Úlcera

Como multiplicar verbalmente números de dois dígitos. Como multiplicar um número de dois dígitos por um número de um dígito? O que o ajudará a aprender rapidamente?

A capacidade de contar instantaneamente em sua cabeça pode se tornar uma ajuda inestimável no trabalho e na vida acelerada de uma pessoa moderna. Como multiplicar rapidamente números grandes, como dominar essas habilidades úteis? A maioria das pessoas acha difícil multiplicar verbalmente números de dois dígitos por números de um único dígito. E não há nada a dizer sobre cálculos aritméticos complexos. Mas se desejar, as habilidades inerentes a cada pessoa podem ser desenvolvidas. Treinamento regular, um pouco de esforço e aplicação desenvolvida por cientistas, técnicas eficazes permitirá que você alcance resultados surpreendentes. Escolhendo métodos tradicionais Os métodos de multiplicação de números de dois dígitos comprovados há décadas não perdem sua relevância. As técnicas mais simples ajudam milhões de crianças em idade escolar, estudantes de universidades e liceus especializados, bem como pessoas engajadas no autodesenvolvimento, a melhorar suas habilidades de informática. Multiplicação usando expansão numérica Mais O caminho fácil Como aprender rapidamente a multiplicar números grandes de cabeça é multiplicar dezenas e unidades. Primeiro, as dezenas de dois números são multiplicadas, depois as unidades e as dezenas alternadamente. Os quatro números recebidos são somados. Para usar este método, é importante lembrar os resultados da multiplicação e adicioná-los de cabeça. Por exemplo, para multiplicar 38 por 57 você precisa: decompor o número em (30+8)*(50+7); 30*50 = 1500 – lembre-se do resultado; 30*7 + 50*8 = 210 + 400 = 610 – lembre-se; (1500 + 610) + 8*7 = 2110 + 56 = 2166 Naturalmente, você precisa conhecer bem a tabuada, pois não será capaz de multiplicar rapidamente de cabeça dessa maneira sem as habilidades adequadas. Multiplicação de colunas na mente Muitas pessoas usam uma representação visual da multiplicação usual de colunas em cálculos. Este método é adequado para quem consegue memorizar números auxiliares por muito tempo e realizar operações aritméticas com eles. Mas o processo se torna muito mais fácil se você aprender como multiplicar rapidamente números de dois dígitos por números de um único dígito. Para multiplicar, por exemplo, 47*81 você precisa: 47*1 = 47 – lembre-se; 47*8 = 376 – lembre-se; 376 * 10 + 47 = 3807. Falar em voz alta e ao mesmo tempo resumi-los em sua cabeça o ajudará a lembrar dos resultados intermediários. Apesar da dificuldade dos cálculos mentais, depois de algum treino este método se tornará o seu preferido. Os métodos de multiplicação acima são universais. Mas conhecer algoritmos mais eficientes para alguns números reduzirá bastante o número de cálculos. Multiplicação por 11 Este é talvez o método mais simples usado para multiplicar quaisquer números de dois dígitos por 11. Basta inserir sua soma entre os dígitos do multiplicador: 13*11 = 1(1+3)3 = 143 Se o número entre parênteses é maior que 10, então um é adicionado ao primeiro dígito e 10 é subtraído da soma entre colchetes 28*11 = 2 (2+8) 8 = 308 Multiplicação. grandes númerosÉ muito conveniente multiplicar números próximos de 100 decompondo-os em seus componentes. Por exemplo, você precisa multiplicar 87 por 91. Cada número deve ser representado como a diferença de 100 e mais um número: (100 - 13) * (100 - 9) A resposta consistirá de quatro dígitos, sendo os dois primeiros são a diferença do primeiro fator e o subtraído dos segundos colchetes ou vice-versa - a diferença entre o segundo fator e o subtraído do primeiro colchetes. 87 – 9 = 78 91 – 13 = 78 Os dois segundos dígitos da resposta são o resultado da multiplicação subtraída de dois colchetes 13 * 9 = 144 O resultado são os números 78 e 144. Se, ao escrever o resultado final, a. obtido um número de 5 dígitos, o segundo e o terceiro dígitos são somados. Resultado: 87*91 = 7944. Estes são os mais maneiras simples multiplicação. Depois de usá-los repetidamente, trazendo os cálculos para a automação, você poderá dominar técnicas mais complexas. E depois de um tempo, o problema de como multiplicar rapidamente números de dois dígitos não o preocupará mais, e sua memória e lógica melhorarão significativamente.

Algumas maneiras rápidas multiplicação oral Já descobrimos isso, agora vamos dar uma olhada em como multiplicar números rapidamente em sua cabeça usando vários métodos auxiliares. Você já deve saber, e alguns deles são bastante exóticos, como o antigo maneira chinesa multiplicando números.

Layout por classificação

É o mais truque simples multiplicação rápida de números de dois dígitos. Ambos os fatores precisam ser divididos em dezenas e unidades, e então todos esses novos números devem ser multiplicados entre si.

Este método requer a capacidade de armazenar até quatro números na memória ao mesmo tempo e de fazer cálculos com esses números.

Por exemplo, você precisa multiplicar números 38 E 56 . Fazemos assim:

38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + 8 * 50 + 30 * 6 + 8 * 6 = 1500 + 400 + 180 + 48 = 2128 Será ainda mais fácil fazer a multiplicação oral de números de dois dígitos em três operações. Primeiro você precisa multiplicar as dezenas, depois adicionar dois produtos de unidades por dezenas e, em seguida, adicionar o produto de unidades por unidades. Se parece com isso: 38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + (8 * 50 + 30 * 6) + 8 * 6 = 1500 + 580 + 48 = 2128 Para usar este método com sucesso, você precisa conhecer bem a tabuada, ser capaz de somar rapidamente números de dois e três dígitos e alternar entre operações matemáticas sem esquecer os resultados intermediários. A última habilidade é alcançada por meio de ajuda e visualização.

Este método não é o mais rápido e eficaz, por isso vale a pena explorar outros métodos de multiplicação oral.

Ajustando os números

Você pode tentar trazer cálculo aritmético para uma aparência mais conveniente. Por exemplo, o produto de números 35 E 49 pode ser imaginado desta forma: 35 * 49 = (35 * 100) / 2 - 35 = 1715
Este método pode ser mais eficaz que o anterior, mas não é universal e não é adequado para todos os casos. Nem sempre é possível encontrar um algoritmo adequado para simplificar o problema.

Sobre esse assunto, lembrei-me de uma anedota sobre como um matemático navegou ao longo do rio passando por uma fazenda e disse aos seus interlocutores que conseguiu contar rapidamente o número de ovelhas no curral, 1.358 ovelhas. Quando questionado sobre como fez isso, ele disse que era simples - é preciso contar o número de pernas e dividir por 4.

Visualização da multiplicação colunar

Este é um dos mais métodos universais multiplicação oral de números, desenvolvendo imaginação espacial e memória. Primeiro, você deve aprender a multiplicar números de dois dígitos por números de um único dígito em uma coluna em sua cabeça. Depois disso, você pode multiplicar facilmente números de dois dígitos em três etapas. Primeiro, um número de dois dígitos deve ser multiplicado pelas dezenas de outro número, depois multiplicado pelas unidades de outro número e, em seguida, somar os números resultantes.

Se parece com isso: 38 * 56 = (38 * 5) * 10 + 38 * 6 = 1900 + 228 = 2128

Visualização com disposição numérica

Muito maneira interessante A multiplicação de números de dois dígitos é a seguinte. Você precisa multiplicar sequencialmente os dígitos dos números para obter centenas, unidades e dezenas.

Digamos que você precise multiplicar 35 sobre 49 .

Primeiro você multiplica 3 sobre 4 , você consegue 12 , então 5 E 9 , você consegue 45 . Gravação 12 E 5 , com um espaço entre eles, e 4 lembrar.

Tu recebes: 12 __ 5 (lembrar 4 ).

Agora você multiplica 3 sobre 9 , E 5 sobre 4 , e resumir: 3 * 9 + 5 * 4 = 27 + 20 = 47 .

Agora precisamos 47 adicionar 4 que lembramos. Nós temos 51 .

Nós escrevemos 1 no meio e 5 adicionar à 12 , Nós temos 17 .

No total, o número que procurávamos é 1715 , é a resposta:

35 * 49 = 1715
Tente multiplicar mentalmente da mesma maneira: 18 * 34, 45 * 91, 31 * 52 .

Multiplicação chinesa ou japonesa

EM países asiáticosÉ costume multiplicar os números não em uma coluna, mas desenhando linhas. Para as culturas orientais, o desejo de contemplação e visualização é importante, provavelmente por isso criaram um método tão bonito que permite multiplicar qualquer número. Este método é complicado apenas à primeira vista. Na verdade, uma maior clareza permite que você use esse método com muito mais eficiência do que a multiplicação de colunas.

Além disso, o conhecimento deste antigo método oriental aumenta a sua erudição. Concordo, nem todos podem se gabar de conhecer o antigo sistema de multiplicação que os chineses usavam há 3.000 anos.

Vídeo sobre como os chineses multiplicam números

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Há três métodos comuns: multiplicação direta, método de número de suporte e método de Trachtenberg.

Domine todos eles, pois cada um pode ser preferível em uma determinada situação.

Você pode praticar suas habilidades adquiridas usando uma mesa de treinamento.

Multiplicação direta

Este método é útil quando um dos multiplicadores está na faixa de 12 a 18 ou termina em 1 e o outro é significativamente diferente dele.

Um dos fatores é dividido mentalmente em dezenas e unidades. Em seguida, eles multiplicam o outro fator por dezenas, depois por unidades e somam.

Por exemplo, 62x13 = 62x10 + 62x3 = 620 + 186 = 806.

Às vezes é conveniente dividir o fator maior em dezenas e unidades: 42×17 = 17×40 + 17×2 = 714.

Método de número de referência

O método requer um pouco de prática para ser dominado, mas é muito conveniente quando dois fatores são números próximos. Em particular, este é o principal método para elevar ao quadrado números de dois dígitos.

O número de referência é um número redondo próximo a ambos os fatores. Pode ser menor que ambos os fatores, maior que ambos os fatores ou intermediário.

Como número de referência, você deve escolher números pelos quais seja fácil multiplicar. Por exemplo, 50 ou 100 se estiverem próximos de dois fatores.

Dependendo de como o número de referência e os fatores estão relacionados, a técnica de multiplicação difere ligeiramente.

A. O número de referência é inferior a dois fatores. Por exemplo, você precisa multiplicar 32 por 36.

O número de referência é 30. Os multiplicadores são maiores que o número de referência em 2 e 6.
Adicione 6 ao primeiro fator e multiplique pelo número de referência: 38 × 30 = 1140.
Adicione o produto de 2 e 6: 1140 + 2×6 = 1152.

b. O número de referência é maior que dois fatores. Por exemplo, você precisa multiplicar 43 por 48.

O número de referência é 50. Os multiplicadores são 7 e 2 a menos que o número de referência.
Subtraia 2 do primeiro fator e multiplique pelo número de referência: 41 × 50 = 2050.
Adicione o produto de 7 e 2: 2050 + 7×2 = 2064.

V. O número de referência está entre os fatores. Por exemplo, você precisa multiplicar 37 por 42.

O número de referência é 40. O primeiro fator é 3 menor, o segundo é 2 maior.
Adicione 2 ao fator menor e multiplique pelo número de referência: 39 × 40 = 1560.
Subtraia o produto de 3 e 2: 1440 − 3×2 = 1554.

Método Trachtenberg

Como o método Trachtenberg não é totalmente familiar, ao dominá-lo é melhor ter os multiplicadores diante dos olhos. No futuro, pratique sem anotar os números originais.

Vejamos o método usando o exemplo da multiplicação de 87 por 32.

Apresente os números sequencialmente: 8732. Multiplique os dois números internos (7 e 3), os dois números externos (8 e 2) e some. Acontece que são 37.
Multiplique as dezenas: 80x30 = 2.400. Adicione 37x10. Acontece 2770.
Adicione o produto de uns (7 e 2). Total 2784.

De todas as ciências, a matemática goza de um respeito especial porque os seus teoremas são absolutamente verdadeiros e indiscutíveis, enquanto as leis de outras ciências são até certo ponto controversas e há sempre o perigo da sua refutação por novas descobertas.

Os alunos da escola primária devem ser capazes de realizar cálculos aritméticos simples de cabeça. Por exemplo, as crianças devem ser capazes de somar e subtrair mentalmente números de dois e três dígitos.

Para os adultos, somar e subtrair números de dois e três dígitos não causa dificuldades, uma vez que um adulto desenvolveu de forma independente métodos de cálculo mental básico.

80 - 67 = 80 - 60 - 7 = 20 - 7 = 13 (separe as unidades na hora de subtrair)

Combinações de diferentes métodos

79 - 50 (adicionando um aos números)

70 - 50 + 9 = 20 + 9 = 29 (divisão de unidades)

80 + 67 (transferência de um do número 68 para o número 79)

80 + 67 = 80 + 20 + 47 = 100 + 47 = 147

De maneira semelhante, números de três dígitos podem ser facilmente somados e subtraídos mentalmente.

300 + 57 (+3) + 38(-3) (transferência de três de 38 para 57)

287 (+1) - 29 (+1) (adicionando um ao minuendo e ao subtraendo)

419-297(400-200), 219 (+3) - 97 (+3) (adicionando três ao minuendo e ao subtraendo).

Uma das técnicas de multiplicação acelerada é a técnica de multiplicação cruzada, que é muito conveniente quando se trabalha com números de dois dígitos. O método não é novo; remonta aos gregos e hindus e nos tempos antigos era chamado de “método do relâmpago” ou “multiplicação cruzada”.

"Multiplicando com uma cruz."

Digamos que precisamos multiplicar 2.432. Organize mentalmente os números de acordo com o seguinte esquema, um abaixo do outro:

Agora executamos as seguintes etapas sequencialmente:

1) 42=8 é o último dígito do resultado;

2) 22=4; 43=12; 4+12=16; 6 é o número médio do resultado; lembramos da unidade;

3) 23 = 6 e também uma unidade retida na mente, temos 7 – este é o primeiro dígito do resultado.

Obtemos todos os dígitos do produto: 7, 6, 8=768

Outro método, que consiste na utilização dos chamados “suplementos”, é convenientemente utilizado nesses casos. quando os números multiplicados são próximos de 100. O resultado obtido está correto, como pode ser visto claramente nas seguintes transformações;

8896=88(100-4)=88100-884

496= 4(88+8)= 48+884

929 =8832+0

Tabela de multiplicação por "9".

Existe uma grande variedade de técnicas para agilizar a execução de operações aritméticas, técnicas destinadas aos cálculos do dia a dia.

Quadratura de números terminados em "5".

Para elevar ao quadrado um número, por exemplo 65, você precisa adicionar 1 à casa das dezenas (ou seja, 6+1=7) e multiplicar 6*7=42 e 5*5=25. Então =4225

35*35

=1225 3*4=12

todas as respostas terminam com o número 25. Mas como você consegue os dois primeiros dígitos da resposta? Eles são obtidos multiplicando o algarismo das dezenas pelo seguinte número natural. Para elevar ao quadrado um número, por exemplo 65, você precisa adicionar 1 à casa das dezenas (ou seja, 6+1=7) e multiplicar 6*7=42 e 5*5=25. Então =4225.

Memorizando uma tabela de valores de Sin, Cos, tg para ângulos agudos.

Veja, os dedos da mão esquerda formam ângulos:

dedo mínimo-0 (dedo zero)

anel-30 (primeiro dedo)

meio-45 (segundo dedo)

índice - 60 (terceiro dedo)

polegar-90 (quarto dedo)

Conhecendo os senos, você pode preencher os cossenos (vice-versa), tangentes e cotangentes de ângulos agudos.

Método para multiplicar números próximos de 100

Exemplo: 95*93

Para obter os 2 últimos dígitos da resposta (dezenas e unidades), você precisa

Para obter os 2 primeiros dígitos da resposta (milhares e centenas), você precisa

4) 93 - 5 = 88 ou (95 - 7 = 88)

Nós temos 8835

Exemplo 2: 98*92

Obtemos 9016

Suponhamos que você precise multiplicar 92 * 96. A adição de 92 a 100 será 8 e de 86 - 4. A ação é realizada de acordo com o seguinte esquema:

Multiplicadores: 92 e 96.

Adições: 8 e 4.

Os primeiros dois dígitos do resultado são obtidos simplesmente subtraindo o multiplicando do fator “complemento”, ou vice-versa: ou seja, 4 é subtraído de 92 ou de 96-8. Em ambos os casos temos 88;

Outro exemplo - você precisa multiplicar 78 por 77:

Multiplicadores: 78 e 77.

Adições: 22 e 23.

Números 1, 5 e 6

Provavelmente todos sabem que multiplicar uma série de números terminados em 1, 5 ou 6 produz um número terminado com o mesmo dígito.

46 = 2116; 46 = 97 336

Extração debaixo da raiz

1). Para extrair um número da raiz, por exemplo, divida esse número por dois dígitos da direita para a esquerda assim: = 568

1. Divida o número (5963364) em pares da direita para a esquerda (5`96`33`64)

2. Extrair Raiz quadrada do primeiro grupo à esquerda (número 2). É assim que obtemos o primeiro dígito do número.

3. Encontre o quadrado do primeiro dígito (2 2 =4).

4. Encontre a diferença entre o primeiro grupo e o quadrado do primeiro dígito (5-4=1).

5. Anotamos os próximos dois dígitos (obtemos o número 196).

6. Duplique o primeiro dígito que encontramos e escreva-o à esquerda, atrás da linha (2*2=4).

7. Agora precisamos encontrar o segundo dígito do número: o dobro do primeiro dígito que encontramos torna-se o dígito das dezenas do número, quando multiplicado pelo número de unidades, precisamos obter um número menor que 196 (este é o número 4, 44*4=176). 4 é o segundo dígito do número.

8. Encontre a diferença (196-176=20).

9. Demolimos o próximo grupo (obtemos o número 2033).

10. Dobrando o número 24, obtemos 48.

11. Existem 48 dezenas em um número, quando multiplicado pelo número de unidades, devemos obter um número menor que 2033 (484*4=1936). O dígito das unidades que encontramos (4) é o terceiro dígito do número.

Os números 10, 11, 12, 13 e 14 possuem uma característica incrível. Quem teria pensado aquilo

10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2. Vamos provar: 100 + 121 +144 = 169 + 196

Adição de números próximos uns dos outros em magnitude.

Na prática de cálculos técnicos e comerciais, muitas vezes há casos em que é necessário adicionar colunas de números de tamanhos próximos uns dos outros. Por exemplo;

Para adicionar esses números, a seguinte técnica é usada

40*7=280, 3-2-1+5+1-1+2=7, 280+7=287.

Encontramos a soma da mesma maneira:

750*6+1=4501

Média números aritméticos, de tamanho próximo

Esfregar.
465
473
475
467
478
474
468
472

Eles fazem a mesma coisa quando encontram a média aritmética de números de valor próximo. Encontremos, por exemplo, a média dos seguintes preços:

Observamos um preço redondo próximo da média, ou seja, 470 rublos. Anotamos os desvios de todos os preços em relação à média: excedentes com sinal de mais, deficiências com sinal de -.

Obtemos: -5+3+5-3+8+4-2+2=12. Dividindo a soma dos desvios pelo seu número. Temos: 12:8 = 1,5.

Daí a necessidade preço médio 470+1,5=471,5 (471 rublos 50 copeques).

Multiplicação pelos números 5, 25, 125

Vamos passar para a multiplicação.

Aqui, em primeiro lugar, destacamos que a multiplicação pelos números 5, 25, 125 é significativamente acelerada se tivermos em mente o seguinte:

Portanto, por exemplo,

Multiplique por 15.

Ao multiplicar por 15, você pode usar o fato de que

Portanto, é fácil fazer cálculos mentais como este:

36*15=360*1=360+180=540,

Ou mais simples: 36*1*10=540;

Multiplique por 11.

Ao multiplicar por 11 não há necessidade de escrever cinco linhas:

Basta assiná-lo novamente sob o número multiplicado, movendo-o um dígito:

4213 ou 4213 e adicione.

É útil lembrar os resultados da multiplicação dos primeiros nove números por 12, 13, 14, 15. Em seguida, multiplicar números de vários dígitos por tais fatores, é significativamente acelerado. Que seja necessário multiplicar

Vamos fazer assim. Multiplicamos cada dígito do multiplicando em nossas mentes imediatamente por 13:

7*13=91; 1 escrevemos, 9 lembramos;

8*13=104;104+9=113; 3 escrevemos, 11 lembramos;

5*13=65;65+11=76; 6 escrevemos; 7 lembre-se;

4*13=52; 52+7=59.

Total 59631.

Após vários exercícios, esta técnica é fácil de lembrar.

Existe uma técnica muito conveniente para multiplicar números de dois dígitos por 11: você precisa separar os dígitos do multiplicando e inserir sua soma entre eles:

Se a soma dos dígitos for de dois dígitos, o número de suas dezenas será adicionado ao primeiro dígito do multiplicando:

48*11=4(12)8, ou seja, 528.

Divisão por 5; 25; 125.

Indicamos alguns métodos de divisão acelerada.

Ao dividir por 5, multiplique o dividendo e o divisor por 2:

3471:5=6942:10=694,2

Ao dividir por 25, multiplique os dois números por 4:

3471;25=13884:100=138,84. Faça o mesmo ao dividir por 1 (= 1,5) e 2 (= 2,5); 3471: 1=6942:3=2314; 3471: 2,5=13884:10=1388,4

Método russo de humilhação.

Aqui está um exemplo:

32*13; 16*26; 8*52; 4*104; 2*208; 1*416

A divisão ao meio continua até que o quociente chegue a 1, enquanto o outro número é duplicado. O último número duplicado dá o resultado desejado.

O que você deve fazer se precisar dividir um número ímpar pela metade? Se o número for ímpar, retire um e divida o restante pela metade; mas ao último número da coluna da direita você precisará somar todos os números desta coluna que estão opostos aos números ímpares da coluna da esquerda: a soma será o produto necessário 19 * 17; 9*34; 4*68; 2*136; 1*272. Somando os números não cruzados, obtemos o resultado correto: 17+34+272=323.

Multiplicação de números terminados em 5.

Ao multiplicar um par de números em que os algarismos das dezenas eram pares ou ímpares e o algarismo das unidades era 5, você precisa multiplicar os algarismos das dezenas e adicionar metade da soma desses algarismos ao seu produto. Obtemos o número de centenas. Ao número de centenas você precisa adicionar o produto 5*5=25.

Por exemplo:

85*45=(8*4+(8+4)/2)centenas+5*5=38*100+25=3825

35*55=(3*5+(3+5)/2)centenas+5*5=19*100+25=1925

Vejamos um exemplo que nos é familiar desde a 5ª série.

Encontre a soma dos primeiros cem números naturais:

1+2+3+4+5+6+ : +94+95+96+97+98+99+100=?

Quão fácil é calcular o seguinte exemplo:

34*48+18*12+23*24=34*2*24+9*24+23*24=24*(68+9+23)=24*100=2400

Você pode criar exemplos de forma independente para cada regra e praticar cálculos mentais. Ao criar exemplos e realizar tarefas, as crianças não enfrentam dificuldades.

Literatura:

Enciclopédia para crianças. Matemática. M., Avanta, 2002.
Ya.I. Perelman, Aritmética divertida. M., 1954.
Revista “Revista prática para professores e administração escolar nº 9, 2004.
J. "Matemática", nº 4, 1994.

Contagem verbal- uma atividade com a qual cada vez menos pessoas se preocupam hoje em dia. É muito mais fácil pegar uma calculadora no celular e calcular qualquer exemplo.

Mas isso é realmente assim? Neste artigo, apresentaremos truques matemáticos que ajudarão você a aprender como somar, subtrair, multiplicar e dividir números rapidamente de cabeça. Além disso, operar não com unidades e dezenas, mas com números de pelo menos dois e três dígitos.

Depois de dominar os métodos deste artigo, a ideia de pegar uma calculadora no telefone não parecerá mais tão boa. Afinal, você não pode perder tempo e calcular tudo na sua cabeça com muito mais rapidez, e ao mesmo tempo esticar o cérebro e impressionar outras pessoas (do sexo oposto).

Nós avisamos você! Se você uma pessoa comum, e não uma criança prodígio, então para desenvolver habilidades aritméticas mentais você precisará de treinamento e prática, concentração e paciência. No começo tudo pode ser lento, mas depois as coisas vão melhorar e você poderá contar rapidamente qualquer número de cabeça.

Gauss e aritmética mental

Um dos matemáticos com velocidade aritmética mental fenomenal foi o famoso Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Sim, sim, o mesmo Gauss que inventou a distribuição normal.

Em suas próprias palavras, ele aprendeu a contar antes de falar. Quando Gauss tinha 3 anos, o menino olhou a folha de pagamento do pai e declarou: “Os cálculos estão errados”. Depois que os adultos verificaram tudo, descobriu-se que o pequeno Gauss estava certo.

Posteriormente, esse matemático alcançou patamares consideráveis, e seus trabalhos ainda são ativamente utilizados nas ciências teóricas e aplicadas. Até sua morte, Gauss realizou a maioria de seus cálculos de cabeça.

Aqui não nos envolveremos em cálculos complexos, mas começaremos pelos mais simples.

Adicionando números em sua cabeça

Para aprender como somar números grandes de cabeça, você precisa ser capaz de somar números com precisão até 10 . Em última análise, qualquer tarefa complexa se resume à execução de algumas ações triviais.

Na maioria das vezes, surgem problemas e erros ao adicionar números com “passagem 10 " Ao somar (e mesmo ao subtrair), é conveniente utilizar a técnica de “apoio por dez”. O que é isso? Primeiro, nos perguntamos mentalmente o quanto falta um dos termos para 10 e, em seguida, adicione a 10 a diferença restante até o segundo mandato.

Por exemplo, vamos adicionar os números 8 E 6 . Para de 8 pegar 10 , falta 2 . Então, para 10 tudo o que resta é adicionar 4=6-2 . Como resultado obtemos: 8+6=(8+2)+4=10+4=14

O principal truque para adicionar números grandes é dividi-los em partes com valores posicionais e, em seguida, somá-las.

Suponha que precisemos adicionar dois números: 356 E 728 . Número 356 pode ser representado como 300+50+6 . Da mesma maneira, 728 vai parecer 700+20+8 . Agora adicionamos:

356+728=(300+700)+(50+20)+(8+6)=1000+70+14=1084

Subtraindo números na sua cabeça

Subtrair números também será fácil. Mas, ao contrário da adição, onde cada número é dividido em partes de valor posicional, ao subtrair só precisamos “decompor” o número que estamos subtraindo.

Por exemplo, quanto será 528-321 ? Dividindo o número 321 em pequenas partes e obtemos: 321=300+20+1 .

Agora contamos: 528-300-20-1=228-20-1=208-1=207

Tente visualizar os processos de adição e subtração. Na escola todos aprendiam a contar em coluna, ou seja, de cima para baixo. Uma maneira de reestruturar seu pensamento e acelerar a contagem é contar não de cima para baixo, mas da esquerda para a direita, dividindo os números em partes.

Multiplicando números na sua cabeça

Multiplicação é a repetição de um número repetidas vezes. Se você precisar multiplicar 8 sobre 4 , isso significa que o número 8 preciso repetir 4 vezes.

8*4=8+8+8+8=32

Desde tudo tarefas complexas reduzido a outros mais simples, você precisa ser capaz de multiplicar todos os números de um único dígito. Existe uma ótima ferramenta para isso - tabela de multiplicação . Se você não sabe esta tabela de cor, recomendamos fortemente que você a aprenda primeiro e só depois comece a praticar a contagem mental. Além disso, não há essencialmente nada para aprender lá.

Multiplicando números de vários dígitos por números de um único dígito

Primeiro, pratique a multiplicação de números de vários dígitos por números de um único dígito. Que seja necessário multiplicar 528 sobre 6 . Dividindo o número 528 em fileiras e passar de sênior para júnior. Primeiro multiplicamos e depois somamos os resultados.

528=500+20+8

528*6=500*6+20*6+8*6=3000+120+48=3168

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Multiplicando números de dois dígitos

Também não há nada complicado aqui, apenas a carga na memória de curto prazo é um pouco maior.

Vamos multiplicar 28 E 32 . Para fazer isso, reduzimos toda a operação à multiplicação por números de um único dígito. Vamos imaginar 32 Como 30+2

28*32=28*30+28*2=20*30+8*30+20*2+8*2=600+240+40+16=896

Mais um exemplo. Vamos multiplicar 79 sobre 57 . Isso significa que você precisa pegar o número " 79 » 57 uma vez. Vamos dividir toda a operação em etapas. Vamos multiplicar primeiro 79 sobre 50 , e então - 79 sobre 7 .

79*50=(70+9)*50=3500+450=3950
79*7=(70+9)*7=490+63=553
3950+553=4503

Multiplique por 11

Aqui está um truque inteligente e rápido de contagem mental que o ajudará a multiplicar qualquer coisa. número de dois dígitos sobre 11 em velocidade fenomenal.

Para multiplicar um número de dois algarismos por 11 , somamos os dois dígitos do número e inserimos o valor resultante entre os dígitos do número original. O número de três dígitos resultante é o resultado da multiplicação do número original por 11 .

Vamos verificar e multiplicar 54 sobre 11 .

5+4=9
54*11=594

Pegue qualquer número de dois algarismos e multiplique-o por 11 e veja por si mesmo - esse truque funciona!

Quadratura

Usando outra técnica interessante de contagem mental, você pode elevar ao quadrado números de dois dígitos de maneira rápida e fácil. Isso é especialmente fácil de fazer com números que terminam em 5 .

O resultado começa com o produto do primeiro dígito de um número pelo próximo na hierarquia. Isto é, se este valor for denotado por n , então o próximo número na hierarquia será n+1 . O resultado termina com o quadrado do último dígito, ou seja, o quadrado 5 .

Vamos checar! Vamos elevar o número ao quadrado 75 .

7*8=56
5*5=25
75*75=5625

Dividindo números na sua cabeça

Resta lidar com a divisão. Essencialmente, esta é a operação inversa da multiplicação. Com divisão de números até 100 Não deve haver nenhum problema - afinal, existe uma tabuada que você sabe de cor.

Divisão por um número de um único dígito

Ao dividir números de vários dígitos por números de um único dígito, é necessário selecionar a maior parte possível que pode ser dividida usando a tabuada.

Por exemplo, há um número 6144 , que deve ser dividido por 8 . Lembramos a tabuada e entendemos que 8 o número será dividido 5600 . Vamos apresentar um exemplo no formato:

6144:8=(5600+544):8=700+544:8

544:8=(480+64):8=60+64:8

Resta dividir 64 sobre 8 e obtenha o resultado somando todos os resultados da divisão

64:8=8

6144:8=700+60+8=768

Divisão por dois dígitos

Ao dividir por um número de dois dígitos, você deve usar a regra do último dígito do resultado ao multiplicar dois números.

Ao multiplicar dois números com vários dígitos, o último dígito do resultado da multiplicação é sempre igual ao último dígito do resultado da multiplicação dos últimos dígitos desses números.

Por exemplo, vamos multiplicar 1325 sobre 656 . De acordo com a regra, o último dígito do número resultante será 0 , porque 5*6=30 . Realmente, 1325*656=869200 .

Agora, munidos dessas informações valiosas, vejamos a divisão por um número de dois dígitos.

Quanto será 4424:56 ?

Inicialmente, utilizaremos o método de “ajuste” e encontraremos os limites dentro dos quais se encontra o resultado. Precisamos encontrar um número que, quando multiplicado por 56 darei 4424 . Intuitivamente vamos tentar o número 80.

56*80=4480

Isso significa que o número necessário é menor 80 e obviamente mais 70 . Vamos determinar seu último dígito. Seu trabalho em 6 deve terminar com um número 4 . De acordo com a tabuada, os resultados nos convêm 4 E 9 . É lógico supor que o resultado da divisão pode ser um número 74 , ou 79 . Nós verificamos:

79*56=4424

Pronto, solução encontrada! Se o número não coubesse 79 , a segunda opção seria definitivamente correta.

Concluindo, aqui estão alguns dicas úteis isso o ajudará a aprender rapidamente a contagem mental:

Não se esqueça de fazer exercícios todos os dias;
não desista do treino se os resultados não vierem tão rápido quanto você gostaria;
download aplicativo móvel para cálculo oral: desta forma você não precisa inventar exemplos;
Leia livros sobre técnicas de contagem mental rápida. Existir técnicas diferentes cálculo mental, e você poderá dominar aquele que melhor lhe convier.

Os benefícios da contagem mental são inegáveis. Pratique e a cada dia você contará cada vez mais rápido. E se precisar de ajuda para resolver problemas mais complexos e de vários níveis, entre em contato com especialistas de atendimento estudantil para obter ajuda rápida e qualificada!

Existem três métodos gerais: multiplicação direta, método do número de referência e método de Trachtenberg.

Domine todos eles, pois cada um pode ser preferível em uma determinada situação.

Você pode praticar suas habilidades adquiridas usando uma mesa de treinamento.

Multiplicação direta

Este método é útil quando um dos multiplicadores está na faixa de 12 a 18 ou termina em 1 e o outro é significativamente diferente dele.

Um dos fatores é dividido mentalmente em dezenas e unidades. Em seguida, eles multiplicam o outro fator por dezenas, depois por unidades e somam.

Por exemplo, 62x13 = 62x10 + 62x3 = 620 + 186 = 806.

Às vezes é conveniente dividir o fator maior em dezenas e unidades: 42×17 = 17×40 + 17×2 = 714.

Método de número de referência

O número de referência é um número redondo próximo a ambos os fatores. Pode ser menor que ambos os fatores, maior que ambos os fatores ou intermediário.

Como número de referência, você deve escolher números pelos quais seja fácil multiplicar. Por exemplo, 50 ou 100 se estiverem próximos de dois fatores.

Dependendo de como o número de referência e os fatores estão relacionados, a técnica de multiplicação difere ligeiramente.

A. O número de referência é inferior a dois fatores. Por exemplo, você precisa multiplicar 32 por 36.

O número de referência é 30. Os multiplicadores são 2 e 6 maiores que o número de referência.
Adicione 6 ao primeiro fator e multiplique pelo número de referência: 38 × 30 = 1140.
Adicione o produto de 2 e 6: 1140 + 2×6 = 1152.

b. O número de referência é maior que dois fatores. Por exemplo, você precisa multiplicar 43 por 48.

O número de referência é 50. Os multiplicadores são 7 e 2 a menos que o número de referência.
Subtraia 2 do primeiro fator e multiplique pelo número de referência: 41 × 50 = 2050.
Adicione o produto de 7 e 2: 2050 + 7×2 = 2064.

V. O número de referência está entre os fatores. Por exemplo, você precisa multiplicar 37 por 42.

O número de referência é 40. O primeiro fator é 3 menor, o segundo é 2 maior.
Adicione 2 ao fator menor e multiplique pelo número de referência: 39 × 40 = 1560.
Subtraia o produto de 3 e 2: 1440 − 3×2 = 1554.

Método Trachtenberg

O método de Trachtenberg é o mais geral. É conveniente usar sempre que técnicas especiais não funcionarem. Também cobre a multiplicação de vários dígitos.

Como o método Trachtenberg não é totalmente familiar, ao dominá-lo é melhor ter os multiplicadores diante dos olhos. No futuro, pratique sem anotar os números originais.

Vejamos o método usando o exemplo da multiplicação de 87 por 32.

Apresente os números sequencialmente: 8732. Multiplique os dois números internos (7 e 3), os dois números externos (8 e 2) e some. Acontece que são 37.
Multiplique as dezenas: 80x30 = 2.400. Adicione 37x10. Acontece 2770.
Adicione o produto de uns (7 e 2). Total 2784.

A vantagem dos três métodos de multiplicação de números de dois dígitos para cálculo mental, descritos em, é que eles são universais para qualquer número e com boas habilidades de cálculo mental, podem permitir que você chegue rapidamente à resposta correta. No entanto, a eficiência da multiplicação mental de alguns números de dois dígitos pode ser maior devido a menos etapas ao usar algoritmos especiais. Nesta lição, você aprenderá como multiplicar rapidamente qualquer número até 30. Técnicas especiais são apresentadas aqui, incluindo uma introdução ao uso de um número de referência.

Para multiplicar qualquer número de dois dígitos por 11, você precisa inserir a soma do primeiro e do segundo dígitos entre o primeiro e o segundo dígitos do número que está sendo multiplicado. Por exemplo: 23*11, escreva 2 e 3, e entre eles coloque a soma (2+3). Ou, resumindo, que 23*11= 2 (2+3) 3 = 253.

Se a soma dos números no centro der um resultado maior que 10, adicione um ao primeiro dígito e, em vez do segundo dígito, escrevemos a soma dos dígitos do número que está sendo multiplicado menos 10. Por exemplo: 29* 11 = 2 (2+9) 9 = 2 (11) 9 = 319 .

Quaisquer números de dois dígitos podem ser multiplicados por 11 desta forma. Para maior clareza, são dados exemplos:

81 * 11 = 8 (8+1) 1 = 891

68 * 11 = 6 (6+8) 8 = 748

Soma quadrada, diferença quadrada

Para elevar ao quadrado um número de dois dígitos, você pode usar as fórmulas de soma quadrada ou diferença quadrada. Por exemplo:

23 2 = (20+3) 2 = 20 2 + 2*3*20 + 3 2 = 400+120+9 = 529

69 2 = (70-1) 2 = 70 2 - 70*2*1 + 1 2 = 4 900-140+1 = 4 761

Quadratura de números terminados em 5

Para elevar ao quadrado números que terminam em 5. O algoritmo é simples. O número até os últimos cinco, multiplique pelo mesmo número mais um. Adicione 25 ao número restante.

15 2 = (1*(1+1)) 25 = 225

25 2 = (2*(2+1)) 25 = 625

85 2 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Isto também é verdade para exemplos mais complexos:

155 2 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

Multiplicando números até 20

1 passo. Por exemplo, vamos pegar dois números - 16 e 18. A um dos números adicionamos o número de unidades do segundo - 16+8=24

Passo 2. Multiplicamos o número resultante por 10 - 24*10=240

A técnica para multiplicar números até 20 é muito simples:

Para escrever brevemente:

16*18 = (16+8)*10+6*8 = 288

Provar a exatidão deste método é simples: 16*18 = (10+6)*(10+8) = 10*10+10*6+10*8+6*8 = 10*(10+6+8) +6*8. A última expressão é uma demonstração do método descrito acima.

Essencialmente, este método é uma forma especial de usar números de referência (que será discutido em). Neste caso, o número de referência é 10. Na última expressão da prova, podemos ver que é por 10 que multiplicamos o colchete. Mas quaisquer outros números podem ser usados como número de referência, sendo os mais convenientes 20, 25, 50, 100... Leia mais sobre o método de utilização de um número de referência na próxima lição.

Número de referência

Veja a essência deste método usando o exemplo da multiplicação de 15 e 18. Aqui é conveniente usar o número de referência 10. 15 é maior que dez por 5 e 18 é maior que dez por 8. Para descobrir seus produto, você precisa realizar as seguintes operações:

A qualquer um dos fatores adicione o número pelo qual o segundo fator é maior que o de referência. Ou seja, some 8 a 15, ou 5 a 18. No primeiro e no segundo caso, o resultado é o mesmo: 23.
Depois multiplicamos 23 pelo número de referência, ou seja, por 10. Resposta: 230
A 230 adicionamos o produto 5*8. Resposta: 270.

Treinamento

Se quiser melhorar suas habilidades no tópico desta lição, você pode usar o seguinte jogo. Os pontos que você recebe são afetados pela correção de suas respostas e pelo tempo gasto na conclusão. Observe que os números são diferentes a cada vez.