算術平均を求める方法。 統計における平均値
算術平均とは何ですか
いくつかの量の算術平均は、これらの量の合計とその数の比です。
特定の一連の数値の算術平均は、これらすべての数値の合計を項の数で割ったものです。 したがって、算術平均は数値系列の平均値です。
いくつかの数値の算術平均は何ですか? そして、それらは、これらの数値の合計を、この合計内の項の数で割ったものに等しくなります。
算術平均を求める方法
複数の数値の算術平均を計算したり求めたりするのに複雑なことはありません。提示されたすべての数値を加算し、結果の合計を項の数で割るだけで十分です。 得られる結果は、これらの数値の算術平均になります。
このプロセスをさらに詳しく見てみましょう。 算術平均を計算し、この数値の最終結果を得るには何をする必要がありますか。
まず、それを計算するには、一連の数値またはその数を決定する必要があります。 このセットには、大きい数と小さい数を含めることができ、その数は任意です。
次に、これらの数値をすべて加算し、その合計を求める必要があります。 当然のことながら、数値が単純であり、その数値が 少量の, その後、手書きで計算することができます。 ただし、一連の数値が印象的な場合は、電卓またはスプレッドシートを使用することをお勧めします。
そして第四に、足し算で得られた量を数字の数で割らなければなりません。 その結果、この系列の算術平均となる結果が得られます。
なぜ算術平均が必要なのでしょうか?
算術平均は、数学の授業で例題や問題を解くだけでなく、日常生活で必要な他の目的にも役立ちます。 このような目標には、算術平均を計算して月ごとの平均財政支出を計算したり、移動に費やした時間を計算したり、出席率、生産性、移動速度、歩留まりなどを調べることができます。
たとえば、通学にどれくらいの時間を費やすかを計算してみましょう。 学校に行くときや家に帰るたびに旅行にお金がかかります 違う時間, 急いでいるときは歩く速度が速くなり、移動にかかる時間が短くなるからです。 しかし、家に帰るときは、クラスメートとコミュニケーションをとり、自然を眺めながらゆっくり歩くことができるため、旅にはさらに時間がかかります。
したがって、移動に費やした時間を正確に判断することはできませんが、算術平均のおかげで、移動に費やした時間をおおよそ知ることができます。
週末の最初の日は家から学校までの移動に 15 分かかり、2 日目には移動に 20 分かかり、水曜日にはその距離を 25 分でカバーし、移動に同じ時間がかかったと仮定します。木曜日には十分な時間を費やし、金曜日には急いでいないので丸々30分かけて戻ってきました。
5 日間すべての時間を加算して、算術平均を求めてみましょう。 それで、
15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115
この金額を日数で割ります
この方法のおかげで、家から学校までの所要時間は約 23 分であることがわかりました。
宿題
1.簡単な計算を使用して平均値を求めます 算術数字クラスの生徒の毎週の出席状況。
2. 算術平均を求めます。
3. 問題を解決します。
算術平均と幾何平均のトピックは、6 年生から 7 年生の数学プログラムに含まれています。 非常にわかりやすい段落なのですぐに完成し、最後まで 学年小学生たちは彼を忘れています。 ただし、基本的な統計の知識が必要です。 統一国家試験に合格する、国際 SAT 試験も同様です。 そして、日常生活においても、発達した分析的思考は決して役に立ちません。
数値の算術平均と幾何平均を計算する方法
11、4、3 という一連の数値があるとします。算術平均は、すべての数値の合計を指定された数値の数で割ったものです。 つまり、11、4、3 の場合、答えは 6 になります。どうすれば 6 が得られますか?
解: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
分母には、平均を求める必要がある数値の数と同じ数値が含まれている必要があります。 項が 3 つあるため、合計は 3 で割り切れます。
次に、幾何平均を計算する必要があります。 4、2、8 という一連の数字があるとします。
数値の幾何平均は、与えられたすべての数値の根以下のべき乗の積です。 金額に等しいつまり、4、2、8 の場合、答えは 4 になります。結果は次のようになります。
解: ∛(4 × 2 × 8) = 4
どちらの選択肢でも、特別な数字が例として取られているため、完全な答えが得られました。 これは常に起こるわけではありません。 ほとんどの場合、答えは四捨五入するか、根元のままにする必要があります。 たとえば、数値 11、7、および 20 の場合、算術平均は ≈ 12.67、幾何平均は ∛1540 です。 そして、数字 6 と 5 の答えは、それぞれ 5.5 と √30 になります。
算術平均が幾何平均と等しくなることが起こり得るでしょうか?
もちろんそれは可能です。 ただし、それは 2 つの場合に限ります。 1 または 0 のいずれかのみで構成される一連の数値がある場合。 答えが数に依存しないことも注目に値します。
単位を使った証明: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (算術平均)。
∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(幾何平均)。
ゼロを使用した証明: (0 + 0) / 2=0 (算術平均)。
√(0 × 0) = 0 (幾何平均)。
他に選択肢はありませんし、そうすることもできません。
最も重要なのはeqです。 実際には、単純な加重算術平均として計算できる算術平均を使用する必要があります。
算術平均 (SA)-n最も一般的なタイプの平均。 これは、集団全体のさまざまな特性の量が、個々のユニットの特性値の合計である場合に使用されます。 社会現象は、さまざまな特性の量の相加性 (全体性) によって特徴付けられ、これが SA の適用範囲を決定し、一般的な指標としての蔓延を説明します。 たとえば、一般給与基金は全従業員の給与の合計です。
SA を計算するには、すべての特徴値の合計をその数で割る必要があります。 SA は 2 つの形式で使用されます。
まず単純な算術平均について考えてみましょう。
1-CA シンプル (初期、定義形式) は、平均化される特性の個々の値の単純合計を、これらの値の合計数で割ったものと等しくなります (特性のグループ化されていないインデックス値がある場合に使用されます)。
行われた計算は次の式に一般化できます。
(1)
どこ 
- 変動する特性の平均値、つまり単純な算術平均。
合計を意味します。つまり、個々の特性を追加することです。
バツ- バリアントと呼ばれる、さまざまな特性の個々の値。
n - 人口の単位数
例1、 15 人の作業者がそれぞれ何個の部品を生産したかがわかっている場合、1 人の作業者 (整備士) の平均生産量を見つける必要があります。 一連の ind が与えられると、 属性値、個数: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.
単純な SA は式 (1) で計算されます。
例2。 商社に含まれる20店舗の条件データに基づいてSAを計算してみましょう（表1）。 表1
商社「Vesna」の店舗の販売面積、平方メートルごとの分布。 M
|
店番号。 |
店番号。 | ||
平均店舗面積を計算するには ( 
) すべての店舗の面積を合計し、その結果を店舗数で割る必要があります。
したがって、この小売企業グループの平均店舗面積は 71 平方メートルです。
したがって、単純な SA を決定するには、すべての値の合計が必要です。 この特性のこの特性を持つユニットの数で割った値。
2
どこ f 1
,
f 2
,
… ,f n
–
重み（同一の符号の繰り返しの頻度）。 – 特徴の大きさとその頻度の積の合計。 – 人口単位の総数。
(2)
どこ バツ- オプション;
f- 周波数（重み）。
加重 SA は、オプションとそれに対応する周波数の積の合計をすべての周波数の合計で割った商です。 周波数 ( f) SA 式に現れる は、通常、次のように呼ばれます。 天秤その結果、重みを考慮して計算された SA は重み付きと呼ばれます。
上で説明した例 1 を使用して重み付き SA を計算する手法を説明します。これを行うために、初期データをグループ化し、テーブルに配置します。
グループ化されたデータの平均は、次のように決定されます。まず、オプションに頻度が乗算され、次に積が加算され、結果の合計が頻度の合計で除算されます。
式 (2) によると、重み付けされた SA は次のようになります。 
P
販売面積別の Vesna 店舗の分布 (平方メートル) メートル
したがって、結果は同じでした。 ただし、これはすでに加重算術平均値になります。
前の例では、絶対頻度 (店舗数) がわかっている場合に算術平均を計算しました。 ただし、多くの場合、絶対周波数は存在しませんが、相対周波数はわかっています。つまり、一般にそう呼ばれています。 割合を示す周波数、またはセット全体における周波数の割合。
SA加重利用計算時 周波数を使用すると、周波数が大きな複数桁の数値で表される場合に計算を簡素化できます。 同様に計算しますが、平均値は100倍になるので、結果を100で割ります。
この場合、算術加重平均の式は次のようになります。
どこ d- 頻度、つまり すべての周波数の合計における各周波数の割合。
(3)例 2 では、最初に次のように定義します。 比重 Vesna の総店舗数におけるグループ別の店舗数。 したがって、最初のグループの比重は 10% に相当します。 
。 次のデータが得られます 表3
中のすべての人が 現代世界ローンを組む計画を立てたり、冬に向けて野菜を買いだめしたりするとき、「平均値」という概念に定期的に遭遇します。 それが何であるか、どのようなタイプとクラスが存在するか、そしてなぜそれが統計や他の分野で使用されるのかを調べてみましょう。
平均値 - それは何ですか?
類似名 (SV) は、任意の 1 つの量的変数特性によって決定される、均一な現象のセットの一般化された特性です。
しかし、そのような難解な定義から遠く離れている人々は、この概念を何かの平均的な量として理解します。 たとえば、ローンを組む前に、銀行員は必ず次のように尋ねます。 潜在的な顧客年間の平均収入に関するデータを提供します。 合計金額人が稼いだお金。 年間全体の収入を合計し、月数で割ることで計算されます。 したがって、銀行は顧客が期日までに借金を返済できるかどうかを判断することができます。
なぜ使われるのでしょうか？
原則として、平均値は、集団的な性質の特定の社会現象の概要を説明するために広く使用されています。 上記の例のローンの場合のように、小規模な計算にも使用できます。
ただし、ほとんどの場合、平均値は依然としてグローバルな目的で使用されます。 その一例は、一年間に国民が消費する電力量の計算です。 暦月。 得られたデータに基づいて、その後、州からの恩恵を享受している人口のカテゴリーに対する最大基準が確立されます。
また、このようにして収集されたデータに基づいて、平均値を使用して、特定の家電製品、自動車、建物などの保証耐用年数が策定されました。 現代の標準仕事と休息。
事実上あらゆる現象 現代の生活、それは大衆的な性質のものであり、何らかの形で検討中の概念と必然的に結びついています。
応用分野
この現象は、ほぼすべての精密科学、特に実験的な性質のもので広く使用されています。
平均値を求めると、 すごい価値医学、工学、料理、経済学、政治など。
このような一般化から得られたデータに基づいて、彼らは次のように開発します。 医薬品、教育プログラム、最低生活賃金と給与の設定、教育スケジュールの作成、家具、衣類、靴、衛生用品などの生産。
数学では、この用語は「平均値」と呼ばれ、意思決定に使用されます。 さまざまな例そしてタスク。 最も単純なものは、次のような加算と減算です。 普通の分数。 結局のところ、ご存知のとおり、このような例を解くには、両方の分数を共通の分母にする必要があります。
精密科学の女王でも、似たような意味の「平均値」という言葉がよく使われます。 確率変数」 これは「数学的期待値」として多くの人によく知られており、確率論で考慮されることがよくあります。 同様の現象が統計計算を実行する場合にも当てはまることに注意してください。
統計における平均値
ただし、研究されている概念は統計で最もよく使用されます。 ご存知のとおり、この科学自体は計算と分析に特化しています 定量的特性大量の社会現象。 したがって、統計における平均値は、情報の収集と分析という主な目的を達成するための特殊な方法として使用されます。
この本質 統計的手法これは、考慮中の特性の個々の固有の値を、特定のバランスの取れた平均値に置き換えることで構成されます。
例としては、有名な食べ物のジョークがあります。 で、ある工場では火曜日の昼休みに上司は肉キャセロールを食べるのが普通で、一般の従業員は…。 キャベツの煮込み。 これらのデータに基づいて、工場スタッフは平均して火曜日にロールキャベツを食べていると結論付けることができます。
この例は少し誇張されていますが、この検索方法の主な欠点を示しています。 平均サイズ- レベリング 個々の特性物や人。
平均値では、収集された情報の分析だけでなく、計画と予測にも使用されます。 さらなるアクション.
また、達成された結果 (たとえば、春夏シーズンの小麦の栽培と収穫の計画の実施) を評価するためにも使用されます。
正しい計算方法
SVの種類によって計算式は異なりますが、一般統計理論では原則として特性の平均値を求める方法は1つだけです。 これを行うには、まずすべての現象の値を合計し、次に結果の合計をそれらの数で割る必要があります。
このような計算を行う場合、平均値は常に母集団の個々の単位と同じ次元 (または単位) を持つことを覚えておく価値があります。
正しく計算されるための条件
上で説明した式は非常にシンプルで普遍的なものであるため、間違いを犯すことはほとんどありません。 ただし、常に 2 つの側面を考慮する価値があります。そうしないと、取得されるデータが実際の状況を反映しなくなります。
SVクラス
「平均値とは何ですか?」「どこで使用されますか?」という基本的な質問に対する答えが見つかりました。 「どうやって計算するの?」と疑問に思ったら、どのようなクラスとタイプの SV が存在するのかを調べてみる価値があります。
まず、この現象は２つに分類される。 これらは構造的な平均と電力の平均です。
パワーSVの種類
上記の各クラスはさらにタイプに分類されます。 鎮静クラスは4名です。
- 算術平均は、SV の最も一般的なタイプです。 これは、データ セット内で考慮されている属性の総量がこのセットのすべてのユニットに均等に配分されるかを決定する際の平均項です。
このタイプは、単純な算術 SV と加重算術 SV のサブタイプに分類されます。
- 調和平均は、考慮中の特性の逆数値から計算される、単純算術平均の逆数である指標です。
属性や製品の個別の値はわかっているが、頻度データはわかっていない場合に使用されます。
- 幾何平均は、成長率を分析するときに最もよく使用されます。 経済現象。 これにより、特定の量の個々の値の合計ではなく積を変更せずに保存することが可能になります。
シンプルでバランスのとれたものにすることもできます。
- 平均二乗値は、製品生産のリズムを特徴付ける変動係数などの個々の指標を計算するときに使用されます。
また、パイプ、車輪、正方形の平均辺、および同様の図形の平均直径を計算するためにも使用されます。
他のすべてのタイプの平均と同様に、二乗平均平方根は単純で重み付けできます。
構造量の種類
平均 SV に加えて、統計でもよく使用されます。 構造図。 これらは、さまざまな特性の値の相対的な特性を計算するのに適しています。 内部構造配布行。
このようなタイプは 2 つあります。
さあ、話しましょう 平均の計算方法.
クラシックな外観 一般理論統計は、平均値を選択するためのルールの 1 つのバージョンを提供します。
まず、平均値 (AFV) を計算するための正しい論理式を作成する必要があります。 各平均値に対して、それを計算するための論理式は常に 1 つだけあるため、ここで間違いを犯すことは困難です。 しかし、分子 (これは分数の一番上にあるもの) はすべての現象の合計であり、分母 (これは分数の一番下にあるもの) であることを常に覚えておく必要があります。 合計要素。
論理式がコンパイルされたら、ルールを使用できます (理解を容易にするために、ルールを簡略化して短縮します)。
1. ソース データ (頻度によって決定される) に論理式の分母が含まれている場合、計算は加重算術平均式を使用して実行されます。
2. 論理式の分子がソース データに示されている場合、計算は加重調和平均式を使用して実行されます。
3. 問題に論理式の分子と分母の両方が存在する場合 (これはめったに起こりません)、この式または単純な算術平均公式を使用して計算を実行します。
これは、平均を計算するための適切な式を選択するという古典的な考え方です。 次に、平均値を求める問題を解くときの一連の流れを示します。
平均値計算問題を解くアルゴリズム
A. 平均値の計算方法を決定する - シンプルまたは重みのある 。 データがテーブルで示されている場合は重み付け方法を使用し、データが単純な列挙で示されている場合は単純な計算方法を使用します。
B. 決定または手配する シンボル – バツ - オプション、 f - 頻度 。 オプションは平均値を求めたい現象です。 テーブルの残りのデータは頻度になります。
B. 平均値を計算するための形式を決定します - 算術または調和 。 判定は度数欄を用いて行われる。 周波数が明示的な数量で指定されている場合は、算術形式が使用されます (条件付きで、単語「個」、つまり要素の数「個」を置き換えることができます)。 周波数が明示的な量ではなく、複雑な指標 (平均量と周波数の積) によって指定される場合、調和形式が使用されます。
最も難しいのは、特にそのようなことに慣れていない学生にとって、どこにどのくらいの量が与えられるかを推測することです。 このような状況では、次のいずれかの方法を使用できます。 一部のタスク (経済的) については、長年の実践を通じて開発されたステートメントが適しています (ポイント B.1)。 他の状況では、ポイント B.2 を使用する必要があります。
B.1 周波数が通貨単位 (ルーブル) で指定されている場合、調和平均が計算に使用されます。このステートメントは常に当てはまります。識別された周波数が通貨単位で指定されている場合、他の状況ではこの規則は適用されません。
B.2 この記事で上に示した平均値を選択するためのルールを使用します。 頻度が平均値を計算するための論理式の分母で与えられる場合は、算術平均形式を使用して計算します。頻度が平均値を計算するための論理式の分子で与えられる場合は、調和平均形式。
このアルゴリズムの使用例を見てみましょう。
A. データは線で表示されますので、簡単な計算方法を採用しております。
B.V. 私たちは年金の額に関するデータしか持っていないので、それは私たちの選択肢になります - x。 データは単純な数 (12 人) として表示され、計算には単純な算術平均が使用されます。
年金受給者の平均年金は9208.3ルーブル。
B. 子供一人当たりの平均支払額を見つける必要があるため、オプションは最初の列にあり、そこに指定 x を入力します。2 番目の列は自動的に頻度 f になります。
B. 頻度（子供の数）は明示的な量で与えられます（子供という単語の部分を置き換えることができます。ロシア語の観点からすると、これは間違った表現ですが、実際には、これは非常に便利です） check)、これは加重算術平均が計算に使用されることを意味します。
同じ問題は、公式的な方法ではなく、表形式の方法、つまり途中の計算のすべてのデータを表に入力する方法によっても解決できます。
したがって、ここで行う必要があるのは、2 つの合計を正しい順序で分離することだけです。
子ども1人当たりの月平均支払額は1,910ルーブルだった。
A. データは表で表示されるため、計算には重み付けされた形式を使用します。
B. 頻度 (生産コスト) は暗黙の数量によって与えられます (頻度は次の式で与えられます)。 ルーブル アルゴリズム B1) のポイント。これは、加重調和平均が計算に使用されることを意味します。 一般に、本質的に、生産コストは複雑な指標であり、製品の単位のコストとそのような製品の数を乗算することによって得られます。これが調和平均の本質です。
この問題を算術平均の公式を使用して解決するには、生産コストの代わりに、対応するコストの製品が多数存在する必要があります。
計算後の分母の合計は 410 (120+80+210) となり、これが生産される製品の総数になります。
製品単位あたりの平均コストは 314.4 ルーブルでした。
A. データは表で表示されるため、計算には重み付けされた形式を使用します。
B. 製品の単位当たりの平均コストを見つける必要があるため、オプションは最初の列にあり、そこに指定 x を入力します。2 番目の列は自動的に頻度 f になります。
B. 頻度 (欠席の総数) は暗黙の量 (欠席数とその欠席数の生徒数の 2 つの指標の積) によって与えられます。これは、加重調和平均が使用されることを意味します。計算のために。 アルゴリズム B2 のポイントを使用します。
この問題を算術平均の公式を使用して解決するには、欠席総数の代わりに生徒の数を使用する必要があります。
学生ごとの平均欠席数を計算するための論理式を作成します。
タスクの状況に応じた頻度 総数通ります。 論理式では、この指標は分子にあります。これは、調和平均の式を使用することを意味します。
計算 31 (18+8+5) の後に得られる分母の合計が生徒の総数であることに注意してください。
学生一人当たりの平均欠席日数は13.8日です。