A relação da perna com a hipotenusa. Seno, cosseno, tangente, cotangente de um ângulo agudo
O que é seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo ajudará você a entender um triângulo retângulo.
Como são chamados os lados de um triângulo retângulo? Isso mesmo, hipotenusa e pernas: a hipotenusa é o lado oposto ângulo certo(no nosso exemplo este é o lado \(AC\) ); pernas são os dois lados restantes \(AB\) e \(BC\) (aqueles adjacentes ao ângulo reto), e se considerarmos os catetos relativos ao ângulo \(BC\), então a perna \(AB\) é a perna adjacente e a perna \(BC\) é oposta. Então, agora vamos responder à pergunta: o que são seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo?
Seno do ângulo– esta é a razão entre o cateto oposto (distante) e a hipotenusa.
Em nosso triângulo:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Cosseno do ângulo– esta é a razão entre a perna adjacente (próxima) e a hipotenusa.
Em nosso triângulo:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Tangente do ângulo– esta é a razão entre o lado oposto (distante) e o adjacente (próximo).
Em nosso triângulo:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Cotangente do ângulo– esta é a proporção entre a perna adjacente (próxima) e a oposta (distante).
Em nosso triângulo:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Essas definições são necessárias lembrar! Para tornar mais fácil lembrar qual perna dividir em quê, você precisa entender claramente que em tangente E co-tangente apenas as pernas ficam sentadas, e a hipotenusa aparece apenas em seio E cosseno. E então você pode criar uma cadeia de associações. Por exemplo, este:
Cosseno→toque→toque→adjacente;
Cotangente→toque→toque→adjacente.
Em primeiro lugar, é preciso lembrar que seno, cosseno, tangente e cotangente como as proporções dos lados de um triângulo não dependem dos comprimentos desses lados (no mesmo ângulo). Não acredite? Então certifique-se olhando a foto:
Considere, por exemplo, o cosseno do ângulo \(\beta \) . Por definição, de um triângulo \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), mas podemos calcular o cosseno do ângulo \(\beta \) do triângulo \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Veja, os comprimentos dos lados são diferentes, mas o valor do cosseno de um ângulo é o mesmo. Assim, os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente dependem unicamente da magnitude do ângulo.
Se você entende as definições, vá em frente e consolide-as!
Para o triângulo \(ABC \) mostrado na figura abaixo, encontramos \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(matriz) \)
Bem, você entendeu? Então tente você mesmo: calcule o mesmo para o ângulo \(\beta \) .
Respostas: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Círculo unitário (trigonométrico)
Entendendo os conceitos de graus e radianos, consideramos um círculo com raio igual a \(1\) . Tal círculo é chamado solteiro. Será muito útil ao estudar trigonometria. Portanto, vamos examinar isso com um pouco mais de detalhes.
Como você pode ver, este círculo é construído em Sistema cartesiano coordenadas Raio do círculo igual a um, enquanto o centro do círculo está na origem, a posição inicial do vetor raio é fixada ao longo da direção positiva do eixo \(x\) (em nosso exemplo, este é o raio \(AB\)).
Cada ponto no círculo corresponde a dois números: a coordenada ao longo do eixo \(x\) e a coordenada ao longo do eixo \(y\). Quais são esses números de coordenadas? E em geral, o que eles têm a ver com o tema em questão? Para fazer isso, precisamos nos lembrar do triângulo retângulo considerado. Na figura acima, você pode ver dois triângulos retângulos inteiros. Considere o triângulo \(ACG\) . É retangular porque \(CG\) é perpendicular ao eixo \(x\).
Qual é o valor de \(\cos \ \alpha \) do triângulo \(ACG \)? Isso mesmo \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Além disso, sabemos que \(AC\) é o raio círculo unitário, o que significa \(AC=1\) . Vamos substituir esse valor em nossa fórmula para cosseno. Aqui está o que acontece:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Qual é o valor de \(\sin \ \alpha \) do triângulo \(ACG \)? Bem, claro, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Substitua o valor do raio \(AC\) nesta fórmula e obtenha:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Então, você consegue dizer quais são as coordenadas do ponto \(C\) pertencente ao círculo? Bem, de jeito nenhum? E se você perceber que \(\cos \ \alpha \) e \(\sin \alpha \) são apenas números? A que coordenada \(\cos \alpha \) corresponde? Bem, é claro, a coordenada \(x\)! E a que coordenada \(\sin \alpha \) corresponde? Isso mesmo, coordenada \(y\)! Então o ponto \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
A que então \(tg \alpha \) e \(ctg \alpha \) são iguais? Isso mesmo, vamos usar as definições correspondentes de tangente e cotangente e obter isso \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
E se o ângulo for maior? Por exemplo, como nesta imagem:
O que mudou neste exemplo? Vamos descobrir. Para fazer isso, vamos voltar novamente para um triângulo retângulo. Considere um triângulo retângulo \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ângulo (como adjacente ao ângulo \(\beta \) ). Qual é o valor do seno, cosseno, tangente e cotangente para um ângulo \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? É isso mesmo, seguimos as definições correspondentes de funções trigonométricas:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\ângulo ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(matriz) \)
Bem, como você pode ver, o valor do seno do ângulo ainda corresponde à coordenada \(y\) ; o valor do cosseno do ângulo - coordenada \(x\) ; e os valores de tangente e cotangente às razões correspondentes. Assim, estas relações aplicam-se a qualquer rotação do vetor raio.
Já foi mencionado que a posição inicial do vetor raio está ao longo da direção positiva do eixo \(x\). Até agora giramos esse vetor no sentido anti-horário, mas o que acontece se o girarmos no sentido horário? Nada de extraordinário, você também obterá um ângulo de um determinado valor, mas só será negativo. Assim, ao girar o vetor raio no sentido anti-horário, obtemos ângulos positivos, e ao girar no sentido horário – negativo.
Então, sabemos que toda a revolução do vetor raio em torno do círculo é \(360()^\circ \) ou \(2\pi \) . É possível girar o vetor raio por \(390()^\circ \) ou por \(-1140()^\circ \)? Bem, é claro que você pode! No primeiro caso, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), assim, o vetor raio fará uma revolução completa e parará na posição \(30()^\circ \) ou \(\dfrac(\pi )(6) \) .
No segundo caso, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ou seja, o vetor raio fará três voltas completas e parará na posição \(-60()^\circ \) ou \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Assim, a partir dos exemplos acima podemos concluir que ângulos que diferem por \(360()^\circ \cdot m \) ou \(2\pi \cdot m \) (onde \(m \) é qualquer número inteiro), correspondem à mesma posição do vetor raio.
A figura abaixo mostra o ângulo \(\beta =-60()^\circ \) . A mesma imagem corresponde ao canto \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Esta lista pode ser continuada indefinidamente. Todos esses ângulos podem ser escritos pela fórmula geral \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ou \(\beta +2\pi \cdot m \) (onde \(m \) é qualquer número inteiro)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(matriz) \)
Agora, conhecendo as definições das funções trigonométricas básicas e utilizando o círculo unitário, tente responder quais são os valores:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\texto (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\texto (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Aqui está um círculo unitário para ajudá-lo:
Está com dificuldades? Então vamos descobrir. Então sabemos que:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(matriz)\)
A partir daqui, determinamos as coordenadas dos pontos correspondentes a determinadas medidas de ângulos. Bem, vamos começar pela ordem: o canto em \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) corresponde a um ponto com coordenadas \(\left(0;1 \right) \) , portanto:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- não existe;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Além disso, seguindo a mesma lógica, descobrimos que os cantos em \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) correspondem a pontos com coordenadas \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \direita) \), respectivamente. Sabendo disso, é fácil determinar os valores das funções trigonométricas nos pontos correspondentes. Experimente primeiro e depois verifique as respostas.
Respostas:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- não existe
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- não existe
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin\360()^\circ =0 \)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- não existe
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- não existe
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Assim, podemos fazer a seguinte tabela:
Não há necessidade de lembrar todos esses valores. Basta lembrar a correspondência entre as coordenadas dos pontos do círculo unitário e os valores das funções trigonométricas:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Você deve lembrar ou ser capaz de exibi-lo!! \) !}
Mas os valores das funções trigonométricas dos ângulos B e \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) fornecido na tabela abaixo, você deve se lembrar:
Não se assuste, agora mostraremos um exemplo de memorização bastante simples dos valores correspondentes:
Para usar este método, é vital lembrar os valores dos senos para todas as três medidas de ângulo ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), bem como o valor da tangente do ângulo em \(30()^\circ \) . Conhecendo esses \(4\) valores, é bastante simples restaurar toda a tabela - os valores do cosseno são transferidos de acordo com as setas, ou seja:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\fim(matriz)\)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), sabendo disso, você pode restaurar os valores para \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). O numerador "\(1 \)" corresponderá a \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) e o denominador "\(\sqrt(\text(3)) \)" corresponderá a \(\texto (tg)\ 60()^\circ \ \) . Os valores cotangentes são transferidos de acordo com as setas indicadas na figura. Se você entender isso e se lembrar do diagrama com as setas, será suficiente lembrar apenas \(4\) valores da tabela.
Coordenadas de um ponto em um círculo
É possível encontrar um ponto (suas coordenadas) em um círculo, conhecendo as coordenadas do centro do círculo, seu raio e ângulo de rotação? Bem, é claro que você pode! Vamos tirar isso Fórmula geral para encontrar as coordenadas de um ponto. Por exemplo, aqui está um círculo à nossa frente:
Nos é dado esse ponto \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- centro do círculo. O raio do círculo é \(1,5\) . É necessário encontrar as coordenadas do ponto \(P\) obtidas girando o ponto \(O\) em \(\delta \) graus.
Como pode ser visto na figura, a coordenada \(x\) do ponto \(P\) corresponde ao comprimento do segmento \(TP=UQ=UK+KQ\) . O comprimento do segmento \(UK\) corresponde à coordenada \(x\) do centro do círculo, ou seja, é igual a \(3\) . O comprimento do segmento \(KQ\) pode ser expresso usando a definição de cosseno:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Então temos que para o ponto \(P\) a coordenada \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Usando a mesma lógica, encontramos o valor da coordenada y para o ponto \(P\) . Por isso,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Então, em visão geral as coordenadas dos pontos são determinadas pelas fórmulas:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(matriz) \), Onde
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordenadas do centro do círculo,
\(r\) - raio do círculo,
\(\delta \) - ângulo de rotação do raio do vetor.
Como você pode ver, para o círculo unitário que estamos considerando, essas fórmulas são significativamente reduzidas, pois as coordenadas do centro são iguais a zero e o raio é igual a um:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(matriz) \)
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A trigonometria é um ramo da ciência matemática que estuda funções trigonométricas e seu uso em geometria. O desenvolvimento da trigonometria começou na Grécia antiga. Durante a Idade Média, cientistas do Médio Oriente e da Índia deram importantes contribuições para o desenvolvimento desta ciência.
Este artigo é dedicado aos conceitos básicos e definições de trigonometria. Discute as definições das funções trigonométricas básicas: seno, cosseno, tangente e cotangente. Seu significado é explicado e ilustrado no contexto da geometria.
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Inicialmente, as definições de funções trigonométricas cujo argumento é um ângulo foram expressas em termos da razão dos lados de um triângulo retângulo.
Definições de funções trigonométricas
O seno de um ângulo (sin α) é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.
O cosseno do ângulo (cos α) é a razão entre a perna adjacente e a hipotenusa.
Tangente angular (t g α) - a razão entre o lado oposto e o lado adjacente.
Ângulo cotangente (ct g α) - a razão entre o lado adjacente e o lado oposto.
Estas definições são dadas para o ângulo agudo de um triângulo retângulo!
Vamos dar uma ilustração.
No triângulo ABC com ângulo reto C, o seno do ângulo A é igual à razão entre a perna BC e a hipotenusa AB.
As definições de seno, cosseno, tangente e cotangente permitem calcular os valores dessas funções a partir dos comprimentos conhecidos dos lados do triângulo.
Importante lembrar!
O intervalo de valores de seno e cosseno é de -1 a 1. Em outras palavras, seno e cosseno assumem valores de -1 a 1. O intervalo de valores de tangente e cotangente é a reta numérica inteira, isto é, essas funções podem assumir qualquer valor.
As definições fornecidas acima se aplicam a ângulos agudos. Na trigonometria, é introduzido o conceito de ângulo de rotação, cujo valor, ao contrário de um ângulo agudo, não se limita a 0 a 90 graus. O ângulo de rotação em graus ou radianos é expresso por qualquer número real de - ∞ a + ∞. .
Neste contexto, podemos definir seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo de magnitude arbitrária. Imaginemos um círculo unitário com centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas.
O ponto inicial A com coordenadas (1, 0) gira em torno do centro do círculo unitário através de um certo ângulo α e vai para o ponto A 1. A definição é dada em termos das coordenadas do ponto A 1 (x, y).
Seno (sin) do ângulo de rotação
O seno do ângulo de rotação α é a ordenada do ponto A 1 (x, y). pecado α = y
Cosseno (cos) do ângulo de rotação
O cosseno do ângulo de rotação α é a abcissa do ponto A 1 (x, y). cos α = x
Tangente (tg) do ângulo de rotação
A tangente do ângulo de rotação α é a razão entre a ordenada do ponto A 1 (x, y) e sua abcissa. t g α = y x
Cotangente (ctg) do ângulo de rotação
A cotangente do ângulo de rotação α é a razão entre a abcissa do ponto A 1 (x, y) e sua ordenada. c t g α = x y
Seno e cosseno são definidos para qualquer ângulo de rotação. Isso é lógico, porque a abcissa e a ordenada de um ponto após a rotação podem ser determinadas em qualquer ângulo. A situação é diferente com tangente e cotangente. A tangente é indefinida quando um ponto após a rotação vai para um ponto com abscissa zero (0, 1) e (0, - 1). Nesses casos, a expressão para a tangente t g α = y x simplesmente não faz sentido, pois contém divisão por zero. A situação é semelhante com a cotangente. A diferença é que a cotangente não é definida nos casos em que a ordenada de um ponto vai para zero.
Importante lembrar!
Seno e cosseno são definidos para quaisquer ângulos α.
A tangente é definida para todos os ângulos, exceto α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
A cotangente é definida para todos os ângulos, exceto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Ao resolver exemplos práticos, não diga “seno do ângulo de rotação α”. As palavras “ângulo de rotação” são simplesmente omitidas, o que implica que já está claro no contexto o que está sendo discutido.
Números
E quanto à definição de seno, cosseno, tangente e cotangente de um número, e não do ângulo de rotação?
Seno, cosseno, tangente, cotangente de um número
Seno, cosseno, tangente e cotangente de um número té um número que é respectivamente igual a seno, cosseno, tangente e cotangente em t radiano.
Por exemplo, o seno do número 10 π igual ao senoângulo de rotação de 10 π rad.
Existe outra abordagem para determinar o seno, cosseno, tangente e cotangente de um número. Vamos dar uma olhada mais de perto.
Qualquer número real t um ponto no círculo unitário está associado ao centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Seno, cosseno, tangente e cotangente são determinados através das coordenadas deste ponto.
O ponto inicial do círculo é o ponto A com coordenadas (1, 0).
Número positivo t
Número negativo t corresponde ao ponto para onde irá o ponto inicial se ele se mover ao redor do círculo no sentido anti-horário e passar pelo caminho t.
Agora que a ligação entre um número e um ponto de uma circunferência foi estabelecida, passamos à definição de seno, cosseno, tangente e cotangente.
Seno (pecado) de t
Seno de um número t- ordenada de um ponto no círculo unitário correspondente ao número t. pecado t = y
Cosseno (cos) de t
Cosseno de um número t- abscissa do ponto do círculo unitário correspondente ao número t. cos t = x
Tangente (tg) de t
Tangente de um número t- a razão entre a ordenada e a abcissa de um ponto no círculo unitário correspondente ao número t. t g t = y x = sin t cos t
As últimas definições estão de acordo e não contradizem a definição dada no início deste parágrafo. Aponte no círculo correspondente ao número t, coincide com o ponto para onde vai o ponto inicial após girar um ângulo t radiano.
Funções trigonométricas de argumento angular e numérico
Cada valor do ângulo α corresponde a um determinado valor do seno e cosseno deste ângulo. Assim como todos os ângulos α diferentes de α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) correspondem a um determinado valor da tangente. A cotangente, como afirmado acima, é definida para todo α exceto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Podemos dizer que sen α, cos α, t g α, c t g α são funções do ângulo alfa, ou funções do argumento angular.
Da mesma forma, podemos falar de seno, cosseno, tangente e cotangente como funções de um argumento numérico. Cada número real t corresponde a um determinado valor do seno ou cosseno de um número t. Todos os números diferentes de π 2 + π · k, k ∈ Z, correspondem a um valor tangente. A cotangente, da mesma forma, é definida para todos os números, exceto π k, k ∈ Z.
Funções básicas da trigonometria
Seno, cosseno, tangente e cotangente são as funções trigonométricas básicas.
Geralmente fica claro no contexto com qual argumento da função trigonométrica (argumento angular ou argumento numérico) estamos lidando.
Voltemos às definições dadas no início e ao ângulo alfa, que está na faixa de 0 a 90 graus. As definições trigonométricas de seno, cosseno, tangente e cotangente são inteiramente consistentes com as definições geométricas dadas pelas proporções de um triângulo retângulo. Vamos mostrar.
Vamos pegar um círculo unitário com centro em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares. Vamos girar o ponto inicial A (1, 0) em um ângulo de até 90 graus e traçar uma perpendicular ao eixo das abcissas a partir do ponto resultante A 1 (x, y). No recebido triângulo retângulo o ângulo A 1 O H é igual ao ângulo de rotação α, o comprimento da perna O H é igual à abcissa do ponto A 1 (x, y). O comprimento da perna oposta ao ângulo é igual à ordenada do ponto A 1 (x, y), e o comprimento da hipotenusa é igual a um, pois é o raio do círculo unitário.
De acordo com a definição da geometria, o seno do ângulo α é igual à razão entre o lado oposto e a hipotenusa.
pecado α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Isso significa que determinar o seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo através da proporção é equivalente a determinar o seno do ângulo de rotação α, com alfa situado na faixa de 0 a 90 graus.
Da mesma forma, a correspondência de definições pode ser mostrada para cosseno, tangente e cotangente.
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Instruções
Um triângulo é chamado de retângulo se um de seus ângulos for 90 graus. Consiste em duas pernas e uma hipotenusa. A hipotenusa é o maior lado deste triângulo. Encontra-se contra um ângulo reto. As pernas, portanto, são chamadas de lados menores. Eles podem ser iguais entre si ou ter tamanhos diferentes. Igualdade de pernas é o que você está trabalhando com um triângulo retângulo. Sua beleza é que combina duas figuras: um triângulo retângulo e um triângulo isósceles. Se os catetos não forem iguais, então o triângulo é arbitrário e segue a lei básica: quanto maior o ângulo, mais rola aquele que está oposto a ele.
Existem várias maneiras de encontrar a hipotenusa por ângulo. Mas antes de usar um deles, você deve determinar qual ângulo é conhecido. Se você receber um ângulo e um lado adjacente a ele, será mais fácil encontrar a hipotenusa usando o cosseno do ângulo. O cosseno de um ângulo agudo (cos a) em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Segue-se que a hipotenusa (c) será igual à razão entre o cateto adjacente (b) e o cosseno do ângulo a (cos a). Isso pode ser escrito assim: cos a=b/c => c=b/cos a.
Se um ângulo e uma perna oposta forem fornecidos, você deverá trabalhar. O seno de um ângulo agudo (sen a) em um triângulo retângulo é a razão entre o lado oposto (a) e a hipotenusa (c). Aqui o princípio é o mesmo do exemplo anterior, só que em vez da função cosseno, o seno é considerado. sen a=a/c => c=a/sen a.
Você também pode usar uma função trigonométrica como . Mas encontrar o valor desejado será um pouco mais complicado. A tangente de um ângulo agudo (tg a) em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto (a) e o cateto adjacente (b). Tendo encontrado os dois catetos, aplique o teorema de Pitágoras (o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos) e o maior será encontrado.
observação
Ao trabalhar com o teorema de Pitágoras, lembre-se de que você está lidando com um grau. Depois de encontrar a soma dos quadrados das pernas, você precisa calcular a raiz quadrada para obter a resposta final.
Fontes:
- como encontrar a perna e a hipotenusa
A hipotenusa é o lado de um triângulo retângulo oposto ao ângulo de 90 graus. Para calcular seu comprimento, basta saber o comprimento de um dos catetos e o tamanho de um dos ângulos agudos do triângulo.
Instruções
Dado um ângulo retangular conhecido e agudo, então o tamanho da hipotenusa será a razão entre o cateto e/desse ângulo, se este ângulo for oposto/adjacente a ele:
h = C1(ou C2)/sinα;
h = C1 (ou C2)/cosα.
Exemplo: Seja ABC com hipotenusa AB e C. Seja o ângulo B 60 graus e o ângulo A 30 graus. O comprimento da perna BC é 8 cm. Para fazer isso, você pode usar qualquer um dos métodos sugeridos acima:
AB = BC/cos60 = 8 cm.
AB = BC/sen30 = 8 cm.
Palavra " perna" vem das palavras gregas "perpendicular" ou "prumo" - isso explica por que ambos os lados de um triângulo retângulo, constituindo seu ângulo de noventa graus, foram assim chamados. Encontre o comprimento de qualquer um perna ov não é difícil se o valor do ângulo adjacente e quaisquer outros parâmetros forem conhecidos, pois neste caso os valores de todos os três ângulos serão realmente conhecidos.
Instruções
Se, além do valor do ângulo adjacente (β), o comprimento do segundo perna a (b), então o comprimento perna e (a) pode ser definido como o quociente do comprimento do conhecido perna e em um ângulo conhecido: a=b/tg(β). Isso decorre da definição deste trigonométrico. Você pode prescindir da tangente se usar o teorema. Segue-se disso que o comprimento necessário para o seno ângulo oposto relação ao comprimento de um conhecido perna e ao seno de um ângulo conhecido. Oposto ao desejado perna y ângulo agudo pode ser expresso através do ângulo conhecido como 180°-90°-β = 90°-β, já que a soma de todos os ângulos de qualquer triângulo deve ser 180°, e um de seus ângulos é 90°. Então, o comprimento necessário perna e pode ser calculado usando a fórmula a=sin(90°-β)∗b/sin(β).
Se o valor do ângulo adjacente (β) e o comprimento da hipotenusa (c) forem conhecidos, então o comprimento perna e (a) pode ser calculado como o produto do comprimento da hipotenusa e do cosseno do ângulo conhecido: a=c∗cos(β). Isso decorre da definição de cosseno como uma função trigonométrica. Mas você pode usar, como na etapa anterior, o teorema dos senos e depois o comprimento do desejado perna a será igual ao produto do seno entre 90° e o ângulo conhecido e a razão entre o comprimento da hipotenusa e o seno do ângulo reto. E como o seno de 90° é igual a um, podemos escrevê-lo assim: a=sin(90°-β)∗c.
Cálculos práticos podem ser realizados, por exemplo, usando a calculadora de software incluída no sistema operacional Windows. Para executá-lo, você pode selecionar “Executar” no menu principal no botão “Iniciar”, digitar o comando calc e clicar em “OK”. Na versão mais simples da interface deste programa que abre por padrão, as funções trigonométricas não são fornecidas, portanto, após iniciá-lo, você precisa clicar na seção “Visualizar” do menu e selecionar a linha “Científico” ou “Engenharia” ( dependendo da versão do sistema operacional utilizado).
Vídeo sobre o tema
A palavra “kathet” veio do grego para o russo. Na tradução exata, significa fio de prumo, ou seja, perpendicular à superfície da terra. Em matemática, pernas são os lados que formam um ângulo reto de um triângulo retângulo. O lado oposto a esse ângulo é chamado de hipotenusa. O termo “cateto” também é usado em arquitetura e tecnologia de soldagem.
Desenhe um triângulo retângulo DIA. Rotule seus catetos como aeb e sua hipotenusa como c. Todos os lados e ângulos de um triângulo retângulo são definidos entre si. A razão entre o cateto oposto a um dos ângulos agudos e a hipotenusa é chamada de seno desse ângulo. Neste triângulo sinCAB=a/c. Cosseno é a razão entre a hipotenusa da perna adjacente, ou seja, cosCAB=b/c. As relações inversas são chamadas de secante e cossecante.
A secante deste ângulo é obtida dividindo a hipotenusa pelo cateto adjacente, ou seja, secCAB = c/b. O resultado é o inverso do cosseno, ou seja, pode ser expresso pela fórmula secCAB=1/cosSAB.
A cossecante é igual ao quociente da hipotenusa dividido pelo lado oposto e é o inverso do seno. Pode ser calculado usando a fórmula cosecCAB=1/sinCAB
Ambas as pernas estão conectadas entre si e por uma cotangente. Neste caso, a tangente será a razão entre o lado a e o lado b, ou seja, o lado oposto ao lado adjacente. Essa relação pode ser expressa pela fórmula tgCAB=a/b. Assim, a razão inversa será a cotangente: ctgCAB=b/a.
A relação entre os tamanhos da hipotenusa e de ambas as pernas foi determinada por pitágoras grego antigo. As pessoas ainda usam o teorema e seu nome. Diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, ou seja, c2 = a2 + b2. Assim, cada perna será igual a raiz quadrada da diferença entre os quadrados da hipotenusa e da outra perna. Esta fórmula pode ser escrita como b=√(c2-a2).
O comprimento da perna também pode ser expresso por meio de relacionamentos que você conhece. De acordo com os teoremas dos senos e cossenos, um cateto é igual ao produto da hipotenusa e uma dessas funções. Pode ser expresso como e ou cotangente. A perna a pode ser encontrada, por exemplo, usando a fórmula a = b*tan CAB. Exatamente da mesma maneira, dependendo da tangente dada ou , a segunda perna é determinada.
O termo "cateto" também é usado em arquitetura. É aplicado ao capitel jônico e penetrado no meio de suas costas. Ou seja, neste caso, este termo é perpendicular a uma determinada reta.
Na tecnologia de soldagem existe uma “perna de solda de filete”. Como em outros casos, esta é a distância mais curta. Aqui estamos falando sobre sobre a folga entre uma das peças a serem soldadas até o limite da costura localizada na superfície da outra peça.
Vídeo sobre o tema
Fontes:
- o que são perna e hipotenusa em 2019
A razão entre o lado oposto e a hipotenusa é chamada seio de ângulo agudo triângulo retângulo.
\sin \alfa = \frac(a)(c)
Cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo
A razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa é chamada cosseno de um ângulo agudo triângulo retângulo.
\cos \alfa = \frac(b)(c)
Tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo
A razão entre o lado oposto e o lado adjacente é chamada tangente de um ângulo agudo triângulo retângulo.
tg \alfa = \frac(a)(b)
Cotangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo
A razão entre o lado adjacente e o lado oposto é chamada cotangente de um ângulo agudo triângulo retângulo.
ctg \alfa = \frac(b)(a)
Seno de um ângulo arbitrário
A ordenada de um ponto no círculo unitário ao qual corresponde o ângulo \alpha é chamada seno de um ângulo arbitrário rotação \alfa .
\sin \alfa=y
Cosseno de um ângulo arbitrário
A abscissa de um ponto no círculo unitário ao qual corresponde o ângulo \alpha é chamada cosseno de um ângulo arbitrário rotação \alfa .
\cos \alfa=x
Tangente de um ângulo arbitrário
A razão entre o seno de um ângulo de rotação arbitrário \alpha e seu cosseno é chamada tangente de um ângulo arbitrário rotação \alfa .
tan \alfa = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Cotangente de um ângulo arbitrário
A razão entre o cosseno de um ângulo de rotação arbitrário \alpha e seu seno é chamada cotangente de um ângulo arbitrário rotação \alfa .
ctg\alfa =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Um exemplo de como encontrar um ângulo arbitrário
Se \alpha é algum ângulo AOM, onde M é um ponto do círculo unitário, então
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alfa=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alfa=\frac(x_(M))(y_(M)).
Por exemplo, se \ângulo AOM = -\frac(\pi)(4), então: a ordenada do ponto M é igual a -\frac(\sqrt(2))(2), abscissa é igual \frac(\sqrt(2))(2) E é por causa disso
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \esquerda (-\frac(\pi)(4) \direita)=-1.
Tabela de valores de senos de cossenos de tangentes de cotangentes
Os valores dos principais ângulos que ocorrem com frequência são apresentados na tabela:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\esquerda(\frac(\pi)(6)\direita) | 45^(\circ)\esquerda(\frac(\pi)(4)\direita) | 60^(\circ)\esquerda(\frac(\pi)(3)\direita) | 90^(\circ)\esquerda(\frac(\pi)(2)\direita) | 180^(\circ)\esquerda(\pi\direita) | 270^(\circ)\esquerda(\frac(3\pi)(2)\direita) | 360^(\circ)\esquerda(2\pi\direita) | |
| \ pecado \ alfa | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alfa | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alfa | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alfa | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Seioângulo agudo α de um triângulo retângulo é a razão oposto perna até a hipotenusa.
É denotado da seguinte forma: sin α.
Cosseno O ângulo agudo α de um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.
É designado da seguinte forma: cos α.
Tangenteângulo agudo α é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente.
É designado da seguinte forma: tg α.
Co-tangenteângulo agudo α é a razão entre o lado adjacente e o lado oposto.
É designado da seguinte forma: ctg α.
O seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo dependem apenas do tamanho do ângulo.
Regras:
Identidades trigonométricas básicas em um triângulo retângulo:
(α – ângulo agudo oposto à perna b e adjacente à perna a . Lado Com – hipotenusa. β – segundo ângulo agudo).
b | sen 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
pecado α |
À medida que o ângulo agudo aumentapecado α eaumento de tan α, ecos α diminui.
Para qualquer ângulo agudo α:
sen (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sen α
Exemplo-explicação:
Deixe entrar um triângulo retângulo ABC
AB = 6,
BC = 3,
ângulo A = 30º.
Vamos descobrir o seno do ângulo A e o cosseno do ângulo B.
Solução.
1) Primeiro encontramos o valor do ângulo B. Tudo é simples aqui: como em um triângulo retângulo a soma dos ângulos agudos é 90º, então ângulo B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Vamos calcular o sen A. Sabemos que o seno é igual à razão entre o lado oposto e a hipotenusa. Para o ângulo A, o lado oposto é o lado BC. Então:
3 AC 1
pecado A = -- = - = -
AB 6 2
3) Agora vamos calcular o cos B. Sabemos que o cosseno é igual à razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Para o ângulo B, a perna adjacente é o mesmo lado BC. Isso significa que precisamos novamente dividir BC por AB - ou seja, realizar as mesmas ações do cálculo do seno do ângulo A:
3 AC 1
porque B = -- = - = -
AB 6 2
O resultado é:
sen A = cos B = 1/2.
sen 30º = cos 60º = 1/2.
Segue-se disso que em um triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é igual ao cosseno do outro ângulo agudo - e vice-versa. Isso é exatamente o que nossas duas fórmulas significam:
sen (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sen α
Vamos ter certeza disso novamente:
1) Seja α = 60º. Substituindo o valor de α na fórmula do seno, obtemos:
sen (90º – 60º) = cos 60º.
sen 30º = cos 60º.
2) Seja α = 30º. Substituindo o valor de α na fórmula do cosseno, obtemos:
cos (90° – 30º) = sen 30º.
cos 60° = sen 30º.
(Para obter mais informações sobre trigonometria, consulte a seção Álgebra)