脚と斜辺の関係。 鋭角のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント
角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何かは、直角三角形を理解するのに役立ちます。
直角三角形の辺を何といいますか? そう、斜辺と脚です。斜辺は反対側です。 直角(この例では、これは側面 \(AC\) です); 脚は残りの 2 つの辺 \(AB\) と \(BC\) (直角に隣接する辺) であり、角度 \(BC\) に対して脚を考慮すると、脚 \(AB\) は次のようになります。隣接する脚、脚 \(BC\) は反対側です。 それでは、角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントとは何ですか?という質問に答えましょう。
角度の正弦– これは、斜辺に対する反対側 (遠い) 脚の比率です。
私たちの三角形では:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
角度の余弦– これは、斜辺に対する隣接する (近い) 脚の比率です。
私たちの三角形では:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
角度の正接– これは、反対側 (遠い側) と隣接する側 (近い側) の比率です。
私たちの三角形では:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
角度の余接– これは、隣接する (近い) 脚と反対側 (遠い) 脚の比率です。
私たちの三角形では:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
これらの定義は必要です 覚えて！ どの脚を何に分割するかを覚えやすくするには、次のことを明確に理解する必要があります。 正接そして コタンジェント脚だけが座っており、斜辺はのみに現れます。 副鼻腔そして 余弦。 そして、一連の連想を思いつくことができます。 たとえば、これは次のとおりです。
コサイン→タッチ→タッチ→隣接。
コタンジェント→タッチ→タッチ→隣接。
まず第一に、三角形の辺の比率は、(同じ角度での) これらの辺の長さに依存しないため、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを覚えておく必要があります。 信じないで？ 次に、画像を見て確認してください。
たとえば、角度 \(\beta \) の余弦を考えてみましょう。 定義により、三角形 \(ABC\) から: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \)ですが、三角形 \(AHI \) から角度 \(\beta \) の余弦を計算できます。 \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \)。 ご覧のとおり、辺の長さは異なりますが、1 つの角度の余弦の値は同じです。 したがって、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値は角度の大きさのみに依存します。
定義を理解したら、次にそれらを統合してください。
下の図に示されている三角形 \(ABC \) について、次のことがわかります。 \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
さて、わかりましたか？ それから、自分で試してみてください。角度 \(\beta \) についても同じことを計算してください。
答え: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
単位（三角関数）円
度やラジアンの概念を理解して、半径が \(1\) に等しい円について考えました。 このようなサークルをこう呼びます シングル。 三角関数を勉強するときにとても役立ちます。 したがって、もう少し詳しく見てみましょう。
ご覧のとおり、この円は次のように構成されています。 デカルト座標系座標 円の半径 1に等しい、円の中心は原点にありますが、動径ベクトルの初期位置は \(x\) 軸の正の方向に沿って固定されます (この例では、これは半径 \(AB\) です)。
円上の各点は、 \(x\) 軸に沿った座標と \(y\) 軸に沿った座標という 2 つの数値に対応します。 これらの座標番号は何ですか? そして一般的に、彼らは目の前の話題と何の関係があるのでしょうか？ これを行うには、考慮された直角三角形について覚えておく必要があります。 上の図では、2 つの完全な直角三角形が見えます。 三角形 \(ACG\) について考えてみましょう。 \(CG\) は \(x\) 軸に垂直であるため、長方形になります。
三角形 \(ACG \) から \(\cos \ \alpha \) は何ですか? それは正しい \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \)。 さらに、 \(AC\) は半径であることがわかっています。 単位円、つまり \(AC=1\) を意味します。 この値をコサインの式に代入してみましょう。 何が起こるかというと、次のとおりです。
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
三角形 \(ACG \) からの \(\sin \ \alpha \) は何に等しいでしょうか? もちろん、 \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)！ 半径 \(AC\) の値をこの式に代入すると、次のようになります。
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
では、その円に属する点 \(C\) がどの座標にあるかわかるでしょうか。 まあ、まさか？ \(\cos \ \alpha \) と \(\sin \alpha \) が単なる数字だと気づいたらどうなるでしょうか? \(\cos \alpha \) はどの座標に対応しますか? もちろん、座標 \(x\) です。 \(\sin \alpha \) はどの座標に対応するのでしょうか? そう、\(y\) の座標です。 それでポイントは \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
では、\(tg \alpha \) と \(ctg \alpha \) は何に等しいのでしょうか? そうです、タンジェントとコタンジェントの対応する定義を使用して、それを取得しましょう \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \)、A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
角度がもっと大きかったらどうなるでしょうか？ たとえば、この図のように:
この例では何が変わったのでしょうか? それを理解しましょう。 これを行うには、もう一度直角三角形に戻りましょう。 直角三角形 \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : 角度 (角度 \(\beta \) に隣接するもの) を考えてみましょう。 角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの値は何ですか? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? そうです、三角関数の対応する定義に従います。
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(配列) \)
ご覧のとおり、角度のサインの値は依然として座標 \(y\) に対応しています。 角度の余弦の値 - 座標 \(x\) ; そして、対応する比率に対するタンジェントとコタンジェントの値。 したがって、これらの関係は動径ベクトルのあらゆる回転に適用されます。
動径ベクトルの初期位置は \(x\) 軸の正の方向に沿っていることはすでに述べました。 ここまではこのベクトルを反時計回りに回転させてきましたが、時計回りに回転させたらどうなるでしょうか? 特別なことは何もありません。特定の値の角度も得られますが、それはマイナスになるだけです。 したがって、動径ベクトルを反時計回りに回転すると、次のようになります。 正の角度、時計回りに回転すると – ネガティブ。
したがって、円の周りの動径ベクトルの全回転は \(360()^\circ \) または \(2\pi \) であることがわかります。 半径ベクトルを \(390()^\circ \) または \(-1140()^\circ \) だけ回転させることは可能ですか? もちろん、できますよ！ 最初のケースでは、 \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)したがって、動径ベクトルは 1 回転し、 \(30()^\circ \) または \(\dfrac(\pi )(6) \) の位置で停止します。
2 番目のケースでは、 \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \)つまり、動径ベクトルは 3 回転し、 \(-60()^\circ \) または \(-\dfrac(\pi )(3) \) の位置で停止します。
したがって、上記の例から、角度は \(360()^\circ \cdot m \) または \(2\pi \cdot m \) (\(m \) は任意の整数) だけ異なると結論付けることができます。動径ベクトルの同じ位置に対応します。
下の図は、角度 \(\beta =-60()^\circ \) を示しています。 同じ画像がコーナーに対応します \(-420()^\circ 、-780()^\circ 、\ 300()^\circ 、660()^\circ \)等 このリストは無期限に継続できます。 これらすべての角度は、次の一般式で表すことができます。 \(\beta +360()^\circ \cdot m\)または \(\beta +2\pi \cdot m \) (\(m \) は任意の整数)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
ここで、基本的な三角関数の定義を理解し、単位円を使用して、値が何であるかを答えてみてください。
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
以下に単位円を示します。
何か問題がありますか? それからそれを理解しましょう。 したがって、次のことがわかります。
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(配列)\)
ここから、特定の角度の尺度に対応する点の座標を決定します。 さて、順番に始めましょう：のコーナー \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)は座標 \(\left(0;1 \right) \) の点に対応するため、次のようになります。
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- 存在しない;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
さらに、同じロジックに従うと、次のことがわかります。 \(180()^\circ 、\ 270()^\circ 、\ 360()^\circ 、\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )座標を持つ点に対応する \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \右) \)、 それぞれ。 これがわかれば、対応する点での三角関数の値を求めるのは簡単です。 まずは自分で試してみて、それから答えを確認してください。
答え:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- 存在しない
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- 存在しない
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \360()^\circ =0\)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- 存在しない
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- 存在しない
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
したがって、次の表を作成できます。
これらの値をすべて覚えておく必要はありません。 単位円上の点の座標と三角関数の値の対応を覚えておくだけで十分です。
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(覚えているか、表示できるようにする必要があります!! \) !}
しかし、 と の角度の三角関数の値は \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)以下の表に示すとおり、次のことを覚えておく必要があります。
怖がらないでください。対応する値の非常に単純な記憶の一例を示します。
この方法を使用するには、角度の 3 つの尺度すべての正弦値を覚えておくことが重要です ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\))、および \(30()^\circ \) の角度の正接の値。 これらの \(4\) の値がわかれば、テーブル全体を復元するのは非常に簡単です。コサイン値は矢印に従って転送されます。
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\\end(配列)\)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)、これを知っていると、次の値を復元できます。 \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \)。 分子「\(1 \)」は \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) に対応し、分母「\(\sqrt(\text(3)) \)」はに対応します。 \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . コタンジェント値は、図に示されている矢印に従って転送されます。 これを理解し、矢印の付いた図を覚えていれば、表の \(4\) の値だけを覚えておけば十分です。
円上の点の座標
円の中心の座標、半径、回転角度がわかっていれば、円上の点(その座標)を見つけることは可能でしょうか? もちろん、できますよ！ 出してみましょう 一般式点の座標を見つけます。 たとえば、これは私たちの目の前にある円です。
私たちにはその点が与えられています \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- 円の中心。 円の半径は \(1.5\) です。 点 \(O\) を \(\delta \) 度回転して得られる点 \(P\) の座標を求める必要があります。
図からわかるように、点 \(P\) の座標 \(x\) は、線分 \(TP=UQ=UK+KQ\) の長さに対応します。 線分 \(UK\) の長さは円の中心の座標 \(x\) に対応します。つまり、 \(3\) に等しくなります。 セグメント \(KQ\) の長さは、コサインの定義を使用して表現できます。
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
次に、点 \(P\) の座標が得られます。 \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
同じロジックを使用して、点 \(P\) の y 座標の値を求めます。 したがって、
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
それで、 一般的な見解点の座標は次の式で決定されます。
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(配列) \)、 どこ
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - 円の中心の座標、
\(r\) - 円の半径、
\(\delta \) - ベクトル半径の回転角度。
ご覧のとおり、検討している単位円の場合、中心の座標が 0 に等しく、半径が 1 に等しいため、これらの式は大幅に短縮されます。
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
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三角法は、三角関数と幾何学における三角関数の使用を研究する数学科学の分野です。 三角法の発展は古代ギリシャに始まりました。 中世には、中東とインドの科学者がこの科学の発展に重要な貢献をしました。
この記事では、三角法の基本的な概念と定義について説明します。 基本的な三角関数、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義について説明します。 それらの意味は、幾何学の文脈で説明され、図示されます。
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当初、角度を引数とする三角関数の定義は直角三角形の辺の比で表現されていました。
三角関数の定義
角度のサイン (sin α) は、この角度の反対側の脚と斜辺の比です。
角度の余弦 (cos α) - 斜辺に対する隣接する脚の比率。
角度正接 (t g α) - 隣接する側に対する反対側の比。
角度コタンジェント (ct g α) - 隣接する辺と反対側の辺の比。
これらの定義は直角三角形の鋭角に対して与えられています。
例を挙げてみましょう。
直角 C を持つ三角形 ABC では、角度 A の正弦は脚 BC と斜辺 AB の比に等しくなります。
サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義により、三角形の辺の既知の長さからこれらの関数の値を計算できます。
覚えておくことが重要です!
サインとコサインの値の範囲は-1から1です。つまり、サインとコサインは-1から1の値を取ります。タンジェントとコタンジェントの値の範囲は数直線全体であり、つまり、これらの関数は任意の値を取ることができます。
上記の定義は鋭角に適用されます。 三角法では、回転角の概念が導入されます。回転角の値は、鋭角とは異なり、0 ～ 90 度に限定されません。度またはラジアン単位の回転角は、- ∞ から + ∞ までの実数で表されます。 。
この文脈では、任意の大きさの角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを定義できます。 デカルト座標系の原点を中心とする単位円を想像してみましょう。
座標 (1, 0) の初期点 A は、単位円の中心の周りを一定の角度 α だけ回転し、点 A 1 に進みます。 定義は、点 A 1 (x, y) の座標に関して与えられます。
回転角のサイン(sin)
回転角αの正弦は点Ａ１（ｘ，ｙ）の縦座標である。 sin α = y
回転角の余弦(cos)
回転角αの余弦は、点Ａ １ （ｘ、ｙ）の横座標である。 cosα = x
回転角の正接(tg)
回転角αの正接は、点Ａ １ （ｘ、ｙ）の縦座標とその横座標との比である。 t g α = y x
回転角のコタンジェント(ctg)
回転角αの余接は、点Ａ １ （ｘ、ｙ）の横座標とその縦座標との比である。 c t g α = xy
サインとコサインはあらゆる回転角度に対して定義されます。 回転後の点の横座標と縦座標は任意の角度で決定できるため、これは論理的です。 接線と余接では状況が異なります。 回転後の点が横軸ゼロ (0, 1) および (0, - 1) の点に移動する場合、接線は定義されません。 このような場合、タンジェント t g α = y x の式は、ゼロによる除算を含むため、単純に意味がありません。 コタンジェントでも状況は同様です。 違いは、点の縦座標がゼロになる場合にはコタンジェントが定義されないことです。
覚えておくことが重要です!
サインとコサインは任意の角度 α に対して定義されます。
接線は、α = 90° + 180° k、k ∈ Z (α = π 2 + π k、k ∈ Z) を除くすべての角度に対して定義されます。
コタンジェントは、α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) を除くすべての角度に対して定義されます。
実践例を解くときは「回転角αのサイン」とは言わないでください。 「回転角度」という言葉は単純に省略されており、何が議論されているかが文脈からすでに明らかであることを示唆しています。
数字
回転角度ではなく、数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義についてはどうでしょうか?
数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント
数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント tは、それぞれサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントに等しい数値です。 tラジアン。
たとえば、数値 10 π のサイン 正弦に等しい回転角は10πrad。
数値のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントを決定する別のアプローチがあります。 もう少し詳しく見てみましょう。
任意の実数 t単位円上の点は、直交デカルト座標系の原点の中心に関連付けられます。 サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは、この点の座標によって決定されます。
円上の始点は、座標 (1, 0) の点 A です。
正数 t
負の数 tは、開始点が円の周りを反時計回りに移動してパス t を通過する場合に到達する点に対応します。
数値と円上の点の関係が確立されたので、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの定義に進みます。
t のサイン (sin)
数値の正弦 t- 数値に対応する単位円上の点の縦座標 t. sin t = y
t の余弦 (cos)
数値の余弦 t- 数値に対応する単位円の点の横座標 t. コスト = x
t の正接 (tg)
数値の正接 t- 数値に対応する単位円上の点の縦座標と横座標の比 t. t g t = y x = sin t コスト t
最新の定義は、この段落の冒頭に示した定義に従っており、矛盾しません。 数字に対応する円上の点 t、開始点が角度を変えた後に向かう点と一致します。 tラジアン。
角度および数値引数の三角関数
角度 α の各値は、この角度のサインおよびコサインの特定の値に対応します。 α = 90 ° + 180 ° k 以外のすべての角度 α と同様に、k ∈ Z (α = π 2 + π k、k ∈ Z) は特定の正接値に対応します。 上で述べたように、コタンジェントは、α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) を除くすべての α に対して定義されます。
sin α、cos α、t g α、c t g α は角度アルファの関数、または角度引数の関数であると言えます。
同様に、サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントについても数値引数の関数として説明できます。 あらゆる実数 t数値のサインまたはコサインの特定の値に対応します t。 π 2 + π · k、k ∈ Z 以外のすべての数値は正接値に対応します。 同様に、コタンジェントは、π · k、k ∈ Z を除くすべての数値に対して定義されます。
三角法の基本関数
サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは基本的な三角関数です。
通常、三角関数のどの引数 (角度引数または数値引数) を扱っているかは、文脈から明らかです。
最初に示した定義と、0 ～ 90 度の範囲にあるアルファ角度に戻りましょう。 サイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントの三角関数の定義は、直角三角形のアスペクト比によって与えられる幾何学的な定義と完全に一致しています。 それを見せてみましょう。
直交デカルト座標系の中心を持つ単位円を考えてみましょう。 始点 A (1, 0) を最大 90 度回転し、その結果の点 A 1 (x, y) から横軸に垂線を引きます。 受け取った中で 直角三角形角度Ａ １ Ｏ Ｈ は回転角αに等しく、脚の長さＯ Ｈ は点Ａ １ （ｘ、ｙ）の横座標に等しい。 角度の反対側の足の長さは点 A 1 (x, y) の縦座標に等しく、斜辺の長さは単位円の半径であるため 1 に等しくなります。
幾何学の定義によれば、角度αの正弦は斜辺の反対側の比に等しい。
sin α = A 1 HO A 1 = y 1 = y
これは、アスペクト比を通じて直角三角形の鋭角の正弦を決定することは、回転角 α の正弦を決定することと等価であり、α は 0 ～ 90 度の範囲にあることを意味します。
同様に、コサイン、タンジェント、コタンジェントについても定義の対応を示すことができます。
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説明書
三角形の角の 1 つが 90 度の場合、その三角形は直角と呼ばれます。 2 本の脚と 1 つの斜辺で構成されます。 斜辺は、この三角形の最大の辺です。 それは直角に対して横たわっています。 したがって、脚はその小さい側と呼ばれます。 それらは互いに等しいことも、異なるサイズにすることもできます。 脚の平等とは、直角三角形を扱うことです。 その美しさは、直角三角形と二等辺三角形の 2 つの図形を組み合わせていることです。 脚が等しくない場合、三角形は任意であり、基本法則に従います。つまり、角度が大きいほど、反対側にある三角形の回転が大きくなります。
および角度によって斜辺を見つける方法はいくつかあります。 ただし、それらのいずれかを使用する前に、どの角度が既知であるかを判断する必要があります。 角度とそれに隣接する辺が与えられた場合、角度の余弦を使用して斜辺を見つけるのが簡単です。 直角三角形の鋭角の余弦 (cos a) は、斜辺に対する隣接する脚の比です。 したがって、斜辺 (c) は、角度 a の余弦に対する隣接する脚 (b) の比 (cos a) に等しくなります。 これは次のように書くことができます: cos a=b/c => c=b/cos a。
角度と反対の足が与えられたら、仕事をする必要があります。 直角三角形の鋭角の正弦 (sin a) は、対辺 (a) と斜辺 (c) の比です。 ここでの原理は前の例と同じですが、コサイン関数の代わりにサインが取られる点が異なります。 sin a=a/c => c=a/sin a。
などの三角関数を使用することもできます。 ただし、目的の値を見つけるのは少し複雑になります。 直角三角形の鋭角の接線 (tg a) は、反対側の脚 (a) と隣接する脚 (b) の比です。 両方の脚を見つけたら、ピタゴラスの定理 (斜辺の 2 乗は脚の 2 乗の和に等しい) を適用すると、大きい方が見つかります。
注記
ピタゴラスの定理を扱うときは、次数を扱っていることを忘れないでください。 脚の二乗の合計を見つけたら、最終的な答えを得るために平方根を取る必要があります。
出典:
- 脚と斜辺を見つける方法
斜辺は、直角三角形の 90 度の角度の反対側の辺です。 その長さを計算するには、脚の 1 つの長さと三角形の鋭角の 1 つのサイズを知るだけで十分です。
説明書
既知の鋭角の長方形が与えられた場合、斜辺のサイズは、この角度がそれに反対または隣接している場合、脚とこの角度の比率になります。
h = C1(またはC2)/sinα;
h = C1 (または C2)/cosα。
例: 斜辺 AB と C を持つ ABC が与えられるとします。角度 B が 60 度、角度 A が 30 度であるとします。脚 BC の長さは 8 cm です。斜辺 AB の長さが必要です。 これを行うには、上記で提案したいずれかの方法を使用できます。
AB = BC/cos60 = 8 cm。
AB = BC/sin30 = 8 cm。
言葉 " 脚「」はギリシャ語の「垂直」または「鉛直」に由来しており、90度の角を構成する直角三角形の両側がそのように名付けられた理由がこれで説明されています。 いずれかの長さを求めます 脚隣接する角度とその他のパラメータの値がわかっていれば、ov は難しくありません。この場合、3 つの角度すべての値が実際にわかるようになるからです。
説明書
隣接する角度 (β) の値に加えて、2 番目の長さ 脚 a (b)、次に長さ 脚(a) は既知の長さの商として定義できます。 脚既知の角度: a=b/tg(β)。 これは、この三角関数の定義から導き出されます。 定理を使えば正接なしでもできます。 このことから、正弦波に必要な長さは次のようになります。 反対の角度既知の長さとの関係 脚そして既知の角度の正弦に変換します。 希望とは反対の 脚 y の鋭角は、既知の角度を使って 180°-90°-β = 90°-β として表すことができます。これは、三角形のすべての角度の合計が 180° でなければならず、その角度の 1 つが 90° であるためです。 ということで、必要な長さは 脚式 a=sin(90°-β)∗b/sin(β) を使用して計算できます。
隣接角度 (β) の値と斜辺の長さ (c) がわかっている場合、長さは次のようになります。 脚(a) は斜辺の長さと既知の角度の余弦の積として計算できます: a=c∗cos(β)。 これは、三角関数としてのコサインの定義から導き出されます。 ただし、前のステップと同様に、サイン定理を使用して、必要な長さを求めることができます。 脚 a は、90°と既知の角度の間の正弦と、直角の正弦に対する斜辺の長さの比の積に等しくなります。 そして、90°のサインは 1 に等しいので、次のように書くことができます: a=sin(90°-β)∗c。
実用的な計算は、Windows OS に含まれるソフトウェア電卓などを使用して行うことができます。 実行するには、メインメニューの「スタート」ボタンから「実行」を選択し、calc コマンドを入力して「OK」をクリックします。 デフォルトで開くこのプログラムのインターフェイスの最も単純なバージョンでは、三角関数が提供されていないため、起動後、メニューの「表示」セクションをクリックして、「科学」または「エンジニアリング」の行を選択する必要があります（使用されているオペレーティング システムのバージョンによって異なります)。
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「カテート」という言葉はギリシャ語からロシア語に来ました。 正確に翻訳すると、鉛直線、つまり地表に対して垂直な線を意味します。 数学では、脚は直角三角形の直角を形成する辺です。 この角度の反対側を斜辺と呼びます。 「カテート」という用語は建築や溶接技術でも使用されます。
直角三角形DIAを描きます。 その脚に a および b というラベルを付け、その斜辺に c というラベルを付けます。 直角三角形のすべての辺と角度は、それらの間で定義されます。 鋭角の 1 つと対向する脚の斜辺に対する比は、この角度のサインと呼ばれます。 この三角形では、sinCAB=a/c になります。 コサインは、隣接する脚の斜辺に対する比、つまり cosCAB=b/c です。 逆関係はセカントとコセカントと呼ばれます。
この角度の割線は、斜辺を隣接する脚で割ることによって得られます。つまり、secCAB = c/b です。 結果はコサインの逆数です。つまり、式 secCAB=1/cosSAB を使用して表すことができます。
コセカントは斜辺を反対側で割った商に等しく、サインの逆数です。 cosecCAB=1/sinCAB の式を使用して計算できます。
両方の脚は余接によって互いに接続されます。 この場合、接線は辺 a と辺 b、つまり反対側と隣接する辺の比になります。 この関係は、式 tgCAB=a/b で表すことができます。 したがって、逆比はコタンジェントになります: ctgCAB=b/a。
斜辺と両脚のサイズの関係は次のように決定されました。 古代ギリシャのピタゴラス。 人々は今でもこの定理と彼の名前を使用しています。 斜辺の二乗は脚の二乗の和に等しい、つまり c2 = a2 + b2 であることがわかります。 したがって、各脚は次のようになります。 平方根斜辺ともう一方の脚の二乗の差から。 この式は b=√(c2-a2) と書くことができます。
脚の長さは、既知の関係によって表現することもできます。 サインとコサインの定理によれば、脚は斜辺とこれらの関数のいずれかの積に等しくなります。 and または余接として表すことができます。 脚 a は、たとえば、式 a = b*tan CAB を使用して求めることができます。 まったく同じ方法で、指定された接線 または に応じて 2 番目の脚が決定されます。
「カテート」という用語は建築でも使用されます。 それはイオニアの首都に適用され、その背中の中央を通って鉛直になります。 つまり、この場合、この項は特定の直線に対して垂直になります。
溶接技術には「隅肉溶接脚」があります。 他の場合と同様、これが最短距離です。 ここ 私たちが話しているのは溶接される部品の 1 つと、もう 1 つの部品の表面にある継ぎ目の境界との間のギャップについて。
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出典:
- 2019年の脚と斜辺は何ですか
斜辺の反対側の比はと呼ばれます 鋭角の洞直角三角形。
\sin \alpha = \frac(a)(c)
直角三角形の鋭角の余弦
隣接する脚と斜辺の比は次のように呼ばれます。 鋭角の余弦直角三角形。
\cos \alpha = \frac(b)(c)
直角三角形の鋭角の接線
隣り合う辺に対する反対側の辺の比率を次のようにいいます。 鋭角の接線直角三角形。
tg \alpha = \frac(a)(b)
直角三角形の鋭角の余接
隣接する辺と反対側の辺の比は次のように呼ばれます。 鋭角の余接直角三角形。
ctg \alpha = \frac(b)(a)
任意の角度の正弦
角度 \alpha が対応する単位円上の点の縦座標を といいます。 任意の角度の正弦回転 \alpha 。
\sin \alpha=y
任意の角度の余弦
角度 \alpha が対応する単位円上の点の横座標を といいます。 任意の角度の余弦回転 \alpha 。
\cos \alpha=x
任意の角度の接線
任意の回転角 \alpha のサインとそのコサインの比は次のように呼ばれます。 任意の角度の接線回転 \alpha 。
タン \アルファ = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
任意の角度の余接
任意の回転角 \alpha の余弦とその正弦の比は次のように呼ばれます。 任意の角度の余接回転 \alpha 。
ctg \alpha =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
任意の角度を求める例
\alpha が角度 AOM であり、M が単位円上の点である場合、
\sin \alpha=y_(M) 、 \cos \alpha=x_(M) 、 tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
たとえば、次の場合 \angle AOM = -\frac(\pi)(4)の場合、点 M の縦座標は以下に等しい -\frac(\sqrt(2))(2)、横軸は等しい \frac(\sqrt(2))(2)だからこそ
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.
コタンジェントのサイン、コサイン、タンジェントの値の表
頻繁に発生する主な角度の値を表に示します。
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right) | 45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right) | 60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right) | 90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right) | 180^(\circ)\left(\pi\right) | 270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right) | 360^(\circ)\left(2\pi\right) | |
| \sin\アルファ | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\アルファ | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\アルファ | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alpha | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
副鼻腔直角三角形の鋭角αは比です 反対脚から斜辺まで。
それは次のように表されます: sin α。
余弦直角三角形の鋭角 α は、隣接する脚と斜辺の比です。
それは次のように指定されます: cos α。
正接鋭角 α は、隣接する辺に対する反対側の辺の比です。
それは次のように指定されます:tg α。
コタンジェント鋭角 α は、隣接する辺と反対側の辺の比です。
これは、ctg α として指定されます。
角度のサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェントは、角度の大きさにのみ依存します。
ルール:
直角三角形の基本的な三角恒等式:
(α - 脚の反対側の鋭角 b そして脚の隣に ある 。 側 と – 斜辺。 β – 2 番目の鋭角)。
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
ある | 1 | |
b | 1 | |
ある | 1 1 | |
罪α |
鋭角が大きくなるにつれて罪αとTanαが増加し、cosαが減少します。
任意の鋭角 α の場合:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
例と説明:
直角三角形ABCを入れてみましょう
AB = 6、
BC = 3、
角度 A = 30°。
角度 A のサインと角度 B のコサインを求めてみましょう。
解決 。
1) まず、角度 B の値を求めます。ここではすべてが簡単です。直角三角形では鋭角の合計が 90 度であるため、角度 B = 60 度になります。
B = 90° – 30° = 60°。
2) sin A を計算してみましょう。sin は斜辺の反対側の比に等しいことがわかっています。 角 A の反対側は辺 BC です。 それで：
紀元前3 1
sin A = -- = - = -
AB62
3) 次に、cos B を計算しましょう。コサインは、隣接する脚と斜辺の比に等しいことがわかっています。 角度 B の場合、隣接する脚は同じサイド BC です。 これは、再び BC を AB で割る必要があることを意味します。つまり、角度 A の正弦を計算するときと同じ操作を実行します。
紀元前3 1
cos B = -- = - = -
AB62
結果は次のとおりです。
sin A = cos B = 1/2。
sin 30° = cos 60° = 1/2。
このことから、直角三角形では、一方の鋭角のサインは他方の鋭角のコサインに等しく、またその逆も成り立ちます。 これはまさに 2 つの式が意味するものです。
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
これをもう一度確認してみましょう。
1) α = 60°とします。 α の値を正弦式に代入すると、次のようになります。
sin (90° – 60°) = cos 60°。
sin 30° = cos 60°。
2) α = 30°とします。 α の値をコサイン公式に代入すると、次のようになります。
cos (90° – 30°) = sin 30°。
cos 60° = sin 30°。
(三角法の詳細については、「代数」セクションを参照してください)