Tangente do ângulo entre linhas retas online. Ângulo entre duas retas
Será útil para todos os alunos que estão se preparando para o Exame Estadual Unificado de matemática repetir o tópico “Encontrar um ângulo entre linhas retas”. Como mostram as estatísticas, ao passar no teste de certificação, as tarefas desta seção de estereometria causam dificuldades para grande quantidade estudantes. Ao mesmo tempo, tarefas que exigem encontrar o ângulo entre linhas retas são encontradas no Exame Estadual Unificado de ambos os níveis básico e nível de perfil. Isso significa que todos devem ser capazes de resolvê-los.
Momentos básicos
Existem 4 tipos de posições relativas de linhas no espaço. Eles podem coincidir, cruzar, ser paralelos ou se cruzar. O ângulo entre eles pode ser agudo ou reto.
Para encontrar o ângulo entre as linhas no Exame de Estado Unificado ou, por exemplo, na resolução, os alunos de Moscou e outras cidades podem usar vários métodos para resolver problemas nesta seção de estereometria. Você pode completar a tarefa usando construções clássicas. Para fazer isso, vale a pena aprender os axiomas e teoremas básicos da estereometria. O aluno precisa ser capaz de raciocinar logicamente e criar desenhos para levar a tarefa a um problema planimétrico.
Você também pode usar o método vetorial de coordenadas usando fórmulas, regras e algoritmos simples. O principal neste caso é realizar todos os cálculos corretamente. Aprimore suas habilidades na resolução de problemas em estereometria e outras áreas curso escolar O projeto educacional Shkolkovo irá ajudá-lo.
Definição. Se duas linhas forem dadas y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, então o ângulo agudo entre essas linhas será definido como
Duas retas são paralelas se k 1 = k 2. Duas retas são perpendiculares se k 1 = -1/ k 2.
Teorema. As retas Ax + Bу + C = 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 são paralelas quando os coeficientes A 1 = λA, B 1 = λB são proporcionais. Se também C 1 = λC, então as linhas coincidem. As coordenadas do ponto de intersecção de duas retas são encontradas como solução do sistema de equações dessas retas.
Equação de uma reta que passa por um determinado ponto
Perpendicular a uma determinada linha
Definição. Uma reta que passa pelo ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à reta y = kx + b é representada pela equação:
Distância do ponto à linha
Teorema. Se um ponto M(x 0, y 0) for dado, então a distância até a linha Ax + Bу + C = 0 é determinada como
.
Prova. Seja o ponto M 1 (x 1, y 1) a base da perpendicular baixada do ponto M até uma determinada linha reta. Então a distância entre os pontos M e M 1:
(1)
As coordenadas x 1 e y 1 podem ser encontradas resolvendo o sistema de equações:
A segunda equação do sistema é a equação da reta que passa por determinado ponto M 0 é perpendicular a uma determinada linha reta. Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,
então, resolvendo, obtemos:
Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:
O teorema foi provado.
Exemplo. Determine o ângulo entre as retas: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Exemplo. Mostre que as retas 3x – 5y + 7 = 0 e 10x + 6y – 3 = 0 são perpendiculares.
Solução. Encontramos: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, portanto, as retas são perpendiculares.
Exemplo. Dados são os vértices do triângulo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Encontre a equação da altura desenhada a partir do vértice C.
Solução. Encontramos a equação do lado AB: 
; 4 x = 6 anos – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
A equação da altura necessária tem a forma: Ax + By + C = 0 ou y = kx + b. k = . Então y = . Porque a altura passa pelo ponto C, então suas coordenadas satisfazem esta equação: 
de onde b = 17. Total: . 
Resposta: 3 x + 2 y – 34 = 0.
A equação de uma reta que passa por um determinado ponto em uma determinada direção. Equação de uma reta que passa por dois pontos dados. O ângulo entre duas linhas retas. A condição de paralelismo e perpendicularidade de duas retas. Determinando o ponto de intersecção de duas linhas
1. Equação de uma reta que passa por um determinado ponto A(x 1 , sim 1) em uma determinada direção determinada pela inclinação k,
sim - sim 1 = k(x - x 1). (1)
Esta equação define um lápis de retas que passa por um ponto A(x 1 , sim 1), que é chamado de centro do feixe.
2. Equação de uma reta que passa por dois pontos: A(x 1 , sim 1) e B(x 2 , sim 2), escrito assim:
O coeficiente angular de uma linha reta que passa por dois pontos dados é determinado pela fórmula
3. Ângulo entre linhas retas A E Bé o ângulo pelo qual a primeira linha reta deve ser girada A em torno do ponto de intersecção dessas linhas no sentido anti-horário até coincidir com a segunda linha B. Se duas retas são dadas por equações com inclinação
sim = k 1 x + B 1 ,
sim = k 2 x + B 2 , (4)
então o ângulo entre eles é determinado pela fórmula
Deve-se notar que no numerador da fração, a inclinação da primeira linha é subtraída da inclinação da segunda linha.
Se as equações de uma reta forem dadas em visão geral
A 1 x + B 1 sim + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 sim + C 2 = 0, (6)
o ângulo entre eles é determinado pela fórmula
4. Condições para paralelismo de duas linhas:
a) Se as retas são dadas pelas equações (4) com coeficiente angular, então a condição necessária e suficiente para seu paralelismo é a igualdade de seus coeficientes angulares:
k 1 = k 2 . (8)
b) Para o caso em que as retas são dadas por equações na forma geral (6), uma condição necessária e suficiente para o seu paralelismo é que os coeficientes das coordenadas atuais correspondentes em suas equações sejam proporcionais, ou seja,
5. Condições para perpendicularidade de duas retas:
a) No caso em que as retas são dadas pelas equações (4) com coeficiente angular, uma condição necessária e suficiente para sua perpendicularidade é que seus coeficientes angulares sejam inversos em magnitude e opostos em sinal, ou seja,
Esta condição também pode ser escrita na forma
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Se as equações das retas são dadas na forma geral (6), então a condição para sua perpendicularidade (necessária e suficiente) é satisfazer a igualdade
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. As coordenadas do ponto de intersecção de duas retas são encontradas resolvendo o sistema de equações (6). As linhas (6) se cruzam se e somente se
1. Escreva as equações das retas que passam pelo ponto M, uma das quais é paralela e a outra perpendicular à reta l dada.
Instruções
observação
Período função trigonométrica A tangente é igual a 180 graus, o que significa que os ângulos de inclinação das retas não podem, em valor absoluto, ultrapassar esse valor.
Se os coeficientes angulares forem iguais entre si, então o ângulo entre essas linhas é 0, uma vez que tais linhas coincidem ou são paralelas.
Para determinar o valor do ângulo entre as linhas que se cruzam, é necessário mover ambas as linhas (ou uma delas) para uma nova posição usando o método de translação paralela até que se cruzem. Depois disso, você deve encontrar o ângulo entre as linhas que se cruzam resultantes.
Você vai precisar
- Governante, triângulo retângulo, lápis, transferidor.
Instruções
Então, sejam dados o vetor V = (a, b, c) e o plano A x + B y + C z = 0, onde A, B e C são as coordenadas do normal N. Então o cosseno do ângulo α entre os vetores V e N é igual a: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).
Para calcular o ângulo em graus ou radianos, você precisa calcular a função inversa do cosseno a partir da expressão resultante, ou seja, arcocosseno:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).
Exemplo: encontrar canto entre vetor(5, -3, 8) e avião, dado pela equação geral 2 x – 5 y + 3 z = 0. Solução: anote as coordenadas do vetor normal do plano N = (2, -5, 3). Substitua tudo valores conhecidos na fórmula dada: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Vídeo sobre o tema
Uma linha reta que tem um ponto comum com um círculo é tangente ao círculo. Outra característica da tangente é que ela é sempre perpendicular ao raio traçado até o ponto de contato, ou seja, a tangente e o raio formam uma linha reta canto. Se duas tangentes a um círculo AB e AC são traçadas a partir de um ponto A, então elas são sempre iguais entre si. Determinando o ângulo entre tangentes ( canto ABC) é feito usando o teorema de Pitágoras.
Instruções
Para determinar o ângulo, você precisa saber o raio do círculo OB e OS e a distância do ponto inicial da tangente ao centro do círculo - O. Portanto, os ângulos ABO e ASO são iguais, o raio OB é, por exemplo, 10 cm, e a distância ao centro do círculo AO é 15 cm. Determine o comprimento da tangente usando a fórmula de acordo com o teorema de Pitágoras: AB =. Raiz quadrada de AO2 – OB2 ou 152 - 102 = 225 – 100 = 125;
Serei breve. O ângulo entre duas retas é igual ao ângulo entre seus vetores de direção. Assim, se você conseguir encontrar as coordenadas dos vetores de direção a = (x 1 ; y 1 ; z 1) e b = (x 2 ; y 2 ; z 2), então você poderá encontrar o ângulo. Mais precisamente, o cosseno do ângulo de acordo com a fórmula:
Vamos ver como esta fórmula funciona usando exemplos específicos:
Tarefa. No cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, os pontos E e F são marcados - os pontos médios das arestas A 1 B 1 e B 1 C 1, respectivamente. Encontre o ângulo entre as linhas AE e BF.
Como a aresta do cubo não é especificada, vamos definir AB = 1. Introduzimos um sistema de coordenadas padrão: a origem está no ponto A, os eixos x, y, z são direcionados ao longo de AB, AD e AA 1, respectivamente. O segmento unitário é igual a AB = 1. Agora vamos encontrar as coordenadas dos vetores de direção de nossas retas.
Vamos encontrar as coordenadas do vetor AE. Para isso precisamos dos pontos A = (0; 0; 0) e E = (0,5; 0; 1). Como o ponto E é o meio do segmento A 1 B 1, suas coordenadas são iguais à média aritmética das coordenadas das extremidades. Observe que a origem do vetor AE coincide com a origem das coordenadas, então AE = (0,5; 0; 1).
Agora vamos dar uma olhada no vetor BF. Da mesma forma, analisamos os pontos B = (1; 0; 0) e F = (1; 0,5; 1), pois F é o meio do segmento B 1 C 1. Nós temos:
GC = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).
Então, os vetores de direção estão prontos. O cosseno do ângulo entre retas é o cosseno do ângulo entre os vetores de direção, então temos:
Tarefa. Em um prisma triangular regular ABCA 1 B 1 C 1, cujas arestas são iguais a 1, são marcados os pontos D e E - os pontos médios das arestas A 1 B 1 e B 1 C 1, respectivamente. Encontre o ângulo entre as linhas AD e BE.
Vamos apresentar um sistema de coordenadas padrão: a origem está no ponto A, o eixo x é direcionado ao longo de AB, z - ao longo de AA 1. Vamos direcionar o eixo y para que o plano OXY coincida com o plano ABC. O segmento unitário é igual a AB = 1. Vamos encontrar as coordenadas dos vetores de direção das retas desejadas.
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do vetor AD. Considere os pontos: A = (0; 0; 0) e D = (0,5; 0; 1), pois D - meio do segmento A 1 B 1. Como o início do vetor AD coincide com a origem das coordenadas, obtemos AD = (0,5; 0; 1).
Agora vamos encontrar as coordenadas do vetor BE. O ponto B = (1; 0; 0) é fácil de calcular. Com o ponto E - meio do segmento C 1 B 1 - é um pouco mais complicado. Nós temos:
Resta encontrar o cosseno do ângulo:
Tarefa. Em um prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , todas as arestas são iguais a 1, os pontos K e L são marcados - os pontos médios das arestas A 1 B 1 e B 1 C 1, respectivamente . Encontre o ângulo entre as linhas AK e BL.
Vamos introduzir um sistema de coordenadas padrão para um prisma: colocamos a origem das coordenadas no centro da base inferior, o eixo x é direcionado ao longo de FC, o eixo y é direcionado através dos pontos médios dos segmentos AB e DE, e o eixo z eixo é direcionado verticalmente para cima. O segmento unitário é novamente igual a AB = 1. Vamos anotar as coordenadas dos pontos que nos interessam:
Os pontos K e L são os pontos médios dos segmentos A 1 B 1 e B 1 C 1, respectivamente, portanto suas coordenadas são encontradas através da média aritmética. Conhecendo os pontos, encontramos as coordenadas dos vetores de direção AK e BL:
Agora vamos encontrar o cosseno do ângulo:
Tarefa. Em uma pirâmide quadrangular regular SABCD, com todas as arestas iguais a 1, estão marcados os pontos E e F - os pontos médios dos lados SB e SC, respectivamente. Encontre o ângulo entre as linhas AE e BF.
Vamos apresentar um sistema de coordenadas padrão: a origem está no ponto A, os eixos x e y são direcionados ao longo de AB e AD, respectivamente, e o eixo z é direcionado verticalmente para cima. O segmento unitário é igual a AB = 1.
Os pontos E e F são os pontos médios dos segmentos SB e SC, respectivamente, portanto suas coordenadas são encontradas como a média aritmética das extremidades. Vamos anotar as coordenadas dos pontos que nos interessam:
UMA = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Conhecendo os pontos, encontramos as coordenadas dos vetores de direção AE e BF:
As coordenadas do vetor AE coincidem com as coordenadas do ponto E, pois o ponto A é a origem. Resta encontrar o cosseno do ângulo:
Ângulo entre linhas retas no espaço chamaremos qualquer um dos ângulos adjacentes formados por duas linhas retas traçadas através de um ponto arbitrário paralelo aos dados.
Deixe duas linhas serem dadas no espaço:
Obviamente, o ângulo φ entre linhas retas pode ser considerado como o ângulo entre seus vetores de direção e . Desde então, usando a fórmula do cosseno do ângulo entre os vetores, obtemos
As condições de paralelismo e perpendicularidade de duas retas são equivalentes às condições de paralelismo e perpendicularidade de seus vetores diretores e:
Dois seguidos paralelo se e somente se seus coeficientes correspondentes forem proporcionais, ou seja, eu 1 paralelo eu 2 se e somente se paralelo 
.
Dois seguidos perpendicular se e somente se a soma dos produtos dos coeficientes correspondentes for igual a zero: .
você objetivo entre linha e plano
Que seja direto d- não perpendicular ao plano θ;
d′− projeção de uma linha d para o plano θ;
O menor ângulo entre linhas retas d E d'vamos ligar ângulo entre uma linha reta e um plano.
Vamos denotá-lo como φ=( d,θ)
Se d⊥θ, então ( d,θ)=π/2
Oi→j→k→− sistema de coordenadas retangulares.
Equação plana:
θ: Machado+Por+Cz+D=0
Assumimos que a linha reta é definida por um ponto e um vetor de direção: d[M 0,p→]
Vetor n→(A,B,C)⊥θ
Resta então descobrir o ângulo entre os vetores n→ e p→, vamos denotá-lo como γ=( n→,p→).
Se o ângulo γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Se o ângulo for γ>π/2, então o ângulo desejado é φ=γ−π/2
senφ=sen(2π−γ)=cosγ
senφ=sen(γ−2π)=−cosγ
Então, ângulo entre a reta e o plano pode ser calculado usando a fórmula:
senφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+PA 2+CP 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23
Pergunta29. O conceito de forma quadrática. Definição de sinal de formas quadráticas.
Forma quadrática j (x 1, x 2, …, x n) n variáveis reais x 1, x 2, …, x né chamada de soma da forma 
, (1)
Onde um ij – alguns números chamados coeficientes. Sem perda de generalidade, podemos assumir que um ij = um ji.
A forma quadrática é chamada válido, Se um ij
Î GR. Matriz de forma quadráticaé chamada de matriz composta por seus coeficientes. A forma quadrática (1) corresponde à única matriz simétrica 
Aquilo é UMA T = UMA. Consequentemente, a forma quadrática (1) pode ser escrita na forma matricial j ( X) = x T Ah, Onde x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
E, inversamente, toda matriz simétrica (2) corresponde a uma única forma quadrática até a notação de variáveis.
Classificação da forma quadráticaé chamado de posto de sua matriz. A forma quadrática é chamada não degenerado, se sua matriz for não singular A. (lembre-se que a matriz Aé chamado não degenerado se seu determinante não for igual a zero). Caso contrário, a forma quadrática é degenerada.
Positivo definitivo(ou estritamente positivo) se
j( X) > 0 , para qualquer um X = (X 1 , X 2 , …, x n), exceto X = (0, 0, …, 0).
Matriz A forma quadrática definida positiva j ( X) também é chamado de definido positivo. Portanto, uma forma quadrática definida positiva corresponde a uma matriz definida positiva única e vice-versa.
A forma quadrática (1) é chamada definido negativamente(ou estritamente negativo) se
j( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), exceto X = (0, 0, …, 0).
Da mesma forma que acima, uma matriz de forma quadrática definida negativa também é chamada de definida negativa.
Consequentemente, a forma quadrática definida positiva (negativa) j ( X) atinge o valor mínimo (máximo) j ( X*) = 0 em X* = (0, 0, …, 0).
Observe que a maioria das formas quadráticas não tem sinal definido, ou seja, não são positivas nem negativas. Tais formas quadráticas desaparecem não apenas na origem do sistema de coordenadas, mas também em outros pontos.
Quando n> 2, são necessários critérios especiais para verificar o sinal de uma forma quadrática. Vamos dar uma olhada neles.
Menores maiores forma quadrática são chamados menores:
isto é, são menores da ordem de 1, 2, ..., n matrizes A, localizado à esquerda canto superior, o último deles coincide com o determinante da matriz A.
Critério de Definitividade Positiva (critério de Sylvester)
X) = x T Ah era definido positivo, é necessário e suficiente que todos os menores maiores da matriz A foram positivos, ou seja: M 1 > 0, M 2 > 0, …, Mn > 0. Critério de certeza negativo Para que a forma quadrática j ( X) = x T Ah fosse negativo definido, é necessário e suficiente que seus principais menores de ordem par sejam positivos, e de ordem ímpar - negativos, ou seja: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n