Aula e apresentação sobre o tema: “Gráfico da função raiz quadrada. Domínio de definição e construção do gráfico”

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Gráfico da função raiz quadrada

Pessoal, já nos deparamos com a construção de gráficos de funções, e mais de uma vez. Construímos muitas funções lineares e parábolas. Em geral, é conveniente escrever qualquer função como $y=f(x)$. Esta é uma equação com duas variáveis ​​– para cada valor de x obtemos y. Tendo realizado alguma operação f, mapeamos o conjunto de todos os x possíveis para o conjunto y. Podemos escrever quase qualquer operação matemática como uma função f.

Normalmente, ao traçar funções, usamos uma tabela na qual registramos os valores de x e y. Por exemplo, para a função $y=5x^2$ é conveniente utilizar a seguinte tabela: Marquemos os pontos obtidos em Sistema cartesiano coordenadas e conecte-as cuidadosamente com uma curva suave. Nossa função não é limitada. Somente com esses pontos podemos substituir absolutamente qualquer valor x do domínio de definição dado, ou seja, aqueles x para os quais a expressão faz sentido.

Em uma das lições anteriores estudamos nova operação extraindo a raiz quadrada. Surge a pergunta: podemos, usando esta operação, definir alguma função e construir seu gráfico? Vamos aproveitar visão geral funções $y=f(x)$. Vamos deixar y e x em seus lugares e, em vez de f, introduzimos a operação de raiz quadrada: $y=\sqrt(x)$.
Conhecendo a operação matemática, conseguimos definir a função.

Representando graficamente a função raiz quadrada

Vamos representar graficamente esta função. Com base na definição da raiz quadrada, podemos calculá-la apenas a partir de números não negativos, ou seja, $x≥0$.
Vamos fazer uma tabela:
Vamos marcar nossos pontos no plano de coordenadas.

Tudo o que precisamos fazer é conectar cuidadosamente os pontos resultantes.

Pessoal, prestem atenção: se o gráfico da nossa função for virado de lado, obtemos o ramo esquerdo de uma parábola. Na verdade, se as linhas da tabela de valores forem trocadas (a linha superior pela inferior), obteremos valores apenas para a parábola.

Domínio da função $y=\sqrt(x)$

Usando o gráfico de uma função, é bastante fácil descrever as propriedades.
1. Escopo de definição: $$.
b) $$.

Solução.
Podemos resolver nosso exemplo de duas maneiras. Em cada carta descreveremos diferentes métodos.

A) Voltemos ao gráfico da função construída acima e marquemos os pontos necessários do segmento. Vê-se claramente que para $x=9$ a função é maior que todos os outros valores. Isso significa que atinge seu valor máximo neste ponto. Quando $x=4$ o valor da função é menor que todos os outros pontos, o que significa que este é o menor valor.

$y_(mais)=\sqrt(9)=3$, $y_(mais)=\sqrt(4)=2$.

B) Sabemos que nossa função é crescente. Isso significa que cada valor maior de argumento corresponde a um valor maior de função. Os valores mais altos e mais baixos são alcançados nas extremidades do segmento:

$y_(mais)=\sqrt(11)$, $y_(mais)=\sqrt(2)$.

Exemplo 2.
Resolva a equação:

$\sqrt(x)=12-x$.

Solução.
A maneira mais fácil é construir dois gráficos de uma função e encontrar seu ponto de intersecção.
O ponto de intersecção com as coordenadas $(9;3)$ é claramente visível no gráfico. Isso significa que $x=9$ é a solução da nossa equação.
Resposta: $x=9$.

Pessoal, podemos ter certeza que esse exemplo não tem mais soluções? Uma das funções aumenta, a outra diminui. EM caso Geral, eles não têm pontos comuns ou se cruzam apenas em um.

Exemplo 3.

Construa e leia o gráfico da função:

$\begin (casos) -x, x 9. \end (casos)$

Precisamos construir três gráficos parciais da função, cada um no seu próprio intervalo.

Vamos descrever as propriedades da nossa função:
1. Domínio de definição: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ para $x=0$ e $x=12$; $у>0$ para $хϵ(-∞;12)$; $y 3. A função diminui nos intervalos $(-∞;0)U(9;+∞)$. A função é crescente no intervalo $(0;9)$.
4. A função é contínua em todo o domínio de definição.
5. Não existe valor máximo ou mínimo.
6. Faixa de valores: $(-∞;+∞)$.

Problemas para resolver de forma independente

1. Encontre o maior e o menor valor da função raiz quadrada no segmento:
a) $$;
b) $$.
2. Resolva a equação: $\sqrt(x)=30-x$.
3. Construa e leia o gráfico da função: $\begin (cases) 2-x, x 4. \end (cases)$
4. Construa e leia o gráfico da função: $y=\sqrt(-x)$.

As propriedades básicas da função potência são fornecidas, incluindo fórmulas e propriedades das raízes. São apresentadas a derivada, a integral, a expansão em série de potências e a representação de números complexos de uma função de potência.

Definição

Definição
Função de potência com expoente pé a função f (x) = x p, cujo valor no ponto x é igual ao valor da função exponencial com base x no ponto p.
Além disso, f (0) = 0 p = 0 para p > 0 .

Para valores naturais do expoente, a função potência é o produto de n números iguais a x:
.
É definido para todos os arquivos válidos.

Para o positivo valores racionais expoente, a função de potência é o produto de n raízes de grau m do número x:
.
Para m ímpar, é definido para todo x real. Para m par, a função potência é definida para os não negativos.

Para negativo, a função potência é determinada pela fórmula:
.
Portanto, não está definido no ponto.

Para valores irracionais do expoente p, a função potência é determinada pela fórmula:
,
onde a é um número positivo arbitrário, não igual a um: .
Quando , é definido para .
Quando, a função de potência é definida para.

Continuidade. Uma função de potência é contínua em seu domínio de definição.

Propriedades e fórmulas de funções de potência para x ≥ 0

Aqui consideraremos as propriedades da função potência para não valores negativos argumento x. Conforme dito acima, para determinados valores do expoente p, a função potência também é definida para valores negativos de x. Neste caso, suas propriedades podem ser obtidas a partir das propriedades de , utilizando pares ou ímpares. Esses casos são discutidos e ilustrados detalhadamente na página "".

Uma função de potência, y = x p, com expoente p tem as seguintes propriedades:
(1.1) definido e contínuo no set
no ,
no ;
(1.2) tem muitos significados
no ,
no ;
(1.3) aumenta estritamente com,
diminui estritamente como;
(1.4) no ;
no ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

A prova das propriedades é fornecida na página “Função de potência (prova de continuidade e propriedades)”

Raízes - definição, fórmulas, propriedades

Definição
Raiz de um número x de grau né o número que quando elevado à potência n dá x:
.
Aqui n = 2, 3, 4, ... - número natural, maior que um.

Você também pode dizer que a raiz de um número x de grau n é a raiz (ou seja, solução) da equação
.
Observe que a função é o inverso da função.

Raiz quadrada do número xé uma raiz de grau 2: .

raiz cúbica do número xé uma raiz de grau 3: .

Grau uniforme

Para potências pares n = 2 metros, a raiz é definida para x ≥ 0 . Uma fórmula frequentemente usada é válida tanto para x positivo quanto para negativo:
.
Para raiz quadrada:
.

A ordem em que as operações são realizadas é importante aqui - ou seja, primeiro o quadrado é realizado, resultando em um número não negativo, e então a raiz é extraída dele (a raiz quadrada pode ser extraída de um número não negativo ). Se mudássemos a ordem: , então para x negativo a raiz seria indefinida e, com ela, toda a expressão seria indefinida.

Grau estranho

Para potências ímpares, a raiz é definida para todo x:
;
.

Propriedades e fórmulas de raízes

A raiz de x é uma função potência:
.
Quando x ≥ 0 aplicam-se as seguintes fórmulas:
;
;
, ;
.

Essas fórmulas também podem ser aplicadas para valores negativos de variáveis. Você só precisa ter certeza de que a expressão radical de potências pares não é negativa.

Valores privados

A raiz de 0 é 0: .
Raiz 1 é igual a 1: .
A raiz quadrada de 0 é 0: .
A raiz quadrada de 1 é 1: .

Exemplo. Raiz das raízes

Vejamos um exemplo de raiz quadrada de raízes:
.
Vamos transformar a raiz quadrada interna usando as fórmulas acima:
.
Agora vamos transformar a raiz original:
.
Então,
.

y = x p para diferentes valores do expoente p.

Aqui estão os gráficos da função para valores não negativos do argumento x. Os gráficos de uma função potência definida para valores negativos de x são fornecidos na página “Função potência, suas propriedades e gráficos"

Função inversa

O inverso de uma função de potência com expoente p é uma função de potência com expoente 1/p.

Se então.

Derivada de uma função de potência

Derivada de enésima ordem:
;

Derivando fórmulas >>>

Integral de uma função de potência

P ≠ - 1 ;
.

Expansão da série de potências

No - 1 < x < 1 ocorre a seguinte decomposição:

Expressões usando números complexos

Considere a função da variável complexa z:
f (z) = z t.
Vamos expressar a variável complexa z em termos do módulo r e do argumento φ (r = |z|):
z = r e eu φ .
Número complexo t será representado na forma de partes reais e imaginárias:
t = p + eu q .
Nós temos:

A seguir, levamos em consideração que o argumento φ não é definido de forma única:
,

Vamos considerar o caso quando q = 0 , ou seja, o expoente é um número real, t = p. Então
.

Se p for um número inteiro, então kp é um número inteiro. Então, devido à periodicidade das funções trigonométricas:
.
Aquilo é função exponencial com um expoente inteiro, para um determinado z, tem apenas um valor e, portanto, é inequívoco.

Se p for irracional, então os produtos kp para qualquer k não produzem um número inteiro. Como k percorre uma série infinita de valores k = 0, 1, 2, 3, ..., então a função z p tem infinitos valores. Sempre que o argumento z é incrementado 2π(uma volta), passamos para um novo ramo da função.

Se p for racional, então pode ser representado como:
, Onde m, n- inteiro, sem conter divisores comuns. Então
.
Primeiros n valores, com k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, dado Significados diferentes kp:
.
No entanto, os valores subsequentes fornecem valores que diferem dos anteriores por um número inteiro. Por exemplo, quando k = k 0+n Nós temos:
.
Funções trigonométricas, cujos argumentos diferem por valores que são múltiplos de 2π, têm valores iguais. Portanto, com um aumento adicional em k, obtemos os mesmos valores de z p que para k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Assim, uma função exponencial com expoente racional tem vários valores e possui n valores (ramos). Sempre que o argumento z é incrementado 2π(uma volta), passamos para um novo ramo da função. Após n tais revoluções, voltamos ao primeiro ramo a partir do qual a contagem regressiva começou.

Em particular, uma raiz de grau n possui n valores. Como exemplo, considere a enésima raiz de um número real positivo z = x. Neste caso φ 0 = 0 , z = r = |z| =x, .
.
Então, para uma raiz quadrada, n = 2 ,
.
Para até k, (- 1 ) k = 1. Para k ímpar, (- 1 ) k = - 1.
Ou seja, a raiz quadrada tem dois significados: + e -.

Referências:
EM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemática para engenheiros e estudantes universitários, “Lan”, 2009.

Aula e apresentação sobre o tema: "Funções de potência. Raiz cúbica. Propriedades da raiz cúbica"

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Definição de uma função de potência - raiz cúbica

Pessoal, continuamos estudando funções de potência. Hoje falaremos sobre a função “Raiz cúbica de x”.
O que é uma raiz cúbica?
O número y é chamado de raiz cúbica de x (raiz do terceiro grau) se a igualdade $y^3=x$ for válida.
Denotado como $\sqrt(x)$, onde x é um número radical, 3 é um expoente.
$\sqrt(27)=3$; $ 3 ^ 3 = $ 27.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Como podemos ver, a raiz cúbica também pode ser extraída de números negativos. Acontece que a nossa raiz existe para todos os números.
A terceira raiz de um número negativo é número negativo. Quando elevado a uma potência ímpar, o sinal é preservado;

Vamos verificar a igualdade: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Seja $\sqrt((-x))=a$ e $\sqrt(x)=b$. Vamos elevar ambas as expressões à terceira potência. $–x=a^3$ e $x=b^3$. Então $a^3=-b^3$ ou $a=-b$. Usando a notação para raízes obtemos a identidade desejada.

Propriedades das raízes cúbicas

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b)$\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Vamos provar a segunda propriedade. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Descobrimos que o número $\sqrt(\frac(a)(b))$ ao cubo é igual a $\frac(a)(b)$ e então é igual a $\sqrt(\frac(a)(b))$ , o que precisava ser comprovado.

Pessoal, vamos construir um gráfico da nossa função.
1) Domínio de definição é o conjunto dos números reais.
2) A função é ímpar, pois $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. A seguir, considere nossa função para $x≥0$ e exiba o gráfico relativo à origem.
3) A função aumenta quando $x≥0$. Para a nossa função, um valor maior do argumento corresponde a um valor maior da função, o que significa aumento.
4) A função não é limitada por cima. Na verdade, de qualquer número grande a terceira raiz pode ser calculada e podemos subir indefinidamente, encontrando valores cada vez maiores do argumento.
5) Para $x≥0$ o menor valor é 0. Esta propriedade é óbvia.
Vamos construir um gráfico da função por pontos em x≥0.

Vamos construir nosso gráfico da função em todo o domínio de definição. Lembre-se de que nossa função é ímpar.

Propriedades da função:
1)D(y)=(-∞;+∞).
2) Função ímpar.
3) Aumenta em (-∞;+∞).
4) Ilimitado.
5) Não existe valor mínimo ou máximo.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Convexo para baixo em (-∞;0), convexo para cima em (0;+∞).

Exemplos de resolução de funções de potência

Exemplos
1. Resolva a equação $\sqrt(x)=x$.
Solução. Vamos construir dois gráficos no mesmo plano de coordenadas $y=\sqrt(x)$ e $y=x$.

Como você pode ver, nossos gráficos se cruzam em três pontos.
Resposta: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Construa um gráfico da função. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Solução. Nosso gráfico é obtido a partir do gráfico da função $y=\sqrt(x)$, por translação paralela duas unidades para a direita e três unidades para baixo.

3. Faça um gráfico da função e leia-a. $\begin(casos)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(casos)$.
Solução. Vamos construir dois gráficos de funções no mesmo plano de coordenadas, levando em consideração nossas condições. Para $x≥-1$ construímos um gráfico da raiz cúbica, para $x≤-1$ construímos um gráfico de uma função linear.
1)D(y)=(-∞;+∞).
2) A função não é par nem ímpar.
3) Diminui em (-∞;-1), aumenta em (-1;+∞).
4) Ilimitado por cima, limitado por baixo.
5) Maior valor Não. O menor valor é menos um.
6) A função é contínua em toda a reta numérica.
7) E(y)= (-1;+∞).

Problemas para resolver de forma independente

1. Resolva a equação $\sqrt(x)=2-x$.
2. Construa um gráfico da função $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Trace um gráfico da função e leia-o. $\begin(casos)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(casos)$.

8 ª série

Professor: Melnikova T.V.

Lições objetivas:

Equipamento:

Computador, quadro interativo, apostilas.

Apresentação para a aula.

DURANTE AS AULAS

Plano de aula.

Discurso de abertura do professor.

Repetição de material previamente estudado.

Aprendendo novo material (trabalho em grupo).

Estudo de função. Propriedades do gráfico.

Discussão do cronograma (trabalho frontal).

Jogo de cartas matemáticas.

Resumo da lição.

I. Atualização de conhecimentos básicos.

Saudação do professor.

Professor :

A dependência de uma variável em relação a outra é chamada de função. Até agora você estudou as funções y = kx + b; y =k/x, y=x 2. Hoje continuaremos a estudar funções. Na lição de hoje, você aprenderá como é um gráfico de uma função de raiz quadrada e como construir você mesmo gráficos de funções de raiz quadrada.

Escreva o tema da lição (slide1).

2. Repetição do material estudado.

1. Quais são os nomes das funções especificadas pelas fórmulas:

a) y=2x+3; b) y=5/x; c) y = -1/2x+4; d) y=2x; e) y = -6/x f) y = x 2?

2. Qual é o gráfico deles? Como está localizado? Indique o domínio de definição e o domínio de valor de cada uma dessas funções ( na Fig. são mostrados gráficos de funções dadas por essas fórmulas; para cada função, indique seu tipo) (slide2).

3. Qual é o gráfico de cada função, como são construídos esses gráficos?

(Slide 3, gráficos esquemáticos de funções são construídos).

3. Estudando novos materiais.

Professor:

Então hoje estamos estudando a função
e sua agenda.

Sabemos que o gráfico da função y=x2 é uma parábola. Qual será o gráfico da função y=x2 se considerarmos apenas x ≥ 0? Faz parte de uma parábola - é ramo direito. Vamos agora traçar a função
.

Vamos repetir o algoritmo para construção de gráficos de funções ( slide 4, com algoritmo)

Pergunta : Olhando para a notação analítica da função, você acha que podemos dizer quais valores X aceitável? (Sim, x≥0). Desde a expressão
faz sentido para todo x maior ou igual a 0.

Professor: Nos fenômenos naturais e na atividade humana, são frequentemente encontradas dependências entre duas quantidades. Como essa relação pode ser representada por um gráfico? ( trabalho em equipe)

A turma é dividida em grupos. Cada grupo recebe uma tarefa: construir um gráfico da função
em papel milimetrado, realizando todos os pontos do algoritmo. Depois sai um representante de cada grupo e mostra o trabalho do grupo. (O Slad 5 abre, é feita uma verificação, depois o cronograma é construído em notebooks)

4. Estudo da função (continua o trabalho em grupo)

Professor:

encontre o domínio da função;

encontre o contradomínio da função;

determinar os intervalos de diminuição (aumento) da função;

y>0, y<0.

Anote os resultados para você (slide 6).

Professor: Vamos analisar o gráfico. O gráfico de uma função é um ramo de uma parábola.

Pergunta : Diga-me, você já viu esse gráfico em algum lugar antes?

Olhe o gráfico e me diga se ele cruza a reta OX? (Não) VOCÊ? (Não). Olhe para o gráfico e diga-me se o gráfico tem centro de simetria? Eixo de simetria?

Vamos resumir:

Agora vamos ver como aprendemos um novo tópico e repetimos o material que abordamos. Um jogo de cartas matemáticas (regras do jogo: cada grupo de 5 pessoas recebe um conjunto de cartas (25 cartas). Cada jogador recebe 5 cartas com perguntas escritas. O primeiro aluno entrega uma das cartas ao segundo. aluno, que deve responder a pergunta do cartão. Se o aluno responder à pergunta, o cartão está quebrado, caso contrário, o aluno pega o cartão para si e passa a jogada, etc., num total de 5 movimentos. Se o aluno não tiver mais cartas, então a pontuação é -5, resta 1 carta – pontuação 4, 2 cartas – pontuação 3, 3 cartas – pontuação 2)

5. Resumo da lição.(os alunos são avaliados em listas de verificação)

Trabalho de casa.

Estude o parágrafo 8.

Resolva nº 172, nº 179, nº 183.

Elaborar relatórios sobre o tema “Aplicação de funções em diversos campos da ciência e da literatura”.

Reflexão.

Mostre seu humor com fotos em sua mesa.

A lição de hoje

Eu gosto disso.

Eu não gostei.

Material da aula I ( entendi, não entendi).

Gráfico de função e propriedades no = │Oh│ (módulo)

Considere a função no = │Oh│, onde A- um certo número.

Domínio de definição funções no = │Oh│, é o conjunto de todos os números reais. A figura mostra respectivamente gráficos de funções no = │X│, no = │ 2x │, no = │X/2│.

Você pode notar que o gráfico da função no = | Oh| obtido do gráfico da função no = Oh, se a parte negativa do gráfico da função no = Oh(está localizado abaixo do eixo O X), refletir simetricamente este eixo.

É fácil ver no gráfico propriedades funções no = │ Oh │.

No X= 0, obtemos no= 0, ou seja, o gráfico da função pertence à origem; no X= 0, obtemos no> 0, ou seja, todos os outros pontos do gráfico ficam acima do eixo O X.

Para valores opostos X, valores no será o mesmo; Eixo O no este é o eixo de simetria do gráfico.

Por exemplo, você pode traçar a função no = │X 3│. Para comparar recursos no = │X 3 │e no = X 3, vamos fazer uma tabela de seus valores com os mesmos valores dos argumentos.

Na tabela vemos que para traçar um gráfico de função no = │X 3 │, você pode começar traçando a função no = X 3. Depois disso, ele fica simetricamente ao eixo O X exibir aquela parte que está abaixo deste eixo. Como resultado, obtemos o gráfico mostrado na figura.

Gráfico de função e propriedades no = x 1/2 (raiz)

Considere a função no = x 1/2 .

Domínio de definição esta função é o conjunto dos números reais não negativos, uma vez que a expressão x 1/2 só importa quando X > 0.

Vamos construir um gráfico. Para compilar uma tabela de seus valores, utilizamos uma microcalculadora, arredondando os valores da função para décimos.

Depois de desenhar pontos no plano coordenado e conectá-los suavemente, obtemos gráfico de uma função no = x 1/2 .

O gráfico construído nos permite formular alguns propriedades funções no = x 1/2 .

No X= 0, obtemos no= 0; no X> 0, obtemos no> 0; o gráfico passa pela origem; os demais pontos do gráfico estão localizados no primeiro trimestre de coordenadas.

Teorema. Gráfico de uma função no = x 1/2 é simétrico ao gráfico da função no = X 2 onde X> 0, relativamente reto no = X.

Prova. Gráfico de função no = X 2 onde X> 0, é o ramo da parábola localizado no primeiro quadrante coordenado. Deixe o ponto R (A; b) é um ponto arbitrário deste gráfico. Então a igualdade é verdadeira b = A 2. Já que por condição o número A não negativo, então a igualdade também é verdadeira A= b 1/2. Isto significa que as coordenadas do ponto P (b; A) transformar a fórmula no = x 1/2 para a verdadeira igualdade, ou caso contrário, ponto final P (b; A no= x 1/2 .

Também está provado que se o ponto M (Com; d) pertence ao gráfico da função no = x 1/2 então aponte N (d; Com) pertence ao gráfico no = X 2 onde X > 0.

Acontece que cada ponto R(A; b) gráfico de função no = X 2 onde X> 0, corresponde a um único ponto P (b; A) gráfico de função no = x 1/2 e vice-versa.

Resta provar que os pontos R (A; b) E P (b; A) são simétricos em relação a uma linha reta no = X. Ao descartar perpendiculares aos eixos coordenados dos pontos R E P, obtemos pontos nesses eixos E(A; 0), D (0; b), F (b; 0), COM (0; A). Ponto R intersecção de perpendiculares RÉ E Controle de qualidade tem coordenadas ( A; A) e, portanto, pertence à linha no = X. Triângulo PRQé isósceles, pois seus lados R.P. E RQ igual │ b – A│ cada. Direto no = X corta como um ângulo DOF, e o ângulo PRQ e cruza o segmento QP em um determinado ponto S. Portanto o segmento R.S.é a bissetriz do triângulo PRQ. Como a bissetriz de um triângulo isósceles é sua altitude e mediana, então QP ┴ R.S. E PS = QS. E isso significa que os pontos R (A; b) E P (b; A) simétrico em relação a uma linha reta no = X.

Como o gráfico da função no = x 1/2 é simétrico ao gráfico da função no = X 2 onde X> 0, relativamente reto no= X, então o gráfico da função no = x 1/2 é o ramo da parábola.