Resolvendo desigualdades lineares com módulo. O método do intervalo é um método universal para resolver desigualdades com módulo
Matemática é um símbolo da sabedoria da ciência,
um modelo de rigor científico e simplicidade,
o padrão de excelência e beleza na ciência.
Filósofo russo, professor A.V. Volóchinov
Desigualdades com módulo
Os problemas mais difíceis de resolver na matemática escolar são as desigualdades, contendo variáveis sob o sinal do módulo. Para resolver com sucesso essas desigualdades, você deve ter um bom conhecimento das propriedades do módulo e ter habilidades para usá-las.
Conceitos e propriedades básicas
Módulo (valor absoluto) de um número real denotado por e é definido da seguinte forma:
PARA propriedades simples módulo inclui as seguintes relações:
E .
Observação, que as duas últimas propriedades são válidas para qualquer grau par.
Além disso, se, onde, então e
Propriedades de módulo mais complexas, que pode ser efetivamente usado ao resolver equações e desigualdades com módulos, são formulados através dos seguintes teoremas:
Teorema 1.Para quaisquer funções analíticas E a desigualdade é verdadeira.
Teorema 2. Igualdade equivalente à desigualdade.
Teorema 3. Igualdade equivalente à desigualdade.
As desigualdades mais comuns na matemática escolar, contendo variáveis desconhecidas sob o sinal do módulo, são desigualdades da forma e onde alguma constante positiva.
Teorema 4. Desigualdade é equivalente à dupla desigualdade, e a solução para a desigualdadese reduz a resolver um conjunto de desigualdades E .
Este teorema é um caso especial dos Teoremas 6 e 7.
Desigualdades mais complexas, contendo um módulo são desigualdades da forma, E .
Os métodos para resolver tais desigualdades podem ser formulados usando os três teoremas a seguir.
Teorema 5. Desigualdade é equivalente à combinação de dois sistemas de desigualdades
Eu (1)
Prova. Desde então
Isto implica a validade de (1).
Teorema 6. Desigualdade é equivalente ao sistema de desigualdades
Prova. Porque , então da desigualdade segue isso . Sob esta condição, a desigualdadee neste caso o segundo sistema de desigualdades (1) revelar-se-á inconsistente.
O teorema foi provado.
Teorema 7. Desigualdade é equivalente à combinação de uma desigualdade e dois sistemas de desigualdades
Eu (3)
Prova. Desde , então a desigualdade sempre executado, Se .
Deixar , então desigualdadeserá equivalente à desigualdade, do qual segue um conjunto de duas desigualdades E .
O teorema foi provado.
Vejamos exemplos típicos de resolução de problemas sobre o tema “Desigualdades, contendo variáveis sob o sinal de módulo."
Resolvendo desigualdades com módulo
Maioria método simples resolver desigualdades com módulo é o método, baseado na expansão do módulo. Este método é universal, porém em caso Geral seu uso pode levar a cálculos muito complicados. Portanto, os alunos deverão conhecer outros métodos e técnicas (mais eficazes) para resolver tais desigualdades. Em particular, é necessário ter habilidades na aplicação de teoremas, dado neste artigo.
Exemplo 1.Resolva a desigualdade
. (4)
Solução.Resolveremos a desigualdade (4) usando o método “clássico” – o método de revelação de módulos. Para este propósito, dividimos o eixo dos números pontos e em intervalos e considere três casos.
1. Se, então,,,, e a desigualdade (4) assume a forma ou .
Como o caso é considerado aqui, é uma solução para a desigualdade (4).
2. Se, então da desigualdade (4) obtemos ou . Como a interseção de intervalos E está vazia, então no intervalo de soluções em consideração não há desigualdade (4).
3. Se, então a desigualdade (4) assume a forma ou . É óbvio que também é uma solução para a desigualdade (4).
Responder: , .
Exemplo 2. Resolva a desigualdade.
Solução. Vamos supor isso. Porque , então a desigualdade dada assume a forma ou . Desde então e daqui segue ou .
Porém, portanto ou.
Exemplo 3. Resolva a desigualdade
. (5)
Solução. Porque , então a desigualdade (5) é equivalente às desigualdades ou . Daqui, de acordo com o Teorema 4, temos um conjunto de desigualdades E .
Responder: , .
Exemplo 4.Resolva a desigualdade
. (6)
Solução. Vamos denotar. Então, da desigualdade (6), obtemos as desigualdades,, ou.
Daqui, usando o método de intervalo, Nós temos . Porque , então aqui temos um sistema de desigualdades
A solução para a primeira desigualdade do sistema (7) é a união de dois intervalos E , e a solução para a segunda desigualdade é a dupla desigualdade. Isso implica , que a solução para o sistema de desigualdades (7) é a união de dois intervalos E .
Responder: ,
Exemplo 5.Resolva a desigualdade
. (8)
Solução. Vamos transformar a desigualdade (8) da seguinte forma:
Ou .
Usando o método de intervalo, obtemos uma solução para a desigualdade (8).
Responder: .
Observação. Se colocarmos e nas condições do Teorema 5, obtemos.
Exemplo 6. Resolva a desigualdade
. (9)
Solução. Da desigualdade (9) segue. Vamos transformar a desigualdade (9) da seguinte forma:
Ou
Desde , então ou .
Responder: .
Exemplo 7.Resolva a desigualdade
. (10)
Solução. Desde e, então ou.
A respeito disso e a desigualdade (10) assume a forma
Ou
. (11)
Segue-se que ou . Desde então, a desigualdade (11) também implica ou.
Responder: .
Observação. Se aplicarmos o Teorema 1 ao lado esquerdo da desigualdade (10), então obtemos . Disto e da desigualdade (10) segue-se, o que ou . Porque , então a desigualdade (10) assume a forma ou .
Exemplo 8. Resolva a desigualdade
. (12)
Solução. Desde então e da desigualdade (12) segue ou . Porém, portanto ou. A partir daqui obtemos ou .
Responder: .
Exemplo 9. Resolva a desigualdade
. (13)
Solução. De acordo com o Teorema 7, a solução para a desigualdade (13) é ou.
Deixe ser agora. Nesse caso e a desigualdade (13) assume a forma ou .
Se você combinar os intervalos E , então obtemos uma solução para a desigualdade (13) da forma.
Exemplo 10. Resolva a desigualdade
. (14)
Solução. Vamos reescrever a desigualdade (14) de forma equivalente: . Se aplicarmos o Teorema 1 ao lado esquerdo desta desigualdade, obtemos a desigualdade.
Disto e do Teorema 1 segue-se, que a desigualdade (14) é satisfeita para quaisquer valores.
Resposta: qualquer número.
Exemplo 11. Resolva a desigualdade
. (15)
Solução. Aplicando o Teorema 1 ao lado esquerdo da desigualdade (15), Nós temos . Esta e a desigualdade (15) implicam a equação, que tem a forma.
De acordo com o Teorema 3, a equação equivalente à desigualdade. A partir daqui obtemos.
Exemplo 12.Resolva a desigualdade
. (16)
Solução. Da desigualdade (16), conforme Teorema 4, obtemos um sistema de desigualdades
Ao resolver a desigualdadeVamos usar o Teorema 6 e obter um sistema de desigualdadesdo qual se segue.
Considere a desigualdade. De acordo com o Teorema 7, obtemos um conjunto de desigualdades E . A segunda desigualdade populacional é válida para qualquer.
Por isso , a solução para a desigualdade (16) é.
Exemplo 13.Resolva a desigualdade
. (17)
Solução. De acordo com o Teorema 1, podemos escrever
(18)
Levando em conta a desigualdade (17), concluímos que ambas as desigualdades (18) se transformam em igualdades, ou seja, existe um sistema de equações
Pelo Teorema 3, este sistema de equações é equivalente ao sistema de desigualdades
ou
Exemplo 14.Resolva a desigualdade
. (19)
Solução. Desde então. Multipliquemos ambos os lados da desigualdade (19) pela expressão, que para quaisquer valores leva apenas valores positivos. Obtemos então uma desigualdade que equivale à desigualdade (19), da forma
A partir daqui obtemos ou, onde. Desde e então a solução para a desigualdade (19) é E .
Responder: , .
Para mais aprendizagem profunda Para métodos de resolução de desigualdades com módulo, é aconselhável consultar livros didáticos, fornecido na lista de literatura recomendada.
1. Coleção de problemas de matemática para candidatos a faculdades / Ed. MI. Scanavi. – M.: Paz e Educação, 2013. – 608 p.
2. Suprun V.P. Matemática para alunos do ensino médio: métodos de resolução e comprovação de desigualdades. – M.: Lenand/URSS, 2018. – 264 p.
3. Suprun V.P. Matemática para alunos do ensino médio: métodos não padronizados de resolução de problemas. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 p.
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Instituição educacional municipal "Escola Secundária Khvastovichi"
"O método intervalar para resolver equações e desigualdades com múltiplos módulos"
Artigo de pesquisa em matemática
Realizado:
aluno do 10º ano
Golysheva Evgenia
Supervisor:
professor de matemática
Shapenskaya E.N.
Introdução……………………………………………………………………………………………….3 Capítulo 1. Métodos para resolver problemas com vários módulos…… …………… …..........4 1.1.Definição de módulo. Solução por definição.........4 1.2 Resolvendo equações com múltiplos módulos usando o método intervalar......5 1.3 . Problemas com vários módulos. Métodos de solução…………………………....7 1.4. Método de intervalos em problemas com módulos………………………………………......9 Capítulo 2. Equações e inequações contendo módulos………………………….… 11 2.1 Resolvendo equações com vários módulos usando o método intervalar..….11 2.2 Resolvendo inequações com vários módulos usando o método intervalar.…13 Conclusão…………………………………………………… ………………………...15 Literatura……………………………………………………………………….………. ….16
Introdução
O conceito de valor absoluto é uma das características mais importantes do número tanto no campo do real quanto no campo números complexos. Este conceito é amplamente utilizado não apenas em várias seções curso escolar matemática, mas também em cursos de matemática superior, física e ciências técnicas estudados em universidades. Problemas relacionados a valores absolutos são frequentemente encontrados em Olimpíadas de matemática, exames de entradaàs universidades e ao Exame Estadual Unificado.
Assunto:"O método intervalar para resolver equações e desigualdades com múltiplos módulos pelo método intervalar."
Área objetiva: matemática.
Objeto de estudo: resolução de equações e desigualdades com módulo.
Assunto de estudo: método intervalar para resolução com vários módulos.
Propósito do estudo: identificar a eficácia da resolução de equações e inequações com vários módulos utilizando o método intervalar.
Hipótese: Se você usar o método intervalar para resolver inequações e equações com vários módulos, poderá simplificar significativamente seu trabalho.
Métodos de trabalho: coleta de informações e sua análise.
Tarefas:
Estude a literatura sobre este tópico.
Considere soluções para desigualdades e equações com vários módulos.
Identifique o que mais método eficaz soluções.
Foco prático do projeto:
Este trabalho pode ser usado como auxílio didático para estudantes e um auxílio didático para professores.
Capítulo 1.
1.1.Definição de módulo. Solução por definição.
Por definição, o módulo, ou valor absoluto, não é número negativo a coincide com o próprio número, e o módulo de um número negativo é igual ao número oposto, ou seja, a:
O módulo de um número é sempre não negativo. Vejamos exemplos.
Exemplo 1. Resolva a equação |–x| = –3.
Não há necessidade de analisar casos aqui, pois o valor absoluto de um número é sempre não negativo, e isso significa que esta equação não tem solução.
Vamos escrever a solução para essas equações mais simples em visão geral:
Exemplo 2. Resolva a equação |x| = 2 –x.
Solução. Em x 0 temos a equação x = 2 – x, ou seja, x = 1. Como 1 0, x = 1 é a raiz da equação original. No segundo caso (x
Resposta: x = 1.
Exemplo 3. Resolva a equação 3|x – 3| + x = –1.
Solução. Aqui a divisão em casos é determinada pelo sinal da expressão x – 3. Para x – 3 ³ 0 temos 3x – 9 + x = –1 Û x = 2. Mas 2 – 3 0.
Resposta: a equação não tem raízes.
Exemplo 4. Resolva a equação |x – 1| = 1 –x.
Solução. Como 1 – x = – (x – 1), segue diretamente da definição do módulo que a equação é satisfeita por aqueles e somente aqueles x para os quais x – 1 0. Esta equação foi reduzida a uma desigualdade, e o a resposta é o intervalo inteiro (raio).
Resposta: x 1.
1.2. Resolução de equações com módulo usando sistemas.
Os exemplos discutidos anteriormente nos permitem formular regras para eliminar o sinal do módulo nas equações. Para equações da forma |f(x)| = g(x) existem duas dessas regras:
1ª regra: |f(x)| =g(x)Û(1)
2ª regra: |f(x)| =g(x)Û(2)
Vamos explicar a notação usada aqui. Colchetes representam sistemas e colchetes representam agregados.
As soluções de um sistema de equações são valores de uma variável que satisfazem simultaneamente todas as equações do sistema.
As soluções para um conjunto de equações são todos valores de uma variável, cada um dos quais é a raiz de pelo menos uma das equações do conjunto.
Duas equações são equivalentes se qualquer solução de cada uma delas for também solução da outra, ou seja, se os conjuntos de suas soluções coincidirem.
Se a equação contiver vários módulos, você poderá se livrar deles um por um, usando as regras fornecidas. Mas geralmente existem maneiras mais curtas. Iremos conhecê-los mais tarde, mas agora vamos resolver a mais simples dessas equações:
|f(x)| = |g(x)| VOCÊ
Essa equivalência decorre do fato óbvio de que, se os valores absolutos de dois números são iguais, então os próprios números são iguais ou opostos.
Exemplo 1. Resolva a equação |x 2 – 7x + 11| = x + 1.
Solução. Vamos nos livrar do módulo das duas maneiras descritas acima:
1ª via: 2ª via:
Como vemos, em ambos os casos temos que resolver as mesmas duas equações quadráticas, mas no primeiro caso elas são acompanhadas por desigualdades quadráticas, e no segundo – linear. Portanto, o segundo método para esta equação é mais simples. Resolvendo equações quadráticas, encontramos as raízes da primeira, ambas as raízes satisfazem a desigualdade. O discriminante da segunda equação é negativo, portanto a equação não tem raízes.
Responder: .
Exemplo 2. Resolva a equação |x 2 – x – 6| = |2x 2 + x – 1|.
Solução. Já sabemos que não há necessidade de considerar (até 4) variantes da distribuição de sinais de expressões sob módulos aqui: esta equação é equivalente a um conjunto de duas equações quadráticas sem quaisquer desigualdades adicionais: O que é equivalente a: O a primeira equação do conjunto de soluções não possui (seu discriminante é negativo), a segunda a equação possui duas raízes.
1.3. Problemas com vários módulos. Métodos de solução.
Expansão sequencial de módulos.
Existem duas abordagens principais para resolver equações e desigualdades que contêm vários módulos. Podemos chamá-los de “serial” e “paralelo”. Agora vamos conhecer o primeiro deles.
Sua ideia é que primeiro um dos módulos seja isolado em uma parte da equação (ou desigualdade) e seja revelado por um dos métodos descritos anteriormente. Em seguida, o mesmo é repetido com cada uma das equações resultantes com módulos, e assim por diante, até nos livrarmos de todos os módulos.
Exemplo 1. Resolva a equação: +
Solução. Vamos isolar o segundo módulo e expandi-lo utilizando o primeiro método, ou seja, simplesmente determinando o valor absoluto:
Às duas equações resultantes aplicamos o segundo método de remoção do módulo:
Finalmente, resolvemos os quatro resultantes equações lineares e selecione as raízes que satisfazem as desigualdades correspondentes. Como resultado, restam apenas dois valores: x = –1 e .
Resposta 1; .
Expansão paralela de módulos.
Você pode remover todos os módulos de uma equação ou desigualdade de uma vez e anotar todas as combinações possíveis de sinais de expressões submodulares. Se houver n módulos na equação, então haverá 2 n opções, pois cada uma das n expressões do módulo, ao remover o módulo, pode receber um de dois sinais - mais ou menos. Em princípio, precisamos resolver todas as 2 n equações (ou desigualdades), livres de módulos. Mas as suas soluções também serão soluções para o problema original apenas se estiverem em regiões onde a equação correspondente (desigualdade) coincide com a original. Estas áreas são definidas pelos sinais das expressões abaixo dos módulos. Já resolvemos a seguinte desigualdade, então você pode comparar diferentes abordagens para resolvê-la.
Exemplo 2.+
Solução.
Vamos considerar 4 conjuntos possíveis de símbolos para expressões em módulos.
Apenas a primeira e a terceira dessas raízes satisfazem as desigualdades correspondentes e, portanto, a equação original.
Resposta 1; .
Da mesma forma, você pode resolver qualquer problema com vários módulos. Mas, como qualquer método universal, esta solução nem sempre é ideal. Abaixo veremos como isso pode ser melhorado.
1.4. Método de intervalo em problemas com módulos
Olhando mais de perto as condições que definem diferentes variantes distribuição de sinais de expressões submodulares na solução anterior, veremos que um deles, 1 – 3x
Imagine que estamos resolvendo uma equação que inclui três módulos de expressões lineares; por exemplo, |x – uma| + |x – b| + |x – c| = m.
O primeiro módulo é igual a x – a para x ³ a e a – x para x b e x
Eles formam quatro espaços. Em cada um deles, cada uma das expressões sob os módulos mantém seu sinal, portanto, a equação como um todo após a expansão dos módulos tem a mesma forma em cada intervalo. Assim, das 8 opções teoricamente possíveis para abertura de módulos, apenas 4 nos bastaram!
Você também pode resolver qualquer problema com vários módulos. Ou seja, o eixo numérico é dividido em intervalos de sinal constante de todas as expressões sob os módulos, e então em cada um deles é resolvida a equação ou desigualdade na qual o problema dado se transforma neste intervalo. Em particular, se todas as expressões dos módulos forem racionais, basta marcar no eixo suas raízes, bem como os pontos onde não estão definidas, ou seja, as raízes de seus denominadores. Os pontos marcados definem os intervalos necessários de sinal constante. Agimos exatamente da mesma maneira ao resolver desigualdades racionais usando o método intervalar. E o método que descrevemos para resolver problemas com módulos tem o mesmo nome.
Exemplo 1. Resolva a equação.
Solução. Vamos encontrar os zeros da função, de onde. Resolvemos o problema em cada intervalo:
Portanto, esta equação não tem soluções.
Exemplo 2. Resolva a equação.
Solução. Vamos encontrar os zeros da função. Resolvemos o problema em cada intervalo:
1) (sem soluções);
Exemplo 3. Resolva a equação.
Solução. Expressões sob o sinal de valor absoluto desaparecem em . Assim, precisamos considerar três casos:
2) - raiz da equação;
3) é a raiz desta equação.
Capítulo 2. Equações e desigualdades contendo módulos.
2.1 Resolução de equações com vários módulos utilizando o método intervalar.
Exemplo 1.
Resolva a equação:
|x+2| = |x-1|+x-3
-(x+2) = -(x-1) +x-3
X-2=-x+1+x-3
x=2 – não satisfaz
condição x
sem soluções
2. Se -2≤х
x+2 = -(x-1)+x-3
satisfaz
condição -2
3. Se x≥1, então
Resposta: x=6
Exemplo 2.
Resolva a equação:
1) Encontre os zeros das expressões submodulares
Os zeros das expressões submodulares dividem a reta numérica em vários intervalos. Organizamos os sinais das expressões submodulares nesses intervalos.
A cada intervalo abrimos os módulos e resolvemos a equação resultante. Após encontrar a raiz, verificamos se ela pertence ao intervalo em que estamos trabalhando atualmente.
1. :
- encaixa.
2. :
– não cabe.
3. :
– encaixa.
4. :
– não cabe. Responder:
2.2 Resolver inequações com vários módulos utilizando o método intervalar.
Exemplo 1.
Resolva a desigualdade:
|x-1| + |x-3| 4
-(x-1) - (x-3) 4
2. Se 1≤x
x-1– (x-3) 4
24 não está correto
sem soluções
3. Se x≥3, então
Resposta: xЄ (-∞;0) U (4;+∞)
Exemplo 2.
Vamos resolver a desigualdade
Solução. Os pontos e (as raízes das expressões do módulo) dividem todo o eixo numérico em três intervalos, em cada um dos quais os módulos devem ser expandidos.
1) Quando , e a desigualdade tem a forma , isto é . Neste caso a resposta é.
2) Quando, a desigualdade tem a forma, isto é. Esta desigualdade é verdadeira para quaisquer valores da variável e, tendo em conta que a resolvemos no conjunto, obtemos a resposta no segundo caso.
3) Quando, a desigualdade é transformada em, e a solução neste caso é. Solução geral para a desigualdade --- União três respostas recebidas.
Assim, para resolver equações e inequações contendo vários módulos, é conveniente utilizar o método intervalar. Para fazer isso, você precisa encontrar os zeros de todas as funções submodulares e designá-los na ODZ das equações e desigualdades.
Conclusão
EM Ultimamente Em matemática, métodos para simplificar a solução de problemas são amplamente utilizados, em particular o método intervalar, que pode acelerar significativamente os cálculos. Portanto, o estudo do método intervalar para resolução de equações e inequações com diversos módulos é relevante.
No processo de trabalho no tópico “Resolução de equações e inequações contendo uma incógnita sob o sinal do módulo usando o método intervalar”, eu: estudei a literatura sobre o assunto, familiarizei-me com a abordagem algébrica e gráfica para resolver equações e inequações contendo um desconhecido sob o sinal do módulo, e chegou à conclusão:
Em alguns casos, ao resolver equações com módulo, é possível resolver as equações de acordo com as regras, e às vezes é mais conveniente usar o método intervalar.
Ao resolver equações e desigualdades contendo um módulo, o método intervalar é mais visual e relativamente mais simples.
Durante a escrita trabalho de pesquisa Descobri muitos problemas que podem ser resolvidos usando o método de intervalo. A tarefa mais importante é resolver equações e desigualdades com vários módulos.
No decorrer do meu trabalho de resolução de desigualdades e equações com vários módulos usando o método intervalar, descobri que a velocidade de resolução de problemas dobrou. Isso permite acelerar significativamente o processo de trabalho e reduzir os custos de tempo. Assim, minha hipótese “se você usar o método intervalar para resolver inequações e equações com vários módulos, poderá simplificar significativamente o seu trabalho” foi confirmada. Enquanto trabalhava na pesquisa, ganhei experiência na resolução de equações e inequações com múltiplos módulos. Penso que os conhecimentos que adquiri me permitirão evitar erros na tomada de decisões.
Literatura
http://yukhym.com
http://www.tutoronline.ru
http://fizmat.by
http://diffur.kemsu.ru
http://solverbook.com
Zelensky A.S., Panfilov. Resolvendo equações e inequações com módulo I.I. M.: Editora Fatorial, 2009. - 112 p.
Olehnik S.N. Potapov M.K. Equações e desigualdades. Métodos de solução não padronizados. M.: Editora Fatorial, 1997. - 219 p.
Sevryukov P.F., Smolyakov A.N. Equações e inequações com módulos e métodos para resolvê-las. M.: Editora Iluminismo 2005. - 112 p.
Sadovnichy Yu.V. Exame Estadual Unificado. Oficina de matemática. Resolvendo equações e inequações. Convertendo expressões algébricas. M.: Editora Legião 2015 - 128 p.
Shevkin A.V. Método de intervalo. M.: LLC " palavra russa– livro educativo”, 2003. – 32 p.
http://padabum.com
Os métodos (regras) para revelar desigualdades com módulos consistem na divulgação sequencial dos módulos, utilizando intervalos de sinal constante de funções submodulares. Na versão final obtêm-se diversas desigualdades a partir das quais se encontram intervalos ou intervalos que satisfazem as condições do problema.
Vamos prosseguir para a solução de exemplos comuns na prática.
Desigualdades lineares com módulos
Por linear queremos dizer equações nas quais uma variável entra na equação linearmente.
Exemplo 1. Encontre uma solução para a desigualdade
Solução:
Das condições do problema segue-se que os módulos chegam a zero em x=-1 ex=-2. Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos
Em cada um desses intervalos resolvemos a desigualdade dada. Para isso, em primeiro lugar, elaboramos desenhos gráficos de áreas de sinal constante de funções submodulares. Eles são representados como áreas com sinais de cada uma das funções
ou intervalos com sinais de todas as funções. 
No primeiro intervalo expandimos os módulos
Multiplicamos ambos os lados por menos um e o sinal da desigualdade mudará para o oposto. Se for difícil para você se acostumar com esta regra, você pode mover cada uma das partes atrás do sinal para se livrar do sinal de menos. No final você receberá
A intersecção do conjunto x>-3 com a área em que as equações foram resolvidas será o intervalo (-3;-2). Para quem tem mais facilidade em encontrar soluções, você pode desenhar graficamente a intersecção dessas áreas
A intersecção comum de áreas será a solução. Se for estritamente irregular, as bordas não serão incluídas. Se não for rigoroso, verifique por substituição.
No segundo intervalo obtemos 
A seção transversal será o intervalo (-2;-5/3). Graficamente a solução será semelhante a
No terceiro intervalo obtemos
Esta condição não fornece soluções na região desejada.
Como as duas soluções encontradas (-3;-2) e (-2;-5/3) fazem fronteira com o ponto x=-2, verificamos também.
Portanto, o ponto x=-2 é uma solução. A solução geral levando isso em consideração será semelhante a (-3;5/3).
Exemplo 2. Encontre uma solução para a desigualdade
|x-2|-|x-3|>=|x-4|
Solução:
Os zeros das funções submodulares serão os pontos x=2, x=3, x=4. Para valores de argumentos menores que esses pontos, as funções submodulares são negativas e, para valores maiores, são positivas.
Os pontos dividem o eixo real em quatro intervalos. Expandimos os módulos de acordo com os intervalos de sinal constante e resolvemos as desigualdades.
1) No primeiro intervalo todas as funções submodulares são negativas, portanto ao expandir os módulos mudamos o sinal para o oposto.
A intersecção dos valores x encontrados com o intervalo considerado será um conjunto de pontos
2) No intervalo entre os pontos x=2 e x=3, a primeira função submodular é positiva, a segunda e a terceira são negativas. Expandindo os módulos, obtemos
uma inequação que, quando intersectada com o intervalo que estamos resolvendo, dá uma solução – x=3.
3) No intervalo entre os pontos x=3 e x=4, a primeira e a segunda funções submodulares são positivas e a terceira é negativa. Com base nisso obtemos
Esta condição mostra que todo o intervalo satisfará a desigualdade com módulos.
4) Para valores de x>4 todas as funções possuem sinais positivos. Ao expandir os módulos, não alteramos seu sinal.
A condição encontrada na intersecção com o intervalo fornece o seguinte conjunto de soluções
Como a desigualdade é resolvida em todos os intervalos, resta encontrar o valor comum de todos os valores encontrados de x. A solução será dois intervalos 
Isso conclui o exemplo.
Exemplo 3. Encontre uma solução para a desigualdade
||x-1|-5|>3-2x
Solução:
Temos uma desigualdade com módulo de módulo. Tais desigualdades são reveladas à medida que os módulos são aninhados, começando pelos que estão localizados mais profundamente.
A função submodular x-1 é convertida em zero em x=1 . Para valores menores além de 1 é negativo e positivo para x>1. Com base nisso, expandimos o módulo interno e consideramos a desigualdade em cada um dos intervalos.
Primeiro, considere o intervalo de menos infinito a um 
A função submodular é zero em x=-4 . Em valores menores é positivo, em valores maiores é negativo. Vamos expandir o módulo para x<-4:
Na intersecção com a área que estamos considerando, obtemos um conjunto de soluções
O próximo passo é expandir o módulo no intervalo (-4;1) 
Levando em consideração a área de expansão do módulo, obtemos o intervalo de solução
LEMBRE-SE: se nessas irregularidades com módulos você obtiver dois intervalos limítrofes de um ponto comum, então, via de regra, isso também é uma solução.
Para fazer isso, você só precisa verificar.
Neste caso, substituímos o ponto x=-4.
Então x=-4 é a solução.
Vamos expandir o módulo interno para x>1
Função submodular negativa para x<6.
Expandindo o módulo obtemos
Esta condição na seção com o intervalo (1;6) fornece um conjunto vazio de soluções.
Para x>6 obtemos a desigualdade
Resolvendo também obtivemos um conjunto vazio.
Levando em consideração tudo o que foi dito acima, a única solução para a desigualdade com módulos será o seguinte intervalo.
Desigualdades com módulos contendo equações quadráticas
Exemplo 4. Encontre uma solução para a desigualdade
|x^2+3x|>=2-x^2 
Solução:
A função submodular desaparece nos pontos x=0, x=-3. Substituição simples de menos um 
estabelecemos que ela menos que zero no intervalo (-3;0) e positivo além dele.
Vamos expandir o módulo em áreas onde a função submodular é positiva 
Resta determinar as regiões onde a função quadrada é positiva. Para fazer isso, definimos as raízes Equação quadrática 
Por conveniência, substituímos o ponto x=0, que pertence ao intervalo (-2;1/2). A função é negativa neste intervalo, o que significa que a solução serão os seguintes conjuntos x 
Aqui as bordas das áreas com soluções são indicadas entre colchetes; isso foi feito deliberadamente, levando em consideração a seguinte regra.
LEMBRE-SE: Se uma desigualdade com módulos, ou uma desigualdade simples é estrita, então as arestas das áreas encontradas não são soluções, mas se as desigualdades não são estritas (), então as arestas são soluções (denotadas por colchetes).
Esta regra é usada por muitos professores: se uma desigualdade estrita for dada e durante os cálculos você escrever um colchete ([,]) na solução, eles considerarão automaticamente que esta é uma resposta incorreta. Além disso, ao testar, se for dada uma desigualdade não estrita com módulos, procure áreas entre colchetes entre as soluções.
No intervalo (-3;0), expandindo o módulo, mudamos o sinal da função para o oposto 
Tendo em conta a área de divulgação da desigualdade, a solução terá a forma
Juntamente com a área anterior, isso dará dois meios intervalos
Exemplo 5. Encontre uma solução para a desigualdade
9x^2-|x-3|>=9x-2 
Solução:
É dada uma desigualdade não estrita cuja função submodular é igual a zero no ponto x=3. Para valores menores é negativo, para valores maiores é positivo. Expanda o módulo no intervalo x<3.
Encontrando o discriminante da equação
e raízes 
Substituindo o ponto zero, descobrimos que no intervalo [-1/9;1] a função quadrática é negativa, portanto o intervalo é uma solução. Em seguida, expandimos o módulo em x>3 
Como mais pessoas entende, mais forte é seu desejo de entender
Tomás de Aquino
O método do intervalo permite resolver qualquer equação que contenha um módulo. A essência deste método é dividir o eixo numérico em várias seções (intervalos), e o eixo precisa ser dividido pelos zeros das expressões nos módulos. Então, em cada uma das seções resultantes, cada expressão submodular é positiva ou negativa. Portanto, cada um dos módulos pode ser aberto com um sinal de menos ou com um sinal de mais. Após essas ações, resta resolver cada um dos problemas recebidos equações simples no intervalo em consideração e combine as respostas recebidas.
Vamos considerar este método em um exemplo específico.
|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.
1) Vamos encontrar os zeros das expressões nos módulos. Para fazer isso, precisamos igualá-los a zero e resolver as equações resultantes.
x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0
x = -1 2x = 4 x = -3
2) Vamos colocar os pontos resultantes em na ordem certa na linha de coordenadas. Eles dividirão o eixo inteiro em quatro seções.
3) Determinemos em cada uma das seções resultantes os sinais das expressões nos módulos. Para fazer isso, substituímos neles quaisquer números dos intervalos que nos interessam. Se o resultado do cálculo for um número positivo, colocamos “+” na tabela, e se o número for negativo, colocamos “–”. Isso pode ser representado assim: 
4) Agora vamos resolver a equação em cada um dos quatro intervalos, revelando os módulos com os sinais indicados na tabela. Então, vamos dar uma olhada no primeiro intervalo:
Intervalo I (-∞; -3). Nele, todos os módulos são abertos com um sinal “-”. Obtemos a seguinte equação:
-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Vamos apresentar termos semelhantes, primeiro abrindo os parênteses na equação resultante:
X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6
A resposta recebida não está incluída no intervalo considerado, não sendo necessário escrevê-la na resposta final.
Intervalo II [-3; -1). Neste intervalo da tabela existem sinais “–”, “–”, “+”. É exatamente assim que abrimos os módulos da equação original:
-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Vamos simplificar abrindo os colchetes:
X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Vamos apresentar semelhantes na equação resultante:
x = 6/5. O número resultante não pertence ao intervalo em consideração, portanto não é a raiz da equação original.
Intervalo III [-1; 2). Expandimos os módulos da equação original com os sinais que aparecem na terceira coluna da figura. Nós temos:
(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Vamos nos livrar dos parênteses e mover os termos que contêm a variável x para lado esquerdo equações, não aquelas contendo x à direita. Terá:
x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6
O número 2 não está incluído no intervalo em consideração.
Intervalo IV você
Exemplo 2.
Resolva a desigualdade ||x+2| –3| ≤ 2.
Solução.
Esta desigualdade é equivalente ao seguinte sistema.
(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.
Resolvamos separadamente a primeira desigualdade do sistema. É equivalente ao seguinte conjunto:
você[-1; 3].
2) Resolver desigualdades utilizando a definição do módulo.
Deixe-me lembrá-lo primeiro definição do módulo.
|a| = uma se uma ≥ 0 e |a| = -a se um< 0.
Por exemplo, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
Exemplo 1.
Resolva a desigualdade 3|x – 1| ≤ x+3.
Solução.
Usando a definição do módulo, obtemos dois sistemas:
(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3
(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.
Resolvendo o primeiro e o segundo sistemas separadamente, obtemos:
(x ≥ 1
(x ≤ 3,
(x< 1
(x ≥ 0.
A solução para a desigualdade original serão todas as soluções do primeiro sistema e todas as soluções do segundo sistema.
Resposta: x€.
3) Resolver desigualdades por quadratura.
Exemplo 1.
Resolva a desigualdade |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.
Solução.
Vamos elevar ao quadrado ambos os lados da desigualdade. Deixe-me observar que só é possível elevar ao quadrado ambos os lados da desigualdade se ambos forem positivos. Neste caso, temos módulos à esquerda e à direita, então podemos fazer isso.
(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .
Agora vamos usar a seguinte propriedade do módulo: (|x|) 2 = x 2 .
(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.
(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,
(x – 2)(2x 2 – x)< 0,
x(x – 2)(2x – 1)< 0.
Resolvemos usando o método de intervalo.
Resposta: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)
4) Resolver desigualdades alterando variáveis.
Exemplo.
Resolva a desigualdade (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Solução.
Observe que (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Então obtemos a desigualdade
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
Vamos fazer a alteração y = |2x + 3|.
Vamos reescrever nossa desigualdade levando em consideração a substituição.
y 2 – y ≤ 30,
y 2 – y – 30 ≤ 0.
Vamos fatorar o trinômio quadrático à esquerda.
y1 = (1 + 11)/2,
y2 = (1 – 11) / 2,
(y – 6)(y + 5) ≤ 0.
Vamos resolver usando o método intervalar e obter:
Voltemos à substituição:
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
Esta dupla desigualdade é equivalente ao sistema de desigualdades:
(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.
Vamos resolver cada uma das desigualdades separadamente.
O primeiro é equivalente ao sistema
(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.
Vamos resolver isso.
(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.
A segunda desigualdade obviamente vale para todo x, uma vez que o módulo é, por definição, um número positivo. Como a solução do sistema é todo x que satisfaz simultaneamente a primeira e a segunda desigualdade do sistema, então a solução do sistema original será a solução para sua primeira desigualdade dupla (afinal, a segunda é verdadeira para todo x) .
Resposta: x € [-4,5; 1.5].
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