Para calcular a distância de um determinado ponto M a uma linha reta L, você pode usar jeitos diferentes. Por exemplo, se tomarmos um ponto arbitrário M 0 na reta L, então podemos determinar projeção ortogonal do vetor M 0 M na direção do vetor normal da reta. Esta projeção, até um sinal, é a distância necessária.

Outra maneira de calcular a distância de um ponto a uma linha é baseada no uso equação normal de uma reta. Seja a reta L dada pela equação normal (4.23). Se o ponto M(x; y) não estiver na linha L, então a projeção ortogonal pr n OM vetor de raio apontar M na direção do vetor normal unitário n da reta L é igual ao produto escalar dos vetores OM e n, ou seja, x cosφ + y sinφ. A mesma projeção é igual à soma da distância p da origem à reta e um certo valor δ (Fig. 4.10). O valor absoluto de δ é igual à distância do ponto M à linha reta. Neste caso, δ > 0 se os pontos M e O estiverem localizados em lados opostos da reta, e δ é o desvio do ponto M da reta.

O desvio δ para o ponto M(x; y) da linha reta L é calculado como a diferença entre a projeção pr n OM e a distância p da origem à linha reta (ver Fig. 4.10), ou seja, δ = x cosφ + y sinφ - p.

Usando esta fórmula, você também pode obter a distância p(M, L) do ponto M(x; y) até a reta L, dada pela equação normal: p(M, L) = |δ | = |x cosφ + y sinφ - p|.

2 Dois ângulos adjacentes somam 180°

Considerando o procedimento de conversão acima equação geral da reta em sua equação normal, obtemos uma fórmula para a distância do ponto M(x; y) à reta L, dada por sua equação geral:

Exemplo 4.8. Vamos encontrar as equações gerais para a altura AH, mediana AM e bissetriz AD do triângulo ABC, emergindo do vértice A. As coordenadas dos vértices do triângulo são conhecidas: A(-1;- 3), B(7; 3 ), C(1;7).

Em primeiro lugar, vamos esclarecer a condição do exemplo: pelas equações indicadas entendemos as equações das retas L AH, L AM e L AD, nas quais estão localizadas a altura AH, mediana AM e bissetriz AD do triângulo especificado , respectivamente (Fig. 4.11).

Para encontrar a equação da reta L AM, usamos o fato de que a mediana divide o lado oposto do triângulo ao meio. Tendo encontrado as coordenadas (x 1 ; y 1) do meio do lado BC x 1 = (7 + 1)/2 = 4, y 1 = (3 + 7)/2 = 5, escrevemos a equação para L SOU no formato equações de uma reta que passa por dois pontos;(x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). Após as transformações obtemos a equação geral da mediana 8x - 5y - 7 = 0./p>

Para encontrar a equação da altura L AH, usamos o fato de que a altura é perpendicular ao lado oposto do triângulo. Portanto, o vetor BC é perpendicular à altura AH e pode ser escolhido como o vetor normal da reta L AH. A equação desta reta é obtida em (4.15), substituindo as coordenadas do ponto A e o vetor normal da reta L AH:

(-6)(x + 1) + 4(y + 3) = 0.

Após as transformações, obtemos a equação geral da altura 3x - 2y - 3 = 0.

Para encontrar a equação da bissetriz L AD, usamos o fato de que a bissetriz AD pertence ao conjunto daqueles pontos N(x; y) que são equidistantes das retas L AB e L AC. A equação deste conjunto tem a forma

P(N, LAB) = P(N, LAC), (4.28)

e define duas linhas que passam pelo ponto A e dividem os ângulos entre as linhas L AB e L AC pela metade. Usando a equação de uma reta que passa por dois pontos, encontramos as equações gerais das retas L AB e L AC:

L AB: (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L AC: (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7 +3)

Após as transformações, obtemos L AB: 3x - 4y - 9 = 0, L AC: 5x - y + 2 = 0. Usando a fórmula (4.27) para calcular a distância de um ponto a uma reta, escrevemos a Equação (4.28) em a forma

Vamos transformá-lo expandindo os módulos:

Como resultado, obtemos as equações gerais de duas retas

(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/√26)y + (-9 ± 10/√26) = 0

Para selecionar a equação da bissetriz deles, levamos em consideração que os vértices B e C do triângulo estão localizados em lados opostos da reta desejada e, portanto, substituindo suas coordenadas em lado esquerdo a equação geral da reta L AD deve fornecer valores com sinais diferentes. Escolhemos a equação correspondente ao sinal superior, ou seja,

(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0

Substituindo as coordenadas do ponto B no lado esquerdo desta equação dá significado negativo, porque o

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

e o mesmo sinal é obtido para as coordenadas do ponto C, pois

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Consequentemente, os vértices B e C estão localizados no mesmo lado da reta com a equação escolhida e, portanto, a equação da bissetriz é

(3 + 25/√26)x + (-4 - 5/√26)y + (-9 + 10/√26) = 0.

155*. Determine o tamanho natural de um segmento AB de uma linha reta em posição geral (Fig. 153, a).

Solução. Como se sabe, a projeção de um segmento de reta em qualquer plano é igual ao próprio segmento (levando em consideração a escala do desenho), se for paralelo a este plano

(Fig. 153, b). Conclui-se que ao transformar o desenho é necessário conseguir o paralelismo deste segmento quadrado. V ou quadrado H ou complemente o sistema V, H com outro plano perpendicular ao quadrado. V ou para pl. H e ao mesmo tempo paralelo a este segmento.

Na Fig. 153, c mostra a introdução de um plano adicional S, perpendicular ao quadrado. H e paralelo a um determinado segmento AB.

A projeção a s b s é igual ao valor natural do segmento AB.

Na Fig. 153, d mostra outra técnica: o segmento AB é girado em torno de uma linha reta que passa pelo ponto B e é perpendicular ao quadrado. H, para uma posição paralela

por favor. V. Neste caso, o ponto B permanece no lugar e o ponto A assume uma nova posição A 1. O horizonte está em uma nova posição. projeção a 1 b || eixo x A projeção a" 1 b" é igual ao tamanho natural do segmento AB.

156. Dada a pirâmide SABCD (Fig. 154). Determine o tamanho real das arestas AS e CS da pirâmide, usando o método de mudança dos planos de projeção, e das arestas BS e DS, usando o método de rotação, e tome o eixo de rotação perpendicular ao quadrado. H.

157*. Determine a distância do ponto A à linha reta BC (Fig. 155, a).

Solução. A distância de um ponto a uma linha é medida por um segmento perpendicular traçado do ponto à linha.

Se a linha reta for perpendicular a qualquer plano (Fig. 155.6), então a distância do ponto à linha reta é medida pela distância entre a projeção do ponto e ponto de projeção linha reta neste plano. Se uma linha reta ocupa V, H no sistema posição geral, então, para determinar a distância de um ponto a uma linha mudando os planos de projeção, é necessário introduzir dois planos adicionais no sistema V, H.

Primeiro (Fig. 155, c) entramos no quadrado. S, paralelo ao segmento BC (o novo eixo S/H é paralelo à projeção bc), e construa as projeções b s c s e a s. Então (Fig. 155, d) introduzimos outro quadrado. T, perpendicular à reta BC (o novo eixo T/S é perpendicular a b s com s). Construímos projeções de uma linha reta e de um ponto - com t (b t) e a t. A distância entre os pontos a t e c t (b t) é igual à distância l do ponto A à linha reta BC.

Na Fig. 155, d, a mesma tarefa é realizada usando o método de rotação em sua forma, que é chamado de método de movimento paralelo. Primeiro, a linha reta BC e o ponto A, mantendo sua posição relativa inalterada, giram em torno de alguma linha reta (não indicada no desenho) perpendicular ao quadrado. H, de modo que a linha reta BC é paralela ao quadrado. V. Isso equivale a mover os pontos A, B, C em planos paralelos ao quadrado. H. Ao mesmo tempo, o horizonte. a projeção de um determinado sistema (BC + A) não muda nem em tamanho nem em configuração, apenas muda sua posição em relação ao eixo x. Colocamos o horizonte. projeção da linha reta BC paralela ao eixo x (posição b 1 c 1) e determine a projeção a 1, deixando de lado c 1 1 1 = c-1 e a 1 1 1 = a-1, e a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Desenhando linhas retas b"b" 1 , a"a" 1 , c"c" 1 paralelas ao eixo x, encontramos a frente delas. projeções b" 1, a" 1, c" 1. A seguir, movemos os pontos B 1, C 1 e A 1 em planos paralelos à área V (também sem alterar suas posições relativas), de modo a obter B 2 C 2 ⊥ quadrado H. Neste caso, a projeção frontal da linha reta será perpendicular a eixos x,b 2 c" 2 = b" 1 c" 1, e para construir a projeção a" 2 você precisa pegar b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, desenhar 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 e reserve a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 . Agora, tendo passado com 1 com 2 e 1 a 2 || x 1 obtemos as projeções b 2 de 2 e a 2 e a distância desejada l do ponto A à linha reta BC. A distância de A a BC pode ser determinada girando o plano definido pelo ponto A e a linha reta BC em torno da horizontal deste plano para a posição T || por favor. H (Fig. 155, f).

No plano definido pelo ponto A e pela linha reta BC, desenhe uma linha horizontal A-1 (Fig. 155, g) e gire o ponto B em torno dela. O ponto B se move para a quadratura. R (especificado no desenho ao lado de R h), perpendicular a A-1; no ponto O está o centro de rotação do ponto B. Determinamos agora o valor natural do raio de rotação VO (Fig. 155, c). Na posição necessária, ou seja, quando pl. T, determinado pelo ponto A e pela reta BC, se tornará || por favor. H, o ponto B estará em R h a uma distância Ob 1 do ponto O (pode haver outra posição no mesmo traço R h, mas do outro lado de O). O ponto b 1 é o horizonte. projeção do ponto B após movê-lo para a posição B 1 no espaço, quando o plano definido pelo ponto A e pela reta BC tiver assumido a posição T.

Desenhando (Fig. 155, i) a reta b 1 1, obtemos o horizonte. projeção da reta BC, já localizada || por favor. H está no mesmo plano que A. Nesta posição, a distância de a a b 1 1 é igual à distância l desejada. O plano P, no qual se encontram os elementos dados, pode ser combinado com o quadrado. H (Fig. 155, j), girando em esquadro. R ao seu redor está o horizonte. vestígio. Passando da especificação do plano pelo ponto A e linha BC para a especificação das linhas retas BC e A-1 (Fig. 155, l), encontramos traços dessas linhas e traçamos traços P ϑ e P h através delas. Construímos (Fig. 155, m) combinados com um quadrado. Posição H frontal. traço - P ϑ0 .

Através do ponto a desenhamos o horizonte. projeção frontal; o frontal combinado passa pelo ponto 2 no traço P h paralelo a P ϑ0. Ponto A 0 - combinado com quadrado. Posição H do ponto A. Da mesma forma, encontramos o ponto B 0. Sol direto combinado com praça. A posição H passa pelo ponto B 0 e pelo ponto m (traço horizontal da reta).

A distância do ponto A 0 à linha reta B 0 C 0 é igual à distância necessária l.

Você pode realizar a construção indicada encontrando apenas um traço de P h (Fig. 155, n e o). Toda a construção é semelhante a uma rotação em torno de uma horizontal (ver Fig. 155, g, c, i): o traço P h é uma das horizontais pl. R.

Dos métodos indicados para resolver este problema, o método preferido para transformar um desenho é o método de rotação em torno da horizontal ou frontal.

158. A pirâmide SABC é fornecida (Fig. 156). Determine distâncias:

a) do topo B da base até seu lado AC pelo método de movimento paralelo;

b) do topo S da pirâmide até os lados BC e AB da base girando em torno da horizontal;

c) do topo S ao lado AC da base alterando os planos de projeção.

159. Um prisma é dado (Fig. 157). Determine distâncias:

a) entre as costelas AD e CF alterando os planos de projeção;

b) entre as costelas BE e CF por rotação em torno da frontal;

c) entre as arestas AD e BE por movimento paralelo.

160. Determine o tamanho real do quadrilátero ABCD (Fig. 158) alinhando-o com o quadrado. N. Utilize apenas o traço horizontal do plano.

161*. Determine a distância entre as retas cruzadas AB e CD (Fig. 159, a) e construa projeções de uma perpendicular comum a elas.

Solução. A distância entre as linhas cruzadas é medida por um segmento (MN) perpendicular a ambas as linhas (Fig. 159, b). Obviamente, se uma das retas for colocada perpendicularmente a qualquer quadrado. T, então

o segmento MN perpendicular a ambas as retas será paralelo ao quadrado. Sua projeção neste plano exibirá a distância necessária. Projeção ângulo certo Menad MN n AB no pl. T também acaba sendo um ângulo reto entre m t n t e a t b t , uma vez que um dos lados do ângulo reto é AMN, ou seja, MN. paralelo ao quadrado T.

Na Fig. 159, c e d, a distância necessária l é determinada pelo método de mudança dos planos de projeção. Primeiro introduzimos um quadrado adicional. projeções S, perpendiculares ao quadrado. H e paralelo à linha reta CD (Fig. 159, c). Em seguida, introduzimos outro quadrado adicional. T, perpendicular ao quadrado. S e perpendicular à mesma reta CD (Fig. 159, d). Agora você pode construir uma projeção da perpendicular geral desenhando m t n t do ponto c t (d t) perpendicular à projeção a t b t. Os pontos m t e n t são projeções dos pontos de intersecção desta perpendicular com as retas AB e CD. Usando o ponto m t (Fig. 159, e) encontramos m s em a s b s: a projeção de m s n s deve ser paralela ao eixo T/S. A seguir, de m s e n s encontramos m e n em ab e cd, e deles m" e n" em a"b" e c"d".

Na Fig. 159, c mostra a solução para este problema usando o método dos movimentos paralelos. Primeiro colocamos a reta CD paralela ao quadrado. V: projeção c 1 d 1 || X. A seguir, movemos as retas CD e AB das posições C 1 D 1 e A 1 B 1 para as posições C 2 B 2 e A 2 B 2 de modo que C 2 D 2 seja perpendicular a H: projeção c" 2 d" 2 ⊥ x. O segmento da perpendicular necessária está localizado || por favor. H e, portanto, m 2 n 2 expressa a distância desejada l entre AB e CD. Encontramos a posição das projeções m" 2, en" 2 em a" 2 b" 2 e c" 2 d" 2, então as projeções m 1 e m" 1, n 1 e n" 1, finalmente, o projeções m" e n ", m e n.

162. A pirâmide SABC é fornecida (Fig. 160). Determine a distância entre a aresta SB e o lado AC da base da pirâmide e construa projeções de uma perpendicular comum a SB e AC, usando o método de mudança dos planos de projeção.

163. A pirâmide SABC é fornecida (Fig. 161). Determine a distância entre a aresta SH e o lado BC da base da pirâmide e construa projeções da perpendicular comum a SX e BC usando o método de deslocamento paralelo.

164*. Determine a distância do ponto A ao plano nos casos em que o plano é especificado por: a) triângulo BCD (Fig. 162, a); b) vestígios (Fig. 162, b).

Solução. Como você sabe, a distância de um ponto a um plano é medida pelo valor da perpendicular traçada do ponto ao plano. Esta distância é projetada em qualquer área. projeções em tamanho real, se este plano for perpendicular ao quadrado. projeções (Fig. 162, c). Esta situação pode ser conseguida transformando o desenho, por exemplo, alterando a área. projeções. Vamos apresentar o pl. S (Fig. 16c, d), perpendicular ao quadrado. triângulo BCD. Para fazer isso, passamos na praça. triângulo horizontal B-1 e coloque o eixo de projeção S perpendicular à projeção b-1 horizontal. Construímos projeções de um ponto e de um plano - a s e um segmento c s d s. A distância de a s a c s d s é igual à distância desejada l do ponto ao plano.

Para o Rio. 162, d o método de movimento paralelo é usado. Movemos todo o sistema até que o plano horizontal B-1 se torne perpendicular ao plano V: a projeção b 1 1 1 deve ser perpendicular ao eixo x. Nesta posição, o plano do triângulo se projetará frontalmente e a distância l do ponto A até ele será pl. V sem distorção.

Na Fig. 162, b o plano é definido por traços. Introduzimos (Fig. 162, e) um quadrado adicional. S, perpendicular ao quadrado. P: O eixo S/H é perpendicular a P h. O resto fica claro no desenho. Na Fig. 162, g o problema foi resolvido com um movimento: pl. P vai para a posição P 1, ou seja, fica projetado para frente. Acompanhar. P 1h é perpendicular ao eixo x. Construímos a frente nesta posição do avião. o traço horizontal é o ponto n" 1,n 1. O traço P 1ϑ passará por P 1x e n 1. A distância de a" 1 a P 1ϑ é igual à distância necessária l.

165. A pirâmide SABC é fornecida (ver Fig. 160). Determine a distância do ponto A até a borda da pirâmide SBC usando o método do movimento paralelo.

166. A pirâmide SABC é fornecida (ver Fig. 161). Determine a altura da pirâmide usando o método do deslocamento paralelo.

167*. Determine a distância entre as linhas cruzadas AB e CD (ver Fig. 159,a) como a distância entre planos paralelos traçados através dessas linhas.

Solução. Na Fig. 163, e os planos P e Q são paralelos entre si, dos quais pl. Q é traçado através de CD paralelo a AB, e pl. P - através de AB paralelo ao quadrado. Q. A distância entre esses planos é considerada a distância entre o cruzamento das linhas retas AB e CD. No entanto, você pode limitar-se a construir apenas um plano, por exemplo Q, paralelo a AB, e então determinar a distância pelo menos do ponto A a este plano.

Na Fig. 163, c mostra o plano Q traçado através de CD paralelo a AB; nas projeções realizadas com "e" || a"b" e ce || ab. Usando o método de mudança de pl. projeções (Fig. 163, c), introduzimos um quadrado adicional. S, perpendicular ao quadrado. V e ao mesmo tempo

perpendicular ao quadrado Q. Para desenhar o eixo S/V, considere o frontal D-1 neste plano. Agora desenhamos S/V perpendicular a d"1" (Fig. 163, c). Pl. Q será representado no quadrado. S como uma linha reta com s d s. O resto fica claro no desenho.

168. A pirâmide SABC é fornecida (ver Fig. 160). Determine a distância entre as costelas SC e AB Aplicar: 1) método de alteração da área. projeções, 2) método de movimento paralelo.

169*. Determine a distância entre planos paralelos, um dos quais é definido pelas retas AB e AC, e o outro pelas retas DE e DF (Fig. 164, a). Realize também a construção para o caso em que os planos são indicados por traços (Fig. 164, b).

Solução. A distância (Fig. 164, c) entre planos paralelos pode ser determinada traçando uma perpendicular de qualquer ponto de um plano a outro plano. Na Fig. 164, g um quadrado adicional foi introduzido. S perpendicular ao quadrado. H e para ambos os planos dados. O eixo SH é perpendicular à horizontal. projeção horizontal desenhada em um dos planos. Construímos uma projeção deste plano e um ponto em outro plano do quadrado. 5. A distância do ponto d s à linha reta l s a s é igual à distância necessária entre planos paralelos.

Na Fig. 164, d é dada outra construção (de acordo com o método do movimento paralelo). Para que o plano expresso pelas retas que se cruzam AB e AC seja perpendicular ao quadrado. V, horizonte. Definimos a projeção horizontal deste plano perpendicular ao eixo x: 1 1 2 1 ⊥ x. Distância entre a frente. a projeção d" 1 do ponto D e a reta a" 1 2" 1 (projeção frontal do plano) é igual à distância necessária entre os planos.

Na Fig. 164, e mostra a introdução de um quadrado adicional. S, perpendicular à área H e aos planos P e Q dados (o eixo S/H é perpendicular aos traços P h e Q h). Construímos traços de P s e Q s. A distância entre eles (ver Fig. 164, c) é igual à distância desejada l entre os planos P e Q.

Na Fig. 164, g mostra o movimento dos planos P 1 n Q 1, para a posição P 1 e Q 1, quando o horizonte. os traços são perpendiculares ao eixo x. Distância entre novas frentes. os traços P 1ϑ e Q 1ϑ são iguais à distância necessária l.

170. Dado o paralelepípedo ABCDEFGH (Fig. 165). Determine as distâncias: a) entre as bases do paralelepípedo - l 1; b) entre as faces ABFE e DCGH - l 2; c) entre as faces do ADHE e do BCGF-1 3.

A distância de um ponto a uma reta é o comprimento da perpendicular traçada do ponto à reta. Na geometria descritiva, é determinado graficamente usando o algoritmo fornecido a seguir.

Algoritmo

1. A linha reta é movida para uma posição na qual ficará paralela a qualquer plano de projeção. Para tanto, são utilizados métodos de transformação de projeções ortogonais.
2. A partir de um ponto traça-se uma perpendicular a uma reta. Esta construção é baseada no teorema da projeção de um ângulo reto.
3. O comprimento de uma perpendicular é determinado transformando suas projeções ou usando o método do triângulo retângulo.

A figura a seguir mostra um desenho complexo do ponto M e da linha b, definidos pelo segmento CD. Você precisa encontrar a distância entre eles.

De acordo com nosso algoritmo, a primeira coisa a fazer é mover a linha reta para a posição paralelo ao plano projeções. É importante entender que após as transformações, a distância real entre o ponto e a reta não deve mudar. É por isso que é conveniente usar aqui o método de substituição de planos, que não envolve mover figuras no espaço.

Os resultados da primeira etapa de construção são apresentados a seguir. A figura mostra como um plano frontal adicional P 4 é introduzido paralelo a b. EM novo sistema(P 1, P 4) os pontos C"" 1, D"" 1, M"" 1 estão à mesma distância do eixo X 1 que C"", D"", M"" do eixo X.

Realizando a segunda parte do algoritmo, de M"" 1 baixamos a perpendicular M"" 1 N"" 1 até a reta b"" 1, pois o ângulo reto MND entre b e MN é projetado no plano P 4 em tamanho real. Utilizando a linha de comunicação, determinamos a posição do ponto N" e realizamos a projeção M"N" do segmento MN.

Na etapa final, é necessário determinar o tamanho do segmento MN a partir de suas projeções M"N" e M"" 1 N"" 1. Para isso estamos construindo triângulo retângulo M"" 1 N"" 1 N 0, cuja perna N"" 1 N 0 é igual à diferença (Y M 1 – Y N 1) da distância dos pontos M" e N" do eixo X 1. O comprimento da hipotenusa M"" 1 N 0 do triângulo M"" 1 N"" 1 N 0 corresponde à distância desejada de M a b.

Segunda solução

• Paralelamente ao CD, introduzimos um novo plano frontal P 4. Ele intercepta P 1 ao longo do eixo X 1 e X 1 ∥C"D". De acordo com o método de substituição de planos, determinamos as projeções dos pontos C"" 1, D"" 1 e M"" 1, conforme mostrado na figura.
• Perpendicular a C"" 1 D"" 1 construímos um plano horizontal adicional P 5, no qual a linha reta b é projetada até o ponto C" 2 = b" 2.
• A distância entre o ponto M e a linha b é determinada pelo comprimento do segmento M" 2 C" 2, indicado em vermelho.

Tarefas semelhantes:

Primeiro nível

Coordenadas e vetores. Guia completo (2019)

Neste artigo, começaremos a discutir uma “varinha mágica” que permitirá reduzir muitos problemas de geometria à simples aritmética. Este “pau” pode facilitar muito a sua vida, principalmente quando você não tem certeza de construir figuras espaciais, seções, etc. O método que começaremos a considerar aqui permitirá abstrair quase completamente todos os tipos de construções geométricas e raciocínios. O método é chamado "método de coordenadas". Neste artigo consideraremos as seguintes questões:

1. Plano de coordenadas
2. Pontos e vetores no plano
3. Construindo um vetor a partir de dois pontos
4. Comprimento do vetor (distância entre dois pontos)​
5. Coordenadas do meio do segmento
6. Produto escalar de vetores
7. Ângulo entre dois vetores​

Acho que você já adivinhou por que o método de coordenadas é chamado assim? Isso mesmo, ganhou esse nome porque não opera com objetos geométricos, mas com suas características numéricas (coordenadas). E a própria transformação, que nos permite passar da geometria à álgebra, consiste na introdução de um sistema de coordenadas. Se a figura original fosse plana, então as coordenadas seriam bidimensionais, e se a figura fosse tridimensional, então as coordenadas seriam tridimensionais. Neste artigo consideraremos apenas o caso bidimensional. E o objetivo principal do artigo é ensinar como usar algumas técnicas básicas do método de coordenadas (às vezes elas são úteis na resolução de problemas de planimetria na Parte B do Exame de Estado Unificado). As próximas duas seções sobre este tópico são dedicadas a uma discussão de métodos para resolver problemas C2 (o problema da estereometria).

Onde seria lógico começar a discutir o método de coordenadas? Provavelmente do conceito de sistema de coordenadas. Lembre-se de quando você a encontrou pela primeira vez. Parece-me que na 7ª série, quando você soube da existência Função linear, Por exemplo. Deixe-me lembrá-lo de que você construiu ponto por ponto. Você se lembra? Você escolheu um número arbitrário, substituiu-o na fórmula e calculou dessa forma. Por exemplo, se, então, se, então, etc. O que você conseguiu no final? E você recebeu pontos com coordenadas: e. A seguir, você desenhou uma “cruz” (sistema de coordenadas), escolheu nela uma escala (quantas células você terá como segmento unitário) e marcou nela os pontos obtidos, que então conectou com uma linha reta resultante; linha é o gráfico da função.

Existem alguns pontos aqui que devem ser explicados com um pouco mais de detalhes:

1. Você escolhe um único segmento por questão de comodidade, para que tudo caiba de forma bonita e compacta no desenho.

2. Aceita-se que o eixo vá da esquerda para a direita e o eixo vá de baixo para cima

3. Eles se cruzam em ângulos retos e o ponto de sua intersecção é chamado de origem. É indicado por uma letra.

4. Ao escrever as coordenadas de um ponto, por exemplo, à esquerda entre parênteses está a coordenada do ponto ao longo do eixo, e à direita, ao longo do eixo. Em particular, significa simplesmente que no momento

5. Para especificar qualquer ponto no eixo de coordenadas, é necessário indicar suas coordenadas (2 números)

6. Para qualquer ponto situado no eixo,

7. Para qualquer ponto situado no eixo,

8. O eixo é chamado de eixo x

9. O eixo é chamado de eixo y

Agora vamos dar o próximo passo: marcar dois pontos. Vamos conectar esses dois pontos com um segmento. E colocaremos a seta como se estivéssemos desenhando um segmento de ponto a ponto: ou seja, faremos nosso segmento direcionado!

Lembra como é chamado outro segmento direcional? Isso mesmo, é chamado de vetor!

Então, se conectarmos ponto a ponto, e o início será o ponto A e o final será o ponto B, então obtemos um vetor. Você também fez essa construção na 8ª série, lembra?

Acontece que os vetores, assim como os pontos, podem ser denotados por dois números: esses números são chamados de coordenadas vetoriais. Pergunta: Você acha que basta conhecermos as coordenadas do início e do fim de um vetor para encontrar suas coordenadas? Acontece que sim! E isso é feito de forma muito simples:

Assim, como em um vetor o ponto é o início e o ponto é o fim, o vetor possui as seguintes coordenadas:

Por exemplo, se, então as coordenadas do vetor

Agora vamos fazer o contrário, encontrar as coordenadas do vetor. O que precisamos mudar para isso? Sim, você precisa trocar o início e o fim: agora o início do vetor estará no ponto e o final estará no ponto. Então:

Observe com atenção, qual é a diferença entre vetores e? A única diferença são os sinais nas coordenadas. Eles são opostos. Este fato geralmente é escrito assim:

Às vezes, se não for indicado especificamente qual ponto é o início do vetor e qual é o fim, então os vetores são denotados não por duas letras maiúsculas, mas por uma letra minúscula, por exemplo: , etc.

Agora um pouco prática você mesmo e encontre as coordenadas dos seguintes vetores:

Exame:

Agora resolva um problema um pouco mais difícil:

Um vetor que começa em um ponto tem uma co-ou-di-na-you. Encontre os pontos abs-cis-su.

Mesmo assim, é bastante prosaico: sejam as coordenadas do ponto. Então

Compilei o sistema com base na definição do que são coordenadas vetoriais. Então o ponto tem coordenadas. Estamos interessados ​​na abscissa. Então

Responder:

O que mais você pode fazer com vetores? Sim, quase tudo é igual a números comuns(exceto que você não pode dividir, mas pode multiplicar de duas maneiras, uma das quais discutiremos aqui um pouco mais tarde)

1. Os vetores podem ser adicionados uns aos outros
2. Os vetores podem ser subtraídos uns dos outros
3. Os vetores podem ser multiplicados (ou divididos) por um número arbitrário diferente de zero
4. Os vetores podem ser multiplicados uns pelos outros

Todas essas operações têm uma representação geométrica muito clara. Por exemplo, a regra do triângulo (ou paralelogramo) para adição e subtração:

Um vetor se estica ou contrai ou muda de direção quando multiplicado ou dividido por um número:

No entanto, aqui estaremos interessados ​​na questão do que acontece com as coordenadas.

1. Ao adicionar (subtrair) dois vetores, adicionamos (subtraímos) suas coordenadas elemento por elemento. Aquilo é:

2. Ao multiplicar (dividir) um vetor por um número, todas as suas coordenadas são multiplicadas (divididas) por este número:

Por exemplo:

· Encontre a quantidade de co-or-di-nat século a ano.

Vamos primeiro encontrar as coordenadas de cada um dos vetores. Ambos têm a mesma origem – o ponto de origem. Seus fins são diferentes. Então, . Agora vamos calcular as coordenadas do vetor. Então a soma das coordenadas do vetor resultante é igual.

Responder:

Agora resolva você mesmo o seguinte problema:

· Encontre a soma das coordenadas vetoriais

Nós verificamos:

Consideremos agora o seguinte problema: temos dois pontos no plano coordenado. Como encontrar a distância entre eles? Seja o primeiro ponto e o segundo. Vamos denotar a distância entre eles por. Vamos fazer o seguinte desenho para maior clareza:

O que eu fiz? Primeiro de tudo, eu conectei pontos e, um também de um ponto desenhei uma linha paralela ao eixo, e de um ponto desenhei uma linha paralela ao eixo. Eles se cruzaram em algum ponto, formando uma figura notável? O que há de tão especial nela? Sim, você e eu sabemos quase tudo sobre o triângulo retângulo. Bem, o teorema de Pitágoras com certeza. O segmento requerido é a hipotenusa deste triângulo e os segmentos são os catetos. Quais são as coordenadas do ponto? Sim, eles são fáceis de encontrar na imagem: Como os segmentos são paralelos aos eixos e, respectivamente, seus comprimentos são fáceis de encontrar: se denotarmos os comprimentos dos segmentos por, respectivamente, então

Agora vamos usar o teorema de Pitágoras. Conhecemos o comprimento das pernas, encontraremos a hipotenusa:

Assim, a distância entre dois pontos é a raiz da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas. Ou - a distância entre dois pontos é o comprimento do segmento que os conecta. É fácil perceber que a distância entre os pontos não depende da direção. Então:

A partir daqui tiramos três conclusões:

Vamos praticar um pouco o cálculo da distância entre dois pontos:

Por exemplo, se, então a distância entre e é igual a

Ou vamos por outro caminho: encontre as coordenadas do vetor

E encontre o comprimento do vetor:

Como você pode ver, é a mesma coisa!

Agora pratique um pouco você mesmo:

Tarefa: encontre a distância entre os pontos indicados:

Nós verificamos:

Aqui estão mais alguns problemas usando a mesma fórmula, embora pareçam um pouco diferentes:

1. Encontre o quadrado do comprimento da pálpebra.

2. Encontre o quadrado do comprimento da pálpebra

Acho que você lidou com eles sem dificuldade? Nós verificamos:

1. E isto é para atenção) Já encontramos as coordenadas dos vetores anteriormente: . Então o vetor tem coordenadas. O quadrado do seu comprimento será igual a:

2. Encontre as coordenadas do vetor

Então o quadrado do seu comprimento é

Nada complicado, certo? Aritmética simples, nada mais.

Os seguintes problemas não podem ser classificados de forma inequívoca; tratam-se mais de erudição geral e da capacidade de fazer desenhos simples;

1. Encontre o seno do ângulo do corte, conectando o ponto, com o eixo das abcissas.

E

Como vamos proceder aqui? Precisamos encontrar o seno do ângulo entre e o eixo. Onde podemos procurar o seno? Isso mesmo, em um triângulo retângulo. Então o que precisamos fazer? Construa este triângulo!

Como as coordenadas do ponto são e, então o segmento é igual a, e o segmento. Precisamos encontrar o seno do ângulo. Deixe-me lembrá-lo de que seno é uma proporção perna opostaà hipotenusa, então

O que nos resta fazer? Encontre a hipotenusa. Você pode fazer isso de duas maneiras: usando o teorema de Pitágoras (as pernas são conhecidas!) ou usando a fórmula da distância entre dois pontos (na verdade, a mesma coisa que o primeiro método!). Vou pelo segundo caminho:

Responder:

A próxima tarefa parecerá ainda mais fácil para você. Ela está nas coordenadas do ponto.

Tarefa 2. A partir do ponto, o per-pen-di-ku-lyar é abaixado no eixo ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Vamos fazer um desenho:

A base de uma perpendicular é o ponto em que ela cruza o eixo x (eixo), para mim isso é um ponto. A figura mostra que possui coordenadas: . Estamos interessados ​​​​na abscissa - isto é, no componente “x”. Ela é igual.

Responder: .

Tarefa 3. Nas condições do problema anterior, encontre a soma das distâncias do ponto aos eixos coordenados.

A tarefa geralmente é elementar se você souber qual é a distância de um ponto aos eixos. Você sabe? Espero, mas ainda assim vou lembrá-lo:

Então, no meu desenho acima, já desenhei uma dessas perpendiculares? Em qual eixo está? Para o eixo. E qual é o seu comprimento então? Ela é igual. Agora desenhe você mesmo uma perpendicular ao eixo e encontre seu comprimento. Será igual, certo? Então a soma deles é igual.

Responder: .

Tarefa 4. Nas condições da tarefa 2, encontre a ordenada de um ponto simétrico ao ponto relativo ao eixo das abcissas.

Acho que é intuitivamente claro para você o que é simetria? Muitos objetos possuem: muitos edifícios, mesas, aviões, muitos figuras geométricas: bola, cilindro, quadrado, losango, etc. Grosso modo, a simetria pode ser entendida da seguinte forma: uma figura consiste em duas (ou mais) metades idênticas. Essa simetria é chamada de simetria axial. O que é então um eixo? Esta é exatamente a linha ao longo da qual a figura pode, relativamente falando, ser “cortada” em metades iguais (nesta imagem o eixo de simetria é reto):

Agora vamos voltar à nossa tarefa. Sabemos que procuramos um ponto simétrico em relação ao eixo. Então este eixo é o eixo de simetria. Isto significa que precisamos marcar um ponto tal que o eixo corte o segmento em duas partes iguais. Tente marcar esse ponto você mesmo. Agora compare com minha solução:

Funcionou da mesma maneira para você? Multar! Estamos interessados ​​na ordenada do ponto encontrado. É igual

Responder:

Agora diga-me, depois de pensar alguns segundos, qual será a abcissa de um ponto simétrico ao ponto A em relação à ordenada? Qual é sua resposta? Resposta correta: .

EM caso Geral a regra pode ser escrita assim:

Um ponto simétrico a um ponto relativo ao eixo das abcissas tem as coordenadas:

Um ponto simétrico a um ponto relativo ao eixo das ordenadas tem coordenadas:

Bem, agora é completamente assustador tarefa: encontre as coordenadas de um ponto simétrico ao ponto relativo à origem. Primeiro você pensa por si mesmo e depois olha meu desenho!

Responder:

Agora problema do paralelogramo:

Tarefa 5: Os pontos aparecem ver-shi-na-mi par-ral-le-lo-gram-ma. Encontre or-di-nesse ponto.

Você pode resolver esse problema de duas maneiras: lógica e método de coordenadas. Usarei primeiro o método de coordenadas e depois direi como você pode resolvê-lo de maneira diferente.

É bastante claro que a abcissa do ponto é igual. (está na perpendicular traçada do ponto ao eixo das abcissas). Precisamos encontrar a ordenada. Vamos aproveitar que nossa figura é um paralelogramo, isso significa aquilo. Vamos encontrar o comprimento do segmento usando a fórmula da distância entre dois pontos:

Abaixamos a perpendicular que conecta o ponto ao eixo. Vou denotar o ponto de intersecção com uma letra.

O comprimento do segmento é igual. (encontre você mesmo o problema onde discutimos este ponto), então encontraremos o comprimento do segmento usando o teorema de Pitágoras:

O comprimento de um segmento coincide exatamente com sua ordenada.

Responder: .

Outra solução (vou apenas dar uma imagem que ilustra)

Progresso da solução:

1. Conduta

2. Encontre as coordenadas do ponto e comprimento

3. Prove isso.

Outro problema de comprimento de segmento:

Os pontos aparecem no topo dos triângulos. Encontre o comprimento de sua linha média, paralela.

Você se lembra o que é linha do meio triângulo? Então esta tarefa é elementar para você. Se você não se lembra, vou lembrá-lo: a linha do meio de um triângulo é a linha que conecta os pontos médios lados opostos. É paralelo à base e igual à metade dela.

A base é um segmento. Tivemos que procurar seu comprimento antes, é igual. Então o comprimento da linha do meio é metade do tamanho e igual.

Responder: .

Comente: este problema pode ser resolvido de outra forma, da qual falaremos um pouco mais tarde.

Enquanto isso, aqui estão alguns problemas para você, pratique neles, eles são muito simples, mas ajudam você a melhorar no uso do método de coordenadas!

1. Os pontos são o topo das tra-peções. Encontre o comprimento de sua linha média.

2. Pontos e aparências ver-shi-na-mi par-ral-le-lo-gram-ma. Encontre or-di-nesse ponto.

3. Encontre o comprimento do corte, conectando a ponta e

4. Encontre a área atrás da figura colorida no plano coordenado.

5. Um círculo com centro em na-cha-le ko-or-di-nat passa pelo ponto. Encontre o rádio dela.

6. Encontre-di-te raio do círculo, descreva-san-noy sobre o ângulo reto-no-ka, os topos de algo têm um co-ou -di-na-você é tão responsável

Soluções:

1. Sabe-se que a linha média de um trapézio é igual à metade da soma de suas bases. A base é igual e a base. Então

Responder:

2. A maneira mais fácil de resolver este problema é observar isso (regra do paralelogramo). Calcular as coordenadas dos vetores não é difícil: . Ao adicionar vetores, as coordenadas são adicionadas. Então tem coordenadas. O ponto também possui essas coordenadas, pois a origem do vetor é o ponto com as coordenadas. Estamos interessados ​​​​na ordenada. Ela é igual.

Responder:

3. Agimos imediatamente de acordo com a fórmula da distância entre dois pontos:

Responder:

4. Olhe para a imagem e diga-me entre quais duas figuras a área sombreada está “imprensada”? Está imprensado entre dois quadrados. Então a área da figura desejada é igual à área do quadrado grande menos a área do pequeno. O lado de um pequeno quadrado é um segmento que conecta os pontos e seu comprimento é

Então a área do pequeno quadrado é

Fazemos o mesmo com um quadrado grande: seu lado é um segmento que conecta os pontos e seu comprimento é

Então a área do grande quadrado é

Encontramos a área da figura desejada usando a fórmula:

Responder:

5. Se um círculo tem como centro a origem e passa por um ponto, então seu raio será exatamente igual ao comprimento do segmento (faça um desenho e você entenderá porque isso é óbvio). Vamos encontrar o comprimento deste segmento:

Responder:

6. Sabe-se que o raio de um círculo circunscrito a um retângulo é igual à metade de sua diagonal. Vamos encontrar o comprimento de qualquer uma das duas diagonais (afinal, elas são iguais em um retângulo!)

Responder:

Bem, você lidou com tudo? Não foi muito difícil descobrir isso, não é? Há apenas uma regra aqui - ser capaz de criar uma imagem visual e simplesmente “ler” todos os dados dela.

Nos resta muito pouco. Há literalmente mais dois pontos que eu gostaria de discutir.

Vamos tentar resolver este problema simples. Deixe dois pontos e sejam dados. Encontre as coordenadas do ponto médio do segmento. A solução para este problema é a seguinte: seja o ponto o meio desejado, então ele tem coordenadas:

Aquilo é: coordenadas do meio do segmento = média aritmética das coordenadas correspondentes das extremidades do segmento.

Esta regra é muito simples e geralmente não causa dificuldades aos alunos. Vamos ver em quais problemas e como é usado:

1. Encontre-di-te ou-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, conecte-o-ponto e

2. Os pontos parecem ser o topo do mundo. Encontre-di-te ou-di-na-tu pontos per-re-se-che-niya de seu dia-go-na-ley.

3. Encontre-di-te abs-cis-su centro do círculo, descreva-san-noy sobre o retangular-no-ka, os topos de algo têm co-ou-di-na-você tão-responsavelmente-mas.

Soluções:

1. O primeiro problema é simplesmente um clássico. Prosseguimos imediatamente para determinar o meio do segmento. Tem coordenadas. A ordenada é igual.

Responder:

2. É fácil ver que este quadrilátero é um paralelogramo (até mesmo um losango!). Você mesmo pode provar isso calculando os comprimentos dos lados e comparando-os entre si. O que eu sei sobre paralelogramos? Suas diagonais são divididas ao meio pelo ponto de intersecção! Sim! Então, qual é o ponto de intersecção das diagonais? Este é o meio de qualquer uma das diagonais! Escolherei, em particular, a diagonal. Então o ponto tem coordenadas A ordenada do ponto é igual a.

Responder:

3. Com que coincide o centro do círculo circunscrito ao retângulo? Coincide com o ponto de intersecção de suas diagonais. O que você sabe sobre as diagonais de um retângulo? Eles são iguais e o ponto de intersecção os divide ao meio. A tarefa foi reduzida à anterior. Tomemos, por exemplo, a diagonal. Então, se é o centro do círculo circunscrito, então é o ponto médio. Estou procurando coordenadas: a abcissa é igual.

Responder:

Agora pratique um pouco sozinho, apenas darei as respostas de cada problema para que você possa se testar.

1. Encontre-di-te raio do círculo, descreva-san-noy sobre o triângulo-no-ka, os topos de algo têm um co-ou-di -no misters

2. Encontre-di-te ou-di-on-aquele centro do círculo, descreva-san-noy sobre o triângulo-no-ka, cujos topos têm coordenadas

3. Que tipo de raio deve haver um círculo com centro em um ponto que toque o eixo ab-ciss?

4. Encontre-di-aqueles ou-di-naquele ponto de re-se-ce-ção do eixo e do corte, conecte-o-ponto e

Respostas:

Tudo deu certo? Eu realmente espero por isso! Agora - o último empurrão. Agora tenha um cuidado especial. O material que vou explicar agora está diretamente relacionado não apenas com tarefas simples ao método de coordenadas da parte B, mas também é encontrado em todo o problema C2.

Quais das minhas promessas ainda não cumpri? Lembra quais operações sobre vetores prometi introduzir e quais acabei introduzindo? Tem certeza que não esqueci nada? Esquecido! Esqueci de explicar o que significa multiplicação vetorial.

Existem duas maneiras de multiplicar um vetor por um vetor. Dependendo do método escolhido, obteremos objetos de diferentes naturezas:

O produto vetorial é feito de maneira bastante inteligente. Discutiremos como fazer isso e por que é necessário no próximo artigo. E neste vamos focar no produto escalar.

Existem duas maneiras que nos permitem calculá-lo:

Como você adivinhou, o resultado deve ser o mesmo! Então, vamos examinar primeiro o primeiro método:

Produto escalar via coordenadas

Encontre: - notação geralmente aceita para produto escalar

A fórmula para cálculo é a seguinte:

Ou seja, o produto escalar = a soma dos produtos das coordenadas vetoriais!

Exemplo:

Encontre-di-te

Solução:

Vamos encontrar as coordenadas de cada um dos vetores:

Calculamos o produto escalar usando a fórmula:

Responder:

Veja, absolutamente nada complicado!

Bem, agora tente você mesmo:

· Encontre um pro-iz-ve-de-nie escalar de séculos e

Você conseguiu? Talvez você tenha notado um pequeno problema? Vamos checar:

Coordenadas vetoriais, como no problema anterior! Responder: .

Além da coordenada, existe outra forma de calcular o produto escalar, a saber, através dos comprimentos dos vetores e do cosseno do ângulo entre eles:

Denota o ângulo entre os vetores e.

Ou seja, o produto escalar é igual ao produto dos comprimentos dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles.

Por que precisamos desta segunda fórmula se temos a primeira, que é muito mais simples, contém pelo menos não há cossenos. E é necessário para que a partir da primeira e da segunda fórmulas você e eu possamos deduzir como encontrar o ângulo entre os vetores!

Vamos então lembrar a fórmula para o comprimento do vetor!

Então, se eu substituir esses dados na fórmula do produto escalar, obtenho:

Mas de outra forma:

Então, o que você e eu ganhamos? Agora temos uma fórmula que nos permite calcular o ângulo entre dois vetores! Às vezes também é escrito assim por questões de brevidade:

Ou seja, o algoritmo para calcular o ângulo entre os vetores é o seguinte:

1. Calcule o produto escalar através de coordenadas
2. Encontre os comprimentos dos vetores e multiplique-os
3. Divida o resultado do ponto 1 pelo resultado do ponto 2

Vamos praticar com exemplos:

1. Encontre o ângulo entre as pálpebras e. Dê a resposta em grad-du-sah.

2. Nas condições do problema anterior, encontre o cosseno entre os vetores

Vamos fazer isso: vou te ajudar a resolver o primeiro problema e tentar resolver o segundo você mesmo! Concordar? Então vamos começar!

1. Esses vetores são nossos velhos amigos. Já calculamos o produto escalar deles e foi igual. Suas coordenadas são: , . Então encontramos seus comprimentos:

Então procuramos o cosseno entre os vetores:

Qual é o cosseno do ângulo? Esta é a esquina.

Responder:

Bem, agora resolva você mesmo o segundo problema e depois compare! Darei apenas uma solução muito curta:

2. tem coordenadas, tem coordenadas.

Seja o ângulo entre os vetores e, então

Responder:

Deve-se notar que problemas diretamente sobre vetores e o método de coordenadas na Parte B da prova são bastante raros. No entanto, a grande maioria dos problemas C2 pode ser facilmente resolvida através da introdução de um sistema de coordenadas. Portanto, você pode considerar este artigo a base com base na qual faremos construções bastante inteligentes que precisaremos resolver tarefas complexas.

COORDENADAS E VETORES. NÍVEL MÉDIO

Você e eu continuamos estudando o método de coordenadas. Na última parte, derivamos uma série de fórmulas importantes que permitem:

1. Encontre coordenadas vetoriais
2. Encontre o comprimento de um vetor (alternativamente: a distância entre dois pontos)
3. Adicione e subtraia vetores. Multiplique-os por um número real
4. Encontre o ponto médio de um segmento
5. Calcular produto escalar de vetores
6. Encontre o ângulo entre os vetores

É claro que todo o método de coordenadas não se enquadra nesses 6 pontos. É a base de uma ciência como a geometria analítica, com a qual você se familiarizará na universidade. Eu só quero construir uma base que permita resolver problemas em um único estado. exame. Lidamos com as tarefas da Parte B. Agora é hora de passar para um nível totalmente novo! Este artigo será dedicado a um método para resolver os problemas C2 nos quais seria razoável mudar para o método de coordenadas. Essa razoabilidade é determinada pelo que é necessário encontrar no problema e pelo valor fornecido. Então, eu usaria o método de coordenadas se as perguntas fossem:

1. Encontre o ângulo entre dois planos
2. Encontre o ângulo entre uma linha reta e um plano
3. Encontre o ângulo entre duas linhas retas
4. Encontre a distância de um ponto a um plano
5. Encontre a distância de um ponto a uma linha
6. Encontre a distância de uma linha reta a um avião
7. Encontre a distância entre duas linhas

Se a figura dada na definição do problema for um corpo em rotação (bola, cilindro, cone...)

Os valores adequados para o método de coordenadas são:

1. Paralelepípedo retangular
2. Pirâmide (triangular, quadrangular, hexagonal)

Também pela minha experiência é inapropriado usar o método de coordenadas para:

1. Encontrando áreas transversais
2. Cálculo de volumes de corpos

No entanto, deve-se notar imediatamente que as três situações “desfavoráveis” para o método de coordenadas são bastante raras na prática. Na maioria das tarefas, ele pode se tornar seu salvador, especialmente se você não for muito bom em construções tridimensionais (que às vezes podem ser bastante complicadas).

Quais são todos os números que listei acima? Já não são planos, como, por exemplo, um quadrado, um triângulo, um círculo, mas sim volumosos! Conseqüentemente, precisamos considerar não um sistema de coordenadas bidimensional, mas tridimensional. É bastante fácil de construir: apenas além do eixo das abscissas e das ordenadas, introduziremos outro eixo, o eixo aplicado. A figura mostra esquematicamente sua posição relativa:

Todos eles são perpendiculares entre si e se cruzam em um ponto, que chamaremos de origem das coordenadas. Como antes, denotaremos o eixo das abscissas, o eixo das ordenadas - e o eixo aplicado introduzido -.

Se anteriormente cada ponto do plano era caracterizado por dois números - a abcissa e a ordenada, então cada ponto no espaço já é descrito por três números - a abcissa, a ordenada e o aplicado. Por exemplo:

Conseqüentemente, a abscissa de um ponto é igual, a ordenada é e a aplicada é.

Às vezes, a abcissa de um ponto também é chamada de projeção de um ponto no eixo de abcissas, a ordenada - a projeção de um ponto no eixo de ordenadas e a aplicada - a projeção de um ponto no eixo aplicado. Assim, se um ponto for dado, então um ponto com coordenadas:

chamada de projeção de um ponto em um plano

chamada de projeção de um ponto em um plano

Sobe pergunta natural: Todas as fórmulas derivadas para o caso bidimensional são válidas no espaço? A resposta é sim, são justos e têm a mesma aparência. Para um pequeno detalhe. Acho que você já adivinhou qual é. Em todas as fórmulas teremos que adicionar mais um termo responsável pelo eixo aplicado. Nomeadamente.

1. Se dois pontos forem dados: , então:

• Coordenadas vetoriais:
• Distância entre dois pontos (ou comprimento do vetor)
• O ponto médio do segmento tem coordenadas

2. Se dois vetores forem dados: e, então:

• Seu produto escalar é igual a:
• O cosseno do ângulo entre os vetores é igual a:

No entanto, o espaço não é tão simples. Como você entende, adicionar mais uma coordenada introduz uma diversidade significativa no espectro de figuras “que vivem” neste espaço. E para uma narração posterior precisarei introduzir alguma “generalização”, grosso modo, da linha reta. Esta “generalização” será um plano. O que você sabe sobre avião? Tente responder à pergunta: o que é um avião? É muito difícil dizer. No entanto, todos nós imaginamos intuitivamente como seria:

Grosso modo, trata-se de uma espécie de “folha” sem fim presa no espaço. “Infinito” deve ser entendido que o plano se estende em todas as direções, ou seja, sua área é igual ao infinito. Porém, esta explicação “prática” não dá a menor ideia sobre a estrutura do avião. E é ela quem vai se interessar por nós.

Vamos lembrar um dos axiomas básicos da geometria:

• em dois vários pontos há uma linha reta no avião e apenas uma:

Ou seu análogo no espaço:

Claro, você se lembra de como derivar a equação de uma reta a partir de dois pontos dados não é nada difícil: se o primeiro ponto tiver coordenadas: e o segundo, então a equação da reta será a seguinte:

Você fez isso na 7ª série. No espaço, a equação de uma reta se parece com isto: sejam dados dois pontos com coordenadas: , então a equação da reta que passa por eles tem a forma:

Por exemplo, uma linha passa por pontos:

Como isso deve ser entendido? Isto deve ser entendido da seguinte forma: um ponto pertence a uma linha se suas coordenadas satisfazem o seguinte sistema:

Não estaremos muito interessados ​​na equação de uma reta, mas precisamos prestar atenção ao conceito muito importante do vetor diretor de uma reta. - qualquer vetor diferente de zero situado em uma determinada linha ou paralelo a ela.

Por exemplo, ambos os vetores são vetores de direção de uma linha reta. Seja um ponto sobre uma reta e seja seu vetor de direção. Então a equação da reta pode ser escrita da seguinte forma:

Mais uma vez, não estarei muito interessado na equação de uma reta, mas preciso muito que você se lembre do que é um vetor diretor! De novo: este é QUALQUER vetor diferente de zero situado em uma linha ou paralelo a ela.

Retirar equação de um plano baseado em três pontos dados não é mais tão trivial, e o assunto não costuma ser abordado nos cursos do ensino médio. Mas em vão! Esta técnica é vital quando recorremos ao método de coordenadas para resolver problemas complexos. No entanto, presumo que você esteja ansioso para aprender algo novo. Além disso, você poderá impressionar seu professor na universidade quando descobrir que já sabe usar uma técnica que normalmente é estudada em um curso de geometria analítica. Então vamos começar.

A equação de um plano não é muito diferente da equação de uma reta em um plano, ou seja, tem a forma:

alguns números (nem todos iguais a zero), mas variáveis, por exemplo: etc. Como você pode ver, a equação de um plano não é muito diferente da equação de uma linha reta (função linear). No entanto, lembre-se do que você e eu discutimos? Dissemos que se tivermos três pontos que não estão na mesma reta, então a equação do plano pode ser reconstruída exclusivamente a partir deles. Mas como? Vou tentar explicar para você.

Como a equação do plano é:

E os pontos pertencem a este plano, então ao substituir as coordenadas de cada ponto na equação do plano devemos obter a identidade correta:

Assim, há necessidade de resolver três equações com incógnitas! Dilema! No entanto, você sempre pode assumir isso (para fazer isso você precisa dividir por). Assim, obtemos três equações com três incógnitas:

No entanto, não resolveremos tal sistema, mas escreveremos a expressão misteriosa que dele se segue:

Equação de um plano passando por três pontos dados

\[\esquerda| (\begin(matriz)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Parar! O que é isso? Algum módulo muito incomum! No entanto, o objeto que você vê à sua frente não tem nada a ver com o módulo. Este objeto é chamado de determinante de terceira ordem. De agora em diante, quando você lidar com o método das coordenadas em um plano, muitas vezes encontrará esses mesmos determinantes. O que é um determinante de terceira ordem? Curiosamente, é apenas um número. Resta entender que número específico compararemos com o determinante.

Vamos primeiro escrever o determinante de terceira ordem de uma forma mais geral:

Onde estão alguns números. Além disso, por primeiro índice queremos dizer o número da linha, e por índice queremos dizer o número da coluna. Por exemplo, significa que este número está na interseção da segunda linha e da terceira coluna. Vamos colocá-lo próxima questão: Como exatamente calcularemos esse determinante? Ou seja, que número específico iremos comparar com ele? Para o determinante de terceira ordem existe uma regra triangular heurística (visual), que se parece com isto:

1. O produto dos elementos da diagonal principal (do canto superior esquerdo ao canto inferior direito) o produto dos elementos que formam o primeiro triângulo “perpendicular” à diagonal principal o produto dos elementos que formam o segundo triângulo “perpendicular” ao diagonal principal
2. O produto dos elementos da diagonal secundária (do canto superior direito ao canto inferior esquerdo) o produto dos elementos que formam o primeiro triângulo “perpendicular” à diagonal secundária o produto dos elementos que formam o segundo triângulo “perpendicular” ao diagonal secundária
3. Então o determinante é igual à diferença entre os valores obtidos na etapa e

Se escrevermos tudo isso em números, obteremos a seguinte expressão:

Porém, você não precisa se lembrar do método de cálculo neste formulário; basta apenas manter na cabeça os triângulos e a própria ideia do que soma o quê e o que é subtraído do quê).

Vamos ilustrar o método do triângulo com um exemplo:

1. Calcule o determinante:

Vamos descobrir o que adicionamos e o que subtraímos:

Termos que vêm com uma vantagem:

Esta é a diagonal principal: o produto dos elementos é igual a

O primeiro triângulo, "perpendicular à diagonal principal: o produto dos elementos é igual a

Segundo triângulo, "perpendicular à diagonal principal: o produto dos elementos é igual a

Some três números:

Termos que vêm com menos

Esta é uma diagonal lateral: o produto dos elementos é igual a

O primeiro triângulo, “perpendicular à diagonal secundária: o produto dos elementos é igual a

O segundo triângulo, “perpendicular à diagonal secundária: o produto dos elementos é igual a

Some três números:

Tudo o que resta a fazer é subtrair a soma dos termos “mais” da soma dos termos “menos”:

Por isso,

Como você pode ver, não há nada complicado ou sobrenatural no cálculo de determinantes de terceira ordem. É apenas importante lembrar-se dos triângulos e não cometer erros aritméticos. Agora tente calcular você mesmo:

Nós verificamos:

1. O primeiro triângulo perpendicular à diagonal principal:
2. Segundo triângulo perpendicular à diagonal principal:
3. Soma dos termos com mais:
4. O primeiro triângulo perpendicular à diagonal secundária:
5. Segundo triângulo perpendicular à diagonal lateral:
6. Soma dos termos com menos:
7. A soma dos termos com mais menos a soma dos termos com menos:

Aqui estão mais alguns determinantes, calcule você mesmo seus valores e compare-os com as respostas:

Respostas:

Bem, tudo coincidiu? Ótimo, então você pode seguir em frente! Se houver dificuldades, meu conselho é o seguinte: existem muitos programas na Internet para calcular o determinante online. Tudo que você precisa é criar seu próprio determinante, calculá-lo você mesmo e depois compará-lo com o que o programa calcula. E assim sucessivamente até que os resultados comecem a coincidir. Tenho certeza que esse momento não demorará muito para chegar!

Agora vamos voltar ao determinante que escrevi quando falei sobre a equação de um plano passando por três pontos dados:

Tudo que você precisa é calcular seu valor diretamente (usando o método do triângulo) e definir o resultado como zero. Naturalmente, como são variáveis, você obterá alguma expressão que depende delas. É esta expressão que será a equação de um plano que passa por três pontos dados que não estão na mesma linha reta!

Vamos ilustrar isso com um exemplo simples:

1. Construa a equação de um plano passando pelos pontos

Compilamos um determinante para estes três pontos:

Vamos simplificar:

Agora calculamos diretamente usando a regra do triângulo:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ direita | = \ esquerda ((x + 3) \ direita) \ cdot 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 \ cdot \ esquerda ((z + 1) \ direita) + \ esquerda ((y - 2) \ direita) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Assim, a equação do plano que passa pelos pontos é:

Agora tente resolver um problema sozinho e depois discutiremos:

2. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos

Bem, vamos agora discutir a solução:

Vamos criar um determinante:

E calcule seu valor:

Então a equação do plano tem a forma:

Ou, reduzindo em, obtemos:

Agora duas tarefas para autocontrole:

1. Construa a equação de um plano passando por três pontos:

Respostas:

Tudo coincidiu? Novamente, se houver certas dificuldades, então meu conselho é este: tire três pontos de sua cabeça (com alto grau de probabilidade eles não ficarão na mesma linha reta), construa um plano com base neles. E então você se verifica online. Por exemplo, no site:

Porém, com a ajuda de determinantes construiremos não apenas a equação do plano. Lembre-se, eu disse que não apenas o produto escalar é definido para vetores. Existe também um produto vetorial, bem como um produto misto. E se o produto escalar de dois vetores for um número, então o produto vetorial de dois vetores será um vetor, e este vetor será perpendicular aos dados:

Além disso, seu módulo será igual à área de um paralelogramo construído sobre os vetores e. Este vetor Precisaremos dele para calcular a distância de um ponto a uma reta. Como podemos contar produto vetorial vetores e, se suas coordenadas forem fornecidas? O determinante de terceira ordem vem novamente em nosso auxílio. Porém, antes de passar ao algoritmo de cálculo do produto vetorial, tenho que fazer uma pequena digressão.

Esta digressão diz respeito aos vetores de base.

Eles são mostrados esquematicamente na figura:

Por que você acha que eles são chamados de básicos? O fato é que :

Ou na foto:

A validade desta fórmula é óbvia porque:

Arte vetorial

Agora posso começar a apresentar o produto vetorial:

O produto vetorial de dois vetores é um vetor, que é calculado de acordo com a seguinte regra:

Agora vamos dar alguns exemplos de cálculo do produto vetorial:

Exemplo 1: Encontre o produto vetorial de vetores:

Solução: eu invento um determinante:

E eu calculo:

Agora, escrevendo através de vetores de base, retornarei à notação vetorial usual:

Por isso:

Agora experimente.

Preparar? Nós verificamos:

E tradicionalmente dois tarefas para controle:

1. Encontre o produto vetorial dos seguintes vetores:
2. Encontre o produto vetorial dos seguintes vetores:

Respostas:

Produto misto de três vetores

A última construção que precisarei é o produto misto de três vetores. Ele, como um escalar, é um número. Existem duas maneiras de calculá-lo. - através de um determinante, - através de um produto misto.

Ou seja, receberemos três vetores:

Então o produto misto de três vetores, denotados por, pode ser calculado como:

1. - isto é, o produto misto é o produto escalar de um vetor e o produto vetorial de dois outros vetores

Por exemplo, o produto misto de três vetores é:

Tente calcular você mesmo usando o produto vetorial e certifique-se de que os resultados correspondem!

E novamente, dois exemplos de soluções independentes:

Respostas:

Selecionando um sistema de coordenadas

Bem, agora temos toda a base de conhecimento necessária para resolver problemas complexos de geometria estereométrica. Porém, antes de prosseguir diretamente aos exemplos e algoritmos para resolvê-los, acredito que será útil nos determos na seguinte questão: como exatamente escolha um sistema de coordenadas para uma figura específica. Afinal, é a escolha da posição relativa do sistema de coordenadas e da figura no espaço que acabará por determinar o quão complicados serão os cálculos.

Deixe-me lembrá-lo de que nesta seção consideramos os seguintes números:

1. Paralelepípedo retangular
2. Prisma reto (triangular, hexagonal...)
3. Pirâmide (triangular, quadrangular)
4. Tetraedro (igual à pirâmide triangular)

Para um paralelepípedo ou cubo retangular, recomendo a seguinte construção:

Ou seja, colocarei a figura “no canto”. O cubo e o paralelepípedo são figuras muito boas. Para eles, você sempre pode encontrar facilmente as coordenadas de seus vértices. Por exemplo, se (como mostrado na imagem)

então as coordenadas dos vértices são as seguintes:

Claro, você não precisa se lembrar disso, mas é aconselhável lembrar a melhor forma de posicionar um cubo ou paralelepípedo retangular.

Prisma reto

Prisma - mais figura prejudicial. Pode ser posicionado no espaço de diferentes maneiras. No entanto, a seguinte opção me parece a mais aceitável:

Prisma triangular:

Ou seja, colocamos um dos lados do triângulo inteiramente no eixo, e um dos vértices coincide com a origem das coordenadas.

Prisma hexagonal:

Ou seja, um dos vértices coincide com a origem e um dos lados está no eixo.

Pirâmide quadrangular e hexagonal:

A situação é semelhante a um cubo: alinhamos dois lados da base com os eixos coordenados e alinhamos um dos vértices com a origem das coordenadas. A única pequena dificuldade será calcular as coordenadas do ponto.

Para uma pirâmide hexagonal - o mesmo que para um prisma hexagonal. A principal tarefa será novamente encontrar as coordenadas do vértice.

Tetraedro (pirâmide triangular)

A situação é muito semelhante à que dei para um prisma triangular: um vértice coincide com a origem, um lado está no eixo de coordenadas.

Bem, agora você e eu estamos finalmente perto de começar a resolver problemas. Pelo que eu disse logo no início do artigo, você poderia tirar a seguinte conclusão: a maioria dos problemas C2 são divididos em 2 categorias: problemas de ângulo e problemas de distância. Primeiro, veremos os problemas de determinação de um ângulo. Eles, por sua vez, são divididos nas seguintes categorias (à medida que a complexidade aumenta):

Problemas para encontrar ângulos

1. Encontrando o ângulo entre duas linhas retas
2. Encontrando o ângulo entre dois planos

Vejamos esses problemas sequencialmente: vamos começar encontrando o ângulo entre duas retas. Bem, lembre-se, você e eu não resolvemos exemplos semelhantes antes? Você se lembra, já tínhamos algo parecido... Estávamos procurando o ângulo entre dois vetores. Deixe-me lembrá-lo, se dois vetores são dados: e, então o ângulo entre eles é encontrado a partir da relação:

Agora nosso objetivo é encontrar o ângulo entre duas retas. Vejamos a “imagem plana”:

Quantos ângulos obtivemos quando duas linhas retas se cruzaram? Apenas algumas coisas. É verdade que apenas dois deles são desiguais, enquanto os outros são verticais a eles (e, portanto, coincidem com eles). Então, qual ângulo devemos considerar o ângulo entre duas linhas retas: ou? Aqui a regra é: o ângulo entre duas linhas retas sempre não é maior que graus. Ou seja, de dois ângulos escolheremos sempre o ângulo com menor medida de grau. Ou seja, nesta imagem o ângulo entre duas retas é igual. Para não se preocupar sempre em encontrar o menor dos dois ângulos, matemáticos astutos sugeriram o uso de um módulo. Assim, o ângulo entre duas retas é determinado pela fórmula:

Você, como leitor atento, deveria ter se perguntado: de onde exatamente obtemos esses mesmos números que precisamos para calcular o cosseno de um ângulo? Resposta: vamos retirá-los dos vetores de direção das retas! Assim, o algoritmo para encontrar o ângulo entre duas retas é o seguinte:

1. Aplicamos a fórmula 1.

Ou com mais detalhes:

1. Estamos procurando as coordenadas do vetor diretor da primeira linha reta
2. Estamos procurando as coordenadas do vetor diretor da segunda linha reta
3. Calculamos o módulo de seu produto escalar
4. Estamos procurando o comprimento do primeiro vetor
5. Estamos procurando o comprimento do segundo vetor
6. Multiplique os resultados do ponto 4 pelos resultados do ponto 5
7. Dividimos o resultado do ponto 3 pelo resultado do ponto 6. Obtemos o cosseno do ângulo entre as retas
8. Se este resultado permite calcular com precisão o ângulo, procure-o
9. Caso contrário, escrevemos através do arco cosseno

Bom, agora é hora de passar aos problemas: vou demonstrar detalhadamente a solução dos dois primeiros, vou apresentar a solução de outro em em resumo, e para os dois últimos problemas darei apenas respostas; você mesmo deve realizar todos os cálculos;

Tarefas:

1. No tet-ra-ed-re direito, encontre o ângulo entre a altura do tet-ra-ed-ra e o lado do meio.

2. No pi-ra-mi-de de seis cantos à direita, os cem os-no-va-niyas são iguais e as bordas laterais são iguais, encontre o ângulo entre as linhas e.

3. Os comprimentos de todas as arestas do pi-ra-mi-dy direito de quatro carvão são iguais entre si. Encontre o ângulo entre as linhas retas e se for do corte - você está com o pi-ra-mi-dy dado, o ponto é se-re-di-em suas bo-co-segundas costelas

4. Na borda do cubo há um ponto para que Encontre o ângulo entre as retas e

5. Ponto - nas bordas do cubo Encontre o ângulo entre as linhas retas e.

Não é por acaso que organizei as tarefas nesta ordem. Embora você ainda não tenha começado a navegar pelo método de coordenadas, eu mesmo analisarei as figuras mais “problemáticas” e deixarei que você lide com o cubo mais simples! Aos poucos você terá que aprender a trabalhar com todas as figuras; irei aumentando a complexidade das tarefas de tópico para tópico.

Vamos começar a resolver problemas:

1. Desenhe um tetraedro, coloque-o no sistema de coordenadas conforme sugeri anteriormente. Como o tetraedro é regular, todas as suas faces (incluindo a base) são triângulos regulares. Como não temos o comprimento do lado, posso considerá-lo igual. Acho que você entende que o ângulo na verdade não dependerá de quanto nosso tetraedro está “esticado”?. Também desenharei a altura e a mediana do tetraedro. Ao longo do caminho desenharei sua base (também será útil para nós).

Preciso encontrar o ângulo entre e. O que nós sabemos? Conhecemos apenas a coordenada do ponto. Isso significa que precisamos encontrar as coordenadas dos pontos. Agora pensamos: um ponto é o ponto de intersecção das alturas (ou bissetoras ou medianas) do triângulo. E um ponto é um ponto elevado. O ponto é o meio do segmento. Então finalmente precisamos encontrar: as coordenadas dos pontos: .

Vamos começar com o mais simples: as coordenadas de um ponto. Observe a figura: É claro que a aplicação de um ponto é igual a zero (o ponto está no plano). Sua ordenada é igual (já que é a mediana). É mais difícil encontrar sua abscissa. No entanto, isso é feito facilmente com base no teorema de Pitágoras: Considere um triângulo. Sua hipotenusa é igual e um de seus catetos é igual Então:

Finalmente temos: .

Agora vamos encontrar as coordenadas do ponto. É claro que sua aplicação é novamente igual a zero, e sua ordenada é igual à de um ponto, isto é. Vamos encontrar sua abscissa. Isso é feito de maneira bastante trivial se você se lembrar disso as alturas de um triângulo equilátero pelo ponto de intersecção são divididas em proporção, contando de cima para baixo. Desde: , então a abcissa necessária do ponto é igual ao comprimento segmento é igual a: . Assim, as coordenadas do ponto são:

Vamos encontrar as coordenadas do ponto. É claro que sua abscissa e ordenada coincidem com a abscissa e ordenada do ponto. E a aplicação é igual ao comprimento do segmento. - esta é uma das pernas do triângulo. A hipotenusa de um triângulo é um segmento - uma perna. É procurado pelos motivos que destaquei em negrito:

O ponto é o meio do segmento. Então precisamos lembrar a fórmula das coordenadas do ponto médio do segmento:

É isso, agora podemos procurar as coordenadas dos vetores de direção:

Bem, está tudo pronto: substituímos todos os dados na fórmula:

Por isso,

Responder:

Você não deve se assustar com respostas tão “assustadoras”: para tarefas C2 esta é uma prática comum. Prefiro ficar surpreso com a resposta “linda” nesta parte. Além disso, como você notou, praticamente não recorri a nada além do teorema de Pitágoras e da propriedade das alturas de um triângulo equilátero. Ou seja, para resolver o problema estereométrico, usei o mínimo de estereometria. O ganho nisso é parcialmente “extinguido” por cálculos bastante complicados. Mas eles são bastante algorítmicos!

2. Vamos representar uma pirâmide hexagonal regular junto com o sistema de coordenadas, bem como sua base:

Precisamos encontrar o ângulo entre as linhas e. Assim, nossa tarefa se resume a encontrar as coordenadas dos pontos: . Encontraremos as coordenadas dos três últimos usando um pequeno desenho, e encontraremos a coordenada do vértice através da coordenada do ponto. Há muito trabalho a fazer, mas precisamos começar!

a) Coordenada: é claro que sua aplicada e ordenada são iguais a zero. Vamos encontrar a abscissa. Para fazer isso, considere um triângulo retângulo. Infelizmente, nele conhecemos apenas a hipotenusa, que é igual. Tentaremos encontrar a perna (pois é claro que o dobro do comprimento da perna nos dará a abcissa do ponto). Como podemos procurá-lo? Vamos lembrar que tipo de figura temos na base da pirâmide? Este é um hexágono regular. O que isso significa? Isso significa que todos os lados e todos os ângulos são iguais. Precisamos encontrar um desses ângulos. Alguma ideia? Existem muitas ideias, mas existe uma fórmula:

A soma dos ângulos de um n-gon regular é .

Assim, a soma dos ângulos de um hexágono regular é igual a graus. Então cada um dos ângulos é igual a:

Vejamos a foto novamente. É claro que o segmento é a bissetriz do ângulo. Então o ângulo é igual a graus. Então:

Então de onde.

Assim, tem coordenadas

b) Agora podemos encontrar facilmente a coordenada do ponto: .

c) Encontre as coordenadas do ponto. Como sua abcissa coincide com o comprimento do segmento, ela é igual. Encontrar a ordenada também não é muito difícil: se conectarmos os pontos e denotarmos o ponto de intersecção da reta, digamos por. (faça você mesmo construção simples). Então Assim, a ordenada do ponto B é igual à soma dos comprimentos dos segmentos. Vejamos o triângulo novamente. Então

Então desde Então o ponto tem coordenadas

d) Agora vamos encontrar as coordenadas do ponto. Considere o retângulo e prove que Assim, as coordenadas do ponto são:

e) Resta encontrar as coordenadas do vértice. É claro que sua abscissa e ordenada coincidem com a abscissa e ordenada do ponto. Vamos encontrar o aplicativo. Desde então. Considere um triângulo retângulo. De acordo com as condições do problema, uma aresta lateral. Esta é a hipotenusa do meu triângulo. Então a altura da pirâmide é uma perna.

Então o ponto tem coordenadas:

Bom, é isso, tenho as coordenadas de todos os pontos que me interessam. Estou procurando as coordenadas dos vetores direcionadores das linhas retas:

Estamos procurando o ângulo entre esses vetores:

Responder:

Novamente, ao resolver este problema, não usei nenhuma técnica sofisticada além da fórmula para a soma dos ângulos de um n-gon regular, bem como a definição do cosseno e do seno de um triângulo retângulo.

3. Como novamente não temos os comprimentos das arestas da pirâmide, vou contá-los igual a um. Assim, como TODAS as arestas, e não apenas as laterais, são iguais entre si, então na base da pirâmide e em mim há um quadrado, e as faces laterais são triângulos regulares. Desenhemos tal pirâmide, bem como sua base em um plano, anotando todos os dados fornecidos no texto do problema:

Estamos procurando o ângulo entre e. Farei cálculos muito breves quando procurar as coordenadas dos pontos. Você precisará “decifrá-los”:

b) - meio do segmento. Suas coordenadas:

c) Encontrarei o comprimento do segmento usando o teorema de Pitágoras em um triângulo. Posso encontrá-lo usando o teorema de Pitágoras em um triângulo.

Coordenadas:

d) - meio do segmento. Suas coordenadas são

e) Coordenadas vetoriais

f) Coordenadas vetoriais

g) Procurando o ângulo:

Cubo - figura mais simples. Tenho certeza que você descobrirá sozinho. As respostas aos problemas 4 e 5 são as seguintes:

Encontrando o ângulo entre uma linha reta e um plano

Bem, o tempo dos quebra-cabeças simples acabou! Agora os exemplos serão ainda mais complicados. Para encontrar o ângulo entre uma linha reta e um plano, procederemos da seguinte forma:

1. Usando três pontos construímos uma equação do plano
   ,
   usando um determinante de terceira ordem.
2. Usando dois pontos, procuramos as coordenadas do vetor diretor da reta:
3. Aplicamos a fórmula para calcular o ângulo entre uma linha reta e um plano:

Como você pode ver, esta fórmula é muito semelhante àquela que usamos para determinar os ângulos entre duas retas. A estrutura do lado direito é simplesmente a mesma, e do lado esquerdo procuramos agora o seno, e não o cosseno como antes. Bem, uma ação desagradável foi adicionada - procurar a equação do plano.

Não vamos procrastinar exemplos de soluções:

1. O prisma direto principal-mas-va-ni-em - somos um triângulo igual a pobre. Encontre o ângulo entre a linha reta e o plano

2. Em um par-ral-le-le-pi-pe-de retangular do oeste, encontre o ângulo entre a linha reta e o plano

3. Em um prisma hexagonal reto, todas as arestas são iguais. Encontre o ângulo entre a linha reta e o plano.

4. No pi-ra-mi-de triangular direito com o os-no-va-ni-em das costelas conhecidas Encontre um canto, ob-ra-zo-van -plano na base e reto, passando pelo cinza costelas e

5. Os comprimentos de todas as arestas de um pi-ra-mi-dy quadrangular reto com um vértice são iguais entre si. Encontre o ângulo entre a linha reta e o plano se o ponto estiver do lado da aresta do pi-ra-mi-dy.

Novamente, resolverei os dois primeiros problemas detalhadamente, o terceiro brevemente, e deixarei os dois últimos para você resolver sozinho. Além disso, você já teve que lidar com pirâmides triangulares e quadrangulares, mas ainda não com prismas.

Soluções:

1. Vamos representar um prisma, bem como sua base. Vamos combiná-lo com o sistema de coordenadas e anotar todos os dados fornecidos na declaração do problema:

Peço desculpas por algum descumprimento das proporções, mas para resolver o problema isso, na verdade, não é tão importante. Planicidade é apenas " parede de trás"do meu prisma. Basta simplesmente adivinhar que a equação de tal plano tem a forma:

No entanto, isso pode ser mostrado diretamente:

Vamos escolher três pontos arbitrários neste plano: por exemplo, .

Vamos criar a equação do plano:

Exercício para você: calcule você mesmo esse determinante. Você conseguiu? Então a equação do plano fica assim:

Ou simplesmente

Por isso,

Para resolver o exemplo, preciso encontrar as coordenadas do vetor diretor da reta. Como o ponto coincide com a origem das coordenadas, as coordenadas do vetor simplesmente coincidirão com as coordenadas do ponto. Para fazer isso, primeiro encontramos as coordenadas do ponto.

Para fazer isso, considere um triângulo. Vamos desenhar a altura (também conhecida como mediana e bissetriz) do vértice. Desde então, a ordenada do ponto é igual a. Para encontrar a abcissa deste ponto, precisamos calcular o comprimento do segmento. De acordo com o teorema de Pitágoras temos:

Então o ponto tem coordenadas:

Um ponto é um ponto "em relevo":

Então as coordenadas do vetor são:

Responder:

Como você pode ver, não há nada fundamentalmente difícil na resolução de tais problemas. Na verdade, o processo é um pouco mais simplificado pela “retidão” de uma figura como um prisma. Agora vamos passar para o próximo exemplo:

2. Desenhe um paralelepípedo, desenhe um plano e uma linha reta nele e também desenhe separadamente sua base inferior:

Primeiro, encontramos a equação do plano: As coordenadas dos três pontos nele contidos:

(as duas primeiras coordenadas são obtidas de forma óbvia, e você pode facilmente encontrar a última coordenada da imagem a partir do ponto). Então compomos a equação do plano:

Calculamos:

Procuramos as coordenadas do vetor guia: É claro que suas coordenadas coincidem com as coordenadas do ponto, não é? Como encontrar coordenadas? Estas são as coordenadas do ponto, elevadas em um ao longo do eixo aplicado! . Então procuramos o ângulo desejado:

Responder:

3. Desenhe uma pirâmide hexagonal regular e, em seguida, desenhe um plano e uma linha reta nela.

Aqui é até problemático desenhar um plano, sem falar na solução desse problema, mas o método das coordenadas não importa! Sua versatilidade é sua principal vantagem!

O avião passa por três pontos: . Estamos procurando suas coordenadas:

1) . Descubra você mesmo as coordenadas dos dois últimos pontos. Você precisará resolver o problema da pirâmide hexagonal para isso!

2) Construímos a equação do plano:

Procuramos as coordenadas do vetor: . (Veja o problema da pirâmide triangular novamente!)

3) Procurando um ângulo:

Responder:

Como você pode ver, não há nada sobrenaturalmente difícil nessas tarefas. Você só precisa ter muito cuidado com as raízes. Darei respostas apenas aos dois últimos problemas:

Como você pode ver, a técnica de resolução de problemas é a mesma em todos os lugares: a principal tarefa é encontrar as coordenadas dos vértices e substituí-las em determinadas fórmulas. Ainda temos que considerar mais uma classe de problemas para cálculo de ângulos, a saber:

Calculando ângulos entre dois planos

O algoritmo de solução será o seguinte:

1. Usando três pontos procuramos a equação do primeiro plano:
2. Usando os outros três pontos procuramos a equação do segundo plano:
3. Aplicamos a fórmula:

Como você pode ver, a fórmula é muito semelhante às duas anteriores, com a ajuda das quais procuramos ângulos entre retas e entre uma reta e um plano. Portanto, não será difícil para você se lembrar deste. Passemos à análise das tarefas:

1. O lado da base do prisma triangular reto é igual, e a diagonal da face lateral é igual. Encontre o ângulo entre o plano e o plano do eixo do prisma.

2. No pi-ra-mi-de de quatro cantos direito, com todas as arestas iguais, encontre o seno do ângulo entre o plano e o osso plano, passando pelo ponto per-pen-di-ku- mentiroso, mas direto.

3. Em um prisma regular de quatro cantos, os lados da base são iguais e as arestas laterais são iguais. Há um ponto na borda de mim-che-on para isso. Encontre o ângulo entre os planos e

4. Em um prisma quadrangular reto, os lados da base são iguais e as arestas laterais são iguais. Há um ponto na borda do ponto para que Encontre o ângulo entre os planos e.

5. Em um cubo, encontre o co-seno do ângulo entre os planos e

Soluções de problemas:

1. Eu desenho um prisma triangular regular (um triângulo equilátero na base) e marco nele os planos que aparecem na definição do problema:

Precisamos encontrar as equações de dois planos: A equação da base é trivial: você pode compor o determinante correspondente usando três pontos, mas eu comporei a equação imediatamente:

Agora vamos encontrar a equação Ponto tem coordenadas Ponto - Como é a mediana e a altitude do triângulo, ela é facilmente encontrada usando o teorema de Pitágoras no triângulo. Então o ponto tem coordenadas: Vamos encontrar a aplicação do ponto. Para fazer isso, considere um triângulo retângulo.

Então obtemos as seguintes coordenadas: Compomos a equação do plano.

Calculamos o ângulo entre os planos:

Responder:

2. Fazendo um desenho:

O mais difícil é entender que tipo de plano misterioso é esse, passando perpendicularmente pelo ponto. Bem, o principal é: o que é isso? O principal é a atenção! Na verdade, a linha é perpendicular. A linha reta também é perpendicular. Então o plano que passa por essas duas retas será perpendicular à reta e, aliás, passará pelo ponto. Este plano também passa pelo topo da pirâmide. Então o avião desejado - E o avião já nos foi entregue. Estamos procurando as coordenadas dos pontos.

Encontramos a coordenada do ponto através do ponto. Pela pequena imagem é fácil deduzir que as coordenadas do ponto serão as seguintes: O que falta agora para encontrar as coordenadas do topo da pirâmide? Você também precisa calcular sua altura. Isso é feito usando o mesmo teorema de Pitágoras: primeiro prove isso (trivialmente a partir de pequenos triângulos formando um quadrado na base). Como por condição, temos:

Agora tudo está pronto: coordenadas do vértice:

Compomos a equação do plano:

Você já é um especialista em cálculo de determinantes. Sem dificuldade você receberá:

Ou de outra forma (se multiplicarmos ambos os lados pela raiz de dois)

Agora vamos encontrar a equação do plano:

(Você não esqueceu como obtemos a equação de um plano, certo? Se você não entende de onde veio esse menos um, volte para a definição da equação de um plano! Sempre acontecia antes disso meu avião pertencia à origem das coordenadas!)

Calculamos o determinante:

(Você pode notar que a equação do plano coincide com a equação da reta que passa pelos pontos e! Pense no porquê!)

Agora vamos calcular o ângulo:

Precisamos encontrar o seno:

Responder:

3. Pergunta complicada: o que você acha que é um prisma retangular? Este é apenas um paralelepípedo que você conhece bem! Vamos fazer um desenho agora mesmo! Você nem precisa representar a base separadamente; ela é de pouca utilidade aqui:

O plano, como observamos anteriormente, é escrito na forma de uma equação:

Agora vamos criar um avião

Criamos imediatamente a equação do plano:

Procurando um ângulo:

Agora as respostas para os dois últimos problemas:

Bem, agora é a hora de fazer uma pequena pausa, porque você e eu somos ótimos e fizemos um ótimo trabalho!

Coordenadas e vetores. Nível avançado

Neste artigo discutiremos com você outra classe de problemas que podem ser resolvidos usando o método de coordenadas: problemas de cálculo de distância. Ou seja, consideraremos os seguintes casos:

1. Cálculo da distância entre linhas que se cruzam.

Ordenei essas tarefas em ordem crescente de dificuldade. Acontece que é mais fácil de encontrar distância do ponto ao plano, e o mais difícil é encontrar distância entre linhas cruzadas. Embora, claro, nada seja impossível! Não vamos procrastinar e passar imediatamente à consideração da primeira classe de problemas:

Calculando a distância de um ponto a um plano

O que precisamos para resolver esse problema?

1. Coordenadas do ponto

Assim, assim que tivermos todos os dados necessários, aplicamos a fórmula:

Você já deve saber como construímos a equação de um plano a partir dos problemas anteriores que discuti na última parte. Vamos direto às tarefas. O esquema é o seguinte: 1, 2 - eu ajudo você a decidir, e com alguns detalhes, 3, 4 - só a resposta, você mesmo resolve o problema e compara. Vamos começar!

Tarefas:

1. Dado um cubo. O comprimento da aresta do cubo é igual. Encontre a distância do se-re-di-na do corte ao avião

2. Dado o pi-ra-mi-sim de quatro carvão direito, o lado do lado é igual à base. Encontre a distância do ponto ao plano onde - se-re-di-nas bordas.

3. No pi-ra-mi-de triangular reto com os-no-va-ni-em, a borda lateral é igual, e o cem-ro-on os-no-va-nia é igual. Encontre a distância do topo ao avião.

4. Em um prisma hexagonal reto, todas as arestas são iguais. Encontre a distância de um ponto a um plano.

Soluções:

1. Desenhe um cubo com arestas únicas, construa um segmento e um plano, denote o meio do segmento com uma letra

.

Primeiro, vamos começar com o mais fácil: encontrar as coordenadas do ponto. Desde então (lembre-se das coordenadas do meio do segmento!)

Agora compomos a equação do plano usando três pontos

\[\esquerda| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Agora posso começar a encontrar a distância:

2. Recomeçamos com um desenho onde marcamos todos os dados!

Para uma pirâmide, seria útil desenhar a sua base separadamente.

Mesmo o fato de eu desenhar como uma galinha com a pata não nos impedirá de resolver esse problema com facilidade!

Agora é fácil encontrar as coordenadas de um ponto

Como as coordenadas do ponto, então

2. Como as coordenadas do ponto a são o meio do segmento, então

Sem problemas, podemos encontrar as coordenadas de mais dois pontos do plano. Criamos uma equação para o plano e simplificamos:

\[\esquerda| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Como o ponto tem coordenadas: , calculamos a distância:

Resposta (muito rara!):

Bem, você descobriu? Parece-me que tudo aqui é tão técnico quanto nos exemplos que vimos na parte anterior. Portanto, tenho certeza de que, se você domina esse material, não será difícil resolver os dois problemas restantes. Vou apenas te dar as respostas:

Calculando a distância de uma linha reta a um plano

Na verdade, não há nada de novo aqui. Como uma linha reta e um plano podem ser posicionados um em relação ao outro? Eles têm apenas uma possibilidade: cruzar, ou uma linha reta é paralela ao plano. Qual você acha que é a distância de uma linha reta ao plano com o qual essa linha reta se cruza? Parece-me que está claro aqui que tal distância é igual a zero. Caso desinteressante.

O segundo caso é mais complicado: aqui a distância já é diferente de zero. No entanto, como a reta é paralela ao plano, cada ponto da reta é equidistante deste plano:

Por isso:

Isso significa que minha tarefa se reduziu à anterior: procuramos as coordenadas de qualquer ponto da linha reta, procuramos a equação do plano e calculamos a distância do ponto ao plano. Na verdade, tais tarefas são extremamente raras no Exame de Estado Unificado. Consegui encontrar apenas um problema, e os dados nele contidos eram tais que o método de coordenadas não era muito aplicável a ele!

Agora vamos passar para outra classe de problemas muito mais importante:

Calculando a distância de um ponto a uma linha

O que nós precisamos?

1. Coordenadas do ponto a partir do qual procuramos a distância:

2. Coordenadas de qualquer ponto situado em uma linha

3. Coordenadas do vetor diretor da linha reta

Que fórmula usamos?

O que significa o denominador desta fração deve estar claro para você: este é o comprimento do vetor diretor da linha reta. Este é um numerador muito complicado! A expressão significa o módulo (comprimento) do produto vetorial de vetores e como calcular o produto vetorial, estudamos na parte anterior do trabalho. Atualize seus conhecimentos, precisaremos muito deles agora!

Assim, o algoritmo de resolução de problemas será o seguinte:

1. Procuramos as coordenadas do ponto do qual procuramos a distância:

2. Procuramos as coordenadas de qualquer ponto da reta ao qual procuramos a distância:

3. Construa um vetor

4. Construa um vetor direto de uma linha reta

5. Calcule o produto vetorial

6. Procuramos o comprimento do vetor resultante:

7. Calcule a distância:

Temos muito trabalho a fazer e os exemplos serão bastante complexos! Então agora concentre toda a sua atenção!

1. Dado um pi-ra-mi-da triangular reto com topo. O cem-ro-com base no pi-ra-mi-dy é igual, você é igual. Encontre a distância da borda cinza até a linha reta, onde estão os pontos e são as bordas cinza e do veterinário.

2. Os comprimentos das costelas e o ângulo reto-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da são iguais respectivamente e encontre a distância do topo à linha reta

3. Em um prisma hexagonal reto, todas as arestas são iguais, encontre a distância de um ponto a uma linha reta

Soluções:

1. Fazemos um desenho bacana no qual marcamos todos os dados:

Nós temos muito trabalho a fazer! Primeiramente, gostaria de descrever em palavras o que procuraremos e em que ordem:

1. Coordenadas de pontos e

2. Coordenadas do ponto

3. Coordenadas de pontos e

4. Coordenadas de vetores e

5. Seu produto vetorial

6. Comprimento do vetor

7. Comprimento do produto vetorial

8. Distância de até

Pois bem, temos muito trabalho pela frente! Vamos começar com as mangas arregaçadas!

1. Para encontrar as coordenadas da altura da pirâmide, precisamos saber as coordenadas do ponto. Seu aplicado é zero, e sua ordenada é igual à sua abcissa é igual ao comprimento do segmento. um triângulo equilátero, é dividido na proporção, contando a partir do vértice, daqui. Finalmente, obtivemos as coordenadas:

Coordenadas de ponto

2. - meio do segmento

3. - meio do segmento

Ponto médio do segmento

4.Coordenadas

Coordenadas vetoriais

5. Calcule o produto vetorial:

6. Comprimento do vetor: a maneira mais fácil de substituir é que o segmento seja a linha média do triângulo, o que significa que é igual à metade da base. Então.

7. Calcule o comprimento do produto vetorial:

8. Finalmente encontramos a distância:

Ugh, é isso! Vou te dizer com franqueza: a solução para esse problema é métodos tradicionais(via construção), seria muito mais rápido. Mas aqui reduzi tudo a um algoritmo pronto! Acho que o algoritmo de solução está claro para você? Portanto, pedirei que você mesmo resolva os dois problemas restantes. Vamos comparar as respostas?

Mais uma vez, repito: é mais fácil (mais rápido) resolver estes problemas através de construções, ao invés de recorrer ao método das coordenadas. Eu demonstrei esta solução apenas para mostrar a você método universal, o que permite “não terminar de construir nada”.

Finalmente, considere a última classe de problemas:

Calculando a distância entre linhas que se cruzam

Aqui o algoritmo de resolução de problemas será semelhante ao anterior. O que nós temos:

3. Qualquer vetor conectando os pontos da primeira e da segunda linha:

Como encontramos a distância entre as linhas?

A fórmula é a seguinte:

O numerador é o módulo produto misto(apresentamos na parte anterior), e o denominador é como na fórmula anterior (o módulo do produto vetorial dos vetores direcionadores das retas, a distância entre os quais procuramos).

Vou te lembrar disso

Então a fórmula para a distância pode ser reescrita como:

Este é um determinante dividido por um determinante! Embora, para ser sincero, não tenha tempo para piadas aqui! Esta fórmula, na verdade, é muito complicado e leva a cálculos bastante complexos. Se eu fosse você, recorreria a isso apenas como último recurso!

Vamos tentar resolver alguns problemas usando o método acima:

1. Em um prisma triangular reto, com todas as arestas iguais, encontre a distância entre as retas e.

2. Dado um prisma triangular reto, todas as arestas da base são iguais à seção que passa pela costela do corpo e as costelas se-re-di-well são quadradas. Encontre a distância entre as linhas retas e

Eu decido o primeiro e com base nisso você decide o segundo!

1. Desenho um prisma e marco linhas retas e

Coordenadas do ponto C: então

Coordenadas de ponto

Coordenadas vetoriais

Coordenadas de ponto

Coordenadas vetoriais

Coordenadas vetoriais

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Calculamos o produto vetorial entre vetores e

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Agora calculamos seu comprimento:

Responder:

Agora tente completar cuidadosamente a segunda tarefa. A resposta para isso será: .

Coordenadas e vetores. Breve descrição e fórmulas básicas

Um vetor é um segmento direcionado. - o início do vetor, - o fim do vetor.
Um vetor é denotado por ou.

Valor absoluto vetor - o comprimento do segmento que representa o vetor. Denotado como.

Coordenadas vetoriais:

,
onde estão as extremidades do vetor \displaystyle a .

Soma dos vetores: .

Produto de vetores:

Produto escalar de vetores: