Exemplos de soluções de desigualdades quadráticas logarítmicas. Resolvendo desigualdades logarítmicas simples
Desigualdades logarítmicas
Nas lições anteriores conhecemos as equações logarítmicas e agora sabemos o que são e como resolvê-las. E a lição de hoje será dedicada ao estudo desigualdades logarítmicas. Quais são essas desigualdades e qual é a diferença entre resolver uma equação logarítmica e uma desigualdade?
Desigualdades logarítmicas são desigualdades que possuem uma variável aparecendo sob o sinal do logaritmo ou em sua base.
Ou também podemos dizer que uma desigualdade logarítmica é uma desigualdade em que o seu valor desconhecido, como numa equação logarítmica, aparecerá sob o sinal do logaritmo.
As desigualdades logarítmicas mais simples têm a seguinte forma:
onde f(x) e g(x) são algumas expressões que dependem de x.
Vejamos isso usando este exemplo: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Resolvendo desigualdades logarítmicas
Antes de resolver desigualdades logarítmicas, é importante notar que quando resolvidas elas são semelhantes a desigualdades exponenciais, a saber:
Primeiro, ao passar de logaritmos para expressões sob o sinal de logaritmo, também precisamos comparar a base do logaritmo com um;
Em segundo lugar, ao resolver uma desigualdade logarítmica utilizando uma mudança de variáveis, precisamos resolver as desigualdades em relação à mudança até obtermos a desigualdade mais simples.
Mas você e eu consideramos aspectos semelhantes da resolução de desigualdades logarítmicas. Agora vamos prestar atenção a uma diferença bastante significativa. Você e eu sabemos que a função logarítmica tem um domínio de definição limitado, portanto, ao passar de logaritmos para expressões sob o sinal de logaritmo, precisamos levar em consideração a faixa de valores permitidos (ADV).
Ou seja, deve-se levar em consideração que ao resolver uma equação logarítmica, podemos primeiro encontrar as raízes da equação e depois verificar esta solução. Mas resolver uma desigualdade logarítmica não funcionará desta forma, pois passando dos logaritmos para expressões sob o sinal do logaritmo, será necessário anotar o ODZ da desigualdade.
Além disso, vale lembrar que a teoria das desigualdades consiste em números reais, que são positivos e números negativos, bem como o número 0.
Por exemplo, quando o número “a” é positivo, então você precisa usar a seguinte notação: a >0. Nesse caso, tanto a soma quanto o produto desses números também serão positivos.
O princípio básico para resolver uma desigualdade é substituí-la por uma desigualdade mais simples, mas o principal é que seja equivalente à dada. Além disso, também obtivemos uma desigualdade e a substituímos novamente por uma de forma mais simples, etc.
Ao resolver desigualdades com uma variável, você precisa encontrar todas as suas soluções. Se duas desigualdades têm a mesma variável x, então tais desigualdades são equivalentes, desde que suas soluções coincidam.
Ao realizar tarefas de resolução de desigualdades logarítmicas, deve-se lembrar que quando a > 1, então a função logarítmica aumenta, e quando 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Métodos para resolver desigualdades logarítmicas
Agora vamos dar uma olhada em alguns dos métodos que ocorrem na resolução de desigualdades logarítmicas. Para melhor compreensão e assimilação, tentaremos compreendê-los através de exemplos específicos.
Todos sabemos que a desigualdade logarítmica mais simples tem a seguinte forma:
Nesta desigualdade, V – é um dos seguintes sinais de desigualdade:<,>, ≤ ou ≥.
Quando a base de um determinado logaritmo mais de um(a>1), fazendo a transição dos logaritmos para expressões sob o sinal de logaritmo, então nesta versão o sinal de desigualdade é preservado, e a desigualdade terá a seguinte forma:
que é equivalente a este sistema:
No caso em que a base do logaritmo é maior que zero e menor que um (0 Isso é equivalente a este sistema: Vejamos mais exemplos de resolução das desigualdades logarítmicas mais simples mostradas na imagem abaixo: Exercício. Vamos tentar resolver esta desigualdade: Resolvendo a faixa de valores aceitáveis. Agora vamos tentar multiplicar seu lado direito por: Vamos ver o que podemos descobrir: Agora, vamos prosseguir para a conversão de expressões sublogarítmicas. Devido ao fato de a base do logaritmo ser 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; E daí segue-se que o intervalo que obtivemos pertence inteiramente à ODZ e é uma solução para tal desigualdade. Aqui está a resposta que obtivemos: Agora vamos tentar analisar o que precisamos para resolver com sucesso as desigualdades logarítmicas. Primeiramente, concentre toda a sua atenção e procure não cometer erros ao realizar as transformações que se dão nesta desigualdade. Além disso, deve-se lembrar que, ao resolver tais desigualdades, é necessário evitar expansões e contrações das desigualdades, o que pode levar à perda ou aquisição de soluções estranhas. Em segundo lugar, ao resolver desigualdades logarítmicas, você precisa aprender a pensar logicamente e compreender a diferença entre conceitos como um sistema de desigualdades e um conjunto de desigualdades, para que possa selecionar facilmente soluções para a desigualdade, enquanto é guiado por sua DL. Em terceiro lugar, para resolver com sucesso tais desigualdades, cada um de vocês deve conhecer perfeitamente todas as propriedades das funções elementares e compreender claramente o seu significado. Tais funções incluem não apenas logarítmicas, mas também racionais, de potência, trigonométricas, etc., em uma palavra, todas aquelas que você estudou ao longo escolaridadeálgebra. Como você pode ver, tendo estudado o tema das desigualdades logarítmicas, não há nada difícil em resolver essas desigualdades, desde que você seja cuidadoso e persistente no alcance de seus objetivos. Para evitar problemas na resolução de desigualdades, é necessário praticar o máximo possível, resolvendo vários problemas e ao mesmo tempo lembrar os métodos básicos de resolução de tais desigualdades e seus sistemas. Se você não conseguir resolver as desigualdades logarítmicas, deverá analisar cuidadosamente seus erros para não voltar a eles no futuro. Para melhor absorção tópicos e consolidação do material abordado, resolvem as seguintes desigualdades: Lições objetivas: Didático: Educacional: desenvolver memória, atenção, pensamento lógico, habilidades de comparação, capacidade de generalizar e tirar conclusões Educacional: cultivar a precisão, a responsabilidade pela tarefa executada e a assistência mútua. Métodos de ensino:
verbal ,
visual ,
prático ,
pesquisa parcial ,
autogoverno ,
ao controle. Formas de organização da atividade cognitiva dos alunos:
frontal ,
Individual ,
Trabalho em dupla. Equipamento:
um conjunto de tarefas de teste, notas de referência, folhas em branco para soluções. Tipo de aula: aprendendo novo material. Durante as aulas 1. Momento organizacional. São divulgados o tema e os objetivos da aula, o plano de aula: cada aluno recebe uma ficha de avaliação, que o aluno preenche durante a aula; para cada dupla de alunos - materiais impressos com tarefas devem ser realizados em duplas; folhas de solução em branco; fichas de apoio: definição de logaritmo; agendar função logarítmica, suas propriedades; propriedades dos logaritmos; algoritmo para resolver desigualdades logarítmicas. Todas as decisões após a autoavaliação são submetidas ao professor. Folha de pontuação do aluno 2. Atualização de conhecimento. Instruções do professor. Lembre-se da definição de logaritmo, do gráfico da função logarítmica e de suas propriedades. Para fazer isso, leia o texto nas páginas 88–90, 98–101 do livro “Álgebra e os primórdios da análise 10–11” editado por Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin e outros. Os alunos recebem folhas nas quais estão escritos: a definição de um logaritmo; mostra um gráfico de uma função logarítmica e suas propriedades; propriedades dos logaritmos; algoritmo para resolver desigualdades logarítmicas, um exemplo de resolução de uma desigualdade logarítmica que se reduz a quadrática. 3. Estudando novos materiais. A resolução de desigualdades logarítmicas baseia-se na monotonicidade da função logarítmica. Algoritmo para resolver desigualdades logarítmicas: A) Encontre o domínio de definição da desigualdade (a expressão sublogarítmica é maior que zero). Elemento de aprendizagem nº 1. Objetivo: consolidar a solução para as desigualdades logarítmicas mais simples Forma de organização da atividade cognitiva dos alunos: trabalho individual. Tarefas para trabalho independente por 10 minutos. Para cada desigualdade existem várias respostas possíveis, você precisa escolher a correta e verificá-la usando a chave; Elemento de aprendizagem nº 2. Alvo: consolidar a solução das desigualdades logarítmicas utilizando as propriedades dos logaritmos. Instruções do professor. Lembre-se das propriedades básicas dos logaritmos. Para fazer isso, leia o texto do livro nas páginas 92, 103–104. Tarefas para trabalho independente por 10 minutos. CHAVE: 2113, número máximo de pontos – 8 pontos. Elemento de aprendizagem nº 3. Objetivo: estudar a solução de desigualdades logarítmicas pelo método de redução ao quadrático. Instruções do professor: o método de reduzir uma desigualdade a quadrática é transformar a desigualdade de tal forma que uma determinada função logarítmica seja denotada por uma nova variável, obtendo assim uma desigualdade quadrática em relação a esta variável. Aplicável método de intervalo. Você passou no primeiro nível de domínio do material. Agora você tem que escolher seu próprio método de solução equações logarítmicas usando todo o seu conhecimento e capacidades. Elemento de aprendizagem nº 4. Alvo: consolidar a solução das desigualdades logarítmicas escolhendo independentemente um método de solução racional. Tarefas para trabalho independente por 10 minutos Elemento de aprendizagem nº 5. Instruções do professor. Bom trabalho! Você dominou a resolução de equações de segundo nível de complexidade. O objetivo do seu trabalho futuro é aplicar seus conhecimentos e habilidades em situações mais complexas e fora do padrão. Tarefas para solução independente: Instruções do professor. É ótimo se você completou toda a tarefa. Bom trabalho! A nota de toda a aula depende do número de pontos obtidos para todos os elementos educacionais: Envie os trabalhos de avaliação ao professor. 5. Lição de casa: se você não marcou mais de 15 pontos, corrija seus erros (as soluções podem ser obtidas com o professor), se você marcou mais de 15 pontos, complete uma tarefa criativa sobre o tema “Desigualdades logarítmicas”. Desigualdades logarítmicas no uso
Sechin Mikhail Alexandrovich Pequena Academia de Ciências para Estudantes da República do Cazaquistão “Iskatel” MBOU "Escola Secundária Soviética No. 1", 11º ano, cidade. Distrito Soviético Soviético Gunko Lyudmila Dmitrievna, professora da Instituição Educacional Orçamentária Municipal “Escola Secundária Soviética No. Distrito soviético Objetivo do trabalho: estudo do mecanismo de resolução de desigualdades logarítmicas C3 utilizando métodos não padronizados, identificando fatos interessantes logaritmo Assunto de estudo:
3) Aprenda a resolver desigualdades logarítmicas específicas C3 usando métodos não padronizados. Resultados:
Contente
Introdução………………………………………………………………………….4
Capítulo 1. História do problema…………………………………………………...5
Capítulo 2. Coleção de desigualdades logarítmicas ………………………… 7
2.1. Transições equivalentes e o método generalizado de intervalos…………… 7 2.2. Método de racionalização …………………………………………………………… 15 2.3. Substituição não padronizada ........................................................ ............ ..... 22 2.4. Tarefas com armadilhas……………………………………………………27 Conclusão …………………………………………………………………………… 30
Literatura……………………………………………………………………. 31
Introdução
Estou no 11º ano e pretendo entrar em uma universidade onde a disciplina principal seja matemática. É por isso que trabalho muito com os problemas da parte C. Na tarefa C3, preciso resolver uma desigualdade ou sistema de desigualdades não padrão, geralmente relacionado a logaritmos. Ao me preparar para o exame, me deparei com o problema da escassez de métodos e técnicas para resolver as desigualdades logarítmicas do exame oferecidas em C3. Métodos que são estudados em currículo escolar neste tópico, não fornecem uma base para resolver tarefas C3. A professora de matemática sugeriu que eu trabalhasse nas tarefas C3 de forma independente, sob a orientação dela. Além disso, estava interessado na questão: encontramos logaritmos em nossas vidas? Pensando nisso, o tema foi escolhido: “Desigualdades logarítmicas no Exame Estadual Unificado”
Objetivo do trabalho: estudo do mecanismo de resolução de problemas C3 utilizando métodos não padronizados, identificando fatos interessantes sobre o logaritmo. Assunto de estudo:
1) Encontre as informações necessárias sobre métodos não padronizados para resolver desigualdades logarítmicas. 2) Encontre Informações adicionais sobre logaritmos. 3) Aprenda a resolver problemas específicos do C3 usando métodos não padronizados. Resultados:
O significado prático reside na expansão do aparato para resolução de problemas C3. Este material pode ser utilizado em algumas aulas, em clubes e em aulas eletivas de matemática. O produto do projeto será a coleção “Desigualdades logarítmicas C3 com soluções”. Capítulo 1. Antecedentes
Ao longo do século XVI, o número de cálculos aproximados aumentou rapidamente, principalmente na astronomia. Melhorar os instrumentos, estudar os movimentos planetários e outros trabalhos exigia cálculos colossais, às vezes plurianuais. A astronomia estava ameaçada perigo real afogar-se em cálculos não realizados. Surgiram dificuldades noutras áreas, por exemplo, no negócio dos seguros, foram necessárias tabelas de juros compostos para Significados diferentes por cento. A principal dificuldade era multiplicação, divisão números de vários dígitos, especialmente quantidades trigonométricas. A descoberta dos logaritmos baseou-se nas propriedades das progressões que eram bem conhecidas no final do século XVI. Sobre a conexão entre os termos da progressão geométrica q, q2, q3, ... e progressão aritmética seus indicadores são 1, 2, 3,... Arquimedes falou em seu “Salmite”. Outro pré-requisito foi a extensão do conceito de grau para expoentes negativos e fracionários. Muitos autores têm apontado que multiplicação, divisão, exponenciação e extração de raízes em progressão geométrica correspondem na aritmética - na mesma ordem - adição, subtração, multiplicação e divisão. Aqui estava a ideia do logaritmo como expoente. Na história do desenvolvimento da doutrina dos logaritmos, várias etapas passaram. Estágio 1
Os logaritmos foram inventados o mais tardar em 1594 de forma independente pelo Barão Escocês Napier (1550-1617) e dez anos depois pelo mecânico suíço Bürgi (1552-1632). Ambos queriam oferecer um novo meio conveniente cálculos aritméticos, embora tenham abordado esta tarefa de forma diferente. Napier expressou cinematicamente a função logarítmica e assim entrou em um novo campo da teoria das funções. Bürgi permaneceu considerando progressões discretas. Porém, a definição do logaritmo para ambos não é semelhante à moderna. O termo "logaritmo" (logaritmo) pertence a Napier. Surgiu de uma combinação de palavras gregas: logos - “relação” e ariqmo - “número”, que significava “número de relações”. Inicialmente, Napier usou um termo diferente: numeri artificiales - “números artificiais”, em oposição a numeri naturalts - “números naturais”. Em 1615, numa conversa com Henry Briggs (1561-1631), professor de matemática no Gresh College em Londres, Napier sugeriu tomar zero como o logaritmo de um, e 100 como o logaritmo de dez, ou, o que equivale ao mesmo coisa, apenas 1. Foi assim que os logaritmos decimais e as primeiras tabelas logarítmicas foram impressas. Mais tarde, as tabelas de Briggs foram complementadas pelo livreiro holandês e entusiasta da matemática Adrian Flaccus (1600-1667). Napier e Briggs, embora tenham chegado aos logaritmos antes de todos os outros, publicaram suas tabelas mais tarde que os outros - em 1620. Os sinais log e Log foram introduzidos em 1624 por I. Kepler. O termo “logaritmo natural” foi introduzido por Mengoli em 1659 e seguido por N. Mercator em 1668, e o professor londrino John Speidel publicou tabelas de logaritmos naturais de números de 1 a 1000 sob o nome de “Novos Logaritmos”. As primeiras tabelas logarítmicas foram publicadas em russo em 1703. Mas em todas as tabelas logarítmicas houve erros de cálculo. As primeiras tabelas livres de erros foram publicadas em 1857 em Berlim, processadas pelo matemático alemão K. Bremiker (1804-1877). Estágio 2
O desenvolvimento adicional da teoria dos logaritmos está associado a mais uso muito difundido geometria analítica e cálculo infinitesimal. Naquela época, a conexão entre a quadratura de uma hipérbole equilátera e Logaritmo natural. A teoria dos logaritmos deste período está associada aos nomes de vários matemáticos. O matemático, astrônomo e engenheiro alemão Nikolaus Mercator em um ensaio "Logarithmotechnics" (1668) fornece uma série que dá a expansão de ln(x+1) em potências de x: Esta expressão corresponde exatamente à sua linha de pensamento, embora, é claro, ele não tenha usado os sinais d, ..., mas sim um simbolismo mais complicado. Com a descoberta das séries logarítmicas, a técnica de cálculo dos logaritmos mudou: eles passaram a ser determinados por meio de séries infinitas. Em suas palestras "Matemática Elementar com Ponto mais alto visão", lida em 1907-1908, F. Klein propôs usar a fórmula como ponto de partida para a construção da teoria dos logaritmos. Etapa 3
Definição de uma função logarítmica como uma função inversa exponencial, logaritmo como expoente esta base
não foi formulado imediatamente. Ensaio de Leonhard Euler (1707-1783) "Uma Introdução à Análise de Infinitesimais" (1748) serviu para aprofundar desenvolvimento da teoria das funções logarítmicas. Por isso, 134 anos se passaram desde que os logaritmos foram introduzidos pela primeira vez (contando a partir de 1614), antes dos matemáticos chegarem à definição o conceito de logaritmo, que hoje é a base do curso escolar. Capítulo 2. Coleção de desigualdades logarítmicas
2.1. Transições equivalentes e método generalizado dos intervalos. Transições equivalentes
Método de intervalo generalizado
Este método mais universal ao resolver desigualdades de quase qualquer tipo. O diagrama da solução é assim: 1. Traga a desigualdade para uma forma onde a função do lado esquerdo seja 2. Encontre o domínio da função 3. Encontre os zeros da função 4. Desenhe o domínio de definição e os zeros da função na reta numérica. 5. Determine os sinais da função 6. Selecione os intervalos onde a função assume os valores necessários e anote a resposta. Exemplo 1.
Solução:
Vamos aplicar o método de intervalo onde Para estes valores, todas as expressões sob os sinais logarítmicos são positivas. Responder:
Exemplo 2.
Solução:
1º
caminho
.
ADL é determinada pela desigualdade x> 3. Tomando logaritmos para tal x na base 10, obtemos A última desigualdade poderia ser resolvida aplicando regras de expansão, ou seja, comparando os fatores a zero. Porém, neste caso é fácil determinar os intervalos de sinal constante da função portanto, o método do intervalo pode ser aplicado. Função f(x) = 2x(x- 3,5)lgǀ x- 3ǀ é contínuo em x> 3 e desaparece em pontos x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Assim, determinamos os intervalos de sinal constante da função f(x):
Responder: 2º método
.
Vamos aplicar diretamente as ideias do método intervalar à desigualdade original. Para fazer isso, lembre-se que as expressões a b- a c e ( a - 1)(b- 1) tem um sinal. Então a nossa desigualdade em x> 3 é equivalente à desigualdade ou A última desigualdade é resolvida usando o método do intervalo Responder: Exemplo 3.
Solução:
Vamos aplicar o método de intervalo Responder: Exemplo 4.
Solução:
Desde 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 para todos reais x, Que Para resolver a segunda desigualdade usamos o método do intervalo Na primeira desigualdade fazemos a substituição então chegamos à desigualdade 2y 2 - sim - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те sim, que satisfazem a desigualdade -0,5< sim < 1.
De onde, desde obtemos a desigualdade que é realizado quando x, para o qual 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Agora, levando em consideração a solução da segunda desigualdade do sistema, finalmente obtemos Responder:
Exemplo 5.
Solução:
A desigualdade equivale a um conjunto de sistemas ou Vamos usar o método de intervalo ou Responder:
Exemplo 6.
Solução:
Desigualdade é igual a sistema Deixar Então sim > 0,
e a primeira desigualdade sistema assume a forma ou, desdobrando trinômio quadrático fatorado, Aplicando o método do intervalo à última desigualdade, vemos que suas soluções satisfazem a condição sim> 0 será tudo sim > 4.
Assim, a desigualdade original é equivalente ao sistema: Então, as soluções para a desigualdade são todas 2.2. Método de racionalização. Método anterior a racionalização da desigualdade não foi resolvida, não se sabia. Este é o "novo moderno" método eficaz soluções para desigualdades exponenciais e logarítmicas" (citação do livro de S.I. Kolesnikova) "Mesa Mágica"
Em outras fontes
Se a >1 e b >1, então registre a b >0 e (a -1)(b -1)>0; Se a >1 e 0 se 0<a<1 и b
>1, então registre a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
se 0<a<1 и 00 e (a -1)(b -1)>0. O raciocínio realizado é simples, mas simplifica significativamente a solução das desigualdades logarítmicas. Exemplo 4.
registro x (x 2 -3)<0
Solução:
Exemplo 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Solução: Exemplo 6.
Para resolver esta desigualdade, em vez do denominador, escrevemos (x-1-1)(x-1), e em vez do numerador, escrevemos o produto (x-1)(x-3-9 + x). Exemplo 7.
Exemplo 8.
2.3. Substituição fora do padrão. Exemplo 1.
Exemplo 2.
Exemplo 3.
Exemplo 4.
Exemplo 5.
Exemplo 6.
Exemplo 7.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Vamos fazer a substituição y=3 x -1; então essa desigualdade assumirá a forma Registro 4 registro 0,25 Porque registro 0,25 Vamos fazer a substituição t =log 4 y e obter a desigualdade t 2 -2t +≥0, cuja solução são os intervalos - Assim, para encontrar os valores de y temos um conjunto de duas desigualdades simples Portanto, a desigualdade original é equivalente ao conjunto de duas desigualdades exponenciais, A solução para a primeira desigualdade deste conjunto é o intervalo 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Exemplo 8.
Solução:
Desigualdade é igual a sistema A solução para a segunda desigualdade que define a ODZ será o conjunto daqueles x,
para qual x > 0.
Para resolver a primeira desigualdade fazemos a substituição Então obtemos a desigualdade ou O conjunto de soluções para a última desigualdade é encontrado pelo método intervalos: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, Nós temos ou Muitos desses x, que satisfazem a última desigualdade pertence à ODZ ( x> 0), portanto, é uma solução para o sistema, e daí a desigualdade original. Responder: 2.4. Tarefas com armadilhas. Exemplo 1.
Solução. O ODZ da desigualdade é todo x satisfazendo a condição 0 Exemplo 2.
log 2 (2 x +1-x 2)>log 2 (2 x-1 +1-x)+1. Conclusão
Não foi fácil encontrar métodos específicos para resolver problemas C3 a partir de uma grande variedade de fontes educacionais diferentes. No decorrer do trabalho realizado, pude estudar métodos não padronizados para resolver desigualdades logarítmicas complexas. São eles: transições equivalentes e o método generalizado de intervalos, o método de racionalização ,
substituição não padrão ,
tarefas com armadilhas em ODZ. Esses métodos não estão incluídos no currículo escolar. Utilizando diferentes métodos, resolvi 27 desigualdades propostas no Exame de Estado Unificado na parte C, nomeadamente C3. Essas desigualdades com soluções por métodos formaram a base da coleção “C3 Desigualdades Logarítmicas com Soluções”, que se tornou um produto de projeto da minha atividade. A hipótese que coloquei no início do projeto foi confirmada: os problemas C3 podem ser efetivamente resolvidos se você conhecer esses métodos. Além disso, descobri fatos interessantes sobre logaritmos. Foi interessante para mim fazer isso. Os produtos do meu projeto serão úteis para alunos e professores. Conclusões:
Assim, o objetivo do projeto foi alcançado e o problema foi resolvido. E recebi a mais completa e variada experiência de atividades de projeto em todas as etapas do trabalho. Enquanto trabalhava no projeto, meu principal impacto no desenvolvimento foi na competência mental, atividades relacionadas a operações mentais lógicas, desenvolvimento de competência criativa, iniciativa pessoal, responsabilidade, perseverança e atividade. Uma garantia de sucesso na criação de um projeto de pesquisa para Ganhei: experiência escolar significativa, capacidade de obter informações de diversas fontes, verificar sua confiabilidade e classificá-las por importância. Além do conhecimento direto da disciplina de matemática, ampliei minhas habilidades práticas na área de informática, adquiri novos conhecimentos e experiência na área de psicologia, estabeleci contatos com colegas e aprendi a cooperar com adultos. Durante as atividades do projeto, foram desenvolvidas competências educacionais gerais organizacionais, intelectuais e comunicativas. Literatura
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistemas de desigualdades com uma variável (tarefas padrão C3). 2. Malkova A. G. Preparação para o Exame Estadual Unificado de Matemática. 3. Samarova S. S. Resolvendo desigualdades logarítmicas. 4. Matemática. Coleção de trabalhos de treinamento editados por A.L. Semenov e I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p.-
Você acha que ainda dá tempo antes do Exame Estadual Unificado e você terá tempo para se preparar? Talvez seja assim. Mas, em qualquer caso, quanto mais cedo o aluno começar a se preparar, mais sucesso ele terá nos exames. Hoje decidimos dedicar um artigo às desigualdades logarítmicas. Esta é uma das tarefas, o que significa uma oportunidade de obter crédito extra. Você já sabe o que é um logaritmo? Nós realmente esperamos que sim. Mas mesmo que você não tenha uma resposta para essa pergunta, não há problema. Entender o que é um logaritmo é muito simples. Por que 4? Você precisa elevar o número 3 a esta potência para obter 81. Depois de entender o princípio, você pode prosseguir para cálculos mais complexos. Você passou por desigualdades há alguns anos. E desde então você os encontrou constantemente na matemática. Se você tiver problemas para resolver desigualdades, consulte a seção apropriada. A desigualdade logarítmica mais simples. As desigualdades logarítmicas mais simples não se limitam a este exemplo, existem mais três, apenas com sinais diferentes; Por que isso é necessário? Para entender melhor como resolver desigualdades com logaritmos. Agora vamos dar um exemplo mais aplicável, ainda bastante simples. Deixaremos as desigualdades logarítmicas complexas para mais tarde. Como resolver isso? Tudo começa com ODZ. Vale a pena saber mais sobre isso se você quiser resolver qualquer desigualdade sempre com facilidade. A abreviatura significa a faixa de valores aceitáveis. Essa formulação costuma surgir nas tarefas do Exame de Estado Unificado. ODZ será útil para você não apenas no caso de desigualdades logarítmicas. Veja novamente o exemplo acima. Consideraremos o ODZ com base nele, para que você entenda o princípio, e resolver desigualdades logarítmicas não levante dúvidas. Da definição de logaritmo segue-se que 2x+4 deve ser maior que zero. No nosso caso, isso significa o seguinte. Este número, por definição, deve ser positivo. Resolva a desigualdade apresentada acima. Isso pode até ser feito oralmente; aqui fica claro que X não pode ser menor que 2. A solução para a desigualdade será a definição da faixa de valores aceitáveis. Descartamos os próprios logaritmos de ambos os lados da desigualdade. O que isso nos deixa? Desigualdade simples. Não é difícil de resolver. X deve ser maior que -0,5. Agora combinamos os dois valores obtidos em um sistema. Por isso, Esta será a faixa de valores aceitáveis para a desigualdade logarítmica em consideração. Por que precisamos de ODZ? Esta é uma oportunidade para eliminar respostas incorretas e impossíveis. Se a resposta não estiver dentro da faixa de valores aceitáveis, então a resposta simplesmente não faz sentido. Vale a pena lembrar por muito tempo, pois no Exame Estadual Unificado muitas vezes há necessidade de busca por ODZ, e isso não se aplica apenas a desigualdades logarítmicas. A solução consiste em várias etapas. Primeiro, você precisa encontrar o intervalo de valores aceitáveis. Haverá dois valores na ODZ, discutimos isso acima. Em seguida, você precisa resolver a própria desigualdade. Os métodos de solução são os seguintes: Dependendo da situação, vale a pena usar um dos métodos acima. Vamos diretamente para a solução. Vamos revelar o método mais popular, adequado para resolver tarefas do Exame Estadual Unificado em quase todos os casos. A seguir veremos o método de decomposição. Pode ajudar se você se deparar com uma desigualdade particularmente complicada. Então, um algoritmo para resolver a desigualdade logarítmica. Exemplos de soluções : Não é à toa que pegamos exatamente essa desigualdade! Preste atenção na base. Lembre-se: se for maior que um, o sinal permanece o mesmo ao encontrar a faixa de valores aceitáveis; caso contrário, você precisará alterar o sinal de desigualdade. Como resultado, obtemos a desigualdade: Agora reduzimos o lado esquerdo à forma da equação igual a zero. Em vez do sinal “menor que” colocamos “igual” e resolvemos a equação. Assim, encontraremos o ODZ. Esperamos que você não tenha problemas para resolver uma equação tão simples. As respostas são -4 e -2. Isso não é tudo. Você precisa exibir esses pontos no gráfico, colocando “+” e “-”. O que precisa ser feito para isso? Substitua os números dos intervalos na expressão. Onde os valores são positivos, colocamos “+” ali. Responder: x não pode ser maior que -4 e menor que -2. Encontramos o intervalo de valores aceitáveis apenas para o lado esquerdo; agora precisamos encontrar o intervalo de valores aceitáveis para o lado direito; Isso é muito mais fácil. Resposta: -2. Cruzamos ambas as áreas resultantes. E só agora começamos a abordar a própria desigualdade. Vamos simplificar ao máximo para facilitar a solução. Novamente usamos o método de intervalo na solução. Vamos pular os cálculos; tudo já está claro no exemplo anterior. Responder. Mas este método é adequado se a desigualdade logarítmica tiver as mesmas bases. A resolução de equações logarítmicas e desigualdades com bases diferentes requer uma redução inicial à mesma base. Em seguida, use o método descrito acima. Mas há um caso mais complicado. Consideremos um dos tipos mais complexos de desigualdades logarítmicas. Como resolver desigualdades com tais características? Sim, e essas pessoas podem ser encontradas no Exame de Estado Unificado. Resolver as desigualdades da seguinte forma também terá um efeito benéfico no seu processo educacional. Vejamos a questão em detalhes. Vamos descartar a teoria e ir direto para a prática. Para resolver desigualdades logarítmicas, basta ler o exemplo uma vez. Para resolver uma desigualdade logarítmica da forma apresentada, é necessário reduzir o lado direito a um logaritmo de mesma base. O princípio se assemelha a transições equivalentes. Como resultado, a desigualdade ficará assim. Na verdade, resta apenas criar um sistema de desigualdades sem logaritmos. Usando o método de racionalização, passamos para um sistema equivalente de desigualdades. Você entenderá a regra em si quando substituir os valores apropriados e acompanhar suas alterações. O sistema terá as seguintes desigualdades. Ao usar o método de racionalização ao resolver desigualdades, é preciso lembrar o seguinte: um deve ser subtraído da base, x, por definição do logaritmo, é subtraído de ambos os lados da desigualdade (direita da esquerda), duas expressões são multiplicadas e definido sob o sinal original em relação a zero. A solução posterior é realizada pelo método intervalar, tudo é simples aqui. É importante que você entenda as diferenças nos métodos de solução, então tudo começará a funcionar facilmente. Existem muitas nuances nas desigualdades logarítmicas. Os mais simples deles são bastante fáceis de resolver. Como você pode resolver cada um deles sem problemas? Você já recebeu todas as respostas neste artigo. Agora você tem uma longa prática pela frente. Pratique constantemente a resolução de uma variedade de problemas no exame e você poderá obter a pontuação mais alta. Boa sorte para você em sua difícil tarefa! Uma desigualdade é chamada logarítmica se contém uma função logarítmica. Os métodos para resolver desigualdades logarítmicas não são diferentes, exceto por duas coisas. Em primeiro lugar, ao passar da desigualdade logarítmica para a desigualdade das funções sublogarítmicas, deve-se siga o sinal da desigualdade resultante. Obedece a seguinte regra. Se a base da função logarítmica for maior que $1$, então ao passar da desigualdade logarítmica para a desigualdade das funções sublogarítmicas, o sinal da desigualdade é preservado, mas se for menor que $1$, então muda para o oposto . Em segundo lugar, a solução para qualquer desigualdade é um intervalo e, portanto, ao final da resolução da desigualdade das funções sublogarítmicas é necessário criar um sistema de duas desigualdades: a primeira desigualdade deste sistema será a desigualdade das funções sublogarítmicas, e o segundo será o intervalo do domínio de definição das funções logarítmicas incluídas na desigualdade logarítmica. Vamos resolver as desigualdades: 1.
$\log_(2)((x+3)) \geq 3.$ $D(y):\x+3>0.$ $x \in (-3;+\infty)$ A base do logaritmo é $2>1$, então o sinal não muda. Usando a definição de logaritmo, obtemos: $x+3 \geq 2^(3),$ $x \in)
Resolvendo exemplos
3x > 24;
x > 8. 
O que é necessário para resolver desigualdades logarítmicas?
Trabalho de casa
B) Represente (se possível) os lados esquerdo e direito da desigualdade como logaritmos na mesma base.
C) Determine se a função logarítmica é crescente ou decrescente: se t>1, então crescente; se 0
D) Passe para uma desigualdade mais simples (expressões sublogarítmicas), levando em consideração que o sinal da desigualdade permanecerá o mesmo se a função aumentar e mudará se diminuir.
CHAVE: 13321, número máximo de pontos – 6 pontos.
, se a > 1
, se 0 <
а <
1
e à direita 0..
, ou seja, resolva a equação 
(e resolver uma equação geralmente é mais fácil do que resolver uma inequação).nos intervalos obtidos.
E mesmo que o professor o conhecesse, havia um medo - o especialista no Exame Estadual Unificado o conhece e por que não o dão na escola? Houve situações em que a professora disse ao aluno: “Onde você conseguiu isso?
Agora o método está sendo promovido em todos os lugares. E para os especialistas existe diretrizes, associado a este método, e na solução "Edições mais completas de opções de modelo..." C3 usa este método.
MÉTODO MARAVILHOSO!
Responder. (0; 0,5)U.
Responder :
(3;6)
.
= -log4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , então reescrevemos a última desigualdade como 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
A solução para este conjunto são os intervalos 0<у≤2 и 8≤у<+.
isto é, agregados 
. Assim, a desigualdade original é satisfeita para todos os valores de x nos intervalos 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Portanto, todos x são do intervalo 0 
Agora que nos familiarizamos com os conceitos individualmente, vamos considerá-los em geral.
O que é ODZ? ODZ para desigualdades logarítmicas
Agora, vamos resolver a desigualdade logarítmica mais simples.
Algoritmo para resolver a desigualdade logarítmica
Desigualdades logarítmicas com base variável
Prática.