Uma representação alfabética das propriedades de adição e subtração. Propriedades de adição de números naturais
Então, V caso Geral subtração números naturais NÃO possui propriedade comutativa. Vamos escrever esta afirmação usando letras. Se a e b são números naturais desiguais, então a−b≠b−a. Por exemplo, 45−21≠21−45.
A propriedade de subtrair a soma de dois números de um número natural.
A próxima propriedade está relacionada à subtração da soma de dois números de um número natural. Vejamos um exemplo que nos dará uma compreensão desta propriedade.
Vamos imaginar que temos 7 moedas em mãos. Decidimos primeiro ficar com 2 moedas, mas pensando que isso não será suficiente, decidimos ficar com outra moeda. Com base no significado da adição de números naturais, pode-se argumentar que neste caso decidimos guardar o número de moedas, que é determinado pela soma 2+1. Então, pegamos duas moedas, acrescentamos outra moeda e colocamos no cofrinho. Neste caso, o número de moedas restantes em nossas mãos é determinado pela diferença 7−(2+1) .
Agora imagine que temos 7 moedas e colocamos 2 moedas no cofrinho e depois outra moeda. Matematicamente este processo é descrito como segue expressão numérica: (7−2)−1 .
Se contarmos as moedas que restam em nossas mãos, tanto no primeiro quanto no segundo caso teremos 4 moedas. Ou seja, 7−(2+1)=4 e (7−2)−1=4, portanto, 7−(2+1)=(7−2)−1.
O exemplo considerado permite formular a propriedade de subtrair a soma de dois números de um determinado número natural. Subtrair uma determinada soma de dois números naturais de um determinado número natural é o mesmo que subtrair o primeiro termo de uma determinada soma de um determinado número natural e depois subtrair o segundo termo da diferença resultante.
Lembremos que demos sentido à subtração de números naturais apenas para o caso em que o minuendo é maior que o subtraendo ou igual a ele. Portanto, só podemos subtrair uma determinada soma de um determinado número natural se esta soma não for maior que o número natural que está sendo reduzido. Observe que se esta condição for atendida, cada um dos termos não excede o número natural do qual a soma é subtraída.
Usando letras, a propriedade de subtrair a soma de dois números de um determinado número natural é escrita como igualdade uma−(b+c)=(a−b)−c, onde a, b e c são alguns números naturais e as condições a>b+c ou a=b+c são atendidas.
A propriedade considerada, bem como a propriedade combinatória de adição de números naturais, permitem subtrair a soma de três ou mais números de um determinado número natural.
A propriedade de subtrair um número natural da soma de dois números.
Passemos à próxima propriedade, que está associada à subtração de um determinado número natural de uma determinada soma de dois números naturais. Vejamos exemplos que nos ajudarão a “ver” esta propriedade de subtrair um número natural da soma de dois números.
Vamos colocar 3 balas no primeiro bolso e 5 balas no segundo, e vamos doar 2 balas. Nós podemos fazer isso jeitos diferentes. Vamos examiná-los um por um.
Primeiramente podemos colocar todos os doces em um bolso, depois tirar 2 doces de lá e distribuí-los. Vamos descrever essas ações matematicamente. Depois de colocarmos os doces em um bolso, seu número será determinado pela soma 3+5. Agora, do número total de doces, daremos 2 doces, enquanto o número restante de doces será determinado pela seguinte diferença (3+5)−2.
Em segundo lugar, podemos distribuir 2 doces tirando-os do primeiro bolso. Neste caso, a diferença 3−2 determina o número restante de doces no primeiro bolso, e total os doces restantes que temos serão determinados pela soma (3−2)+5.
Em terceiro lugar, podemos distribuir 2 doces do segundo bolso. Então a diferença 5−2 corresponderá ao número de doces restantes no segundo bolso, e o número total restante de doces será determinado pela soma 3+(5−2).
É claro que em todos os casos teremos a mesma quantidade de doces. Consequentemente, as igualdades (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) são válidas.
Se tivéssemos que dar não 2, mas 4 doces, poderíamos fazê-lo de duas maneiras. Primeiro, distribua 4 doces, depois de colocá-los todos no mesmo bolso. Neste caso, o número restante de doces é determinado por uma expressão da forma (3+5)−4. Em segundo lugar, poderíamos distribuir 4 doces do segundo bolso. Neste caso, o número total de doces dá a seguinte soma 3+(5−4) . É claro que tanto no primeiro como no segundo caso teremos o mesmo número de doces, portanto, a igualdade (3+5)−4=3+(5−4) é verdadeira.
Tendo analisado os resultados obtidos na resolução dos exemplos anteriores, podemos formular a propriedade de subtrair um determinado número natural de uma determinada soma de dois números. Subtrair um determinado número natural de uma determinada soma de dois números é o mesmo que subtrair um determinado número de um dos termos e depois adicionar a diferença resultante e o outro termo. Deve-se observar que o número que está sendo subtraído NÃO deve ser maior que o termo do qual o número está sendo subtraído.
Vamos escrever a propriedade de subtrair um número natural de uma soma usando letras. Sejam a, b e c alguns números naturais. Então, desde que a seja maior ou igual a c, a igualdade é verdadeira (a+b)−c=(a−c)+b, e se for atendida a condição de que b é maior ou igual a c, a igualdade é verdadeira (uma+b)−c=uma+(b−c). Se a e b forem maiores ou iguais a c, então ambas as últimas igualdades são verdadeiras e podem ser escritas da seguinte forma: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .
Por analogia, podemos formular a propriedade de subtrair um número natural da soma de três ou mais números. Nesse caso, esse número natural pode ser subtraído de qualquer termo (claro, se for maior ou igual ao número subtraído), e os demais termos podem ser somados à diferença resultante.
Para visualizar a propriedade sonora, você pode imaginar que temos muitos bolsos e neles há doces. Suponha que precisemos doar 1 doce. É claro que podemos distribuir 1 doce de qualquer bolso. Ao mesmo tempo, não importa de que bolso o distribuímos, pois isso não afeta a quantidade de doce que nos resta.
Vamos dar um exemplo. Sejam a, b, c e d alguns números naturais. Se a>d ou a=d, então a diferença (a+b+c)−d é igual à soma (a−d)+b+c. Se b>d ou b=d, então (a+b+c)−d=a+(b−d)+c. Se c>d ou c=d, então a igualdade (a+b+c)−d=a+b+(c−d) é verdadeira.
Deve-se notar que a propriedade de subtrair um número natural da soma de três ou mais números não é uma propriedade nova, pois decorre das propriedades de somar números naturais e da propriedade de subtrair um número da soma de dois números.
Bibliografia.
- Matemática. Quaisquer livros didáticos para 1ª, 2ª, 3ª e 4ª séries de instituições de ensino geral.
- Matemática. Quaisquer livros didáticos para a 5ª série de instituições de ensino geral.
Vários resultados inerentes a esta ação podem ser observados. Esses resultados são chamados propriedades de adição de números naturais. Neste artigo analisaremos detalhadamente as propriedades de adição de números naturais, escrevê-los usando letras e daremos exemplos explicativos.
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Propriedade combinativa de adição de números naturais.
Agora vamos dar um exemplo que ilustra a propriedade associativa da adição de números naturais.
Vamos imaginar uma situação: 1 maçã caiu da primeira macieira, e 2 maçãs e mais 4 maçãs caíram da segunda macieira. Agora considere esta situação: 1 maçã e mais 2 maçãs caíram da primeira macieira e 4 maçãs caíram da segunda macieira. É claro que tanto no primeiro como no segundo caso haverá o mesmo número de maçãs no chão (o que pode ser verificado por recálculo). Ou seja, o resultado da soma do número 1 com a soma dos números 2 e 4 é igual ao resultado da soma da soma dos números 1 e 2 com o número 4.
O exemplo considerado permite-nos formular a propriedade combinatória da adição de números naturais: para adicionar uma determinada soma de dois números a um determinado número, podemos adicionar o primeiro termo da soma dada a este número e adicionar o segundo termo do dada soma ao resultado resultante. Esta propriedade pode ser escrita usando letras da seguinte forma: a+(b+c)=(a+b)+c, onde a, b e c são números naturais arbitrários.
Observe que a igualdade a+(b+c)=(a+b)+c contém parênteses “(” e “)”. Parênteses são usados em expressões para indicar a ordem em que as ações são executadas - as ações entre parênteses são executadas primeiro (mais sobre isso está escrito na seção). Em outras palavras, as expressões cujos valores são avaliados primeiro são colocadas entre parênteses.
Concluindo este parágrafo, notamos que a propriedade combinatória da adição nos permite determinar de forma única a adição de três, quatro ou mais números naturais.
A propriedade de somar zero e um número natural, a propriedade de somar zero e zero.
Sabemos que zero NÃO é um número natural. Então, por que decidimos examinar a propriedade de adicionar zero e um número natural neste artigo? Existem três razões para isso. Primeiro: esta propriedade é usada ao adicionar números naturais em uma coluna. Segundo: esta propriedade é usada ao subtrair números naturais. Terceiro: se assumirmos que zero significa ausência de algo, então o significado de somar zero e um número natural coincide com o significado de somar dois números naturais.
Façamos alguns raciocínios que nos ajudarão a formular a propriedade da adição de zero e um número natural. Vamos imaginar que não há objetos na caixa (em outras palavras, há 0 objetos na caixa), e nela são colocados objetos a, onde a é qualquer número natural. Ou seja, adicionamos 0 e objetos a. É claro que após esta ação existem objetos na caixa. Portanto, a igualdade 0+a=a é verdadeira.
Da mesma forma, se uma caixa contém itens e 0 itens são adicionados a ela (ou seja, nenhum item é adicionado), então após esta ação haverá itens na caixa. Então a+0=a .
Agora podemos dar a formulação da propriedade de somar zero e um número natural: a soma de dois números, um dos quais é zero, é igual ao segundo número. Matematicamente, esta propriedade pode ser escrita como a seguinte igualdade: 0+a=a ou uma+0=uma, onde a é um número natural arbitrário.
Separadamente, prestemos atenção ao fato de que ao somar um número natural e zero, a propriedade comutativa da adição permanece verdadeira, ou seja, a+0=0+a.
Por fim, formulemos a propriedade de somar zero a zero (é bastante óbvia e não necessita de comentários adicionais): a soma de dois números, cada um igual a zero, é igual a zero. Aquilo é, 0+0=0 .
Agora é hora de descobrir como somar números naturais.
Bibliografia.
- Matemática. Quaisquer livros didáticos para 1ª, 2ª, 3ª e 4ª séries de instituições de ensino geral.
- Matemática. Quaisquer livros didáticos para a 5ª série de instituições de ensino geral.
Adicionar um número a outro é bastante simples. Vejamos um exemplo, 4+3=7. Esta expressão significa que três unidades foram somadas a quatro unidades e o resultado foi sete unidades.
Os números 3 e 4 que adicionamos são chamados termos. E o resultado da adição do número 7 é chamado quantia.
Somaé a adição de números. Sinal de mais “+”. 
Na forma literal, este exemplo ficaria assim:
um+b =c
Componentes de adição:
a- prazo, b- termos, c- soma.
Se somarmos 4 unidades a 3 unidades, então como resultado da adição obteremos o mesmo resultado será igual a 7; 
A partir deste exemplo concluímos que não importa como trocamos os termos, a resposta permanece a mesma:
Esta propriedade dos termos é chamada lei comutativa da adição.
Lei comutativa da adição.
A alteração dos lugares dos termos não altera a soma.
EM notação alfabética a lei de deslocamento fica assim:
um+b =b+a
Se considerarmos três termos, por exemplo, pegue os números 1, 2 e 4. E realizamos a adição nesta ordem, primeiro somamos 1 + 2, e depois somamos 4 à soma resultante, obtemos a expressão:
(1+2)+4=7
Podemos fazer o oposto, primeiro adicionar 2+4 e depois adicionar 1 à soma resultante. Nosso exemplo ficará assim:
1+(2+4)=7
A resposta permanece a mesma. Ambos os tipos de adição para o mesmo exemplo têm a mesma resposta. Nós concluimos:
(1+2)+4=1+(2+4)
Esta propriedade de adição é chamada lei associativa da adição.
A lei da adição comutativa e associativa funciona para todos os números não negativos.
Lei de adição de combinação.
Para adicionar um terceiro número à soma de dois números, você pode adicionar a soma do segundo e do terceiro números ao primeiro número.
(um+b)+c =uma+(b+c)
A lei da combinação funciona para qualquer número de termos. Utilizamos esta lei quando precisamos de adicionar números numa ordem conveniente. Por exemplo, vamos adicionar três números 12, 6, 8 e 4. Será mais conveniente primeiro adicionar 12 e 8 e depois adicionar a soma de dois números 6 e 4 à soma resultante.
(12+8)+(6+4)=30
Propriedade de adição com zero.
Quando você adiciona um número com zero, a soma resultante será o mesmo número.
3+0=3
0+3=3
3+0=0+3
Em uma expressão literal, a adição com zero ficará assim:
uma+0=a
0+
uma =a
Perguntas sobre o tema da adição de números naturais:
Faça uma tabela de adição e veja como funciona a propriedade da lei comutativa?
Uma tabela de adição de 1 a 10 pode ser assim:
Segunda versão da tabela de adição.
Se olharmos as tabelas de adição, podemos ver como funciona a lei comutativa.
Na expressão a+b=c, qual será a soma?
Resposta: a soma é o resultado da soma dos termos. a+b e c.
Na expressão a+b=c termos, o que será?
Resposta: a e b. Adendos são números que somamos.
O que acontece com um número se você adicionar 0 a ele?
Resposta: nada, o número não vai mudar. Ao somar com zero, o número permanece o mesmo, pois zero é a ausência de unidades.
Quantos termos devem existir no exemplo para que a lei combinacional da adição possa ser aplicada?
Resposta: de três termos ou mais.
Escreva a lei comutativa em termos literais?
Resposta: a+b=b+a
Exemplos de tarefas.
Exemplo 1:
Escreva a resposta para as expressões dadas: a) 15+7 b) 7+15
Resposta: a) 22 b) 22
Exemplo #2:
Aplique a lei da combinação aos termos: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Resposta: 20.
Exemplo #3:
Resolva a expressão:
a) 5921+0 b) 0+5921
Solução:
a) 5921+0 =5921
b) 0+5921=5921
O tópico ao qual esta lição é dedicada é “Propriedades da adição”. Nele, você se familiarizará com as propriedades comutativas e associativas da adição, examinando-as em exemplos específicos. Descubra em quais casos você pode utilizá-los para facilitar o processo de cálculo. Exemplos de teste ajudarão a determinar o quão bem você domina o material estudado.
Lição: Propriedades da Adição
Observe atentamente a expressão:
9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3
Precisamos encontrar seu valor. Vamos fazê-lo.
9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40
O resultado da expressão é 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Diga-me, foi conveniente calcular? Não foi muito conveniente calcular. Observe novamente os números nesta expressão. É possível trocá-los para que os cálculos sejam mais convenientes?
Se reorganizarmos os números de forma diferente:
9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40
O resultado final da expressão é 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Vemos que os resultados das expressões são os mesmos.
Os termos podem ser trocados se for conveniente para os cálculos, e o valor da soma não será alterado.
Existe uma lei na matemática: Lei comutativa da adição. Afirma que reorganizar os termos não altera a soma.
Tio Fyodor e Sharik discutiram. Sharik descobriu o significado da expressão conforme estava escrita, e tio Fyodor disse que conhecia outra forma de cálculo mais conveniente. Você vê uma maneira melhor de calcular?
Sharik resolveu a expressão conforme estava escrita. E o tio Fyodor disse que conhecia a lei que permite a troca de termos e trocou os números 25 e 3.
37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62
37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40
Vemos que o resultado permanece o mesmo, mas o cálculo ficou muito mais fácil.
Observe as expressões a seguir e leia-as.
6 + (24 + 51) = 81 (a 6 adicione a soma de 24 e 51)
Não é forma conveniente para cálculo?
Vemos que se somarmos 6 e 24, obtemos um número redondo. É sempre mais fácil adicionar algo a um número redondo. Vamos colocar a soma dos números 6 e 24 entre parênteses.
(6 + 24) + 51 = …
(adicione 51 à soma dos números 6 e 24)
Vamos calcular o valor da expressão e ver se o valor da expressão mudou?
6 + 24 = 30
30 + 51 = 81
Vemos que o significado da expressão permanece o mesmo.
Vamos praticar com mais um exemplo.
(27 + 19) + 1 = 47 (adicione 1 à soma dos números 27 e 19)
Quais números são convenientes para agrupar para formar um método conveniente?
Você adivinhou que estes são os números 19 e 1. Vamos colocar a soma dos números 19 e 1 entre colchetes.
27 + (19 + 1) = …
(para 27 adicione a soma dos números 19 e 1)
Vamos encontrar o significado desta expressão. Lembramos que a ação entre parênteses é executada primeiro.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47
O significado da nossa expressão permanece o mesmo.
Lei combinada de adição: dois termos adjacentes podem ser substituídos pela sua soma.
Agora vamos praticar o uso de ambas as leis. Precisamos calcular o valor da expressão:
38 + 14 + 2 + 6 = …
Primeiro, usaremos a propriedade comutativa da adição, que nos permite trocar adendos. Vamos trocar os termos 14 e 2.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …
Agora vamos usar a propriedade de combinação, que nos permite substituir dois termos adjacentes pela sua soma.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…
Primeiro descobrimos o valor da soma de 38 e 2.
Agora a soma é 14 e 6.
3. Festival de ideias pedagógicas “Aula Aberta” ().
Faça em casa
1. Calcule a soma dos termos de diferentes maneiras:
a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16
2. Avalie os resultados das expressões:
a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1
3. Calcule o valor de forma conveniente:
a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13