Calculando a raiz quadrada. Extraindo a raiz quadrada de um número com vários dígitos

O círculo mostrou como extrair raízes quadradas de uma coluna. Você pode calcular a raiz com precisão arbitrária, encontrar qualquer número de dígitos em sua notação decimal, mesmo que seja irracional. O algoritmo foi lembrado, mas as dúvidas permaneceram. Não ficou claro de onde veio o método e por que deu o resultado correto. Não estava nos livros, ou talvez eu estivesse apenas procurando nos livros errados. No final, como muito do que sei e posso fazer hoje, fui eu quem inventou. Compartilho meu conhecimento aqui. A propósito, ainda não sei onde é dada a justificativa para o algoritmo)))

Então, primeiro eu conto “como o sistema funciona” com um exemplo, e depois explico porque ele realmente funciona.

Vamos pegar um número (o número foi tirado “do nada”, simplesmente me veio à mente).

1. Dividimos seus números em pares: aqueles à esquerda de ponto decimal, agrupamos dois da direita para a esquerda e os da direita - dois da esquerda para a direita. Nós temos.

2. Nós extraímos Raiz quadrada do primeiro grupo de dígitos à esquerda - no nosso caso é (é claro que a raiz exata não pode ser extraída; pegamos um número cujo quadrado é o mais próximo possível do nosso número formado pelo primeiro grupo de dígitos, mas não excede). No nosso caso, será um número. Anotamos a resposta - este é o dígito mais significativo da raiz.

3. Elevamos ao quadrado o número que já está na resposta - este - e subtraímos do primeiro grupo de números à esquerda - do número. No nosso caso permanece.

4. Atribuímos o seguinte grupo de dois números à direita: . Multiplicamos o número que já está na resposta por e obtemos.

5. Agora observe com atenção. Precisamos atribuir um dígito ao número da direita e multiplicar o número por, ou seja, pelo mesmo dígito atribuído. O resultado deve ser o mais próximo possível, mas novamente não superior a esse número. No nosso caso esse será o número, escrevemos na resposta ao lado, à direita. Este é o próximo dígito na notação decimal da nossa raiz quadrada.

6. Subtraindo o produto, obtemos.

7. A seguir, repetimos as operações familiares: atribuímos o seguinte grupo de dígitos à direita, multiplicamos por, ao número resultante > atribuímos um dígito à direita, de modo que quando multiplicado por ele obtemos um número menor que, mas mais próximo para ele - este é o próximo dígito na notação de raiz decimal.

Os cálculos serão escritos da seguinte forma:

E agora a explicação prometida. O algoritmo é baseado na fórmula

Comentários: 50

2 Antônio:

Muito caótico e confuso. Organize tudo ponto por ponto e numere-os. Mais: explique onde substituímos em cada ação valores obrigatórios. Nunca calculei uma raiz antes; tive dificuldade em descobrir.
5 Júlia:
6 :

Yulia, 23 anos está atualmente escrito à direita; estes são os dois primeiros (à esquerda) dígitos da raiz já recebida na resposta. Multiplique por 2 de acordo com o algoritmo. Repetimos os passos descritos no ponto 4.
7 zzz:

erro em “6. De 167 subtraímos o produto 43 * 3 = 123 (129 nada), obtemos 38.”
Não entendo como acabou sendo 08 depois da vírgula...
9 Fedotov Alexandre:

E mesmo na era da pré-calculadora, aprendíamos na escola não apenas quadrado, mas também raiz cúbica extrair em uma coluna, mas este é um trabalho mais tedioso e meticuloso. Foi mais fácil usar tabelas de Bradis ou régua de cálculo, que já estudamos no ensino médio.
10 :

Alexander, você está certo, você pode extrair raízes de grandes potências em uma coluna. Vou escrever apenas sobre como encontrar a raiz cúbica.
12Sergei Valentinovich:

Querida Elizaveta Alexandrovna! No final dos anos 70, desenvolvi um esquema para cálculo automático (ou seja, não por seleção) de quadra. root na máquina de somar Felix. Se você estiver interessado, posso lhe enviar uma descrição.
14 Vlad em Engelsstadt:

(((Extraindo a raiz quadrada da coluna)))
O algoritmo é simplificado se você usar o sistema de 2º número, que é estudado em ciência da computação, mas também é útil em matemática. UM. Kolmogorov apresentou esse algoritmo em palestras populares para crianças em idade escolar. Seu artigo pode ser encontrado na “Coleção Chebyshev” (Mathematical Journal, procure um link para ele na Internet)
A propósito, diga:
G. Leibniz certa vez brincou com a ideia de fazer a transição do sistema numérico 10 para o sistema binário devido à sua simplicidade e acessibilidade para iniciantes (alunos do ensino fundamental). Mas quebrar tradições estabelecidas é como quebrar o portão de uma fortaleza com a testa: é possível, mas é inútil. Acontece que, segundo o filósofo barbudo mais citado dos velhos tempos: as tradições de todas as gerações mortas suprimem a consciência dos vivos.

Até a próxima vez.
15 Vlad em Engelsstadt:

))Sergey Valentinovich, sim, estou interessado...((

Aposto que esta é uma variação do “Félix” do método babilônico de extrair o cavaleiro quadrado usando o método de aproximações sucessivas. Este algoritmo foi coberto pelo método de Newton (método tangente)

Será que errei na minha previsão?
18 :

2Vlad em Engelsstadt

Sim, o algoritmo em binário deveria ser mais simples, isso é bastante óbvio.

Sobre o método de Newton. Talvez seja verdade, mas ainda é interessante
20 Cirilo:

Muito obrigado. Mas ainda não existe um algoritmo, ninguém sabe de onde veio, mas o resultado está correto. MUITO OBRIGADO! Estou procurando isso há muito tempo)
21 Alexandre:

Como você extrairá a raiz de um número onde o segundo grupo da esquerda para a direita é muito pequeno? por exemplo, o número favorito de todos é 4.398.046.511.104. Após a primeira subtração, não é possível continuar tudo conforme o algoritmo. Você pode explicar, por favor.
22 Alexei:

Sim, eu conheço esse método. Lembro-me de ter lido isso no livro “Álgebra” de alguma edição antiga. Então, por analogia, ele mesmo deduziu como extrair a raiz cúbica de uma coluna. Mas aí já é mais complicado: cada dígito é determinado não por um (como em um quadrado), mas por duas subtrações, e mesmo aí você tem que multiplicar números longos todas as vezes.
23 Artém:

Existem erros de digitação no exemplo de extração da raiz quadrada de 56789,321. O grupo de números 32 é atribuído duas vezes aos números 145 e 243, no número 2388025 o segundo 8 deve ser substituído por 3. Então a última subtração deve ser escrita da seguinte forma: 2431000 – 2383025 = 47975.
Além disso, ao dividir o resto pelo valor dobrado da resposta (ignorando a vírgula), obtemos a quantidade adicional algarismos significativos(47975/(2*238305) = 0,100658819...), que deve ser adicionado à resposta (√56789,321 = 238,305... = 238,305100659).
24Sergei:

Aparentemente, o algoritmo veio do livro “General Arithmetic ou um livro sobre síntese e análise aritmética” de Isaac Newton. Aqui está um trecho dele:

SOBRE EXTRAÇÃO DE RAÍZES

Para extrair a raiz quadrada de um número, primeiro você deve colocar um ponto acima de seus dígitos, começando pelas unidades. Então você deve escrever no quociente ou radical o número cujo quadrado é igual ou mais próximo em desvantagem dos números ou número anterior ao primeiro ponto. Após subtrair este quadrado, os dígitos restantes da raiz serão encontrados sequencialmente dividindo o restante por duas vezes o valor da parte já extraída da raiz e subtraindo a cada vez do resto do quadrado o último dígito encontrado e seu produto decuplicado por o divisor nomeado.
25 Sérgio:

Corrija também o título do livro “Aritmética Geral ou um livro sobre síntese e análise aritmética”
26 Alexandre:

obrigado por material interessante. Mas esse método me parece um pouco mais complicado do que o necessário, por exemplo, para um aluno. Eu uso um método mais simples baseado na expansão de uma função quadrática usando as duas primeiras derivadas. Sua fórmula é:
sqrt(x)= A1+A2-A3, onde
A1 é o inteiro cujo quadrado está mais próximo de x;
A2 é uma fração, o numerador é x-A1, o denominador é 2*A1.
Para a maioria dos números encontrados em curso escolar, isso é suficiente para obter o resultado com precisão de centésimo.
Se você precisar de um resultado mais preciso, tome
A3 é uma fração, o numerador é A2 ao quadrado, o denominador é 2*A1+1.
Claro que para usá-lo é necessária uma tabela de quadrados de inteiros, mas isso não é problema na escola. Lembrar esta fórmula é bastante simples.
Porém, me confunde ter obtido A3 empiricamente como resultado de experimentos com uma planilha e não entendo muito bem porque esse membro tem essa aparência. Talvez você possa me dar alguns conselhos?
27 Alexandre:

Sim, também considerei essas considerações, mas o diabo está nos detalhes. Você escreve:
“já que a2 e b diferem muito pouco.” A questão é exatamente quão pouco.
Esta fórmula funciona bem em números da segunda dezena e muito pior (não até centésimos, apenas até décimos) em números da primeira dezena. Por que isso acontece é difícil de entender sem o uso de derivadas.
28 Alexandre:

Vou esclarecer o que considero ser a vantagem da fórmula que proponho. Não requer a divisão não totalmente natural dos números em pares de dígitos, o que, como mostra a experiência, muitas vezes é feito com erros. Seu significado é óbvio, mas para uma pessoa familiarizada com a análise é trivial. Funciona bem com números de 100 a 1000, que são os números mais comuns encontrados na escola.
29 Alexandre:

A propósito, fiz algumas pesquisas e encontrei a expressão exata para A3 na minha fórmula:
A3=A22 /2(A1+A2)
30 vasilhas estryzhak:

Em nossa época, com o uso generalizado da tecnologia de informática, a questão de extrair o cavaleiro quadrado de um número não vale a pena do ponto de vista prático. Mas para os amantes da matemática, eles são sem dúvida interessantes várias opções soluções para este problema. EM currículo escolar um método para este cálculo sem envolver fundos adicionais deve ocorrer no mesmo nível da multiplicação e da divisão longa. O algoritmo de cálculo não deve apenas ser memorizado, mas também compreensível. Método clássico, disponibilizado neste material para discussão com divulgação da essência, atende integralmente aos critérios acima.
Uma desvantagem significativa do método proposto por Alexander é o uso de uma tabela de quadrados de inteiros. O autor silencia sobre a maioria dos números encontrados no curso escolar. Quanto à fórmula, em geral gosto dela devido à precisão relativamente alta do cálculo.
31 Alexandre:

por 30 vasil stryzhak
Eu não mantive nada quieto. A tabela de quadrados deveria ter até 1000. No meu tempo na escola, eles simplesmente aprendiam de cor e isso estava em todos os livros didáticos de matemática. Nomeei explicitamente esse intervalo.
Quanto à tecnologia informática, esta não é utilizada principalmente nas aulas de matemática, a menos que o tema da utilização de uma calculadora seja especificamente discutido. As calculadoras agora estão integradas em dispositivos cujo uso é proibido no Exame Estadual Unificado.
32 vasilhas estryzhak:

Alexandre, obrigado pelo esclarecimento! Achei que para o método proposto é teoricamente necessário lembrar ou usar uma tabela de quadrados de todos os números de dois dígitos, então para números radicais não incluídos no intervalo de 100 a 10.000, você pode. use a técnica de aumentá-los ou diminuí-los no número necessário de ordens de grandeza movendo a vírgula decimal.
33 vasilhas estryzhak:
39 ALEXANDRE:

MEU PRIMEIRO PROGRAMA EM LÍNGUA IAMB NA MÁQUINA SOVIÉTICA “ISKRA 555″ FOI ESCRITO PARA EXTRAIR A RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO USANDO O ALGORITMO DE EXTRAÇÃO DE COLUNA! e agora esqueci como extraí-lo manualmente!

Calcular (ou extrair) a raiz quadrada pode ser feito de diversas maneiras, mas nem todas são muito simples. É mais fácil, claro, usar uma calculadora. Mas se isso não for possível (ou você quiser entender a essência da raiz quadrada), aconselho que siga o seguinte caminho, seu algoritmo é o seguinte:

Se você não tem força, desejo ou paciência para cálculos tão demorados, pode recorrer à seleção aproximada. A vantagem é que ela é incrivelmente rápida e, com a devida engenhosidade, precisa; Exemplo:

Quando eu estava na escola (início dos anos 60), fomos ensinados a extrair a raiz quadrada de qualquer número. A técnica é simples, aparentemente semelhante à divisão longa, mas para apresentá-la aqui será necessária meia hora e 4 a 5 mil caracteres de texto. Mas por que você precisa disso? Você tem um telefone ou outro gadget, nm tem uma calculadora. Existe uma calculadora em qualquer computador. Pessoalmente, prefiro fazer esse tipo de cálculo no Excel.

Muitas vezes na escola você precisa encontrar raízes quadradas números diferentes. Mas se estamos acostumados a usar constantemente uma calculadora para isso, então nos exames isso não será possível, então precisamos aprender a procurar a raiz sem a ajuda de uma calculadora. E isso é, em princípio, possível de fazer.

O algoritmo é o seguinte:

Observe primeiro o último dígito do seu número:

Por exemplo,

Agora precisamos determinar aproximadamente o valor da raiz do grupo mais à esquerda

No caso de um número ter mais de dois grupos, você precisa encontrar a raiz assim:

Mas o próximo número deve ser o maior, você precisa escolhê-lo assim:

Agora precisamos formar um novo número A adicionando o seguinte grupo ao resto obtido acima.

Em nossos exemplos:

A coluna é mais alta e, quando são necessários mais de quinze caracteres, os computadores e telefones com calculadoras geralmente descansam. Resta verificar se a descrição da técnica ocupará de 4 a 5 mil caracteres.

Pegue qualquer número, conte pares de dígitos à direita e à esquerda da vírgula

Por exemplo, 1234567890.098765432100

Um par de dígitos é como um número de dois dígitos. A raiz de dois dígitos é de um dígito. Selecionamos um único dígito cujo quadrado é menor que o primeiro par de dígitos. No nosso caso é 3.

Como na divisão por uma coluna, escrevemos este quadrado sob o primeiro par e subtraímo-lo do primeiro par. O resultado está sublinhado. 12 - 9 = 3. Adicione o segundo par de números a esta diferença (será 334). À esquerda do número de bermas, o valor duplo daquela parte do resultado que já foi encontrado é complementado com um número (temos 2 * 6 = 6), de modo que quando multiplicado pelo número não obtido, não não exceda o número com o segundo par de dígitos. Concluímos que o número encontrado é cinco. Encontramos novamente a diferença (9), adicionamos o próximo par de dígitos para obter 956, escrevemos novamente a parte duplicada do resultado (70), complementamos novamente com o dígito desejado e assim por diante até parar. Ou para a precisão necessária dos cálculos.

Primeiramente, para calcular a raiz quadrada, você precisa conhecer bem a tabuada. A maioria exemplos simples- isto é 25 (5 por 5 = 25) e assim por diante. Se você pegar números mais complexos, poderá usar esta tabela, onde a linha horizontal representa as unidades e a linha vertical representa as dezenas.

Comer bom caminho como encontrar a raiz de um número sem a ajuda de calculadoras. Para fazer isso você precisará de uma régua e um compasso. A questão é que você encontre na régua o valor que está abaixo da sua raiz. Por exemplo, coloque uma marca ao lado de 9. Sua tarefa é dividir esse número por quantidade igual segmentos, ou seja, em duas linhas de 4,5 cm, e em um segmento par. É fácil adivinhar que no final você obterá 3 segmentos de 3 centímetros cada.

O método não é fácil e não é adequado para números grandes, mas pode ser calculado sem calculadora.

sem o auxílio de calculadora, o método de extração da raiz quadrada foi ensinado em Tempos soviéticos na escola na 8ª série.

Para fazer isso, você precisa dividir um número de vários dígitos da direita para a esquerda em arestas de 2 dígitos :

O primeiro dígito da raiz é toda a raiz do lado esquerdo, neste caso, 5.

Subtraímos 5 ao quadrado de 31, 31-25 = 6 e somamos o próximo lado ao seis, temos 678.

O próximo dígito x é combinado com o duplo cinco, de modo que

10x*x foi o máximo, mas inferior a 678.

x=6, já que 106*6 = 636,

Agora calculamos 678 - 636 = 42 e somamos a próxima aresta 92, temos 4292.

Novamente procuramos o máximo x tal que 112x*x lt; 4292.

Resposta: a raiz é 563

Você pode continuar assim pelo tempo que for necessário.

Em alguns casos, você pode tentar decompor o número radical em dois ou mais fatores quadrados.

Também é útil lembrar a mesa (ou pelo menos parte dela) - quadrados números naturais de 10 a 99.

Proponho uma versão que inventei para extrair a raiz quadrada de uma coluna. Difere do geralmente conhecido, com exceção da seleção de números. Mas como descobri mais tarde, esse método já existia muitos anos antes de eu nascer. Descreveu-o em seu livro General Arithmetic ou em um livro sobre síntese e análise aritmética grande Isaque Newton. Então apresento aqui minha visão e justificativa para o algoritmo do método de Newton. Não há necessidade de memorizar o algoritmo. Você pode simplesmente usar o diagrama da figura como auxílio visual, se necessário.

Com a ajuda de tabelas, você não pode calcular, mas encontrar as raízes quadradas dos números que estão nas tabelas. A maneira mais fácil de calcular não apenas raízes quadradas, mas também outros graus, é pelo método de aproximações sucessivas. Por exemplo, calculamos a raiz quadrada de 10739, substituímos os três últimos dígitos por zeros e extraímos a raiz de 10000, obtemos 100 com desvantagem, então pegamos o número 102, elevamos ao quadrado, obtemos 10404, que também é menos do que o dado, pegamos 103*103=10609 novamente com uma desvantagem, pegamos 103,5*103,5=10712,25, pegamos ainda mais 103,6*103,6=10732, pegamos 103,7*103,7=10753,69, que já está em excesso. Você pode considerar a raiz de 10739 como aproximadamente igual a 103,6. Mais precisamente 10739=103,629... . . Da mesma forma, calculamos a raiz cúbica, primeiro de 10.000 obtemos aproximadamente 25*25*25=15625, que é um excesso, pegamos 22*22*22=10,648, pegamos um pouco mais que 22,06*22,06*22,06=10735 , que é muito próximo do dado.

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Antes das calculadoras, alunos e professores calculavam raízes quadradas manualmente. Existem várias maneiras de calcular manualmente a raiz quadrada de um número. Alguns deles oferecem apenas uma solução aproximada, outros dão uma resposta exata.

Passos

Fatoração principal

Fatore o número radical em fatores que são números quadrados. Dependendo do número radical, você obterá uma resposta aproximada ou exata. Números quadrados são números dos quais a raiz quadrada inteira pode ser extraída. Fatores são números que, quando multiplicados, dão o número original. Por exemplo, os fatores do número 8 são 2 e 4, pois 2 x 4 = 8, os números 25, 36, 49 são números quadrados, pois √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Fatores quadrados são fatores, que são números quadrados. Primeiro, tente fatorar o número radical em fatores quadrados.

Por exemplo, calcule a raiz quadrada de 400 (manualmente). Primeiro tente fatorar 400 em fatores quadrados. 400 é múltiplo de 100, ou seja, divisível por 25 - é um número quadrado. Dividir 400 por 25 dá 16. O número 16 também é um número quadrado. Assim, 400 pode ser fatorado nos fatores quadrados de 25 e 16, ou seja, 25 x 16 = 400.
Isso pode ser escrito da seguinte forma: √400 = √(25 x 16).

A raiz quadrada do produto de alguns termos é igual ao produto raízes quadradas de cada termo, ou seja, √(a x b) = √a x √b. Use esta regra para extrair a raiz quadrada de cada fator quadrado e multiplicar os resultados para encontrar a resposta.
- No nosso exemplo, tire a raiz de 25 e 16.
  - √(25x16)
  - √25 x √16
  - 5 x 4 = 20
Se o número radical não for fatorado em dois fatores quadrados (e isso acontece na maioria dos casos), você não conseguirá encontrar a resposta exata na forma de um número inteiro. Mas você pode simplificar o problema decompondo o número radical em um fator quadrado e um fator ordinário (um número do qual a raiz quadrada inteira não pode ser extraída). Então você tirará a raiz quadrada do fator quadrado e tirará a raiz do fator comum.
- Por exemplo, calcule a raiz quadrada do número 147. O número 147 não pode ser decomposto em dois fatores quadrados, mas pode ser decomposto nos seguintes fatores: 49 e 3. Resolva o problema da seguinte forma:
  - = √(49x3)
  - = √49 x √3
  - = 7√3
Se necessário, estime o valor da raiz. Agora você pode estimar o valor da raiz (encontrar um valor aproximado) comparando-o com os valores das raízes dos números quadrados que estão mais próximos (em ambos os lados da reta numérica) do número radical. Você obterá o valor da raiz como decimal, que deve ser multiplicado pelo número atrás do sinal da raiz.
- Voltemos ao nosso exemplo. O número radical é 3. Os números quadrados mais próximos dele serão os números 1 (√1 = 1) e 4 (√4 = 2). Assim, o valor de √3 está localizado entre 1 e 2. Como o valor de √3 está provavelmente mais próximo de 2 do que de 1, nossa estimativa é: √3 = 1,7. Multiplicamos esse valor pelo número no sinal da raiz: 7 x 1,7 = 11,9. Se você fizer as contas em uma calculadora, obterá 12,13, o que é bem próximo da nossa resposta.
  - Este método também funciona com grandes números. Por exemplo, considere √35. O número radical é 35. Os números quadrados mais próximos serão os números 25 (√25 = 5) e 36 (√36 = 6). Assim, o valor de √35 está localizado entre 5 e 6. Como o valor de √35 está muito mais próximo de 6 do que de 5 (porque 35 é apenas 1 a menos que 36), podemos dizer que √35 é um pouco menor que 6 . Verifique na calculadora nos dá a resposta 5,92 - estávamos certos.
Outra maneira é fatorar o número radical em fatores primos. Fatores primos são números divisíveis apenas por 1 e por eles próprios. Anotá-la fatores primos em uma linha e encontre pares de fatores idênticos. Tais fatores podem ser retirados do sinal raiz.
- Por exemplo, calcule a raiz quadrada de 45. Fatoramos o número radical em fatores primos: 45 = 9 x 5 e 9 = 3 x 3. Assim, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 pode ser retirado como sinal de raiz: √45 = 3√5. Agora podemos estimar √5.
- Vejamos outro exemplo: √88.
  - = √(2x44)
  - = √ (2x4x11)
  - = √ (2 x 2 x 2 x 11). Você recebeu três multiplicadores de 2; pegue alguns deles e mova-os além do sinal da raiz.
  - = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Agora você pode avaliar √2 e √11 e encontrar uma resposta aproximada.
Calculando raiz quadrada manualmente

Usando divisão longa
1. Este método envolve um processo semelhante à divisão longa e fornece uma resposta precisa. Primeiro, desenhe uma linha vertical dividindo a folha em duas metades e, em seguida, à direita e logo abaixo da borda superior da folha, desenhe uma linha horizontal até a linha vertical. Agora divida o número radical em pares de números, começando pela parte fracionária após a vírgula. Portanto, o número 79520789182.47897 é escrito como "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".
  - Por exemplo, vamos calcular a raiz quadrada do número 780,14. Desenhe duas linhas (como mostrado na imagem) e escreva o número fornecido no formato “7 80, 14” no canto superior esquerdo. É normal que o primeiro dígito da esquerda seja um dígito não pareado. Você escreverá a resposta (a raiz deste número) no canto superior direito.
2. Para o primeiro par de números (ou número único) da esquerda, encontre o maior inteiro n cujo quadrado é menor ou igual ao par de números (ou número único) em questão. Em outras palavras, encontre o número quadrado que está mais próximo, mas menor que, o primeiro par de números (ou número único) da esquerda e tire a raiz quadrada desse numero quadrado; você obterá o número n. Escreva o n que você encontrou no canto superior direito e o quadrado de n no canto inferior direito.
  - No nosso caso, o primeiro número à esquerda será 7. A seguir, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Subtraia o quadrado do número n que você acabou de encontrar do primeiro par de números (ou único número) à esquerda. Escreva o resultado do cálculo sob o subtraendo (o quadrado do número n).
  - No nosso exemplo, subtraia 4 de 7 e obtenha 3.
4. Pegue o segundo par de números e anote-o ao lado do valor obtido na etapa anterior. Em seguida, dobre o número no canto superior direito e escreva o resultado no canto inferior direito com a adição de "_×_=".
  - No nosso exemplo, o segundo par de números é “80”. Escreva "80" após o 3. Em seguida, dobre o número no canto superior direito, resultando em 4. Escreva "4_×_=" no canto inferior direito.
5. Preencha os espaços em branco à direita.
  - No nosso caso, se colocarmos o número 8 em vez de travessões, então 48 x 8 = 384, que é mais que 380. Portanto, 8 é um número muito grande, mas 7 serve. Escreva 7 em vez de travessões e obtenha: 47 x 7 = 329. Escreva 7 no canto superior direito - este é o segundo dígito da raiz quadrada desejada do número 780,14.
6. Subtraia o número resultante do número atual à esquerda. Escreva o resultado da etapa anterior sob o número atual à esquerda, encontre a diferença e escreva-a sob o subtraendo.
  - No nosso exemplo, subtraia 329 de 380, o que equivale a 51.
7. Repita a etapa 4. Se o par de números que está sendo transferido for a parte fracionária do número original, coloque um separador (vírgula) entre as partes inteiras e fracionárias na raiz quadrada necessária no canto superior direito. À esquerda, abaixe o próximo par de números. Dobre o número no canto superior direito e escreva o resultado no canto inferior direito com a adição de "_×_=".
  - No nosso exemplo, o próximo par de números a ser removido será a parte fracionária do número 780,14, então coloque o separador das partes inteira e fracionária na raiz quadrada desejada no canto superior direito. Pegue 14 e anote no canto inferior esquerdo. O dobro do número no canto superior direito (27) é 54, então escreva "54_×_=" no canto inferior direito.
8. Repita as etapas 5 e 6. Encontre um maior número no lugar dos travessões à direita (em vez dos travessões você precisa substituir o mesmo número) para que o resultado da multiplicação seja menor ou igual ao número atual à esquerda.
  - No nosso exemplo, 549 x 9 = 4941, que é menor que o número atual à esquerda (5114). Escreva 9 no canto superior direito e subtraia o resultado da multiplicação do número atual à esquerda: 5114 - 4941 = 173.
9. Se precisar encontrar mais casas decimais para a raiz quadrada, escreva alguns zeros à esquerda do número atual e repita as etapas 4, 5 e 6. Repita as etapas até obter a precisão da resposta (número de casas decimais) que você precisar.
Compreendendo o processo
1. Considere o primeiro par de dígitos Sa do número S (Sa = 7 em nosso exemplo) e encontre sua raiz quadrada. Neste caso, o primeiro dígito A do valor da raiz quadrada desejada será um dígito cujo quadrado é menor ou igual a S a (ou seja, procuramos um A tal que a desigualdade A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Digamos que precisamos dividir 88.962 por 7; aqui o primeiro passo será semelhante: consideramos o primeiro dígito do número divisível 88962 (8) e selecionamos o maior número que, quando multiplicado por 7, dá um valor menor ou igual a 8. Ou seja, procuramos um número d para o qual a desigualdade é verdadeira: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
2. Imagine mentalmente um quadrado cuja área você precisa calcular. Você está procurando L, ou seja, o comprimento do lado de um quadrado cuja área é S. A, B, C são os números do número L. Você pode escrever de forma diferente: 10A + B = L (para número de dois dígitos) ou 100A + 10B + C = L (para um número de três dígitos) e assim por diante.
  - Deixar (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Lembre-se de que 10A+B é um número em que o dígito B representa unidades e o dígito A representa dezenas. Por exemplo, se A=1 e B=2, então 10A+B é igual ao número 12. (10A+B)²é a área de todo o quadrado, 100A²- área da grande praça interna, B²- área do pequeno quadrado interno, 10A×B- a área de cada um dos dois retângulos. Ao somar as áreas das figuras descritas, você encontrará a área do quadrado original.

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