正弦を使って方程式を解く方法。 三角方程式

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最も単純な三角方程式は、原則として公式を使用して解きます。 最も単純な三角方程式は次のとおりであることを思い出してください。

シンクス = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x は求める角度です。
aは任意の数値です。

これらの最も単純な方程式の解をすぐに書き留めることができる公式を以下に示します。

正弦波の場合:

コサインの場合:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

接線の場合:

x = arctan a + π n、n ∈ Z

コタンジェントの場合:

x = arcctg a + π n、n ∈ Z

実際、これは最も単純な問題を解決するための理論的な部分です。 三角方程式。 しかも全部！） 何もない。 ただし、このトピックに関するエラーの数は、単にチャートから外れています。 特に例がテンプレートからわずかに逸脱している場合はそうです。 なぜ？

はい、多くの人がこれらの手紙を書き留めているので、 全く意味が分からないまま！彼は何かが起こらないように注意して書き留めています...) これは整理する必要があります。 人のための三角法か、それとも三角法のための人なのか!?)

考えてみましょう?

1 つの角度は次と等しくなります アークコス、 2番目： -arccos A.

そしてそれは常にこの方法でうまくいきます。どれについても A.

信じられない場合は、写真の上にマウスを置くか、タブレット上の写真に触れてください。) 番号を変更しました あ 何かネガティブなものに。 とにかく、一角を獲得しました アークコス、 2番目： -arccos A.

したがって、答えは常に 2 つの一連の根として書くことができます。

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

これら 2 つのシリーズを 1 つに結合してみましょう。

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

以上です。 最も単純な三角方程式をコサインで解くための一般式を取得しました。

これが超科学的な知恵ではないことを理解していただければ、 2 つの一連の回答の短縮版です。タスク「C」も処理できるようになります。 不等式の場合、与えられた区間から根を選択する場合...そこではプラス/マイナスを伴う答えは機能しません。 しかし、その答えを事務的に扱い、2 つの別々の答えに分解すれば、すべてが解決します。）実際、それが私たちがそれを調査している理由です。 何を、どのように、どこで。

最も単純な三角方程式では

シンクス = a

2 つの一連の根も得られます。 いつも。 そしてこの2シリーズも収録可能です 一行で。 この行だけがより複雑になります。

x = (-1) n arcsin a + π n、n ∈ Z

しかし、本質は変わりません。 数学者は単に一連のルートのレコードを 2 つではなく 1 つ作成する式を設計しただけです。 それだけです！

数学者に確認してみませんか？ そしてあなたは決して知りません...)

前のレッスンでは、サインを使用した三角方程式の解 (公式なし) について詳しく説明しました。

その答えは、次の 2 つの一連のルートになりました。

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

公式を使用して同じ方程式を解くと、答えが得られます。

x = (-1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z

実際、これは未完成の答えです。) 学生はそれを知っている必要があります。 逆正弦 0.5 = π /6。完全な答えは次のようになります。

x = (-1)n π/6+ π n、n ∈ Z

ここでそれが起こります 興味がある 質問する。 返信方法 ×1; ×2 （これが正解です！）そして孤独を乗り越えて バツ （これが正解です！） - それらは同じものですか？ 今すぐ分かります。)

答えを次のように置き換えます。 ×1 価値観 n =0; 1; 2; などを数えると、一連のルートが得られます。

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 等々。

応答として同じ置換を行うと、 ×2 、 我々が得る：

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 等々。

では値を代入してみましょう n (0; 1; 2; 3; 4...) を単一の一般式に代入します。 バツ 。 つまり、マイナス 1 を 0 乗し、次に 1 乗、2 乗などとします。 もちろん、第 2 項には 0 を代入します。 1; 2 3; 4など そして私たちは数えます。 系列が得られます。

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 等々。

見えるのはそれだけです。) 一般式私たちに与えてくれる 全く同じ結果 2 つの答えも別々にあります。 すべてを一度に、順番に。 数学者たちは騙されなかった。)

正接と余接を使った三角方程式を解く公式も確認できます。 しかし、私たちはそうしません。）それらはすでに単純です。

この置換と検証をすべて具体的に書き出しました。 ここで 1 つの単純な点を理解することが重要です。初等の三角方程式を解くための公式があります。 回答の簡単な要約。この簡潔さのために、余弦解にプラス/マイナスを挿入し、正弦解に (-1) n を挿入する必要がありました。

これらの挿入は、基本方程式の答えを書き留めるだけのタスクにはまったく干渉しません。 しかし、不等式を解く必要がある場合、またはその答えに対して何かをする必要がある場合、つまり区間上のルートを選択したり、ODZ をチェックしたりする必要がある場合、これらの挿入は人を簡単に不安にさせる可能性があります。

それで、どうすればいいでしょうか？ はい、答えを 2 つのシリーズで書くか、三角円を使用して方程式/不等式を解きます。 そうすれば、これらの挿入はなくなり、生活が楽になります。）

要約することができます。

最も単純な三角方程式を解くために、既製の答えの公式があります。 4個。 方程式の解を即座に書き留めるのに適しています。 たとえば、次の方程式を解く必要があります。

sinx = 0.3

簡単に： x = (-1) n arcsin 0.3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0.2

問題ない： x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1.2

簡単に： x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3.7

残り 1 つ: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1.8

もしあなたが知識に輝いて、即座に答えを書くとしたら:

x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z

それならあなたはすでに輝いています、これは...あれ...水たまりからのものです。) 正解: 解決策はありません。 理由がわかりませんか? 逆余弦とは何かを読んでください。 さらに、元の方程式の右側にサイン、コサイン、タンジェント、コタンジェント、- の表形式の値がある場合、 1; 0; √3; 1/2; √3/2 等々。 - アーチを通る答えは未完成になります。 アーチはラジアンに変換する必要があります。

そして不平等に出会ったら、

答えは次のとおりです。

x πn、n ∈ Z

まれにナンセンスがあります、はい...) ここでは、三角円を使用して解く必要があります。 対応するトピックで行うこと。

これらの行を英雄的に読んだ人のために。 皆さんの多大な努力に感謝せずにはいられません。 あなたへのボーナス。）

ボーナス：

憂慮すべき戦闘状況で公式を書き留めるとき、熟練のオタクでもどこで公式を書き留めるか混乱することがよくあります。 πn、 そして、どこ 2π n. ここでは簡単なトリックを紹介します。 で みんな数式の価値 ん。 逆余弦を使用する唯一の式を除いて。 そこに立っています 2πn。 二ピーン。 キーワード - 二。この同じ式には次のものがあります。 二冒頭にサイン。 プラスとマイナス。 あちこち - 二。

それで、あなたが書いた場合 二逆余弦の前に符号を付けると、最後に何が起こるかを覚えやすくなります 二ピーン。 そしてその逆も起こります。 その人はサインを見落とすだろう ± 、最後まで到達し、正しく書き込みます 二ぴえん、それで我に返るよ。 この先に何かがある 二サイン！ その人は振り出しに戻って間違いを修正します！ このような。）

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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)

例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。 即時検証によるテスト。 興味を持って学びましょう!)

関数と導関数について知ることができます。

私はかつて 2 人の応募者が次のような会話をしているのを目撃しました。

– いつ 2πn を追加する必要がありますか?いつ πn を追加する必要がありますか? ただ思い出せない！

– そして私も同じ問題を抱えています。

「暗記する必要はありませんが、理解してください！」と言いたいだけです。

この記事は主に高校生を対象としており、最も単純な三角方程式を「理解」して解けるようになることを願っています。

ナンバーサークル

数直線の概念とともに、数円の概念もあります。 みなさんご存じのとおり、 直交座標系では、点 (0;0) を中心とし、半径 1 を持つ円を単位円と呼びます。数直線を細い糸として想像して、この円の周りに巻き付けてみましょう。原点 (点 0) を「正しい」点に置きます。 単位円、正の半軸を反時計回りに巻き、負の半軸をその方向に巻きます（図1）。 このような単位円を数値円と呼びます。

ナンバーサークルの性質

• それぞれの実数は、数円上の 1 つの点上にあります。
• 数円上の各点には無限に多くの実数が存在します。 単位円の長さは 2π であるため、円上の 1 点における任意の 2 つの数値の差は、数値 ±2π のいずれかに等しくなります。 ±4π; ±6π; ...

結論を言いましょう: 点 A の数値の 1 つがわかれば、点 A のすべての数値を見つけることができます。.

ACの直径を描いてみましょう(図2)。 x_0 は点 A の数値の 1 つであるため、数値 x_0±π になります。 x_0±3π; x_0±5π; ...そして、それらのみが点 C の数になります。これらの数値の 1 つ、たとえば x_0+π を選択し、それを使用して点 C のすべての数を書き留めましょう: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. 点 A と C の数値は 1 つの式に組み合わせることができることに注意してください: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (k = 0; ±2; ±4; ... の数値が得られます)点 A、および k = ±1 の場合… – 点 C の数）。

結論を言いましょう: 直径 AC の点 A または C のいずれかの数値がわかれば、これらの点のすべての数値を見つけることができます。

• 2 つの反対の数字は、横軸に関して対称な円の点に位置します。

垂直弦ABを引いてみましょう（図2）。 点 A と B は Ox 軸に関して対称であるため、数値 -x_0 は点 B に位置し、したがって点 B のすべての数値は次の式で与えられます: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z。 点 A と B の数値を 1 つの公式 x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z を使って書きます。 結論を言えば、垂直弦 AB の点 A または B のいずれかの数値がわかれば、これらの点のすべての数値を見つけることができます。 水平弦ADを考えて、点Dの数を求めてみましょう(図2)。 BD は直径であり、数値 -x_0 は点 B に属するため、-x_0 + π は点 D の数値の 1 つであり、したがって、この点のすべての数値は式 x_D=-x_0+π+ で与えられます。 2πk、k∈Z。 点 A と D の数値は、x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z という 1 つの式を使用して書くことができます。 (k= 0; ±2; ±4; … の場合は点 A の数が得られ、k = ±1; ±3; ±5; … の場合は点 D の数が得られます)。

結論を言いましょう: 水平弦 AD の点 A または D のいずれかの数値がわかれば、これらの点のすべての数値を見つけることができます。

ナンバーサークルの 16 の主要なポイント

実際には、最も単純な三角方程式のほとんどを解くには、円上の 16 個の点が必要になります (図 3)。 これらの点は何ですか? 赤、青、緑の点は円を 12 に分割します 等しい部分。 半円の長さがπなので、円弧Ａ１Ａ２の長さはπ／２、円弧Ａ１Ｂ１の長さはπ／６、円弧Ａ１Ｃ１の長さはπ／３となる。

これで、一度に 1 つの数値を指定できるようになります。

C1 の π/3 と

オレンジ色の正方形の頂点は各四分の一の円弧の中点であるため、円弧 A1D1 の長さは π/4 に等しく、したがって π/4 は点 D1 の数の 1 つです。 数字の円のプロパティを使用すると、数式を使用して、円のマークされたすべての点にすべての数字を書き込むことができます。 これらの点の座標も図中にマークされています（取得の説明は省略します）。

上記を学んだので、特殊なケース (数値の 9 つの値) を解決するための十分な準備が整いました。 a)最も単純な方程式。

方程式を解く

1)sinx=1⁄(2).

– 私たちに求められるものは何でしょうか？

– 正弦が 1/2 に等しい数値 x をすべて見つけます。.

サインの定義を思い出してください。 sinx – 数値 x が位置する数値円上の点の縦座標。 縦座標が 1/2 に等しい円上に 2 つの点があります。 これらは水平弦 B1B2 の端です。 これは、「方程式 sinx=1⁄2 を解く」という要件が、「点 B1 のすべての数値と点 B2 のすべての数値を求める」という要件と同等であることを意味します。

2)sinx=-√3⁄2 .

点 C4 と C3 にあるすべての数値を見つける必要があります。

3) sinx=1。 円上には縦座標 1 の点 A2 が 1 つだけあるため、この点のすべての番号を見つけるだけで済みます。

答え: x=π/2+2πk、k∈Z。

4)sinx=-1 .

点 A_4 のみの縦座標が -1 です。 このポイントの数字がすべて馬券となるだろう。

答え: x=-π/2+2πk、k∈Z。

5) sinx=0 .

円上には、縦座標が 0 の 2 つの点、つまり点 A1 と A3 があります。 各点の数値を個別に指定することもできますが、これらの点が正反対であることを考えると、それらを 1 つの式 (x=πk,k∈Z) に結合することをお勧めします。

答え: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

コサインの定義を思い出してみましょう。 cosx は、数値 x が位置する数円上の点の横座標です。円上には、横座標 √2⁄2 を持つ 2 つの点、つまり水平弦 D1D4 の端があります。 これらの点に関するすべての数字を見つける必要があります。 それらを 1 つの式に組み合わせて書き留めてみましょう。

答え: x=±π/4+2πk、k∈Z。

7) cosx=-1⁄2 .

点 C_2 と C_3 の数値を見つける必要があります。

答え: x=±2π/3+2πk 、 k∈Z .

10) cosx=0 .

点 A2 と A4 だけが横座標 0 を持ちます。これは、これらの各点のすべての数値が方程式の解になることを意味します。
.

システムの方程式の解は、cosx 不等式の点 B_3 と B_4 の数値です。<0 удовлетворяют только числа b_3
答え: x=-5π/6+2πk、k∈Z。

x のどの許容値でも 2 番目の係数は正であるため、方程式は次のシステムと等価であることに注意してください。

システム方程式の解は点 D_2 と D_3 の数です。 点 D_2 の数は不等式 sinx ≤ 0.5 を満たしていませんが、点 D_3 の数は満たしています。

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「簡単な三角方程式を解く」というテーマのレッスンとプレゼンテーション

追加資料
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Integral オンライン ストアの 1C から 10 年生向けのマニュアルとシミュレーター
幾何学の問題を解決します。 宇宙に建築するためのインタラクティブなタスク
ソフトウェア環境「1C: Mathematical Constructor 6.1」

私たちが勉強する内容:
1. 三角方程式とは何ですか?

3. 三角方程式を解くための 2 つの主な方法。
4. 同次三角方程式。
5. 例。

三角方程式とは何ですか?

皆さん、私たちはすでに逆正弦、逆余弦、逆正接、逆余接について勉強しました。 ここで、三角方程式一般を見てみましょう。

三角方程式は、変数が三角関数の符号の下に含まれる方程式です。

最も単純な三角方程式を解く形式を繰り返してみましょう。

1) |a|≤ 1 の場合、方程式 cos(x) = a の解は次のようになります。

X= ± arccos(a) + 2πk

2) |a|≤ 1 の場合、方程式 sin(x) = a の解は次のようになります。

3) |a| の場合 > 1 の場合、方程式 sin(x) = a および cos(x) = a には解がありません。 4) 方程式 tg(x)=a には解があります: x=arctg(a)+ πk

5) 方程式 ctg(x)=a には解があります: x=arcctg(a)+ πk

すべての式で、k は整数です

最も単純な三角方程式の形式は次のとおりです: T(kx+m)=a、T は三角関数です。

例。

方程式を解きます: a) sin(3x)= √3/2

解決：

A) 3x=t とすると、式を次の形式に書き換えます。

この方程式の解は次のようになります: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn。

値の表から、t=((-1)^n)×π/3+πn が得られます。

変数に戻りましょう: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn、

すると、x= ((-1)^n)×π/9+πn/3となります。

答え: x= ((-1)^n)×π/9+πn/3、n は整数です。 (-1)^n – マイナス 1 の n 乗。

三角方程式のその他の例。

方程式を解きます: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

解決：

A) 今回は、すぐに方程式の根の計算に直接進みましょう。

X/5= ± arccos(1) + 2πk。 次に、x/5= πk => x=5πk

答え: x=5πk、k は整数です。

B) 3x- π/3=arctg(√3)+ πk の形式で書きます。 arctan(√3)= π/3 であることがわかっています。

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

答え: x=2π/9 + πk/3、ここで k は整数です。

方程式を解きます: cos(4x)= √2/2。 そして、セグメント上のすべてのルートを見つけます。

解決：

で決めます 一般的な見解方程式: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

次に、セグメントにどのようなルーツがあるかを見てみましょう。 k において k=0、x= π/16 では、与えられたセグメント内にいます。
k=1、x= π/16+ π/2=9π/16 として、再度ヒットします。
k=2 の場合、x= π/16+ π=17π/16 ですが、ここではヒットしませんでした。これは、k が大きい場合も明らかにヒットしないことを意味します。

答え: x= π/16、x= 9π/16

主な解決方法は 2 つあります。

最も単純な三角方程式について説明しましたが、より複雑な三角方程式もあります。 これらを解決するために、新たな変数を導入する方法や因数分解の方法が用いられます。 例を見てみましょう。

方程式を解いてみましょう:

解決：
方程式を解くために、t=tg(x) を表す新しい変数を導入する方法を使用します。

置換の結果、次の結果が得られます: t 2 + 2t -1 = 0

二次方程式の根を見つけてみましょう: t=-1 と t=1/3

次に、tg(x)=-1 および tg(x)=1/3 となり、最も単純な三角方程式が得られます。その根を求めてみましょう。

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk。

答え: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk。

方程式を解く例

方程式を解く: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

解決：

恒等式を使用しましょう: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

方程式は次の形式になります: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

置換 t=cos(x) を導入しましょう: 2t 2 -3t - 2 = 0

二次方程式の解は根です: t=2 と t=-1/2

この場合、cos(x)=2 および cos(x)=-1/2 となります。

なぜなら コサインは値を取ることができません 複数のの場合、cos(x)=2 には根がありません。

cos(x)=-1/2 の場合: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

答え: x= ±2π/3 + 2πk

同次三角方程式。

定義: a sin(x)+b cos(x) の形式の方程式は、1 次の等次三角方程式と呼ばれます。

次の形式の方程式

2次の等次三角方程式。

1 次の等次三角方程式を解くには、cos(x) で割ります。 コサインがゼロに等しい場合、コサインで割ることはできません。そうでないことを確認しましょう。
cos(x)=0 とすると、asin(x)+0=0 => sin(x)=0 になりますが、サインとコサインは同時にゼロに等しくなく、矛盾が生じるため、安全に割り算できます。ゼロで。

方程式を解きます。
例: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

解決：

共通因数を取り出してみましょう: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

次に、2 つの方程式を解く必要があります。

Cos(x)=0 および cos(x)+sin(x)=0

x= π/2 + πk で Cos(x)=0;

方程式 cos(x)+sin(x)=0 を考えてください。方程式を cos(x) で割ります。

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

答え: x= π/2 + πk および x= -π/4+πk

2次の等次三角方程式を解くにはどうすればよいですか?
皆さん、常にこれらのルールに従ってください。

1. 何を見てください 係数が等しい a=0 の場合、方程式は cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) の形式になります。その解の例は前のスライドにあります。

2. a≠0 の場合、方程式の両辺をコサインの 2 乗で割る必要があり、次のようになります。

変数 t=tg(x) を変更すると、次の方程式が得られます。

解答例No.:3

方程式を解きます。
解決：

方程式の両辺をコサイン二乗で割ってみましょう。

変数 t=tg(x) を変更します: t 2 + 2 t - 3 = 0

二次方程式の根を見つけてみましょう: t=-3 と t=1

次に、 tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

答え: x=-arctg(3) + πk および x= π/4+ πk

解答例No.:4

方程式を解きます。

解決：
式を変形してみましょう。

このような方程式を解くことができます: x= - π/4 + 2πk および x=5π/4 + 2πk

答え: x= - π/4 + 2πk および x=5π/4 + 2πk

例題番号:5を解く

方程式を解きます。

解決：
式を変形してみましょう。

置換 tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 を導入しましょう。

二次方程式の解は根です: t=-2 と t=1/2

次に、tg(2x)=-2 および tg(2x)=1/2 が得られます。
2x=-arctg(2)+πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

答え: x=-arctg(2)/2 + πk/2 および x=arctg(1/2)/2+ πk/2

独立した解決策が求められる問題。

1) 方程式を解く

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) 方程式を解きます: sin(3x)= √3/2。 そして、セグメント [π/2; π]。

3) 方程式を解きます: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) 方程式を解きます: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) 方程式を解きます: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) 方程式を解きます: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

たくさん解くときは 数学の問題 、特に 10 年生より前に発生するものでは、目標につながる実行されるアクションの順序が明確に定義されています。 このような問題には、たとえば、線形の問題や 二次方程式、線形、および 二次不等式, 分数方程式二次方程式に帰着する方程式。 前述した各問題をうまく解決するための原則は次のとおりです。解決している問題の種類を確立し、望ましい結果につながる必要な一連のアクションを覚えておく必要があります。 答えて次の手順に従ってください。

特定の問題の解決が成功するか失敗するかは、主に、解く方程式の種類がどの程度正確に決定されるか、その解決のすべての段階の順序がどの程度正確に再現されるかに依存することは明らかです。 もちろん、この場合、同一の変換と計算を実行するスキルが必要です。

状況は異なります 三角方程式。この方程式が三角関数であるという事実を証明することは、まったく難しいことではありません。 正しい答えにつながる一連のアクションを決定するときに困難が生じます。

による 外観方程式では、そのタイプを判断することが難しい場合があります。 また、方程式の種類が分からなければ、数十の三角関数の公式から正しいものを選択することはほぼ不可能です。

三角方程式を解くには、次のことを試す必要があります。

1. 方程式に含まれるすべての関数を「同じ角度」にします。
2. 方程式を「同一関数」にします。
3.展開する 左側因数分解方程式など。

考えてみましょう 三角方程式を解くための基本的な方法。

I. 最も単純な三角方程式への帰着

ソリューション図

ステップ1。急行 三角関数既知のコンポーネントを介して。

ステップ2。次の式を使用して関数の引数を見つけます。

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn、n ЄZ。

罪 x = a; x = (-1) n arcsin a + πn、n Є Z。

タン x = a; x = arctan a + πn、n Є Z。

ctg x = a; x = arcctg a + πn、n Є Z。

ステップ3。未知の変数を見つけます。

例。

2 cos(3x – π/4) = -√2。

解決。

1) cos(3x – π/4) = -√2/2。

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn、n Є Z。

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn、n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3、n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3、n Є Z。

答え: ±π​​/4 + π/12 + 2πn/3、n Є Z。

II. 変数の置換

ソリューション図

ステップ1。方程式を次のように変形します 代数形式三角関数の 1 つに対する相対値。

ステップ2。結果の関数を変数 t で表します (必要に応じて、t に制限を導入します)。

ステップ3。結果として得られる代数方程式を書き留めて解きます。

ステップ4。逆の交換を行います。

ステップ5。最も単純な三角方程式を解きます。

例。

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0。

解決。

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0。

2) sin (x/2) = t とします。ここで |t| ≤ 1。

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 または e = -3/2、条件 |t| を満たしていません。 ≤ 1。

4) sin(x/2) = 1。

5) x/2 = π/2 + 2πn、n Є Z;

x = π + 4πn、n Є Z。

答え: x = π + 4πn、n Є Z。

Ⅲ． 方程式次数削減法

ソリューション図

ステップ1。次数を減らす公式を使用して、この方程式を線形方程式に置き換えます。

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x)。

ステップ2。結果の方程式を方法 I および II を使用して解きます。

例。

cos 2x + cos 2 x = 5/4。

解決。

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4。

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn、n Є Z;

x = ±π/6 + πn、n Є Z。

答え: x = ±π/6 + πn、n Є Z。

IV. 同次方程式

ソリューション図

ステップ1。この方程式を次の形式に変形します。

a) a sin x + b cos x = 0 (1次等次方程式)

または景色へ

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (2次の等次方程式)。

ステップ2。方程式の両辺を次で割ります。

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

そしてtan x の方程式を取得します。

a) atan x + b = 0;

b) atan 2 x + b arctan x + c = 0。

ステップ3。既知の方法を使用して方程式を解きます。

例。

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0。

解決。

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0。

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0。

3) tg x = t とすると、

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 または t = -4、つまり

tg x = 1 または tg x = -4。

最初の方程式 x = π/4 + πn から、n Є Z; 2 番目の方程式より x = -arctg 4 + πk、kЄZ。

答え: x = π/4 + πn、n Є Z; x = -arctg 4 + πk、k Є Z。

V. 三角関数の公式を用いた方程式の変形方法

ソリューション図

ステップ1。ありとあらゆるものを使って、 三角関数の公式、この方程式を方法 I、II、III、IV によって解かれる方程式に還元します。

ステップ2。既知の方法を使用して、結果の方程式を解きます。

例。

sin x + sin 2x + sin 3x = 0。

解決。

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0。

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 または 2cos x + 1 = 0;

最初の方程式から、2x = π/2 + πn、n Є Z; 2 番目の方程式 cos x = -1/2 より。

x = π/4 + πn/2、n Є Z となります。 2 番目の方程式より、x = ±(π – π/3) + 2πk、k Є Z。

結果として、x = π/4 + πn/2、n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk、k Є Z。

答え: x = π/4 + πn/2、n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk、k Є Z。

三角方程式を解く能力とスキルは非常に優れています。 重要なのは、彼らの発達には生徒側と教師側の両方に多大な努力が必要であるということです。

立体測定や物理学などの多くの問題は、三角方程式の解法に関連しています。このような問題を解くプロセスには、三角法の要素を研究することで得られる知識やスキルの多くが組み込まれています。

三角方程式は次のようになります。 大切な場所数学と人格形成全般を教える過程で。

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