。 これらは傾きのある直線の方程式です。 交差角度を見つけるには、次の公式を使用します。
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1。ここで、k 1 と k 2 は指定された直線の傾きです。 この記録を取得するには、法線ベクトルの座標を通じて角度を決定する公式が使用されました。
例 4
平面内で交差する 2 本の直線があり、方程式 y = - 3 5 x + 6 および y = - 1 4 x + 17 4 で与えられます。 交差角度の値を計算します。
解決
直線の角度係数は、k 1 = - 3 5 および k 2 = - 1 4 に等しくなります。 これらを式 α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 に加えて計算してみましょう。
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
答え：α = arc cos 23 2 34
この段落の結論として、ここで示した角度を求める公式は暗記する必要はないことに注意してください。 これを行うには、指定されたラインのガイドおよび/または法線ベクトルの座標を知っていて、次のようにそれらを決定できれば十分です。 他の種類方程式。 ただし、角度の余弦を計算する公式を覚えておくか、書き留めておくことをお勧めします。
空間内の交差する線の間の角度を計算する方法
このような角度の計算は、方向ベクトルの座標を計算し、これらのベクトルによって形成される角度の大きさを決定することに要約できます。 このような例では、前に説明したのと同じ推論が使用されます。
3 次元空間に直交座標系があると仮定しましょう。 これには、交点 M を持つ 2 つの直線 a と b が含まれています。 方向ベクトルの座標を計算するには、これらの直線の方程式を知る必要があります。 方向ベクトルを a → = (a x , a y , a z) および b → = (b x , b y , b z) と表します。 それらの間の角度の余弦を計算するには、次の式を使用します。
cos α = cos a → 、b → ^ = a → 、b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
角度そのものを求めるには、次の公式が必要です。
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
例5
方程式 x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 を使用して 3 次元空間に定義された線があります。 O z 軸と交差することが知られています。 切片角とその角度の余弦を計算します。
解決
計算する必要がある角度を文字 α で表します。 最初の直線の方向ベクトルの座標を書き留めてみましょう – a → = (1, - 3, - 2) 。 適用軸については、座標ベクトル k → = (0, 0, 1) をガイドとして使用できます。 必要なデータを受け取ったので、それを目的の式に追加できます。
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
その結果、必要な角度は a r c cos 1 2 = 45 ° であることがわかりました。
答え： cos α = 1 2、α = 45 °。
テキスト内のエラーに気付いた場合は、それを強調表示して Ctrl+Enter を押してください。