Palestra: Cone. Base, altura, superfície lateral, geratriz, desenvolvimento

Cone- trata-se de um corpo constituído por um círculo, que se localiza na base, de um ponto equidistante de todos os pontos do círculo, bem como de retas que ligam este ponto (vértice) a todos os pontos do círculo.

Algumas perguntas antes, vimos a pirâmide. Então o cone é caso especial uma pirâmide com um círculo na base. Quase todas as propriedades de uma pirâmide se aplicam a um cone.

Como você pode conseguir um cone? Lembre-se da última pergunta e de como obtivemos o cilindro. Agora pegue um triângulo isósceles e gire-o em torno de seu eixo - você obterá um cone.

Geradores do cone- são segmentos delimitados entre os pontos do círculo e o vértice do cone. Os geradores do cone são iguais entre si.

Para encontrar o comprimento da geratriz, você deve usar a fórmula:

Se todos os geradores estiverem conectados entre si, podemos obter superfície lateral cone Sua superfície geral consiste em uma superfície lateral e uma base em forma de círculo.

O cone tem altura. Para obtê-lo, basta baixar a perpendicular do topo diretamente ao centro da base.

Para encontrar a área da superfície lateral, use a fórmula:

Para encontrar a área total da superfície de um cone, use a seguinte fórmula.

Cone. Tronco

Superfície cônicaé a superfície formada por todas as retas que passam por cada ponto de uma determinada curva e por um ponto fora da curva (Fig. 32).

Esta curva é chamada guia , direto - formando , ponto - principal superfície cônica.

Superfície cônica circular retaé a superfície formada por todas as retas que passam por cada ponto de um determinado círculo e um ponto de uma reta que é perpendicular ao plano do círculo e passa pelo seu centro. A seguir chamaremos brevemente esta superfície superfície cônica (Fig. 33).

Cone (cone circular reto ) é um corpo geométrico delimitado por uma superfície cônica e um plano paralelo ao plano do círculo guia (Fig. 34).

Arroz. 32 Fig. 33 Fig. 34

Um cone pode ser considerado como um corpo obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um dos catetos do triângulo.

O círculo que envolve um cone é chamado de base . O vértice de uma superfície cônica é chamado principal cone O segmento que liga o vértice de um cone ao centro de sua base é denominado altura cone Os segmentos que formam uma superfície cônica são chamados formando cone Eixo de um cone é uma linha reta que passa pelo topo do cone e pelo centro de sua base. Seção axial chamada de seção que passa pelo eixo do cone. Desenvolvimento da superfície lateral de um cone é um setor cujo raio igual ao comprimento geratriz do cone, e o comprimento do arco do setor é igual à circunferência da base do cone.

As fórmulas corretas para um cone são:

Onde R– raio base;

H- altura;

eu– comprimento da geratriz;

base S– área base;

Lado S

Está cheio

V– volume do cone.

Cone truncado chamada de parte do cone delimitada entre a base e o plano de corte paralelo à base do cone (Fig. 35).

Um cone truncado pode ser considerado como um corpo obtido por rotação trapézio retangular em torno de um eixo que contém o lado do trapézio perpendicular às bases.

Os dois círculos que circundam um cone são chamados de razões . Altura de um cone truncado é a distância entre suas bases. Os segmentos que formam a superfície cônica de um cone truncado são chamados formando . Uma linha reta que passa pelos centros das bases é chamada eixo cone truncado. Seção axial chamada de seção que passa pelo eixo de um cone truncado.

Para um cone truncado as fórmulas corretas são:

(8)

Onde R– raio da base inferior;

R– raio da base superior;

H– altura, l – comprimento da geratriz;

Lado S– superfície lateral;

Está cheio– área superficial total;

V– volume de um cone truncado.

Exemplo 1. A seção transversal do cone paralela à base divide a altura na proporção de 1:3, contando a partir do topo. Encontre a área da superfície lateral de um cone truncado se o raio da base e a altura do cone forem 9 cm e 12 cm.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 36).

Para calcular a área da superfície lateral de um cone truncado, utilizamos a fórmula (8). Vamos encontrar os raios das bases Cerca de 1 A E Cerca de 1V e formando AB.

Considere triângulos semelhantes SO2B E ASSIM 1A, coeficiente de similaridade, então

Daqui

Desde então

A área da superfície lateral de um cone truncado é igual a:

Responder: .

Exemplo 2. Um quarto de círculo de raio é dobrado em uma superfície cônica. Encontre o raio da base e a altura do cone.

Solução. O quadrante do círculo é o desenvolvimento da superfície lateral do cone. Vamos denotar R– raio da sua base, H- altura. Vamos calcular a área da superfície lateral usando a fórmula: . É igual à área de um quarto de círculo: . Obtemos uma equação com duas incógnitas R E eu(formando um cone). Neste caso, a geratriz é igual ao raio do quarto de círculo R, o que significa que obtemos a seguinte equação: , de onde Conhecendo o raio da base e do gerador, encontramos a altura do cone:

Responder: 2 cm, .

Exemplo 3. Trapézio retangular com ângulo agudo 45 O, com base menor de 3 cm e lado inclinado igual a , gira em torno do lado perpendicular às bases. Encontre o volume do corpo de revolução resultante.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 37).

Como resultado da rotação obtemos um cone truncado, para encontrar seu volume calculamos o raio da base maior e a altura; No trapézio O 1 O 2 AB nós conduziremos AC ^ O 1 B. B temos: isso significa que este triângulo é isósceles A.C.=a.C.=3 cm.

Responder:

Exemplo 4. Um triângulo com lados de 13 cm, 37 cm e 40 cm gira em torno de um eixo externo, que é paralelo ao lado maior e localizado a uma distância de 3 cm dele (o eixo está localizado no plano do triângulo). Encontre a área da superfície do corpo de rotação resultante.

Solução . Vamos fazer um desenho (Fig. 38).

A superfície do corpo de revolução resultante consiste nas superfícies laterais de dois cones truncados e na superfície lateral de um cilindro. Para calcular essas áreas é necessário conhecer os raios das bases dos cones e do cilindro ( SER E O.C.), formando cones ( a.C. E A.C.) e altura do cilindro ( AB). A única incógnita é CO. esta é a distância do lado do triângulo ao eixo de rotação. Nós vamos encontrar CC. A área do triângulo ABC de um lado é igual ao produto da metade do lado AB pela altitude desenhada para ele CC, por outro lado, conhecendo todos os lados do triângulo, calculamos sua área pela fórmula de Heron.

e um plano paralelo à base ( arroz. ). O volume do Reino Unido é igual a , Onde R 1 e R 2 – raios básicos, h- altura.

Grande Enciclopédia Soviética. - M.: Enciclopédia Soviética. 1969-1978 .

Veja o que é um “cone truncado” em outros dicionários:

Corpo geométrico cortado de um cone por um plano paralelo à base (Fig.). Volume cone truncado igual. * * * CONE TRUNCADO CONE TRUNCADO, corpo geométrico cortado do cone por um plano paralelo à base. Volume… … dicionário enciclopédico

tronco- - Tópicos indústria de petróleo e gás EN cone truncado ... Guia do Tradutor Técnico

TRUNCADO, truncado, truncado; truncado, truncado, truncado. 1. par. Sofrimento passado vr. de truncar (livro). 2. Aquele em que a parte superior é cortada por um plano paralelo à base (cerca de um cone, uma pirâmide; tapete.). Tronco. Pirâmide truncada... Dicionário Ushakova

truncado- ah, ah.; matemática. Aquele em que a parte superior é cortada por um plano paralelo à base. Tronco. A pirâmide... Dicionário de muitas expressões

TRUNCADO, oh, oh. Em matemática: aquele em que a parte apical é separada, cortada por um plano paralelo à base. U. cone. Pirâmide truncada. Dicionário explicativo de Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992… Dicionário Explicativo de Ozhegov

Sim, ah. 1. par. Sofrimento passado de truncado. 2. em significado adj. esteira. Aquele em que a parte superior é cortada por um plano paralelo à base. Tronco. Pirâmide truncada. 3. no significado adj. grama., lit. Com truncamento (2 dígitos), representando... Pequeno dicionário acadêmico

Cone circular reto. Direto e... Wikipédia

- (latim conus, do grego konos) superfície cônica é um conjunto de linhas retas (geradores) do espaço conectando todos os pontos de uma determinada linha (guia) com um determinado ponto (vértice) do espaço. O K. mais simples é redondo, ou reto circular, direcionado para ... Grande Dicionário Enciclopédico Politécnico

- (latim conus, do grego konos) (matemática), 1) K., ou superfície cônica, o lugar geométrico das linhas retas (geradores) do espaço conectando todos os pontos de uma determinada linha (guia) com um determinado ponto (vértice) do espaço.… … Grande Enciclopédia Soviética

O mundo que nos rodeia é dinâmico e diversificado, e nem todos os objetos podem ser simplesmente medidos com uma régua. Para tal transferência, são utilizadas técnicas especiais, como a triangulação. A necessidade de compilar desenvolvimentos complexos, via de regra, ... ... Wikipedia

Cone (do grego "konos")– Pinha. O cone é conhecido pelas pessoas desde os tempos antigos. Em 1906, foi descoberto o livro “Sobre o Método”, escrito por Arquimedes (287-212 aC). Este livro dá uma solução para o problema do volume da parte comum dos cilindros que se cruzam; Arquimedes diz que esta descoberta pertence a filósofo grego antigo Demócrito (470-380 aC), que, a partir deste princípio, obteve fórmulas para calcular o volume de uma pirâmide e de um cone.

Um cone (cone circular) é um corpo que consiste em um círculo - a base do cone, um ponto que não pertence ao plano deste círculo - o vértice do cone e todos os segmentos que conectam o vértice do cone e os pontos de o círculo básico. Os segmentos que conectam o vértice do cone aos pontos do círculo base são chamados de geradores do cone. A superfície do cone consiste em uma base e uma superfície lateral.

Um cone é chamado de reto se a linha reta que conecta o topo do cone ao centro da base for perpendicular ao plano da base. Um cone circular reto pode ser considerado como um corpo obtido girando um triângulo retângulo em torno de sua perna como um eixo.

A altura de um cone é a perpendicular que desce do seu topo até o plano da base. você cone reto a base da altura coincide com o centro da base. O eixo de um cone reto é a linha reta que contém sua altura.

A seção de um cone por um plano que passa pela geratriz do cone e perpendicular à seção axial traçada por essa geratriz é chamada de plano tangente do cone.

Um plano perpendicular ao eixo do cone intercepta o cone em um círculo, e a superfície lateral intercepta um círculo centrado no eixo do cone.

Um plano perpendicular ao eixo do cone corta dele um cone menor. A parte restante é chamada de cone truncado.

O volume de um cone é igual a um terço do produto da altura pela área da base. Assim, todos os cones apoiados em esta base e tendo um vértice localizado em um determinado plano paralelo à base, tem volume igual, já que suas alturas são iguais.

A área da superfície lateral do cone pode ser encontrada usando a fórmula:

Lado S = πRl,

A área total da superfície do cone é encontrada pela fórmula:

S con = πRl + πR 2,

onde R é o raio da base, l é o comprimento da geratriz.

O volume de um cone circular é igual a

V = 1/3 πR 2 H,

onde R é o raio da base, H é a altura do cone

A área da superfície lateral de um cone truncado pode ser encontrada usando a fórmula:

Lado S = π(R + r)l,

A área total da superfície de um cone truncado pode ser encontrada usando a fórmula:

S con = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

onde R é o raio da base inferior, r é o raio da base superior, l é o comprimento da geratriz.

O volume de um cone truncado pode ser encontrado da seguinte forma:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

onde R é o raio da base inferior, r é o raio da base superior, H é a altura do cone.

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Arroz. 1. Objetos da vida que têm o formato de um cone truncado

De onde você acha que vêm as novas formas na geometria? Tudo é muito simples: uma pessoa se depara com objetos semelhantes na vida e inventa um nome para eles. Consideremos a arquibancada em que os leões sentam no circo, o pedaço de cenoura que resulta quando cortamos apenas parte dele, vulcão ativo e, por exemplo, a luz de uma lanterna (ver Fig. 1).

Arroz. 2. Formas geométricas

Vemos que todas essas figuras têm uma forma semelhante - tanto abaixo quanto acima são limitadas por círculos, mas afunilam para cima (ver Fig. 2).

Arroz. 3. Cortando o topo do cone

Parece um cone. Só falta o topo. Vamos imaginar mentalmente que pegamos uma casquinha e cortamos parte do topo com um golpe de uma espada afiada (ver Fig. 3).

Arroz. 4. Cone truncado

O resultado é exatamente a nossa figura, é chamado de cone truncado (ver Fig. 4).

Arroz. 5. Seção paralela à base do cone

Deixe um cone ser dado. Vamos desenhar um avião paralelo ao plano a base deste cone e cruzando o cone (ver Fig. 5).

Isso dividirá o cone em dois corpos: um deles é um cone menor e o segundo é chamado de cone truncado (ver Fig. 6).

Arroz. 6. Os corpos resultantes com seção paralela

Assim, um cone truncado é parte de um cone encerrado entre sua base e um plano paralelo à base. Tal como acontece com um cone, um cone truncado pode ter um círculo na sua base, caso em que é denominado circular. Se o cone original era reto, o cone truncado é chamado de reto. Tal como acontece com os cones, consideraremos apenas cones truncados circulares retos, a menos que seja especificamente declarado que estamos falando sobre sobre um cone truncado indireto ou suas bases não são círculos.

Arroz. 7. Rotação de um trapézio retangular

Nosso tema global são corpos de rotação. O cone truncado não é exceção! Lembremos que para obter um cone consideramos triângulo retângulo e girou em torno da perna? Se o cone resultante for interceptado por um plano paralelo à base, o triângulo permanecerá um trapézio retangular. A sua rotação em torno do lado menor nos dará um cone truncado. Observemos novamente que, é claro, estamos falando apenas de um cone circular reto (ver Fig. 7).

Arroz. 8. Bases de um cone truncado

Vamos fazer alguns comentários. A base de um cone completo e o círculo resultante de uma seção do cone por um plano são chamados de bases de um cone truncado (inferior e superior) (ver Fig. 8).

Arroz. 9. Geradores de cone truncado

Os segmentos dos geradores de um cone completo, encerrados entre as bases de um cone truncado, são chamados de geradores de cone truncado. Como todos os geradores do cone original são iguais e todos os geradores do cone cortado são iguais, então os geradores do cone truncado são iguais (não confunda o cortado com o truncado!). Isso implica que o trapézio é isósceles seção axial(ver Fig. 9).

O segmento do eixo de rotação encerrado dentro de um cone truncado é denominado eixo do cone truncado. Este segmento, é claro, conecta os centros de suas bases (ver Fig. 10).

Arroz. 10. Eixo de um cone truncado

A altura de um cone truncado é uma perpendicular traçada de um ponto de uma das bases à outra base. Na maioria das vezes, a altura de um cone truncado é considerada seu eixo.

Arroz. 11. Seção axial de um cone truncado

A seção axial de um cone truncado é a seção que passa por seu eixo. Tem a forma de um trapézio; um pouco mais tarde provaremos que é isósceles (ver Fig. 11).

Arroz. 12. Cone com notações introduzidas

Vamos encontrar a área da superfície lateral do cone truncado. Deixe as bases do cone truncado terem raios e , e a geratriz ser igual (ver Fig. 12).

Arroz. 13. Designação da geratriz do cone cortado

Encontremos a área da superfície lateral do cone truncado como a diferença entre as áreas das superfícies laterais do cone original e do cone cortado. Para fazer isso, denotaremos pela geratriz do cone cortado (ver Fig. 13).

Então o que você está procurando.

Arroz. 14. Triângulos semelhantes

Resta apenas expressar.

Observe isso pela semelhança dos triângulos, daí (ver Fig. 14).

Seria possível expressar , dividindo pela diferença dos raios, mas não precisamos disso, pois o produto que procuramos aparece na expressão que procuramos. Substituindo, finalmente temos: .

Agora é fácil obter uma fórmula para a área superficial total. Para isso, basta somar a área dos dois círculos das bases: .

Arroz. 15. Ilustração para o problema

Seja um cone truncado girando um trapézio retangular em torno de sua altura. A linha média do trapézio é igual a , e o lado lateral grande é igual a (ver Fig. 15). Encontre a área da superfície lateral do cone truncado resultante.

Solução

Pela fórmula sabemos que .

A geratriz do cone será o lado maior do trapézio original, ou seja, os raios do cone são as bases do trapézio. Não podemos encontrá-los. Mas não precisamos disso: precisamos apenas da soma deles, e a soma das bases de um trapézio é duas vezes maior linha média, ou seja, é igual a . Então .

Observe que quando falamos sobre o cone, traçamos paralelos entre ele e a pirâmide - as fórmulas eram semelhantes. É a mesma coisa aqui, porque um cone truncado é muito semelhante a uma pirâmide truncada, então as fórmulas para as áreas das superfícies laterais e totais de um cone truncado e de uma pirâmide (e em breve haverá fórmulas para volume) são semelhantes.

Arroz. 1. Ilustração do problema

Os raios das bases do cone truncado são iguais a e , e a geratriz é igual a . Encontre a altura do cone truncado e a área de sua seção axial (ver Fig. 1).