Raízes reais de uma equação quadrática. Equações quadráticas

Alguns problemas de matemática exigem a capacidade de calcular o valor da raiz quadrada. Tais problemas incluem a resolução de equações de segunda ordem. Neste artigo apresentaremos método eficaz cálculos raízes quadradas e use-o ao trabalhar com fórmulas para as raízes de uma equação quadrática.

O que é uma raiz quadrada?

Em matemática, este conceito corresponde ao símbolo √. Dados históricos dizem que foi usado pela primeira vez por volta da primeira metade do século XVI na Alemanha (o primeiro trabalho alemão sobre álgebra de Christoph Rudolf). Os cientistas acreditam que o símbolo especificado é uma transformação Letra latina r (radix significa "raiz" em latim).

A raiz de qualquer número é igual ao valor cujo quadrado corresponde à expressão radical. Na linguagem da matemática, esta definição ficará assim: √x = y, se y 2 = x.

A raiz de um número positivo (x > 0) também é um número positivo (y > 0), mas se você tirar a raiz de um número negativo (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Aqui estão dois exemplos simples:

√9 = 3, pois 3 2 = 9; √(-9) = 3i, já que i 2 = -1.

Fórmula iterativa de Heron para encontrar os valores das raízes quadradas

Os exemplos acima são muito simples e calcular as raízes deles não é difícil. Começam a aparecer dificuldades ao encontrar valores de raiz para qualquer valor que não pode ser representado como um quadrado número natural, por exemplo √10, √11, √12, √13, sem falar que na prática é necessário encontrar raízes para números não inteiros: por exemplo √(12,15), √(8,5) e assim por diante.

Em todos os casos acima, você deve usar método especial cálculos de raiz quadrada. Atualmente, vários desses métodos são conhecidos: por exemplo, expansão em série de Taylor, divisão em colunas e alguns outros. De tudo métodos conhecidos Talvez o mais simples e eficaz seja usar a fórmula iterativa de Heron, também conhecida como método babilônico para determinar raízes quadradas (há evidências de que os antigos babilônios o usavam em seus cálculos práticos).

Seja necessário determinar o valor de √x. A fórmula para encontrar a raiz quadrada é a seguinte:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), onde lim n->∞ (a n) => x.

Vamos decifrar essa notação matemática. Para calcular √x, você deve pegar um certo número a 0 (pode ser arbitrário, mas para obter o resultado rapidamente, você deve escolhê-lo de forma que (a 0) 2 seja o mais próximo possível de x. Em seguida, substitua-o no fórmula indicada para calcular a raiz quadrada e obter um novo número a 1, que já estará mais próximo do valor desejado. Depois disso, é necessário substituir 1 na expressão e obter 2. Este procedimento deve ser repetido até. a precisão necessária é obtida.

Um exemplo de uso da fórmula iterativa de Heron

O algoritmo descrito acima para obter a raiz quadrada de um determinado número pode parecer bastante complicado e confuso para muitos, mas na realidade tudo acaba sendo muito mais simples, pois esta fórmula converge muito rapidamente (especialmente se um número bem sucedido for escolhido 0) .

Vamos dar um exemplo simples: você precisa calcular √11. Vamos escolher 0 = 3, já que 3 2 = 9, que está mais próximo de 11 do que 4 2 = 16. Substituindo na fórmula, obtemos:

a1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Não adianta continuar os cálculos, pois descobrimos que 2 e 3 começam a diferir apenas na 5ª casa decimal. Assim, bastou aplicar a fórmula apenas 2 vezes para calcular √11 com precisão de 0,0001.

Hoje em dia, calculadoras e computadores são amplamente utilizados para calcular raízes, porém, é útil lembrar a fórmula marcada para poder calcular manualmente seu valor exato.

Equações de segunda ordem

Compreender o que é uma raiz quadrada e a capacidade de calculá-la é usado na resolução equações quadráticas. Essas equações são chamadas de igualdades com uma incógnita, cuja forma geral é mostrada na figura abaixo.

Aqui c, b e a representam alguns números, e a não deve ser igual a zero, e os valores de c e b podem ser completamente arbitrários, inclusive iguais a zero.

Quaisquer valores de x que satisfaçam a igualdade indicada na figura são chamados de raízes (este conceito não deve ser confundido com a raiz quadrada √). Como a equação em consideração é de 2ª ordem (x 2), então não pode haver mais do que duas raízes para ela. Vejamos mais adiante no artigo como encontrar essas raízes.

Encontrando as raízes de uma equação quadrática (fórmula)

Este método de resolver o tipo de igualdade em consideração também é chamado de método universal ou método discriminante. Pode ser usado para qualquer equação quadrática. A fórmula para o discriminante e as raízes da equação quadrática é a seguinte:

Mostra que as raízes dependem do valor de cada um dos três coeficientes da equação. Além disso, o cálculo de x 1 difere do cálculo de x 2 apenas pelo sinal antes da raiz quadrada. A expressão radical, que é igual a b 2 - 4ac, nada mais é do que o discriminante da igualdade em questão. O discriminante na fórmula para as raízes de uma equação quadrática desempenha papel importante, pois determina o número e o tipo de soluções. Então, se for igual a zero, então haverá apenas uma solução, se for positiva, então a equação tem duas raízes reais e, finalmente, um discriminante negativo leva a duas raízes complexas x 1 e x 2.

Teorema de Vieta ou algumas propriedades das raízes das equações de segunda ordem

No final do século XVI, um dos fundadores da álgebra moderna, um francês, estudando equações de segunda ordem, conseguiu obter as propriedades de suas raízes. Matematicamente eles podem ser escritos assim:

x 1 + x 2 = -b / a e x 1 * x 2 = c / a.

Ambas as igualdades podem ser facilmente obtidas por qualquer pessoa; para isso, basta realizar as operações matemáticas adequadas com as raízes obtidas através da fórmula com o discriminante.

A combinação dessas duas expressões pode ser justamente chamada de segunda fórmula para as raízes de uma equação quadrática, o que permite adivinhar suas soluções sem o uso de discriminante. Deve-se notar aqui que embora ambas as expressões sejam sempre válidas, é conveniente utilizá-las para resolver uma equação somente se ela puder ser fatorada.

A tarefa de consolidar o conhecimento adquirido

Vamos decidir problema de matemática, no qual demonstraremos todas as técnicas discutidas no artigo. As condições do problema são as seguintes: você precisa encontrar dois números cujo produto seja -13 e a soma seja 4.

Esta condição nos lembra imediatamente o teorema de Vieta, usando as fórmulas para a soma das raízes quadradas e seu produto, escrevemos:

x 1 + x 2 = -b/a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Se assumirmos que a = 1, então b = -4 e c = -13. Esses coeficientes nos permitem criar uma equação de segunda ordem:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Vamos usar a fórmula com o discriminante e obter as seguintes raízes:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Ou seja, o problema se reduziu a encontrar o número √68. Observe que 68 = 4 * 17, então, usando a propriedade da raiz quadrada, obtemos: √68 = 2√17.

Agora vamos usar a fórmula considerada da raiz quadrada: a 0 = 4, então:

a1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Não há necessidade de calcular 3, pois os valores encontrados diferem em apenas 0,02. Assim, √68 = 8,246. Substituindo-o na fórmula de x 1,2, obtemos:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 e x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Como podemos ver, a soma dos números encontrados é realmente igual a 4, mas se encontrarmos o seu produto, será igual a -12,999, o que satisfaz as condições do problema com uma precisão de 0,001.

Equação quadrática – fácil de resolver! *Doravante denominado “KU”. Amigos, parece que não poderia haver nada mais simples em matemática do que resolver tal equação. Mas algo me disse que muitas pessoas têm problemas com ele. Decidi ver quantas impressões sob demanda o Yandex distribui por mês. Aqui está o que aconteceu, veja:

O que isso significa? Isto significa que cerca de 70.000 pessoas por mês procuram esta informação, o que este verão tem a ver com isso e o que vai acontecer entre ano escolar— haverá o dobro de solicitações. O que não surpreende, porque essas crianças que se formaram há muito tempo na escola e se preparam para o Exame Estadual Unificado buscam essas informações, e os alunos também se esforçam para refrescar a memória.

Apesar de existirem muitos sites que ensinam como resolver essa equação, resolvi também contribuir e publicar o material. Em primeiro lugar, quero que os visitantes cheguem ao meu site com base nesta solicitação; em segundo lugar, em outros artigos, quando surgir o tema “KU”, fornecerei um link para este artigo; em terceiro lugar, contarei um pouco mais sobre a solução dele do que normalmente é dito em outros sites. Vamos começar! O conteúdo do artigo:

Uma equação quadrática é uma equação da forma:

onde coeficientes a,be c são números arbitrários, com a≠0.

EM curso escolar o material é fornecido da seguinte forma - as equações são condicionalmente divididas em três classes:

1. Eles têm duas raízes.

2. *Tem apenas uma raiz.

3. Eles não têm raízes. É importante notar aqui que eles não têm raízes reais

Como as raízes são calculadas? Apenas!

Calculamos o discriminante. Por baixo desta palavra “terrível” existe uma fórmula muito simples:

As fórmulas raiz são as seguintes:

*Você precisa saber essas fórmulas de cor.

Você pode anotar e resolver imediatamente:

Exemplo:

1. Se D > 0, então a equação tem duas raízes.

2. Se D = 0, então a equação tem uma raiz.

3. Se D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Vejamos a equação:

Nesse sentido, quando o discriminante é igual a zero, o curso escolar diz que se obtém uma raiz, aqui é igual a nove. Está tudo certo, é verdade, mas...

Esta ideia é um tanto incorreta. Na verdade, existem duas raízes. Sim, sim, não se surpreenda, você obtém duas raízes iguais e, para ser matematicamente preciso, a resposta deve escrever duas raízes:

x 1 = 3 x 2 = 3

Mas é assim - uma pequena digressão. Na escola você pode anotar e dizer que existe uma raiz.

Agora o próximo exemplo:

Como sabemos, a raiz de um número negativo não pode ser obtida, portanto não há solução neste caso.

Esse é todo o processo de decisão.

Função quadrática.

Isso mostra a aparência geométrica da solução. É extremamente importante entender isso (futuramente, em um dos artigos analisaremos detalhadamente a solução da desigualdade quadrática).

Esta é uma função do formulário:

onde x e y são variáveis

a, b, c – números dados, com a ≠ 0

O gráfico é uma parábola:

Ou seja, verifica-se que resolvendo uma equação quadrática com “y” igual a zero, encontramos os pontos de intersecção da parábola com o eixo x. Pode haver dois desses pontos (o discriminante é positivo), um (o discriminante é zero) e nenhum (o discriminante é negativo). Detalhes sobre a função quadrática Você pode ver artigo de Inna Feldman.

Vejamos exemplos:

Exemplo 1: Resolver 2x 2 +8 x–192=0

uma=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Resposta: x 1 = 8 x 2 = –12

*Foi possível sair imediatamente e lado direito divida a equação por 2, ou seja, simplifique-a. Os cálculos serão mais fáceis.

Exemplo 2: Decidir x 2–22 x+121 = 0

uma=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Descobrimos que x 1 = 11 e x 2 = 11

É permitido escrever x = 11 na resposta.

Resposta: x = 11

Exemplo 3: Decidir x 2 –8x+72 = 0

uma=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

O discriminante é negativo, não há solução em números reais.

Resposta: nenhuma solução

O discriminante é negativo. Existe uma solução!

Aqui falaremos sobre como resolver a equação no caso em que um discriminante negativo for obtido. Você sabe alguma coisa sobre números complexos? Não entrarei em detalhes aqui sobre por que e onde eles surgiram e qual é o seu papel e necessidade específicos na matemática; este é um tópico para um grande artigo separado.

O conceito de número complexo.

Um pouco de teoria.

Um número complexo z é um número da forma

z = a + bi

onde aeb são números reais, i é a chamada unidade imaginária.

a+bi – este é um NÚMERO ÚNICO, não uma adição.

A unidade imaginária é igual à raiz de menos um:

Agora considere a equação:

Obtemos duas raízes conjugadas.

Equação quadrática incompleta.

Vamos considerar casos especiais, é quando o coeficiente “b” ou “c” é igual a zero (ou ambos são iguais a zero). Eles podem ser resolvidos facilmente sem quaisquer discriminantes.

Caso 1. Coeficiente b = 0.

A equação se torna:

Vamos transformar:

Exemplo:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Caso 2. Coeficiente c = 0.

A equação se torna:

Vamos transformar e fatorar:

*O produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero.

Exemplo:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ou x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Caso 3. Coeficientes b = 0 e c = 0.

Aqui está claro que a solução da equação será sempre x = 0.

Propriedades úteis e padrões de coeficientes.

Existem propriedades que permitem resolver equações com coeficientes grandes.

Ax 2 + bx+ c=0 igualdade vale

a + b+ c = 0, Que

- se para os coeficientes da equação Ax 2 + bx+ c=0 igualdade vale

a+ c =b, Que

Essas propriedades ajudam a decidir um certo tipo equações

Exemplo 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

A soma das probabilidades é 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, o que significa

Exemplo 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

A igualdade vale a+ c =b, Significa

Regularidades dos coeficientes.

1. Se na equação ax 2 + bx + c = 0 o coeficiente “b” é igual a (a 2 +1), e o coeficiente “c” é numericamente igual ao coeficiente"a", então suas raízes são iguais

machado 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Exemplo. Considere a equação 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Se na equação ax 2 – bx + c = 0 o coeficiente “b” for igual a (a 2 +1), e o coeficiente “c” for numericamente igual ao coeficiente “a”, então suas raízes são iguais

machado 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Exemplo. Considere a equação 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Se na Eq. machado 2 + bx – c = 0 coeficiente “b” é igual a (a 2 – 1) e coeficiente “c” é numericamente igual ao coeficiente “a”, então suas raízes são iguais

machado 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/uma.

Exemplo. Considere a equação 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Se na equação ax 2 – bx – c = 0 o coeficiente “b” for igual a (a 2 – 1), e o coeficiente c for numericamente igual ao coeficiente “a”, então suas raízes são iguais

machado 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Exemplo. Considere a equação 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Teorema de Vieta.

O teorema de Vieta leva o nome do famoso matemático francês François Vieta. Usando o teorema de Vieta, podemos expressar a soma e o produto das raízes de um KU arbitrário em termos de seus coeficientes.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

No total, o número 14 dá apenas 5 e 9. Estas são raízes. Com uma certa habilidade, usando o teorema apresentado, você pode resolver muitas equações quadráticas oralmente de uma só vez.

Teorema de Vieta, além disso. É conveniente porque após resolver uma equação quadrática da maneira usual (através de um discriminante), as raízes resultantes podem ser verificadas. Recomendo fazer isso sempre.

MÉTODO DE TRANSPORTE

Com esse método, o coeficiente “a” é multiplicado pelo termo livre, como se fosse “jogado” nele, por isso é chamado método de "transferência". Este método é usado quando as raízes da equação podem ser facilmente encontradas usando o teorema de Vieta e, mais importante, quando o discriminante é um quadrado exato.

Se A± b+c≠ 0, então é utilizada a técnica de transferência, por exemplo:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Usando o teorema de Vieta na equação (2), é fácil determinar que x 1 = 10 x 2 = 1

As raízes resultantes da equação devem ser divididas por 2 (já que as duas foram “jogadas” de x 2), obtemos

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Qual é a justificativa? Veja o que está acontecendo.

Os discriminantes das equações (1) e (2) são iguais:

Se você olhar para as raízes das equações, você só terá denominadores diferentes, e o resultado depende precisamente do coeficiente de x 2:

O segundo (modificado) tem raízes 2 vezes maiores.

Portanto, dividimos o resultado por 2.

*Se rolarmos novamente os três, dividiremos o resultado por 3, etc.

Resposta: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Quadrado ur-ie e Exame de Estado Unificado.

Vou falar brevemente sobre sua importância - VOCÊ DEVE SER CAPAZ DE DECIDIR rapidamente e sem pensar, você precisa saber de cor as fórmulas das raízes e dos discriminantes. Muitos dos problemas incluídos nas tarefas do Exame de Estado Unificado se resumem à resolução de uma equação quadrática (incluindo as geométricas).

Algo digno de nota!

1. A forma de escrever uma equação pode ser “implícita”. Por exemplo, a seguinte entrada é possível:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ou 15x+42+9x 2 - 45x=0 ou 15 -5x+10x 2 = 0.

Você precisa trazê-lo para um formulário padrão (para não se confundir na hora de resolver).

2. Lembre-se que x é uma quantidade desconhecida e pode ser denotada por qualquer outra letra - t, q, p, h e outras.

Uma equação quadrática é uma equação da forma a*x^2 +b*x+c=0, onde a,b,c são alguns números reais arbitrários e x é uma variável. Além disso, o número a=0.

Os números a,b,c são chamados de coeficientes. O número a é chamado de coeficiente líder, o número b é o coeficiente de x e o número c é chamado de termo livre.

Resolvendo Equações Quadráticas

Resolver uma equação quadrática significa encontrar todas as suas raízes ou estabelecer o fato de que uma equação quadrática não tem raízes. A raiz de uma equação quadrática a*x^2 +b*x+c=0 é qualquer valor da variável x tal que o trinômio quadrático a*x^2 +b*x+c desaparece. Às vezes, esse valor de x é chamado de raiz do trinômio quadrado.

Existem várias maneiras de resolver equações quadráticas. Considere um deles - o mais universal. Pode ser usado para resolver qualquer equação quadrática.

Fórmulas para resolver equações quadráticas

A fórmula para as raízes de uma equação quadrática é a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), onde D =b^2-4*a*c.

Esta fórmula é obtida resolvendo a equação a*x^2 +b*x+c=0 em visão geral, isolando o quadrado do binômio.

Na fórmula para as raízes de uma equação quadrática, a expressão D (b^2-4*a*c) é chamada de discriminante da equação quadrática a*x^2 +b*x+c=0. Este nome vem de língua latina, traduzido como “discriminador”. Dependendo do valor do discriminante, a equação quadrática terá duas ou uma raiz, ou nenhuma raiz.

Se o discriminante for maior que zero, então a equação quadrática tem duas raízes. (x=(-b±√D)/(2*a))

Se o discriminante for zero, então a equação quadrática tem uma raiz. (x=(-b/(2*a))

Se o discriminante for negativo, então a equação quadrática não tem raízes.

Algoritmo geral para resolver uma equação quadrática

Com base no exposto, formulamos um algoritmo geral para resolver a equação quadrática a*x^2 +b*x+c=0 usando a fórmula:

1. Encontre o valor do discriminante usando a fórmula D =b^2-4*a*c.

2. Dependendo do valor do discriminante, calcule as raízes usando as fórmulas:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Este algoritmo é universal e adequado para resolver quaisquer equações quadráticas. Completo e incompleto, dado e não dado.

As equações quadráticas são estudadas na 8ª série, então não há nada complicado aqui. A capacidade de resolvê-los é absolutamente necessária.

Uma equação quadrática é uma equação da forma ax 2 + bx + c = 0, onde os coeficientes a, b e c são números arbitrários e a ≠ 0.

Antes de estudar métodos específicos de solução, observe que todas as equações quadráticas podem ser divididas em três classes:

1. Eles não têm raízes;
2. Tenha exatamente uma raiz;
3. Eles têm duas raízes diferentes.

Esta é uma diferença importante entre equações quadráticas e lineares, onde a raiz sempre existe e é única. Como determinar quantas raízes uma equação tem? Há uma coisa maravilhosa para isso - discriminante.

Discriminante

Seja dada a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0. Então o discriminante é simplesmente o número D = b 2 − 4ac.

Você precisa saber esta fórmula de cor. De onde vem não é importante agora. Outra coisa é importante: pelo sinal do discriminante você pode determinar quantas raízes uma equação quadrática possui. Nomeadamente:

1. Se D< 0, корней нет;
2. Se D = 0, existe exatamente uma raiz;
3. Se D > 0, haverá duas raízes.

Atenção: o discriminante indica o número de raízes, e não seus sinais, como por algum motivo muitas pessoas acreditam. Dê uma olhada nos exemplos e você entenderá tudo sozinho:

Tarefa. Quantas raízes as equações quadráticas têm:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Vamos escrever os coeficientes da primeira equação e encontrar o discriminante:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Portanto, o discriminante é positivo, portanto a equação tem duas raízes diferentes. Analisamos a segunda equação de maneira semelhante:
uma = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

O discriminante é negativo, não há raízes. A última equação restante é:
uma = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

O discriminante é zero – a raiz será um.

Observe que os coeficientes foram anotados para cada equação. Sim, é longo, sim, é tedioso, mas você não vai confundir as probabilidades e cometer erros estúpidos. Escolha você mesmo: velocidade ou qualidade.

A propósito, se você pegar o jeito, depois de um tempo não precisará anotar todos os coeficientes. Você realizará essas operações em sua cabeça. A maioria das pessoas começa a fazer isso depois de 50-70 equações resolvidas - em geral, não tanto.

Raízes de uma equação quadrática

Agora vamos passar para a solução em si. Se o discriminante D > 0, as raízes podem ser encontradas usando as fórmulas:

Fórmula básica para as raízes de uma equação quadrática

Quando D = 0, você pode usar qualquer uma dessas fórmulas - você obterá o mesmo número, que será a resposta. Finalmente, se D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Primeira equação:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ uma = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ a equação tem duas raízes. Vamos encontrá-los:

Segunda equação:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ a equação novamente tem duas raízes. Vamos encontrá-los

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \fim(alinhar)\]

Finalmente, a terceira equação:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ uma = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ a equação tem uma raiz. Qualquer fórmula pode ser usada. Por exemplo, o primeiro:

Como você pode ver nos exemplos, tudo é muito simples. Se você conhece as fórmulas e sabe contar, não haverá problemas. Na maioria das vezes, ocorrem erros ao substituir coeficientes negativos na fórmula. Aqui, novamente, a técnica descrita acima ajudará: observe a fórmula literalmente, anote cada passo - e muito em breve você se livrará dos erros.

Equações quadráticas incompletas

Acontece que uma equação quadrática é ligeiramente diferente daquela dada na definição. Por exemplo:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

É fácil notar que falta um dos termos nessas equações. Essas equações quadráticas são ainda mais fáceis de resolver do que as padrão: elas nem exigem o cálculo do discriminante. Então, vamos apresentar um novo conceito:

A equação ax 2 + bx + c = 0 é chamada de equação quadrática incompleta se b = 0 ou c = 0, ou seja, o coeficiente da variável x ou do elemento livre é igual a zero.

Claro, um caso muito difícil é possível quando ambos os coeficientes são iguais a zero: b = c = 0. Neste caso, a equação assume a forma ax 2 = 0. Obviamente, tal equação tem uma única raiz: x = 0.

Vamos considerar os casos restantes. Seja b = 0, então obtemos uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 + c = 0. Vamos transformá-la um pouco:

Desde aritmética Raiz quadrada existe apenas a partir de um número não negativo, a última igualdade só faz sentido para (−c /a) ≥ 0. Conclusão:

1. Se em uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 + c = 0 a desigualdade (−c /a) ≥ 0 for satisfeita, haverá duas raízes. A fórmula é fornecida acima;
2. Se (−c /a)< 0, корней нет.

Como você pode ver, não foi necessário um discriminante – não há cálculos complexos em equações quadráticas incompletas. Na verdade, nem é necessário lembrar a desigualdade (−c /a) ≥ 0. Basta expressar o valor x 2 e ver o que está do outro lado do sinal de igual. Se houver um número positivo, haverá duas raízes. Se for negativo, não haverá raízes.

Agora vejamos equações da forma ax 2 + bx = 0, nas quais o elemento livre é igual a zero. Tudo é simples aqui: sempre haverá duas raízes. Basta fatorar o polinômio:

Tirando o fator comum dos colchetes

O produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. É daí que vêm as raízes. Concluindo, vejamos algumas dessas equações:

Tarefa. Resolva equações quadráticas:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Não há raízes, porque um quadrado não pode ser igual a um número negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

As equações quadráticas diferem das equações lineares pela presença de uma incógnita elevada à segunda potência. Na forma clássica (canônica), os fatores a, be o termo livre c não são iguais a zero.

Uma equação quadrática é uma equação na qual lado esquerdoé igual a zero, e o da direita é um trinômio de segundo grau da forma:

Resolver um trinômio ou encontrar suas raízes significa encontrar os valores de x nos quais a igualdade se torna verdadeira. Segue-se que as raízes de tal equação são os valores da variável x.

Encontrando raízes usando a fórmula discriminante

Um exemplo pode ter uma ou duas raízes, ou pode não ter nenhuma. Existe um algoritmo muito simples e compreensível para determinar o número de soluções. Para isso, basta encontrar um discriminante - um valor calculado especial usado na busca por raízes. A fórmula para cálculos é a seguinte:

Dependendo dos resultados obtidos, as seguintes conclusões podem ser tiradas:

• existem duas raízes se D > 0;
• existe uma solução se D = 0;
• não há raízes se D< 0.

Se D ≥ 0, então você precisa continuar os cálculos usando a fórmula:

O valor de x1 será igual a e x2 - . Se D = 0, então o sinal “±” perde qualquer significado, pois √0 = 0. Neste caso, a única raiz é igual a .

Exemplos de resolução de uma equação quadrática

O algoritmo para resolver um polinômio é muito simples:

1. Traga a expressão para uma forma clássica.
2. Determine se existem raízes de uma equação quadrática (fórmula discriminante).
3. Se D ≥ 0, encontre os valores da variável x usando qualquer um dos métodos conhecidos.

Vamos dar um exemplo claro de como resolver uma equação quadrática.

Problema 1. Encontre as raízes e indique graficamente a área de solução da equação 6x + 8 – 2×2 = 0.

Primeiramente, é necessário trazer a igualdade para a forma canônica ax2+bx+c=0. Para fazer isso, reorganizamos os termos do polinômio.

Então, simplificamos a expressão eliminando o coeficiente na frente de x2. Multiplique os lados esquerdo e direito por (-1)⁄2, o resultado é:

A vantagem das fórmulas para encontrar as raízes de uma equação quadrática por meio de um discriminante é que com a ajuda delas você pode resolver qualquer trinômio de segundo grau.

Portanto, no polinômio dado a=1, b=-3 e c=-4. Vamos calcular o valor discriminante para um exemplo específico.

Isso significa que a equação tem duas raízes. Para encontrar graficamente a área de solução do exemplo, é necessário construir uma parábola cuja função seja igual a .

Os gráficos de expressão ficarão assim:

No exemplo em consideração, D>0, portanto, existem duas raízes.

Dica 1: Se o fator a for um número negativo, você precisa multiplicar ambos os lados do exemplo por (-1).

Dica 2: Se houver frações no exemplo, tente se livrar delas multiplicando a esquerda e lado direito expressões para números recíprocos.

Dica 3: Você deve sempre trazer a equação para a forma canônica, isso ajudará a eliminar a possibilidade de confusão nos coeficientes.

Teorema de Vieta

Existem métodos que podem reduzir significativamente os cálculos. Isso inclui o teorema de Vieta. Este método não pode ser aplicado a todos os tipos de equações, mas apenas se o multiplicador da variável x2 igual a um, isto é, a = 1.

Vejamos esta afirmação usando exemplos específicos:

1. 5×2 – 2x + 9 = 0 – a aplicação do teorema neste caso é inadequada, pois a = 5;
2. –x2 + 11x – 8 = 0 − a = -1, o que significa resolver a equação pelo método Vieta somente após trazê-la para a forma clássica, ou seja, multiplicar ambos os lados por -1;
3. x2 + 4x – 5 = 0 – esta tarefa é ideal para analisar o método de solução.

Para encontrar rapidamente as raízes de uma expressão, é necessário selecionar um par de valores de x para os quais o seguinte sistema de equações lineares seja válido.