Definição de divisor comum. Encontrando GCD usando o algoritmo euclidiano e usando fatoração primária
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60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Vamos escrever os fatores incluídos na expansão do primeiro desses números e adicionar a eles o fator 5 que falta na expansão do segundo número. Obtemos: 2*2*3*5*5=300. Encontramos o NOC, ou seja, este valor = 300. Não se esqueça da dimensão e escreva a resposta:
Resposta: Mamãe dá 300 rublos.
Definição do GCD: Maior Divisor Comum (MDC) números naturais A E V chame o maior número natural c, ao qual a, E b dividido sem resto. Aqueles. cé o menor número natural para o qual e A E b são múltiplos.
Memorando: Existem duas abordagens para definir números naturais
- números usados em: listagem (numeração) de objetos (primeiro, segundo, terceiro, ...); - nas escolas geralmente é assim.
- designação do número de itens (sem Pokémon - zero, um Pokémon, dois Pokémon, ...).
Números negativos e não inteiros (racionais, reais, ...) não são números naturais. Alguns autores incluem zero no conjunto dos números naturais, outros não. O conjunto de todos os números naturais é geralmente denotado pelo símbolo N
Memorando: Divisor de um número natural a nomeie o número b, ao qual a dividido sem resto. Múltiplos de um número natural b ligue para um número natural a, que é divisível por b sem deixar vestígios. Se o número b- divisor de número a, Que a múltiplo do número b. Exemplo: 2 é um divisor de 4 e 4 é um múltiplo de dois. 3 é um divisor de 12 e 12 é um múltiplo de 3.
Memorando: Os números naturais são chamados primos se forem divisíveis sem resto apenas por eles próprios e por 1. Os números coprimos são aqueles que possuem apenas um divisor comum igual a 1.
Determinação de como encontrar o GCD em caso Geral:
Para encontrar o GCD (Maior Divisor Comum) vários números naturais são necessários:
1) Divida-os em fatores primos. (A Tabela de Números Primos pode ser muito útil para isso.)
2) Anote os fatores incluídos na expansão de um deles.
3) Risque aqueles que não estão incluídos na expansão dos demais números.
4) Multiplique os fatores obtidos no passo 3).
Problema 2 em (NOK): Para o Ano Novo, Kolya Puzatov comprou 48 hamsters e 36 cafeteiras na cidade. Fekla Dormidontova, como a garota mais honesta da turma, recebeu a tarefa de dividir essa propriedade no maior número possível de conjuntos de presentes para professores. Quantos conjuntos você conseguiu? Qual é o conteúdo dos conjuntos?
Exemplo 2.1. resolvendo o problema de encontrar o GCD. Encontrando GCD por seleção.
Solução: Cada um dos números 48 e 36 deve ser divisível pelo número de presentes.
1) Anote os divisores 48: 48, 24, 16, 12
, 8, 6, 3, 2, 1
2) Escreva os divisores de 36: 36, 18, 12
, 9, 6, 3, 2, 1 Escolha o máximo divisor comum. Uau-la-la! Descobrimos que o número de conjuntos é de 12 peças.
3) Divida 48 por 12 para obter 4, divida 36 por 12 para obter 3. Não se esqueça da dimensão e escreva a resposta:
Answer: Você receberá 12 conjuntos de 4 hamsters e 3 cafeteiras em cada conjunto.
Para aprender como encontrar o máximo divisor comum de dois ou mais números, você precisa entender o que são números naturais, primos e complexos.
Um número natural é qualquer número usado para contar objetos inteiros.
Se um número natural só pode ser dividido entre ele mesmo e um, então ele é chamado de primo.
Todos os números naturais podem ser divididos por eles próprios e por um, mas o único número primo par é 2, todos os outros podem ser divididos por dois. Portanto, apenas os números ímpares podem ser primos.
Existem muitos números primos lista completa eles não existem. Para encontrar o GCD é conveniente usar tabelas especiais com esses números.
A maioria dos números naturais pode ser dividida não apenas por um, mas também por outros números. Assim, por exemplo, o número 15 pode ser dividido por 3 e 5. Todos eles são chamados de divisores do número 15.
Assim, o divisor de qualquer A é o número pelo qual ele pode ser dividido sem deixar resto. Se um número tiver mais de dois fatores naturais, ele é chamado de composto.
O número 30 pode ter divisores como 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Você notará que 15 e 30 têm os mesmos divisores 1, 3, 5, 15. O máximo divisor comum desses dois números é 15.
Assim, o divisor comum dos números A e B é o número pelo qual eles podem ser divididos inteiramente. O maior pode ser considerado o máximo número total, em que podem ser divididos.
Para resolver problemas, é utilizada a seguinte inscrição abreviada:
GCD (A; B).
Por exemplo, GCD (15; 30) = 30.
Para escrever todos os divisores de um número natural, use a notação:
D (15) = (1, 3, 5, 15)
MDC (9; 15) = 1
Neste exemplo, os números naturais possuem apenas um divisor comum. Eles são chamados de relativamente primos, então a unidade é seu máximo divisor comum.
Como encontrar o máximo divisor comum de números
Para encontrar o MDC de vários números, você precisa:
Encontre todos os divisores de cada número natural separadamente, ou seja, fatore-os ( números primos);
Selecione todos os fatores idênticos de determinados números;
Multiplique-os juntos.
Por exemplo, para calcular o máximo divisor comum dos números 30 e 56, você escreveria o seguinte:
Para evitar confusão, é conveniente escrever os fatores em colunas verticais. No lado esquerdo da linha você precisa colocar o dividendo e no lado direito - o divisor. Sob o dividendo, você deve indicar o quociente resultante.
Assim, na coluna da direita estarão todos os fatores necessários para a solução.
Divisores idênticos (fatores encontrados) podem ser sublinhados por conveniência. Eles devem ser reescritos e multiplicados e o máximo divisor comum anotado.
MDC (30; 56) = 2 * 5 = 10
É assim que é realmente fácil encontrar o máximo divisor comum de números. Se você praticar um pouco, poderá fazer isso quase automaticamente.
A calculadora online permite que você encontre rapidamente o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum para dois ou qualquer outro número de números.
Calculadora para encontrar GCD e LCM
Encontre GCD e LOC
GCD e LOC encontrados: 5806
Como usar a calculadora
- Insira números no campo de entrada
- Se você inserir caracteres incorretos, o campo de entrada será destacado em vermelho
- clique no botão "Encontrar GCD e LCM"
Como inserir números
- Os números são inseridos separados por espaço, ponto final ou vírgula
- O comprimento dos números inseridos não é limitado, portanto, encontrar MDC e MMC de números longos não é difícil
O que são GCD e NOC?
Maior divisor comum vários números é o maior inteiro natural pelo qual todos os números originais são divisíveis sem resto. O máximo divisor comum é abreviado como GCD.
Mínimo múltiplo comum vários números é menor número, que é divisível por cada um dos números originais sem resto. O mínimo múltiplo comum é abreviado como NOC.
Como verificar se um número é divisível por outro número sem resto?
Para descobrir se um número é divisível por outro sem resto, você pode usar algumas propriedades de divisibilidade dos números. Então, ao combiná-los, você pode verificar a divisibilidade de alguns deles e suas combinações.
Alguns sinais de divisibilidade de números
1. Teste de divisibilidade de um número por 2
Para determinar se um número é divisível por dois (se é par), basta olhar o último dígito desse número: se for igual a 0, 2, 4, 6 ou 8, então o número é par, o que significa que é divisível por 2.
Exemplo: determine se o número 34938 é divisível por 2.
Solução: Observamos o último dígito: 8 - isso significa que o número é divisível por dois.
2. Teste de divisibilidade de um número por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por três. Assim, para determinar se um número é divisível por 3, é necessário calcular a soma dos algarismos e verificar se ele é divisível por 3. Mesmo que a soma dos algarismos seja muito grande, você pode repetir o mesmo processo novamente.
Exemplo: determine se o número 34938 é divisível por 3.
Solução: Contamos a soma dos números: 3+4+9+3+8 = 27. 27 é divisível por 3, o que significa que o número é divisível por três.
3. Teste de divisibilidade de um número por 5
Um número é divisível por 5 quando seu último algarismo é zero ou cinco.
Exemplo: determine se o número 34938 é divisível por 5.
Solução: observe o último dígito: 8 significa que o número NÃO é divisível por cinco.
4. Teste de divisibilidade de um número por 9
Este sinal é muito semelhante ao sinal de divisibilidade por três: um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 9.
Exemplo: determine se o número 34938 é divisível por 9.
Solução: Contamos a soma dos números: 3+4+9+3+8 = 27. 27 é divisível por 9, o que significa que o número é divisível por nove.
Como encontrar GCD e LCM de dois números
Como encontrar o MDC de dois números
Maioria de uma forma simples Calcular o máximo divisor comum de dois números é encontrar todos os divisores possíveis desses números e selecionar o maior deles.
Vamos considerar este método usando o exemplo de como encontrar o GCD(28, 36):
- Fatoramos os dois números: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
- Encontramos fatores comuns, ou seja, aqueles que ambos os números possuem: 1, 2 e 2.
- Calculamos o produto destes fatores: 1 2 2 = 4 - este é o máximo divisor comum dos números 28 e 36.
Como encontrar o MMC de dois números
Existem duas maneiras mais comuns de encontrar o mínimo múltiplo de dois números. O primeiro método é que você pode anotar os primeiros múltiplos de dois números e, em seguida, escolher entre eles um número que será comum a ambos os números e ao mesmo tempo o menor. E a segunda é encontrar o MDC desses números. Vamos considerar apenas isso.
Para calcular o MMC, você precisa calcular o produto dos números originais e depois dividi-lo pelo MDC encontrado anteriormente. Vamos encontrar o MMC para os mesmos números 28 e 36:
- Encontre o produto dos números 28 e 36: 28·36 = 1008
- GCD(28, 36), como já se sabe, é igual a 4
- MMC(28, 36) = 1008/4 = 252 .
Encontrando GCD e LCM para vários números
O máximo divisor comum pode ser encontrado para vários números, não apenas para dois. Para fazer isso, os números a serem encontrados para o máximo divisor comum são decompostos em fatores primos e, em seguida, é encontrado o produto dos fatores primos comuns desses números. Você também pode usar a seguinte relação para encontrar o MDC de vários números: MDC(a, b, c) = MDC(MDC(a, b), c).
Uma relação semelhante se aplica ao mínimo múltiplo comum: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Exemplo: encontre GCD e LCM para os números 12, 32 e 36.
- Primeiro, vamos fatorar os números: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
- Vamos encontrar os fatores comuns: 1, 2 e 2.
- O produto deles dará MDC: 1·2·2 = 4
- Agora vamos encontrar o MMC: para fazer isso, vamos primeiro encontrar o MMC(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
- Para encontrar o MMC de todos os três números, você precisa encontrar GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
- MMC(12, 32, 36) = 96·36/12 = 288.
GCD é o máximo divisor comum.
Para encontrar o máximo divisor comum de vários números, você precisa:
- determine os fatores comuns a ambos os números;
- encontre o produto de fatores comuns.
Um exemplo de como encontrar o GCD:
Vamos encontrar o MDC dos números 315 e 245.
315 = 5 * 3 * 3 * 7;
245 = 5 * 7 * 7.
2. Vamos anotar os fatores comuns aos dois números:
3. Encontre o produto dos fatores comuns:
MDC(315, 245) = 5 * 7 = 35.
Resposta: GCD(315, 245) = 35.
Encontrando o NOC
LCM é o mínimo múltiplo comum.
Para encontrar o mínimo múltiplo comum de vários números, você precisa:
- fatorar números em fatores primos;
- anote os fatores incluídos na expansão de um dos números;
- Vamos adicionar a eles os fatores que faltam na expansão do segundo número;
- encontre o produto dos fatores resultantes.
Um exemplo de como encontrar o LOC:
Vamos encontrar o MMC dos números 236 e 328:
1. Vamos fatorar os números em fatores primos:
236 = 2 * 2 * 59;
328 = 2 * 2 * 2 * 41.
2. Vamos anotar os fatores incluídos na expansão de um dos números e adicionar a eles os fatores que faltam na expansão do segundo número:
2; 2; 59; 2; 41.
3. Encontre o produto dos fatores resultantes:
MMC(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.
Resposta: LCM(236, 328) = 19352.
Para encontrar o MDC (máximo divisor comum) de dois números você precisa:
2. Encontre (sublinhe) todos os fatores primos comuns nas expansões resultantes.
3. Encontre o produto de fatores primos comuns.
Para encontrar o MMC (mínimo múltiplo comum) de dois números, você precisa:
1. Divida os números fornecidos em fatores primos.
2. A expansão de um deles é complementada com aqueles fatores de expansão do outro número que não estão na expansão do primeiro.
3. Calcule o produto dos fatores resultantes.
Mas muitos números naturais também são divisíveis por outros números naturais.
Por exemplo:
O número 12 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;
O número 36 é divisível por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.
Os números pelos quais o número é divisível por um inteiro (para 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12) são chamados divisores de números. Divisor de um número natural a- é um número natural que divide um determinado número a sem deixar vestígios. Um número natural que possui mais de dois divisores é chamado composto. Observe que os números 12 e 36 têm fatores comuns. Esses números são: 1, 2, 3, 4, 6, 12. O maior divisor desses números é 12.
Divisor comum de dois números dados a E b- este é o número pelo qual ambos os números dados são divididos sem resto a E b. Divisor comum de vários números (GCD)é um número que serve de divisor para cada um deles.
Resumidamente maior divisor comum de números a E b escreva assim:
Exemplo: MDC (12; 36) = 12.
Os divisores de números na notação de solução são indicados pela letra maiúscula “D”.
Exemplo:
MDC (7; 9) = 1
Os números 7 e 9 têm apenas um divisor comum - o número 1. Esses números são chamados mutuamente primoschi slami.
Números coprimos- são números naturais que possuem apenas um divisor comum - o número 1. Seu mdc é 1.
Máximo divisor comum (MDC), propriedades.
- Propriedade básica: máximo divisor comum eu E né divisível por qualquer divisor comum desses números. Exemplo: Para os números 12 e 18, o máximo divisor comum é 6; é dividido por todos os divisores comuns desses números: 1, 2, 3, 6.
- Corolário 1: conjunto de divisores comuns eu E n coincide com o conjunto de divisores GCD( eu, n).
- Corolário 2: conjunto de múltiplos comuns eu E n coincide com o conjunto de múltiplos LCMs ( eu, n).
Isso significa, em particular, que para reduzir uma fração a uma forma irredutível, é necessário dividir seu numerador e denominador pelo seu mdc.
- Maior divisor comum de números eu E n pode ser definido como o menor elemento positivo do conjunto de todas as suas combinações lineares:
e, portanto, representá-lo como uma combinação linear de números eu E n:
Essa proporção é chamada A relação de Bezout, e os coeficientes você E v — Coeficientes de Bezout. Os coeficientes de Bezout são calculados eficientemente pelo algoritmo euclidiano estendido. Esta afirmação generaliza para conjuntos de números naturais - seu significado é que o subgrupo do grupo gerado pelo conjunto é cíclico e gerado por um elemento: GCD ( a 1 , a 2 , … , um).
Calcule o máximo divisor comum (GCD).
Maneiras eficientes de calcular o mdc de dois números são Algoritmo euclidiano E binárioalgoritmo. Além disso, o valor de mdc ( eu,n) pode ser facilmente calculado se a expansão canônica dos números for conhecida eu E n em fatores primos:
onde são números primos distintos e e são inteiros não negativos (podem ser zeros se o primo correspondente não estiver na expansão). Então GCD ( eu,n) e NOC ( eu,n) são expressos pelas fórmulas:
Se houver mais de dois números: , seu mdc será encontrado usando o seguinte algoritmo:
- este é o GCD desejado.
Além disso, para encontrar máximo divisor comum, você pode fatorar cada um dos números fornecidos em fatores primos. Em seguida, anote separadamente apenas os fatores incluídos em todos os números fornecidos. Em seguida, multiplicamos os números escritos - o resultado da multiplicação é o máximo divisor comum .
Vejamos o cálculo do máximo divisor comum passo a passo:
1. Decomponha os divisores dos números em fatores primos:
É conveniente escrever cálculos usando uma barra vertical. À esquerda da linha escrevemos primeiro o dividendo, à direita - o divisor. A seguir, na coluna da esquerda anotamos os valores dos quocientes. Vamos explicar imediatamente com um exemplo. Vamos fatorar os números 28 e 64 em fatores primos.
2. Enfatizamos os mesmos fatores primos em ambos os números:
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Encontre o produto de fatores primos idênticos e anote a resposta:
mdc (28; 64) = 2. 2 = 4
Resposta: GCD (28; 64) = 4
Você pode formalizar a localização do GCD de duas maneiras: em coluna (como feito acima) ou “em linha”.
A primeira maneira de escrever GCD:
Encontre mdc 48 e 36.
MDC (48; 36) = 2. 2. 3 = 12
A segunda maneira de escrever GCD:
Agora vamos escrever a solução para a pesquisa do GCD em uma linha. Encontre mdc 10 e 15.
D(10) = (1, 2, 5, 10)
D (15) = (1, 3, 5, 15)
D (10, 15) = (1, 5)