Exemplos de sistemas de equações lineares: método de solução. Resolvendo um sistema de equações usando o método de adição

O material deste artigo destina-se a um primeiro contato com sistemas de equações. Aqui apresentaremos a definição de um sistema de equações e suas soluções, e também consideraremos os tipos mais comuns de sistemas de equações. Como de costume, daremos exemplos explicativos.

Navegação na página.

O que é um sistema de equações?

Abordaremos a definição do sistema de equações gradualmente. Em primeiro lugar, digamos apenas que é conveniente fornecê-lo, indicando dois pontos: em primeiro lugar, o tipo de gravação e, em segundo lugar, o significado embutido nesta gravação. Vamos examiná-los separadamente e depois generalizar o raciocínio para a definição de sistemas de equações.

Vamos ter vários deles à nossa frente. Por exemplo, vamos pegar duas equações 2 x+y=−3 e x=5. Vamos escrevê-los um abaixo do outro e combiná-los à esquerda com uma chave:

Registros desse tipo, que são diversas equações dispostas em uma coluna e unidas à esquerda por chaves, são registros de sistemas de equações.

O que essas entradas significam? Eles definem o conjunto de todas essas soluções para as equações do sistema que são uma solução para cada equação.

Não faria mal nenhum descrevê-lo em outras palavras. Digamos que algumas soluções da primeira equação sejam soluções de todas as outras equações do sistema. Portanto, o registro do sistema significa apenas eles.

Agora estamos prontos para aceitar adequadamente a definição de um sistema de equações.

Definição.

Sistemas de equações chamam registros que são equações localizadas uma abaixo da outra, unidas à esquerda por chaves, que denotam o conjunto de todas as soluções para equações que também são soluções para cada equação do sistema.

Uma definição semelhante é dada no livro didático, mas não é dada lá para caso Geral, e para duas equações racionais com duas variáveis.

Tipos principais

É claro que existe um número infinito de equações diferentes. Naturalmente, há também um número infinito de sistemas de equações compilados a partir deles. Portanto, para a comodidade de estudar e trabalhar com sistemas de equações, faz sentido dividi-los em grupos de acordo com características semelhantes e depois passar a considerar sistemas de equações de tipos individuais.

A primeira divisão se sugere pelo número de equações incluídas no sistema. Se houver duas equações, então podemos dizer que temos um sistema de duas equações, se houver três, então um sistema de três equações, etc. É claro que não faz sentido falar em sistema de uma equação, pois neste caso, em essência, estamos lidando com a equação em si, e não com o sistema.

A próxima divisão é baseada no número de variáveis envolvidas na escrita das equações do sistema. Se houver uma variável, então estamos lidando com um sistema de equações com uma variável (também dizem com uma incógnita), se houver duas, então com um sistema de equações com duas variáveis (com duas incógnitas), etc. Por exemplo, é um sistema de equações com duas variáveis x e y.

Isto se refere ao número de todas as diferentes variáveis envolvidas na gravação. Eles não precisam ser incluídos todos no registro de cada equação de uma só vez; sua presença em pelo menos uma equação é suficiente; Por exemplo, é um sistema de equações com três variáveis x, y e z. Na primeira equação, a variável x está presente explicitamente, e y e z estão implícitos (podemos assumir que essas variáveis têm zero), e na segunda equação há x e z, mas a variável y não é apresentada explicitamente. Em outras palavras, a primeira equação pode ser vista como , e o segundo – como x+0·y−3·z=0 .

O terceiro ponto em que os sistemas de equações diferem é o próprio tipo de equações.

Na escola, o estudo dos sistemas de equações começa com sistemas de dois equações lineares com duas variáveis. Ou seja, tais sistemas constituem duas equações lineares. Aqui estão alguns exemplos: E . Eles aprendem o básico para trabalhar com sistemas de equações.

Ao decidir mais tarefas complexas Você também pode encontrar sistemas de três equações lineares com três incógnitas.

Mais adiante, no 9º ano, equações não lineares são adicionadas a sistemas de duas equações com duas variáveis, principalmente equações inteiras de segundo grau, com menos frequência - graus superiores. Esses sistemas são chamados de sistemas de equações não lineares. Se necessário, o número de equações e incógnitas é especificado; Vamos mostrar exemplos de tais sistemas de equações não lineares: E .

E então nos sistemas também existem, por exemplo, . Geralmente são chamados simplesmente de sistemas de equações, sem especificar quais equações. É importante notar aqui que na maioria das vezes eles simplesmente dizem “sistema de equações” sobre um sistema de equações, e esclarecimentos são adicionados apenas se necessário.

No ensino médio, à medida que o material é estudado, métodos irracionais, trigonométricos, logarítmicos e equações exponenciais : , , .

Se olharmos ainda mais para o currículo universitário do primeiro ano, a ênfase principal está no estudo e solução de sistemas de equações algébricas lineares (SLAEs), ou seja, equações em que os lados esquerdos contêm polinômios de primeiro grau, e os lados direitos contêm certos números. Mas lá, ao contrário da escola, já não se tomam duas equações lineares com duas variáveis, mas sim um número arbitrário de equações com um número arbitrário de variáveis, que muitas vezes não coincide com o número de equações.

Qual é a solução de um sistema de equações?

O termo “solução de um sistema de equações” refere-se diretamente a sistemas de equações. Na escola, é dada a definição de resolução de um sistema de equações com duas variáveis :

Definição.

Resolvendo um sistema de equações com duas variáveisé chamado de par de valores dessas variáveis que transforma cada equação do sistema na correta, ou seja, é uma solução para cada equação do sistema.

Por exemplo, um par de valores de variáveis x=5, y=2 (pode ser escrito como (5, 2)) é uma solução para um sistema de equações por definição, uma vez que as equações do sistema, quando x= 5, y=2 são substituídos neles, transformando-se em igualdades numéricas corretas 5+2=7 e 5−2=3 respectivamente. Mas o par de valores x=3, y=0 não é uma solução para este sistema, pois ao substituir esses valores nas equações, o primeiro deles se transformará na igualdade incorreta 3+0=7.

Definições semelhantes podem ser formuladas para sistemas com uma variável, bem como para sistemas com três, quatro, etc. variáveis.

Definição.

Resolvendo um sistema de equações com uma variável haverá um valor da variável que é a raiz de todas as equações do sistema, ou seja, transformando todas as equações em igualdades numéricas corretas.

Vamos dar um exemplo. Considere um sistema de equações com uma variável t da forma . O número −2 é sua solução, pois tanto (−2) 2 =4 quanto 5·(−2+2)=0 são igualdades numéricas verdadeiras. E t=1 não é uma solução para o sistema, pois a substituição deste valor dará duas igualdades incorretas 1 2 =4 e 5·(1+2)=0.

Definição.

Resolvendo um sistema com três, quatro, etc. variáveis chamado três, quatro, etc. valores das variáveis, respectivamente, transformando todas as equações do sistema em verdadeiras igualdades.

Então, por definição, um triplo de valores das variáveis x=1, y=2, z=0 é uma solução para o sistema , já que 2·1=2, 5·2=10 e 1+2+0=3 são verdadeiras igualdades numéricas. E (1, 0, 5) não é uma solução para este sistema, pois ao substituir esses valores das variáveis nas equações do sistema, o segundo deles se transforma na igualdade incorreta 5·0=10, e o terceiro também 1+0+5=3.

Observe que os sistemas de equações podem não ter soluções, podem ter um número finito de soluções, por exemplo, uma, duas, ..., ou podem ter um número infinito de soluções. Você verá isso à medida que se aprofundar no assunto.

Levando em consideração as definições de um sistema de equações e suas soluções, podemos concluir que a solução de um sistema de equações é a intersecção dos conjuntos de soluções de todas as suas equações.

Para concluir, aqui estão algumas definições relacionadas:

Definição.

não articulado, se não tiver soluções, caso contrário o sistema é chamado articulação.

Definição.

O sistema de equações é chamado incerto, se tiver infinitas soluções, e certo, se tiver um número finito de soluções ou não as tiver.

Estes termos são introduzidos, por exemplo, num livro didático, mas são raramente utilizados na escola e são mais frequentemente ouvidos nas instituições de ensino superior.

Bibliografia.

Álgebra: livro didático para a 7ª série Educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 17ª edição. - M.: Educação, 2008. - 240 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Álgebra: 9º ano: educacional. para educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M.: Educação, 2009. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Mordkovich A. G.Álgebra. 7 ª série. Às 14h Parte 1. Livro didático para alunos instituições educacionais/ A. G. Mordkovich. - 17ª ed., add. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: il. ISBN 978-5-346-02432-3.
Mordkovich A. G.Álgebra. 9 º ano. Em 2 partes. Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13ª ed., apagada. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: il. ISBN 978-5-346-01752-3.
Mordkovich A. G.Álgebra e início da análise matemática. Grau 11. Às 14h Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino geral ( nível de perfil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2ª ed., apagada. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: il. ISBN 978-5-346-01027-2.
Álgebra e o início da análise: Proc. para as séries 10-11. Educação geral instituições / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e outros; Ed. A. N. Kolmogorov - 14ª ed. - M.: Educação, 2004. - 384 pp.: il.
AG Kurosh. Curso superior de álgebra.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometria analítica: Livro didático: Para universidades. – 5ª ed. – M.: Ciência. Fizmatlit, 1999. – 224 p. – (Curso de matemática superior e física matemática). – ISBN 5-02-015234 – X (Edição 3)

Mais confiável que o método gráfico discutido no parágrafo anterior.

Método de substituição

Usamos esse método na 7ª série para resolver sistemas de equações lineares. O algoritmo que foi desenvolvido no 7º ano é bastante adequado para resolver sistemas de duas equações quaisquer (não necessariamente lineares) com duas variáveis xey (claro, as variáveis podem ser designadas por outras letras, o que não importa). Na verdade, usamos esse algoritmo no parágrafo anterior, quando o problema de número de dois dígitos levou a modelo matemático, que é um sistema de equações. Resolvemos este sistema de equações acima usando o método de substituição (ver exemplo 1 do § 4).

Um algoritmo para usar o método de substituição ao resolver um sistema de duas equações com duas variáveis x, y.

1. Expresse y em termos de x a partir de uma equação do sistema.
2. Substitua a expressão resultante em vez de y em outra equação do sistema.
3. Resolva a equação resultante para x.
4. Substitua, por sua vez, cada uma das raízes da equação encontrada na terceira etapa, em vez de x, na expressão de y a x obtida na primeira etapa.
5. Escreva a resposta na forma de pares de valores (x; y), que foram encontrados na terceira e quarta etapas, respectivamente.

4) Substitua um por um cada um dos valores encontrados de y na fórmula x = 5 - 3. Se então
5) Pares (2; 1) e soluções para um determinado sistema de equações.

Resposta: (2; 1);

Método de adição algébrica

Este método, assim como o método de substituição, é familiar para você desde o curso de álgebra da 7ª série, onde foi usado para resolver sistemas de equações lineares. Vamos relembrar a essência do método em exemplo a seguir.

Exemplo 2. Resolver sistema de equações

Multiplicamos todos os termos da primeira equação do sistema por 3 e deixamos a segunda equação inalterada:
Subtraia a segunda equação do sistema de sua primeira equação:

Como resultado da adição algébrica de duas equações do sistema original, obteve-se uma equação mais simples que a primeira e a segunda equações do sistema dado. Com esta equação mais simples temos o direito de substituir qualquer equação de um determinado sistema, por exemplo o segundo. Então o sistema de equações dado será substituído por um sistema mais simples:

Este sistema pode ser resolvido usando o método de substituição. A partir da segunda equação encontramos. Substituindo esta expressão em vez de y na primeira equação do sistema, obtemos.

Resta substituir os valores encontrados de x na fórmula

Se x = 2 então

Assim, encontramos duas soluções para o sistema:

Método para introdução de novas variáveis

Você conheceu o método de introdução de uma nova variável ao resolver equações racionais com uma variável no curso de álgebra da 8ª série. A essência deste método de resolução de sistemas de equações é a mesma, mas do ponto de vista técnico existem algumas características que discutiremos nos exemplos a seguir.

Exemplo 3. Resolver sistema de equações

Vamos introduzir uma nova variável. Então a primeira equação do sistema pode ser reescrita de uma forma mais simples: Vamos resolver esta equação em relação à variável t:

Ambos os valores satisfazem a condição e, portanto, são raízes equação racional com variável t. Mas isso significa que ou onde encontramos que x = 2y, ou
Assim, utilizando o método de introdução de uma nova variável, conseguimos “estratificar” a primeira equação do sistema, de aparência bastante complexa, em duas equações mais simples:

x = 2 anos; y - 2x.

Qual é o próximo? E então cada um dos dois recebeu equações simples precisam ser considerados um por um em um sistema com a equação x 2 - y 2 = 3, da qual ainda não nos lembramos. Em outras palavras, o problema se resume a resolver dois sistemas de equações:

Precisamos encontrar soluções para o primeiro sistema, o segundo sistema e incluir todos os pares de valores resultantes na resposta. Vamos resolver o primeiro sistema de equações:

Vamos usar o método de substituição, principalmente porque tudo está pronto aqui: vamos substituir a expressão 2y em vez de x na segunda equação do sistema. Nós temos

Como x = 2y, encontramos, respectivamente, x 1 = 2, x 2 = 2. Assim, obtêm-se duas soluções do sistema dado: (2; 1) e (-2; -1). Vamos resolver o segundo sistema de equações:

Vamos usar o método de substituição novamente: substitua a expressão 2x em vez de y na segunda equação do sistema. Nós temos

Esta equação não tem raízes, o que significa que o sistema de equações não tem soluções. Assim, apenas as soluções do primeiro sistema precisam ser incluídas na resposta.

Resposta: (2; 1); (-2;-1).

O método de introdução de novas variáveis na resolução de sistemas de duas equações com duas variáveis é utilizado em duas versões. Primeira opção: uma nova variável é introduzida e utilizada em apenas uma equação do sistema. Foi exatamente o que aconteceu no exemplo 3. Segunda opção: duas novas variáveis são introduzidas e utilizadas simultaneamente em ambas as equações do sistema. Este será o caso do exemplo 4.

Exemplo 4. Resolver sistema de equações

Vamos introduzir duas novas variáveis:

Vamos levar em conta isso então

Isso permitirá reescrever o sistema fornecido de uma forma muito mais simples, mas com relação às novas variáveis a e b:

Como a = 1, então a partir da equação a + 6 = 2 encontramos: 1 + 6 = 2; 6=1. Assim, em relação às variáveis a e b, obtivemos uma solução:

Voltando às variáveis x e y, obtemos um sistema de equações

Vamos aplicar o método para resolver este sistema adição algébrica:

Desde então, a partir da equação 2x + y = 3 encontramos:
Assim, em relação às variáveis x e y, obtivemos uma solução:

Concluamos este parágrafo com uma conversa teórica breve, mas bastante séria. Você já ganhou alguma experiência na resolução de várias equações: linear, quadrática, racional, irracional. Você sabe que a ideia principal para resolver uma equação é passar gradativamente de uma equação para outra, mais simples, mas equivalente à dada. No parágrafo anterior introduzimos o conceito de equivalência para equações com duas variáveis. Este conceito também é usado para sistemas de equações.

Definição.

Dois sistemas de equações com variáveis xey são chamados equivalentes se tiverem as mesmas soluções ou se ambos os sistemas não tiverem soluções.

Todos os três métodos (substituição, adição algébrica e introdução de novas variáveis) que discutimos nesta seção são absolutamente corretos do ponto de vista da equivalência. Ou seja, utilizando estes métodos, substituímos um sistema de equações por outro, mais simples, mas equivalente ao sistema original.

Método gráfico para resolver sistemas de equações

Já aprendemos como resolver sistemas de equações de maneiras tão comuns e confiáveis como o método de substituição, a adição algébrica e a introdução de novas variáveis. Agora vamos relembrar o método que você já estudou na lição anterior. Ou seja, vamos repetir o que você sabe sobre o método de solução gráfica.

O método de resolução gráfica de sistemas de equações envolve a construção de um gráfico para cada uma das equações específicas que estão incluídas em um determinado sistema e estão localizadas no mesmo plano de coordenadas, bem como onde é necessário encontrar as interseções dos pontos destes. gráficos. Para resolver este sistema de equações estão as coordenadas deste ponto (x; y).

Deve ser lembrado que é típico que um sistema gráfico de equações tenha uma única a decisão certa, um número infinito de soluções ou nenhuma solução.

Agora vamos examinar cada uma dessas soluções com mais detalhes. E assim, um sistema de equações pode ter uma solução única se as retas que são os gráficos das equações do sistema se cruzarem. Se essas linhas forem paralelas, então tal sistema de equações não terá absolutamente nenhuma solução. Se os gráficos diretos das equações do sistema coincidem, então tal sistema permite encontrar muitas soluções.

Bem, agora vamos dar uma olhada no algoritmo para resolver um sistema de duas equações com 2 incógnitas usando um método gráfico:

Primeiramente, primeiro construímos um gráfico da 1ª equação;
O segundo passo será construir um gráfico relacionado à segunda equação;
Terceiro, precisamos encontrar os pontos de intersecção dos gráficos.
E como resultado obtemos as coordenadas de cada ponto de intersecção, que será a solução do sistema de equações.

Vejamos esse método com mais detalhes usando um exemplo. Temos um sistema de equações que precisa ser resolvido:

Resolvendo equações

1. Primeiro, construiremos um gráfico desta equação: x2+y2=9.

Mas deve-se notar que este gráfico das equações será um círculo com centro na origem e seu raio será igual a três.

2. Nosso próximo passo será traçar um gráfico de uma equação como: y = x – 3.

Neste caso, devemos construir uma reta e encontrar os pontos (0;−3) e (3;0).

3. Vamos ver o que temos. Vemos que a reta intercepta o círculo em dois de seus pontos A e B.

Agora estamos procurando as coordenadas desses pontos. Vemos que as coordenadas (3;0) correspondem ao ponto A e as coordenadas (0;−3) correspondem ao ponto B.

E o que obtemos como resultado?

Os números (3;0) e (0;−3) obtidos quando a reta intercepta o círculo são precisamente as soluções para ambas as equações do sistema. E daí segue-se que estes números também são soluções deste sistema de equações.

Ou seja, a resposta para esta solução são os números: (3;0) e (0;−3).

Um sistema de equações lineares com duas incógnitas são duas ou mais equações lineares para as quais é necessário encontrar todas as suas soluções comuns. Consideraremos sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas. Forma geral um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas é apresentado na figura abaixo:

(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Aqui xey são variáveis desconhecidas, a1, a2, b1, b2, c1, c2 são alguns números reais. Uma solução para um sistema de duas equações lineares em duas incógnitas é um par de números (x,y) tal que se substituirmos esses números nas equações do sistema, então cada uma das equações do sistema se transforma em uma verdadeira igualdade. Existem várias maneiras de resolver um sistema de equações lineares. Consideremos uma das maneiras de resolver um sistema de equações lineares, ou seja, o método de adição.

Algoritmo para resolução por método de adição

Um algoritmo para resolver um sistema de equações lineares com duas incógnitas usando o método de adição.

1. Se necessário, por meio de transformações equivalentes, equalize os coeficientes de uma das variáveis desconhecidas em ambas as equações.

2. Ao adicionar ou subtrair as equações resultantes, obtenha uma equação linear com uma incógnita

3. Resolva a equação resultante com uma incógnita e encontre uma das variáveis.

4. Substitua a expressão resultante em qualquer uma das duas equações do sistema e resolva esta equação, obtendo assim a segunda variável.

5. Verifique a solução.

Um exemplo de solução usando o método de adição

Para maior clareza, vamos resolver o seguinte sistema de equações lineares com duas incógnitas usando o método de adição:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Como nenhuma das variáveis possui coeficientes idênticos, equalizamos os coeficientes da variável y. Para fazer isso, multiplique a primeira equação por três e a segunda equação por dois.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Nós temos o seguinte sistema de equações:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Agora subtraímos a primeira da segunda equação. Apresentamos termos semelhantes e resolvemos a equação linear resultante.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Substituímos o valor resultante na primeira equação do nosso sistema original e resolvemos a equação resultante.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

O resultado é um par de números x=6 e y=14. Estamos verificando. Vamos fazer uma substituição.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Como você pode ver, obtivemos duas igualdades corretas, portanto encontramos a solução correta.

Com este vídeo inicio uma série de lições dedicadas a sistemas de equações. Hoje falaremos sobre resolução de sistemas de equações lineares método de adição- este é um dos mais maneiras simples, mas ao mesmo tempo um dos mais eficazes.

O método de adição consiste em três etapas simples:

Observe o sistema e escolha uma variável que tenha coeficientes iguais (ou opostos) em cada equação;
Realizar subtração algébrica (para números opostos - adição) de equações entre si e, em seguida, trazer termos semelhantes;
Resolva a nova equação obtida após a segunda etapa.

Se tudo for feito corretamente, na saída obteremos uma única equação com uma variável- não será difícil resolvê-lo. Então resta apenas substituir a raiz encontrada no sistema original e obter a resposta final.

Porém, na prática nem tudo é tão simples. Há várias razões para isso:

A resolução de equações usando o método de adição implica que todas as linhas devem conter variáveis com coeficientes iguais/opostos. O que fazer se esse requisito não for atendido?
Nem sempre, após somar/subtrair equações da forma indicada, obtemos uma bela construção que pode ser facilmente resolvida. É possível simplificar de alguma forma os cálculos e agilizar os cálculos?

Para obter a resposta a essas perguntas e, ao mesmo tempo, entender algumas sutilezas adicionais nas quais muitos alunos falham, assista à minha vídeo-aula:

Com esta lição iniciamos uma série de palestras dedicadas a sistemas de equações. E começaremos pelos mais simples deles, nomeadamente aqueles que contêm duas equações e duas variáveis. Cada um deles será linear.

Sistemas é material da 7ª série, mas esta lição também será útil para alunos do ensino médio que desejam aprimorar seus conhecimentos sobre o assunto.

Em geral, existem dois métodos para resolver tais sistemas:

Método de adição;
Um método de expressar uma variável em termos de outra.

Hoje trataremos do primeiro método - usaremos o método de subtração e adição. Mas para fazer isso, você precisa entender o seguinte fato: depois de ter duas ou mais equações, você pode pegar duas delas e adicioná-las. Eles são adicionados membro por membro, ou seja, “X” são adicionados a “X” e semelhantes são dados, “Y” com “Y” são semelhantes novamente, e o que está à direita do sinal de igual também é adicionado um ao outro, e semelhantes também são dados lá .

O resultado de tais maquinações será uma nova equação, que, se tiver raízes, certamente estará entre as raízes da equação original. Portanto, nossa tarefa é fazer a subtração ou adição de tal forma que $x$ ou $y$ desapareçam.

Como conseguir isso e qual ferramenta usar para isso - falaremos sobre isso agora.

Resolvendo problemas fáceis usando adição

Assim, aprendemos a usar o método de adição usando o exemplo de duas expressões simples.

Tarefa nº 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Observe que $y$ tem um coeficiente de $-4$ na primeira equação e $+4$ na segunda. Eles são mutuamente opostos, por isso é lógico supor que, se os somarmos, na soma resultante os “jogos” serão mutuamente destruídos. Some e obtenha:

Vamos resolver a construção mais simples:

Ótimo, encontramos o "x". O que devemos fazer com isso agora? Temos o direito de substituí-lo em qualquer uma das equações. Vamos substituir no primeiro:

\[-4y=12\esquerda| :\esquerda(-4 \direita) \direita.\]

Resposta: $\esquerda(2;-3 \direita)$.

Problema nº 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

A situação aqui é completamente semelhante, apenas com “X’s”. Vamos adicioná-los:

Temos a equação linear mais simples, vamos resolvê-la:

Agora vamos encontrar $x$:

Resposta: $\esquerda(-3;3 \direita)$.

Pontos importantes

Assim, acabamos de resolver dois sistemas simples de equações lineares usando o método de adição. Pontos-chave novamente:

Se houver coeficientes opostos para uma das variáveis, é necessário somar todas as variáveis da equação. Neste caso, um deles será destruído.
Substituímos a variável encontrada em qualquer uma das equações do sistema para encontrar a segunda.
O registro da resposta final pode ser apresentado de diferentes maneiras. Por exemplo, assim - $x=...,y=...$, ou na forma de coordenadas de pontos - $\left(...;... \right)$. A segunda opção é preferível. A principal coisa a lembrar é que a primeira coordenada é $x$ e a segunda é $y$.
A regra de escrever a resposta na forma de coordenadas de pontos nem sempre é aplicável. Por exemplo, não pode ser utilizado quando as variáveis não são $x$ e $y$, mas, por exemplo, $a$ e $b$.

Nos problemas seguintes consideraremos a técnica de subtração quando os coeficientes não são opostos.

Resolvendo problemas fáceis usando o método de subtração

Tarefa nº 1

\[\esquerda\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Observe que não há coeficientes opostos aqui, mas existem coeficientes idênticos. Portanto, subtraímos a segunda da primeira equação:

Agora substituímos o valor $x$ em qualquer uma das equações do sistema. Vamos primeiro:

Resposta: $\esquerda(2;5\direita)$.

Problema nº 2

\[\esquerda\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Vemos novamente o mesmo coeficiente de $5$ para $x$ na primeira e na segunda equações. Portanto, é lógico supor que é necessário subtrair a segunda da primeira equação:

Calculamos uma variável. Agora vamos encontrar o segundo, por exemplo, substituindo o valor $y$ na segunda construção:

Resposta: $\esquerda(-3;-2 \direita)$.

Nuances da solução

Então, o que vemos? Essencialmente, o esquema não difere da solução dos sistemas anteriores. A única diferença é que não adicionamos equações, mas as subtraímos. Estamos fazendo subtração algébrica.

Em outras palavras, assim que você vir um sistema que consiste em duas equações em duas incógnitas, a primeira coisa que você precisa observar são os coeficientes. Se forem iguais em qualquer lugar, as equações são subtraídas e, se forem opostas, utiliza-se o método de adição. Isso é feito sempre para que uma delas desapareça, e na equação final, que permanece após a subtração, resta apenas uma variável.

Claro, isso não é tudo. Agora consideraremos sistemas nos quais as equações são geralmente inconsistentes. Aqueles. Não há variáveis neles que sejam iguais ou opostas. Neste caso, para resolver tais sistemas, é utilizada uma técnica adicional, nomeadamente, multiplicar cada uma das equações por um coeficiente especial. Como encontrá-lo e como resolver tais sistemas em geral, falaremos sobre isso agora.

Resolvendo problemas multiplicando por um coeficiente

Exemplo 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vemos que nem para $x$ nem para $y$ os coeficientes não são apenas mutuamente opostos, mas também não estão de forma alguma correlacionados com a outra equação. Esses coeficientes não desaparecerão de forma alguma, mesmo se somarmos ou subtrairmos as equações umas das outras. Portanto, é necessário aplicar a multiplicação. Vamos tentar nos livrar da variável $y$. Para fazer isso, multiplicamos a primeira equação pelo coeficiente de $y$ da segunda equação, e a segunda equação pelo coeficiente de $y$ da primeira equação, sem tocar no sinal. Multiplicamos e obtemos um novo sistema:

\[\esquerda\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Vejamos: em $y$ os coeficientes são opostos. Em tal situação, é necessário utilizar o método de adição. Vamos adicionar:

Agora precisamos encontrar $y$. Para fazer isso, substitua $x$ na primeira expressão:

\[-9y=18\esquerda| :\esquerda(-9 \direita) \direita.\]

Resposta: $\esquerda(4;-2 \direita)$.

Exemplo nº 2

\[\esquerda\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Novamente, os coeficientes para nenhuma das variáveis são consistentes. Vamos multiplicar pelos coeficientes de $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\esquerda\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Nosso novo sistemaé equivalente ao anterior, porém, os coeficientes de $y$ são mutuamente opostos e, portanto, é fácil aplicar o método de adição aqui:

Agora vamos encontrar $y$ substituindo $x$ na primeira equação:

Resposta: $\esquerda(-2;1 \direita)$.

Nuances da solução

A regra principal aqui é a seguinte: sempre multiplicamos apenas por números positivos - isso evitará erros estúpidos e ofensivos associados à mudança de sinais. Em geral, o esquema de solução é bastante simples:

Observamos o sistema e analisamos cada equação.
Se observarmos que nem $y$ nem $x$ os coeficientes são consistentes, ou seja, eles não são iguais nem opostos, então fazemos o seguinte: selecionamos a variável da qual precisamos nos livrar e depois olhamos os coeficientes dessas equações. Se multiplicarmos a primeira equação pelo coeficiente da segunda, e a segunda, correspondentemente, multiplicarmos pelo coeficiente da primeira, então no final obteremos um sistema completamente equivalente ao anterior, e os coeficientes de $ y$ será consistente. Todas as nossas ações ou transformações visam apenas obter uma variável em uma equação.
Encontramos uma variável.
Substituímos a variável encontrada em uma das duas equações do sistema e encontramos a segunda.
Escrevemos a resposta na forma de coordenadas de pontos se tivermos as variáveis $x$ e $y$.

Mas mesmo um algoritmo tão simples tem suas próprias sutilezas, por exemplo, os coeficientes de $x$ ou $y$ podem ser frações e outros números “feios”. Consideraremos agora esses casos separadamente, porque neles você pode agir de maneira um pouco diferente do que de acordo com o algoritmo padrão.

Resolvendo problemas com frações

Exemplo 1

\[\esquerda\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Primeiro, observe que a segunda equação contém frações. Mas observe que você pode dividir $4$ por $0,8$. Receberemos $ 5$. Vamos multiplicar a segunda equação por $5$:

\[\esquerda\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Subtraímos as equações uma da outra:

Encontramos $n$, agora vamos contar $m$:

Resposta: $n=-4;m=5$

Exemplo nº 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ certo.\]

Aqui, como no sistema anterior, existem coeficientes fracionários, mas para nenhuma das variáveis os coeficientes se encaixam um número inteiro de vezes. Portanto, usamos o algoritmo padrão. Livre-se de $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Usamos o método de subtração:

Vamos encontrar $p$ substituindo $k$ na segunda construção:

Resposta: $p=-4;k=-2$.

Nuances da solução

Isso é tudo otimização. Na primeira equação, não multiplicamos por nada, mas multiplicamos a segunda equação por $5$. Como resultado, obtivemos uma equação consistente e até idêntica para a primeira variável. No segundo sistema seguimos um algoritmo padrão.

Mas como você encontra os números pelos quais multiplicar as equações? Afinal, se você multiplicar por números fracionários, obteremos novas frações. Portanto, as frações devem ser multiplicadas por um número que dê um novo inteiro, e em seguida as variáveis devem ser multiplicadas por coeficientes, seguindo o algoritmo padrão.

Concluindo, gostaria de chamar a atenção para o formato de registro da resposta. Como já disse, como aqui não temos $x$ e $y$, mas outros valores, usamos uma notação não padrão da forma:

Resolvendo sistemas complexos de equações

Como nota final para o vídeo tutorial de hoje, vamos dar uma olhada em alguns sistemas complexos. A sua complexidade consistirá no facto de terem variáveis tanto à esquerda como à direita. Portanto, para resolvê-los teremos que aplicar o pré-processamento.

Sistema nº 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Cada equação carrega uma certa complexidade. Portanto, vamos tratar cada expressão como uma construção linear regular.

No total, obtemos o sistema final, que equivale ao original:

\[\esquerda\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Vejamos os coeficientes de $y$: $3$ cabe em $6$ duas vezes, então vamos multiplicar a primeira equação por $2$:

\[\esquerda\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Os coeficientes de $y$ agora são iguais, então subtraímos a segunda da primeira equação: $$

Agora vamos encontrar $y$:

Resposta: $\esquerda(0;-\frac(1)(3) \direita)$

Sistema nº 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\esquerda(a-5 \direita)+b \\\fim(alinhar) \direita.\]

Vamos transformar a primeira expressão:

Vamos lidar com o segundo:

\[-3\esquerda(b-2a \direita)-12=2\esquerda(a-5 \direita)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

No total, nosso sistema inicial terá a seguinte forma:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Olhando para os coeficientes de $a$, vemos que a primeira equação precisa ser multiplicada por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Subtraia a segunda da primeira construção:

Agora vamos encontrar $a$:

Resposta: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Isso é tudo. Espero que este vídeo tutorial ajude você a entender este tópico difícil, ou seja, resolver sistemas de equações lineares simples. Haverá muito mais lições sobre este tópico: veremos mais exemplos complexos, onde haverá mais variáveis, e as próprias equações já serão não lineares. Ver você de novo!

Os sistemas de equações recebidos ampla aplicação no setor econômico com modelagem matemática vários processos. Por exemplo, na resolução de problemas de gestão e planeamento da produção, rotas logísticas (problema de transporte) ou colocação de equipamentos.

Sistemas de equações são usados não apenas em matemática, mas também em física, química e biologia, na resolução de problemas de determinação do tamanho da população.

Um sistema de equações lineares são duas ou mais equações com diversas variáveis para as quais é necessário encontrar uma solução comum. Tal sequência de números para a qual todas as equações se tornam igualdades verdadeiras ou provam que a sequência não existe.

Equação linear

Equações da forma ax+by=c são chamadas lineares. As designações x, y são as incógnitas cujo valor deve ser encontrado, b, a são os coeficientes das variáveis, c é o termo livre da equação.
Resolver uma equação traçando-a parecerá uma linha reta, cujos pontos são soluções do polinômio.

Tipos de sistemas de equações lineares

Os exemplos mais simples são considerados sistemas de equações lineares com duas variáveis X e Y.

F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, onde F1,2 são funções e (x, y) são variáveis de função.

Resolver sistema de equações - isso significa encontrar valores (x, y) nos quais o sistema se transforma em uma verdadeira igualdade ou estabelecer que não existem valores adequados de x e y.

Um par de valores (x, y), escritos como coordenadas de um ponto, é chamado de solução de um sistema de equações lineares.

Se os sistemas têm uma solução comum ou não existe solução, eles são chamados de equivalentes.

Sistemas homogêneos de equações lineares são sistemas parte direita que é igual a zero. Se a parte direita após o sinal de igual tiver um valor ou for expressa por uma função, tal sistema é heterogêneo.

O número de variáveis pode ser muito maior que duas, então devemos falar de um exemplo de sistema de equações lineares com três ou mais variáveis.

Ao se depararem com sistemas, os alunos presumem que o número de equações deve necessariamente coincidir com o número de incógnitas, mas não é o caso. O número de equações no sistema não depende das variáveis, podendo haver tantas quantas forem desejadas.

Métodos simples e complexos para resolver sistemas de equações

Não existe um método analítico geral para resolver tais sistemas; todos os métodos são baseados em soluções numéricas. EM curso escolar A matemática descreve detalhadamente métodos como permutação, adição algébrica, substituição, bem como métodos gráficos e matriciais, solução pelo método gaussiano.

A principal tarefa ao ensinar métodos de solução é ensinar como analisar corretamente o sistema e encontrar o algoritmo de solução ideal para cada exemplo. O principal não é memorizar um sistema de regras e ações para cada método, mas compreender os princípios de utilização de um determinado método.

A resolução de exemplos de sistemas de equações lineares no currículo do ensino geral do 7º ano é bastante simples e explicada detalhadamente. Em qualquer livro didático de matemática, esta seção recebe atenção suficiente. A resolução de exemplos de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss e Cramer é estudada mais detalhadamente nos primeiros anos do ensino superior.

Resolvendo sistemas usando o método de substituição

As ações do método de substituição visam expressar o valor de uma variável em termos da segunda. A expressão é substituída na equação restante e depois reduzida a uma forma com uma variável. A ação é repetida dependendo do número de incógnitas no sistema

Vamos dar uma solução para um exemplo de sistema de equações lineares da classe 7 usando o método de substituição:

Como pode ser visto no exemplo, a variável x foi expressa através de F(X) = 7 + Y. A expressão resultante, substituída na 2ª equação do sistema no lugar de X, ajudou a obter uma variável Y na 2ª equação . Resolver este exemplo é fácil e permite obter o valor Y. Último passo Esta é uma verificação dos valores recebidos.

Nem sempre é possível resolver um exemplo de sistema de equações lineares por substituição. As equações podem ser complexas e expressar a variável em termos da segunda incógnita será muito complicado para cálculos posteriores. Quando existem mais de 3 incógnitas no sistema, a resolução por substituição também é inadequada.

Solução de um exemplo de sistema de equações lineares não homogêneas:

Solução usando adição algébrica

Ao procurar soluções para sistemas usando o método de adição, as equações são adicionadas termo por termo e multiplicadas por vários números. O objetivo final das operações matemáticas é uma equação em uma variável.

Para aplicativos este método prática e observação são necessárias. Resolver um sistema de equações lineares usando o método de adição quando existem 3 ou mais variáveis não é fácil. A adição algébrica é conveniente quando as equações contêm frações e decimais.

Algoritmo de solução:

Multiplique ambos os lados da equação por um determinado número. Como resultado da operação aritmética, um dos coeficientes da variável deve tornar-se igual a 1.
Adicione a expressão resultante termo por termo e encontre uma das incógnitas.
Substitua o valor resultante na 2ª equação do sistema para encontrar a variável restante.

Método de solução introduzindo uma nova variável

Uma nova variável pode ser introduzida se o sistema exigir que se encontre uma solução para não mais do que duas equações; o número de incógnitas também não deve ser superior a duas;

O método é usado para simplificar uma das equações introduzindo uma nova variável. A nova equação é resolvida para a incógnita introduzida e o valor resultante é usado para determinar a variável original.

O exemplo mostra que ao introduzir uma nova variável t, foi possível reduzir a 1ª equação do sistema a um trinômio quadrático padrão. Você pode resolver um polinômio encontrando o discriminante.

É necessário encontrar o valor do discriminante usando a conhecida fórmula: D = b2 - 4*a*c, onde D é o discriminante desejado, b, a, c são os fatores do polinômio. No exemplo dado, a=1, b=16, c=39, portanto D=100. Se o discriminante for maior que zero, então existem duas soluções: t = -b±√D / 2*a, se o discriminante menos que zero, então há apenas uma solução: x= -b / 2*a.

A solução para os sistemas resultantes é encontrada pelo método de adição.

Método visual para resolver sistemas

Adequado para sistemas de 3 equações. O método consiste em construir gráficos de cada equação incluída no sistema no eixo de coordenadas. As coordenadas dos pontos de intersecção das curvas serão a solução geral do sistema.

O método gráfico possui várias nuances. Vejamos vários exemplos de resolução de sistemas de equações lineares de forma visual.

Como pode ser visto no exemplo, para cada linha foram construídos dois pontos, os valores da variável x foram escolhidos arbitrariamente: 0 e 3. Com base nos valores de x, foram encontrados os valores para y: 3 e 0. Os pontos com coordenadas (0, 3) e (3, 0) foram marcados no gráfico e conectados por uma linha.

As etapas devem ser repetidas para a segunda equação. O ponto de intersecção das retas é a solução do sistema.

O exemplo a seguir requer encontrar uma solução gráfica para um sistema de equações lineares: 0,5x-y+2=0 e 0,5x-y-1=0.

Como pode ser visto no exemplo, o sistema não tem solução, pois os gráficos são paralelos e não se cruzam em todo o seu comprimento.

Os sistemas dos exemplos 2 e 3 são semelhantes, mas quando construídos torna-se óbvio que as suas soluções são diferentes. Deve-se lembrar que nem sempre é possível dizer se um sistema tem solução ou não é sempre necessário construir um gráfico.

A matriz e suas variedades

Matrizes são usadas para escrever concisamente um sistema de equações lineares. Uma matriz é um tipo especial de tabela preenchida com números. n*m tem n - linhas en - colunas.

Uma matriz é quadrada quando o número de colunas e linhas é igual. Um vetor-matriz é uma matriz de uma coluna com um número infinitamente possível de linhas. Uma matriz com uns ao longo de uma das diagonais e outros elementos zero é chamada de identidade.

Uma matriz inversa é uma matriz quando multiplicada pela qual a matriz original se transforma em uma matriz unitária; tal matriz existe apenas para a matriz quadrada original;

Regras para converter um sistema de equações em uma matriz

Em relação aos sistemas de equações, os coeficientes e os termos livres das equações são escritos como números de matriz; uma equação é uma linha da matriz;

Uma linha da matriz é considerada diferente de zero se pelo menos um elemento da linha não for zero. Portanto, se em alguma das equações o número de variáveis for diferente, é necessário inserir zero no lugar da incógnita que falta.

As colunas da matriz devem corresponder estritamente às variáveis. Isso significa que os coeficientes da variável x podem ser escritos apenas em uma coluna, por exemplo, a primeira, o coeficiente da incógnita y - apenas na segunda.

Ao multiplicar uma matriz, todos os elementos da matriz são multiplicados sequencialmente por um número.

Opções para encontrar a matriz inversa

A fórmula para encontrar a matriz inversa é bastante simples: K -1 = 1 / |K|, onde K -1 é a matriz inversa, e |K| é o determinante da matriz. |K| não deve ser igual a zero, então o sistema tem solução.

O determinante é facilmente calculado para uma matriz dois por dois, basta multiplicar os elementos diagonais entre si; Para a opção “três por três”, existe uma fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Você pode usar a fórmula ou lembrar que precisa pegar um elemento de cada linha e de cada coluna para que os números de colunas e linhas de elementos não se repitam no trabalho.

Resolvendo exemplos de sistemas de equações lineares usando o método matricial

O método matricial para encontrar uma solução permite reduzir entradas complicadas ao resolver sistemas com um grande número de variáveis e equações.

No exemplo, a nm são os coeficientes das equações, a matriz é um vetor x n são variáveis e b n são termos livres.

Resolvendo sistemas usando o método Gaussiano

Na matemática superior, o método Gaussiano é estudado em conjunto com o método Cramer, e o processo de encontrar soluções para sistemas é chamado de método de solução Gauss-Cramer. Esses métodos são usados para encontrar sistemas variáveis com um grande número de equações lineares.

O método de Gauss é muito semelhante às soluções por substituição e adição algébrica, mas é mais sistemático. No curso escolar, a solução pelo método gaussiano é utilizada para sistemas de 3 e 4 equações. O objetivo do método é reduzir o sistema à forma de um trapézio invertido. Por transformações algébricas e substituições, o valor de uma variável é encontrado em uma das equações do sistema. A segunda equação é uma expressão com 2 incógnitas, enquanto 3 e 4 são, respectivamente, com 3 e 4 variáveis.

Depois de trazer o sistema para a forma descrita, a solução adicional é reduzida à substituição sequencial de variáveis conhecidas nas equações do sistema.

Nos livros escolares da 7ª série, um exemplo de solução pelo método Gauss é descrito a seguir:

Como pode ser visto no exemplo, na etapa (3) foram obtidas duas equações: 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. Resolver qualquer uma das equações permitirá que você descubra uma das variáveis x n.

O Teorema 5, mencionado no texto, afirma que se uma das equações do sistema for substituída por uma equivalente, então o sistema resultante também será equivalente ao original.

O método Gauss é de difícil compreensão para os alunos do ensino secundário, mas é um dos mais maneiras interessantes desenvolver a engenhosidade das crianças matriculadas em programas de estudos avançados nas aulas de matemática e física.

Para facilitar o registro, os cálculos geralmente são feitos da seguinte forma:

Os coeficientes das equações e termos livres são escritos em forma de matriz, onde cada linha da matriz corresponde a uma das equações do sistema. separa lado esquerdo equações da direita. Os algarismos romanos indicam o número de equações no sistema.

Primeiro anote a matriz a ser trabalhada e depois todas as ações realizadas com uma das linhas. A matriz resultante é escrita após o sinal de “seta” e as operações algébricas necessárias são continuadas até que o resultado seja alcançado.

O resultado deve ser uma matriz em que uma das diagonais seja igual a 1 e todos os outros coeficientes sejam iguais a zero, ou seja, a matriz é reduzida a uma forma unitária. Não devemos esquecer de realizar cálculos com números em ambos os lados da equação.

Este método de gravação é menos complicado e permite que você não se distraia listando inúmeras incógnitas.

A utilização gratuita de qualquer método de solução exigirá cuidado e alguma experiência. Nem todos os métodos são de natureza aplicada. Alguns métodos para encontrar soluções são mais preferíveis em uma área específica da atividade humana, enquanto outros existem para fins educacionais.