Sistemas de desigualdades – informação inicial. Alguns pontos sobre como resolver desigualdades

veja também Resolvendo graficamente um problema de programação linear, Forma canônica de problemas de programação linear

O sistema de restrições para tal problema consiste em desigualdades em duas variáveis:
e a função objetivo tem a forma F = C 1 x + C 2 sim que precisa ser maximizado.

Vamos responder à pergunta: quais pares de números ( x; sim) são soluções para o sistema de desigualdades, ou seja, satisfazem cada uma das desigualdades simultaneamente? Em outras palavras, o que significa resolver um sistema graficamente?
Primeiro você precisa entender qual é a solução para uma desigualdade linear com duas incógnitas.
Resolver uma desigualdade linear com duas incógnitas significa determinar todos os pares de valores desconhecidos para os quais a desigualdade é válida.
Por exemplo, desigualdade 3 x – 5sim≥ 42 pares satisfatórios ( x , sim) : (100, 2); (3, –10), etc. A tarefa é encontrar todos esses pares.
Vamos considerar duas desigualdades: machado + por≤ c, machado + por≥ c. Direto machado + por = c divide o plano em dois semiplanos de modo que as coordenadas dos pontos de um deles satisfaçam a desigualdade machado + por >c, e a outra desigualdade machado + +por <c.
Na verdade, tomemos um ponto com coordenadas x = x 0; então um ponto situado em uma linha e tendo uma abcissa x 0, tem uma ordenada

Deixe com certeza a< 0, b>0, c>0. Todos os pontos com abscissa x 0 deitado acima P(por exemplo, ponto M), ter e M>sim 0 e todos os pontos abaixo do ponto P, com abscissa x 0, tem e N<sim 0. Porque o x 0 é um ponto arbitrário, então sempre haverá pontos em um lado da linha para os quais machado+ por > c, formando um semiplano, e do outro lado - pontos para os quais machado + por< c.

Imagem 1

O sinal de desigualdade no semiplano depende dos números a, b , c.
Isso leva ao seguinte método de resolução gráfica de sistemas desigualdades lineares de duas variáveis. Para resolver o sistema você precisa:

1. Para cada desigualdade, escreva a equação correspondente a esta desigualdade.
2. Construa linhas retas que sejam gráficos de funções especificadas por equações.
3. Para cada reta, determine o semiplano, que é dado pela desigualdade. Para fazer isso, pegue um ponto arbitrário que não esteja na reta e substitua suas coordenadas na desigualdade. se a desigualdade for verdadeira, então o semiplano que contém o ponto escolhido é a solução da desigualdade original. Se a desigualdade for falsa, então o semiplano do outro lado da reta é o conjunto de soluções para essa desigualdade.
4. Para resolver um sistema de desigualdades, é necessário encontrar a área de intersecção de todos os semiplanos que são a solução para cada desigualdade do sistema.

Esta área pode ficar vazia, então o sistema de desigualdades não tem soluções e é inconsistente. Caso contrário, o sistema é dito consistente.
Pode haver um número finito ou um número infinito de soluções. A área pode ser um polígono fechado ou ilimitado.

Vejamos três exemplos relevantes.

Exemplo 1. Resolva o sistema graficamente:
x + você – 1 ≤ 0;
–2x- 2sim + 5 ≤ 0.

• considere as equações x+y–1=0 e –2x–2y+5=0 correspondentes às desigualdades;
• Vamos construir linhas retas dadas por essas equações.

Figura 2

Vamos definir os semiplanos definidos pelas desigualdades. Tomemos um ponto arbitrário, seja (0; 0). Vamos considerar x+ você– 1 0, substitua o ponto (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Isso significa que no semiplano onde está o ponto (0; 0), x + sim – 1 ≤ 0, ou seja, o semiplano abaixo da linha é uma solução para a primeira desigualdade. Substituindo este ponto (0; 0) no segundo, obtemos: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, ou seja, no semiplano onde está o ponto (0; 0), –2 x – 2sim+ 5≥ 0, e nos perguntaram onde –2 x – 2sim+ 5 ≤ 0, portanto, no outro semiplano - naquele acima da reta.
Vamos encontrar a intersecção desses dois semiplanos. As retas são paralelas, portanto os planos não se cruzam em lugar nenhum, o que significa que o sistema dessas desigualdades não tem solução e é inconsistente.

Exemplo 2. Encontre soluções gráficas para o sistema de desigualdades:

Figura 3
1. Vamos escrever as equações correspondentes às desigualdades e construir retas.
x + 2sim– 2 = 0

x	2	0
sim	0	1

sim – x – 1 = 0

x	0	2
sim	1	3

sim + 2 = 0;
sim = –2.
2. Escolhido o ponto (0; 0), determinamos os sinais das desigualdades nos semiplanos:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, ou seja, x + 2sim– 2 ≤ 0 no semiplano abaixo da reta;
0 – 0 – 1 ≤ 0, ou seja, sim –x– 1 ≤ 0 no semiplano abaixo da reta;
0 + 2 =2 ≥ 0, ou seja, sim+ 2 ≥ 0 no semiplano acima da reta.
3. A intersecção destes três semiplanos será uma área que é um triângulo. Não é difícil encontrar os vértices da região como pontos de intersecção das linhas correspondentes


Por isso, A(–3; –2), EM(0; 1), COM(6; –2).

Consideremos outro exemplo em que o domínio de solução resultante do sistema não é limitado.

Este artigo fornece informações iniciais sobre sistemas de desigualdades. Aqui está uma definição de um sistema de desigualdades e uma definição de uma solução para um sistema de desigualdades. Os principais tipos de sistemas com os quais é necessário trabalhar com mais frequência nas aulas de álgebra na escola também são listados e são dados exemplos.

Navegação na página.

O que é um sistema de desigualdades?

É conveniente definir sistemas de desigualdades da mesma forma que introduzimos a definição de um sistema de equações, ou seja, pelo tipo de notação e pelo significado nela incorporado.

Definição.

Sistema de desigualdadesé um registro que representa um certo número de desigualdades escritas uma abaixo da outra, unidas à esquerda por uma chave, e denota o conjunto de todas as soluções que são simultaneamente soluções para cada desigualdade do sistema.

Vamos dar um exemplo de um sistema de desigualdades. Vamos pegar dois arbitrários, por exemplo, 2 x−3>0 e 5−x≥4 x−11, escrevê-los um abaixo do outro
2x−3>0 ,
5−x≥4x−11
e unir com um sinal de sistema - uma chave, como resultado obtemos um sistema de desigualdades da seguinte forma:

Uma ideia semelhante é dada sobre os sistemas de desigualdades nos manuais escolares. É importante notar que suas definições são dadas de forma mais restrita: para desigualdades com uma variável ou com duas variáveis.

Principais tipos de sistemas de desigualdades

É claro que se pode compor um número infinito vários sistemas desigualdades Para não se perder nesta diversidade, é aconselhável considerá-los em grupos que possuam características próprias. Todos os sistemas de desigualdades podem ser divididos em grupos de acordo com os seguintes critérios:

• pelo número de desigualdades no sistema;
• pelo número de variáveis ​​envolvidas no registro;
• pelo próprio tipo de desigualdades.

Com base no número de desigualdades incluídas no registro, distinguem-se sistemas de dois, três, quatro, etc. desigualdades No parágrafo anterior demos um exemplo de sistema, que é um sistema de duas desigualdades. Vamos mostrar outro exemplo de um sistema de quatro desigualdades .

Separadamente, diremos que não faz sentido falar de um sistema de uma desigualdade, neste caso, essencialmente estamos falando sobre sobre a desigualdade em si, não sobre o sistema.

Se você observar o número de variáveis, então existem sistemas de desigualdades com um, dois, três, etc. variáveis ​​(ou, como também dizem, incógnitas). Olhe para sistema mais recente desigualdades escritas dois parágrafos acima. É um sistema com três variáveis ​​x, y e z. Observe que suas duas primeiras desigualdades não contêm todas as três variáveis, mas apenas uma delas. No contexto deste sistema, devem ser entendidas como desigualdades com três variáveis ​​da forma x+0·y+0·z≥−2 e 0·x+y+0·z≤5, respectivamente. Observe que a escola se concentra nas desigualdades com uma variável.

Resta discutir que tipos de desigualdades estão envolvidos nos sistemas de registo. Na escola, consideram principalmente sistemas de duas desigualdades (menos frequentemente - três, ainda menos frequentemente - quatro ou mais) com uma ou duas variáveis, e as próprias desigualdades são geralmente desigualdades inteiras primeiro ou segundo grau (menos frequentemente - graus superiores ou fracionários racionais). Mas não se surpreenda se em seus materiais de preparação para o Exame de Estado Unificado você encontrar sistemas de desigualdades contendo desigualdades irracionais, logarítmicas, exponenciais e outras. Como exemplo, damos o sistema de desigualdades , é retirado de .

Qual é a solução para um sistema de desigualdades?

Introduzimos outra definição relacionada aos sistemas de desigualdades - a definição de uma solução para um sistema de desigualdades:

Definição.

Resolvendo um sistema de desigualdades com uma variávelé denominado o valor de uma variável que transforma cada uma das desigualdades do sistema em verdadeira, ou seja, é uma solução para cada desigualdade do sistema.

Vamos explicar com um exemplo. Tomemos um sistema de duas desigualdades com uma variável. Tomemos o valor da variável x igual a 8, é uma solução para o nosso sistema de desigualdades por definição, pois sua substituição nas desigualdades do sistema dá duas desigualdades numéricas corretas 8>7 e 2−3·8≤0. Pelo contrário, a unidade não é uma solução para o sistema, pois ao substituí-la pela variável x, a primeira desigualdade se tornará incorreta desigualdade numérica 1>7 .

Da mesma forma, pode-se introduzir a definição de uma solução para um sistema de desigualdades com dois, três e um grande número variáveis:

Definição.

Resolvendo um sistema de desigualdades com dois, três, etc. variáveis chamado de par, três, etc. valores dessas variáveis, que ao mesmo tempo é uma solução para toda desigualdade do sistema, ou seja, transforma toda desigualdade do sistema em uma desigualdade numérica correta.

Por exemplo, um par de valores x=1, y=2 ou em outra notação (1, 2) é uma solução para um sistema de desigualdades com duas variáveis, já que 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Os sistemas de desigualdades podem não ter soluções, podem ter um número finito de soluções ou podem ter um número infinito de soluções. As pessoas falam frequentemente sobre o conjunto de soluções para um sistema de desigualdades. Quando um sistema não tem soluções, então existe um conjunto vazio de suas soluções. Quando há um número finito de soluções, então o conjunto de soluções contém um número finito de elementos, e quando há infinitas soluções, então o conjunto de soluções consiste em um número infinito de elementos.

Algumas fontes introduzem definições de uma solução particular e geral para um sistema de desigualdades, como, por exemplo, nos livros didáticos de Mordkovich. Sob solução privada do sistema de desigualdades entendê-la em uma única decisão. Por sua vez solução geral para o sistema de desigualdades- estas são todas as suas decisões privadas. No entanto, estes termos só fazem sentido quando é necessário enfatizar especificamente de que tipo de solução estamos a falar, mas normalmente isto já está claro no contexto, por isso muito mais frequentemente dizem simplesmente “uma solução para um sistema de desigualdades”.

Das definições de um sistema de desigualdades e das suas soluções apresentadas neste artigo, conclui-se que uma solução para um sistema de desigualdades é a intersecção dos conjuntos de soluções para todas as desigualdades deste sistema.

Bibliografia.

1. Álgebra: livro didático para a 8ª série. Educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M.: Educação, 2008. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Álgebra: 9º ano: educacional. para educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M.: Educação, 2009. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A. G.Álgebra. 9 º ano. Em 2 horas. Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13ª ed., apagada. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: il. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A. G.Álgebra e início da análise matemática. Grau 11. Em 2 horas Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino geral (nível de perfil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2ª ed., apagada. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: il. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Exame Estadual Unificado-2013. Matemática: opções de exames padrão: 30 opções/ed. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. – M.: Editora “Educação Nacional”, 2012. – 192 p. – (USE-2013. FIPI - escola).

Aula e apresentação sobre o tema: “Sistemas de desigualdades. Exemplos de soluções”

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Sistema de desigualdades

Pessoal, vocês estudaram linear e desigualdades quadráticas, aprendeu a resolver problemas sobre esses tópicos. Agora vamos passar para um novo conceito em matemática - um sistema de desigualdades. Um sistema de desigualdades é semelhante a um sistema de equações. Você se lembra de sistemas de equações? Você estudou sistemas de equações na sétima série, tente lembrar como você os resolveu.

Vamos apresentar a definição de um sistema de desigualdades.
Várias desigualdades com alguma variável x formam um sistema de desigualdades se for necessário encontrar todos os valores de x para os quais cada uma das desigualdades forma uma expressão numérica correta.

Qualquer valor de x para o qual cada desigualdade assume a expressão numérica correta é uma solução para a desigualdade. Também pode ser chamada de solução privada.
O que é uma solução privada? Por exemplo, na resposta recebemos a expressão x>7. Então x=8, ou x=123, ou qualquer outro número maior que sete é uma solução particular, e a expressão x>7 é uma solução geral. A solução geral é formada por muitas soluções privadas.

Como combinamos o sistema de equações? Isso mesmo, uma chave, e eles fazem o mesmo com as desigualdades. Vejamos um exemplo de sistema de desigualdades: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Se o sistema de desigualdades consiste em expressões idênticas, por exemplo, $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Então, o que significa: encontrar uma solução para um sistema de desigualdades?
Uma solução para uma desigualdade é um conjunto de soluções parciais para uma desigualdade que satisfaz ambas as desigualdades do sistema ao mesmo tempo.

Escrevemos a forma geral do sistema de desigualdades como $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Vamos denotar $Х_1$ como a solução geral para a desigualdade f(x)>0.
$X_2$ é a solução geral para a desigualdade g(x)>0.
$X_1$ e $X_2$ são um conjunto de soluções particulares.
A solução para o sistema de desigualdades serão números pertencentes a $X_1$ e $X_2$.
Vamos lembrar as operações em conjuntos. Como encontramos elementos de um conjunto que pertencem a ambos os conjuntos ao mesmo tempo? Isso mesmo, existe uma operação de interseção para isso. Portanto, a solução para a nossa desigualdade será o conjunto $A= X_1∩ X_2$.

Exemplos de soluções para sistemas de desigualdades

Vejamos exemplos de resolução de sistemas de desigualdades.

Resolva o sistema de desigualdades.
a) $\begin(casos)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(casos)2x-4≤6\\-x-4
Solução.
a) Resolva cada desigualdade separadamente.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
US$ 5x-10
Vamos marcar nossos intervalos em uma linha de coordenadas.

A solução do sistema será o segmento de intersecção dos nossos intervalos. A desigualdade é estrita, então o segmento será aberto.
Resposta: (1;3).

B) Também resolveremos cada desigualdade separadamente.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ $5.
$-x-4 -5$.


A solução do sistema será o segmento de intersecção dos nossos intervalos. A segunda desigualdade é estrita, então o segmento será aberto à esquerda.
Resposta: (-5; 5].

Vamos resumir o que aprendemos.
Digamos que seja necessário resolver o sistema de desigualdades: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Então, o intervalo ($x_1; x_2$) é a solução para a primeira desigualdade.
O intervalo ($y_1; y_2$) é a solução para a segunda desigualdade.
A solução para um sistema de desigualdades é a intersecção das soluções para cada desigualdade.

Os sistemas de desigualdades podem consistir não apenas em desigualdades de primeira ordem, mas também em quaisquer outros tipos de desigualdades.

Regras importantes para resolver sistemas de desigualdades.
Se uma das desigualdades do sistema não tiver solução, então todo o sistema não terá solução.
Se uma das desigualdades for satisfeita para qualquer valor da variável, então a solução do sistema será a solução da outra desigualdade.

Exemplos.
Resolva o sistema de desigualdades:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Solução.
Vamos resolver cada desigualdade separadamente.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Vamos resolver a segunda desigualdade.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

A solução para a desigualdade é o intervalo.
Vamos desenhar os dois intervalos na mesma linha e encontrar a interseção.
A intersecção dos intervalos é o segmento (4; 6].
Resposta: (4;6].

Resolva o sistema de desigualdades.
a) $\begin(casos)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(casos)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(casos )$.

Solução.
a) A primeira desigualdade tem solução x>1.
Vamos encontrar o discriminante para a segunda desigualdade.
$D=16-4*2*4=-16$. $D Lembremo-nos da regra: quando uma das desigualdades não tem solução, então todo o sistema não tem solução.
Resposta: Não há soluções.

B) A primeira desigualdade tem solução x>1.
A segunda desigualdade é maior que zero para todo x. Então a solução do sistema coincide com a solução da primeira desigualdade.
Resposta: x>1.

Problemas em sistemas de desigualdades para solução independente

Resolva sistemas de desigualdades:
a) $\begin(casos)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(casos)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(casos)x^2-25 d) $\begin(casos)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(casos)$
e) $\begin(casos)x^2+36

Vejamos exemplos de como resolver um sistema de desigualdades lineares.

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Para resolver um sistema, você precisa de cada uma de suas desigualdades constituintes. Apenas foi tomada a decisão de não escrever separadamente, mas em conjunto, combinando-os com chave.

Em cada uma das desigualdades do sistema, movemos as incógnitas para um lado, as conhecidas para o outro com sinal oposto:

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Após a simplificação, ambos os lados da desigualdade devem ser divididos pelo número antes de X. Dividimos a primeira desigualdade por um número positivo, para que o sinal da desigualdade não mude. Dividimos a segunda desigualdade por um número negativo, então o sinal de desigualdade deve ser invertido:

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Marcamos a solução para as desigualdades nas retas numéricas:

Em resposta, anotamos a intersecção das soluções, ou seja, a parte onde há sombreamento nas duas linhas.

Resposta: x∈[-2;1).

Na primeira desigualdade, vamos nos livrar da fração. Para fazer isso, multiplicamos ambos os lados termo a termo pelo mínimo denominador comum 2. Quando multiplicado por um número positivo, o sinal de desigualdade não muda.

Na segunda desigualdade abrimos os colchetes. O produto da soma e da diferença de duas expressões é igual à diferença dos quadrados dessas expressões. No lado direito está o quadrado da diferença entre as duas expressões.

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Movemos as incógnitas para um lado, as conhecidas para o outro com sinal oposto e simplificamos:

Dividimos ambos os lados da desigualdade pelo número na frente de X. Na primeira desigualdade, dividimos por um número negativo, então o sinal da desigualdade é invertido. Na segunda, dividimos por um número positivo, o sinal de desigualdade não muda:

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Ambas as desigualdades têm um sinal “menor que” (não importa que um sinal seja estritamente “menor que”, o outro seja vago, “menor que ou igual”). Não podemos marcar ambas as soluções, mas sim usar a regra ““. O menor é 1, portanto o sistema se reduz à desigualdade

Marcamos sua solução na reta numérica:

Resposta: x∈(-∞;1].

Abrindo os parênteses. Na primeira desigualdade - . É igual à soma dos cubos dessas expressões.

Na segunda, o produto da soma e da diferença de duas expressões, que é igual à diferença dos quadrados. Como aqui há um sinal de menos antes dos colchetes, é melhor abri-los em duas etapas: primeiro use a fórmula, e só depois abra os colchetes, mudando o sinal de cada termo para o oposto.

Movemos as incógnitas em uma direção, as conhecidas na outra com sinal oposto:

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Ambos são maiores que os sinais. Usando a regra “mais que mais”, reduzimos o sistema de desigualdades a uma desigualdade. O maior dos dois números é 5, portanto,

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Marcamos a solução para a desigualdade na reta numérica e anotamos a resposta:

Resposta: x∈(5;∞).

Uma vez que em sistemas algébricos de desigualdades lineares ocorrem não apenas como problemas independentes, mas também no decorrer da resolução vários tipos equações, desigualdades, etc., é importante dominar este tópico a tempo.

EM próxima vez Consideraremos exemplos de resolução de sistemas de desigualdades lineares em casos especiais, quando uma das desigualdades não tem solução ou sua solução é qualquer número.

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Nem todo mundo sabe como resolver desigualdades semelhantes em estrutura e características distintas com equações. Uma equação é um exercício que consiste em duas partes, entre as quais existe um sinal de igual, e entre as partes da desigualdade pode haver um sinal “mais que” ou “menos que”. Assim, antes de encontrar uma solução para uma determinada desigualdade, devemos entender que vale a pena considerar o sinal do número (positivo ou negativo) caso haja necessidade de multiplicar ambos os lados por alguma expressão. O mesmo fato deve ser levado em consideração se a quadratura for necessária para resolver uma inequação, uma vez que a quadratura é realizada por multiplicação.

Como resolver um sistema de desigualdades

É muito mais difícil resolver sistemas de desigualdades do que desigualdades comuns. Como resolver desigualdades da 9ª série, vejamos exemplos específicos. Deve-se entender que antes de resolver desigualdades quadráticas (sistemas) ou quaisquer outros sistemas de desigualdades, é necessário resolver cada desigualdade separadamente e depois compará-las. A solução para um sistema de desigualdade será uma resposta positiva ou negativa (quer o sistema tenha ou não solução).

A tarefa é resolver um conjunto de desigualdades:

Vamos resolver cada desigualdade separadamente

Construímos uma reta numérica na qual representamos um conjunto de soluções

Como um conjunto é uma união de conjuntos de soluções, esse conjunto na reta numérica deve ser sublinhado por pelo menos uma linha.

Resolvendo desigualdades com módulo

Este exemplo mostrará como resolver desigualdades com módulo. Então temos uma definição:

Precisamos resolver a desigualdade:

Antes de resolver tal desigualdade, é necessário se livrar do módulo (sinal)

Vamos escrever, com base nos dados de definição:

Agora você precisa resolver cada um dos sistemas separadamente.

Vamos construir uma reta numérica na qual representamos os conjuntos de soluções.

Como resultado, temos uma coleção que combina muitas soluções.

Resolvendo desigualdades quadráticas

Usando a reta numérica, vejamos um exemplo de resolução de desigualdades quadráticas. Temos uma desigualdade:

Sabemos que o gráfico de um trinômio quadrático é uma parábola. Sabemos também que os ramos da parábola são direcionados para cima se a>0.

x2-3x-4< 0

Usando o teorema de Vieta encontramos as raízes x 1 = - 1; x 2 = 4

Vamos desenhar uma parábola, ou melhor, um esboço dela.

Assim, descobrimos que os valores do trinômio quadrático serão menores que 0 no intervalo de – 1 a 4.

Muitas pessoas têm dúvidas ao resolver desigualdades duplas como g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

Na verdade, existem vários métodos para resolver desigualdades, portanto você pode usar o método gráfico para resolver desigualdades complexas.

Resolvendo desigualdades fracionárias

As desigualdades fracionárias requerem uma abordagem mais cuidadosa. Isso se deve ao fato de que no processo de resolução de algumas desigualdades fracionárias o sinal pode mudar. Antes de resolver desigualdades fracionárias, você precisa saber que o método intervalar é usado para resolvê-las. Uma desigualdade fracionária deve ser apresentada de forma que um lado do sinal se pareça com uma expressão racional fracionária e o outro lado se pareça com “- 0”. Transformando a desigualdade desta forma, obtemos como resultado f(x)/g(x) > (.

Resolvendo desigualdades usando o método de intervalo

A técnica intervalar é baseada no método de indução completa, ou seja, para encontrar uma solução para a desigualdade é necessário passar por todos opções possíveis. Este método soluções podem não ser exigidas para alunos do 8º ano, pois eles devem saber resolver inequações do 8º ano, que são exercícios simples. Mas para as séries mais antigas este método é indispensável, pois ajuda a resolver desigualdades fracionárias. A resolução de desigualdades usando esta técnica também se baseia na propriedade de uma função contínua, como preservar o sinal entre os valores em que ela passa para 0.

Vamos construir um gráfico do polinômio. Esta é uma função contínua que assume o valor 0 3 vezes, ou seja, f(x) será igual a 0 nos pontos x 1, x 2 e x 3, raízes do polinômio. Nos intervalos entre esses pontos, o sinal da função é preservado.

Como para resolver a inequação f(x)>0 precisamos do sinal da função, passamos para a reta coordenada, saindo do gráfico.

f(x)>0 para x(x 1 ; x 2) e para x(x 3 ;)

f(x)x(- ; x 1) e em x (x 2 ; x 3)

O gráfico mostra claramente as soluções para as desigualdades f(x)f(x)>0 (a solução para a primeira desigualdade está em azul e a solução para a segunda em vermelho). Para determinar o sinal de uma função em um intervalo, basta conhecer o sinal da função em um dos pontos. Esta técnica permite resolver rapidamente desigualdades nas quais lado esquerdo fatoradas, porque em tais desigualdades é bastante simples encontrar as raízes.