Conceitos básicos do cone. Cone circular reto
Obtido pela combinação de todos os raios que emanam de um ponto ( picos cone) e passando por uma superfície plana. Às vezes, um cone é uma parte de tal corpo obtido pela combinação de todos os segmentos que conectam o vértice e os pontos de uma superfície plana (este último neste caso é chamado base cone, e o cone é chamado inclinando-se sobre esta base). Este é o caso que será considerado abaixo, salvo indicação em contrário. Se a base do cone for um polígono, o cone se tornará uma pirâmide.
"== Definições relacionadas ==
- O segmento que conecta o vértice e o limite da base é chamado geratriz do cone.
- A união dos geradores de um cone é chamada geratriz(ou lado) superfície do cone. A superfície formadora do cone é uma superfície cônica.
- Um segmento caído perpendicularmente do vértice ao plano da base (bem como o comprimento de tal segmento) é chamado altura do cone.
- Se a base de um cone tem um centro de simetria (por exemplo, é um círculo ou uma elipse) e a projeção ortogonal do vértice do cone no plano da base coincide com este centro, então o cone é chamado direto. Neste caso, a linha reta que liga o topo e o centro da base é chamada eixo cônico.
- Oblíquo (inclinado) cone - cone cuja projeção ortogonal do vértice na base não coincide com seu centro de simetria.
- Cone circular- um cone cuja base é um círculo.
- Cone circular reto(muitas vezes chamado simplesmente de cone) pode ser obtido girando um triângulo retângulo em torno de uma linha que contém a perna (esta linha representa o eixo do cone).
- Um cone apoiado em uma elipse, parábola ou hipérbole é chamado respectivamente elíptico, parabólico E cone hiperbólico(os dois últimos têm volume infinito).
- A parte do cone situada entre a base e o plano paralelo à base e localizado entre o topo e a base é chamado cone truncado.
Propriedades
- Se a área da base for finita, então o volume do cone também é finito e igual a um terço do produto da altura pela área da base. Assim, todos os cones apoiados em uma determinada base e tendo um vértice localizado em um determinado plano paralelo à base têm volume igual, já que suas alturas são iguais.
- O centro de gravidade de qualquer cone com volume finito está a um quarto da altura da base.
- O ângulo sólido no vértice de um cone circular reto é igual a
- A área da superfície lateral de tal cone é igual a
- O volume de um cone circular é igual a
- A intersecção de um plano com um cone circular reto é uma das seções cônicas (em casos não degenerados - uma elipse, parábola ou hipérbole, dependendo da posição do plano de corte).
Generalizações
Em geometria algébrica coneé um subconjunto arbitrário de um espaço vetorial sobre um corpo, para o qual para qualquer
Veja também
- Cone (topologia)
Fundação Wikimedia. 2010.
Veja o que é um “cone circular reto” em outros dicionários:
Cone circular reto. Direto e... Wikipédia
Cone circular reto Um cone é um corpo obtido pela combinação de todos os raios que emanam de um ponto (o vértice do cone) e passam por uma superfície plana. Às vezes, um cone é uma parte de um corpo obtido pela combinação de todos os segmentos que conectam ... Wikipedia
Cone- Cone circular reto. CONE (do latim conus, do grego konos cone), corpo geométrico delimitado por uma superfície cônica redonda e um plano que não passa pelo topo da superfície cônica. Se o vértice estiver em... ... Dicionário Enciclopédico Ilustrado
- (latim conus; grego konos). Corpo delimitado por uma superfície formada pela inversão de uma reta, cuja extremidade está imóvel (o vértice do cone) e a outra se move ao longo da circunferência de uma determinada curva; parece um pão de açúcar. Dicionário palavras estrangeiras,… … Dicionário de palavras estrangeiras da língua russa
CONE- (1) na geometria elementar, corpo geométrico limitado por uma superfície formada pelo movimento de uma linha reta (gerando um cone) através de um ponto fixo (topo do cone) ao longo de uma guia (base do cone). A superfície formada é delimitada entre... Grande Enciclopédia Politécnica
- corpo geométrico (reto circular) formado por rotação triângulo retângulo perto de uma das pernas. A hipotenusa é chamada de geradora; altura fixa das pernas; um círculo descrito por uma perna giratória com base. Superfície lateral K.... ... Enciclopédia de Brockhaus e Efron
- (reta circular K.) um corpo geométrico formado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de uma das pernas. A hipotenusa é chamada de geradora; altura fixa das pernas; um círculo descrito por uma perna giratória com base. Superfície lateral…
- corpo geométrico (reto circular) formado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um dos catetos. A hipotenusa é chamada de geradora; altura fixa das pernas; um círculo descrito por uma perna giratória com base. Superfície lateral K... dicionário enciclopédico F. Brockhaus e I.A. Efrom
- (latim conus, do grego konos) (matemática), 1) K., ou superfície cônica, o lugar geométrico das linhas retas (geradores) do espaço conectando todos os pontos de uma determinada linha (guia) com um determinado ponto (vértice) do espaço.… … Grande Enciclopédia Soviética
Palestra: Cone. Base, altura, superfície lateral, geratriz, desenvolvimento
Cone- trata-se de um corpo constituído por um círculo, que se localiza na base, de um ponto equidistante de todos os pontos do círculo, bem como de retas que ligam este ponto (vértice) a todos os pontos do círculo.
Algumas perguntas antes, vimos a pirâmide. Então o cone é caso especial uma pirâmide com um círculo na base. Quase todas as propriedades de uma pirâmide se aplicam a um cone.
Como você pode conseguir um cone? Lembre-se da última pergunta e de como obtivemos o cilindro. Agora pegue um triângulo isósceles e gire-o em torno de seu eixo - você obterá um cone.
Geradores do cone- são segmentos delimitados entre os pontos do círculo e o vértice do cone. Os geradores do cone são iguais entre si.
Para encontrar o comprimento da geratriz, você deve usar a fórmula:
Se todos os geradores estiverem conectados entre si, podemos obter superfície lateral cone Sua superfície geral consiste em uma superfície lateral e uma base em forma de círculo.
O cone tem altura. Para obtê-lo, basta baixar a perpendicular do topo diretamente ao centro da base.
Para encontrar a área da superfície lateral, use a fórmula:
Para encontrar a área total da superfície de um cone, use a seguinte fórmula.
Obtido pela combinação de todos os raios que emanam de um ponto ( picos cone) e passando por uma superfície plana. Às vezes, um cone é uma parte de tal corpo obtido pela combinação de todos os segmentos que conectam o vértice e os pontos de uma superfície plana (este último neste caso é chamado base cone, e o cone é chamado inclinando-se nesta base). Este é o caso que será considerado abaixo, salvo indicação em contrário. Se a base do cone for um polígono, o cone se tornará uma pirâmide.
"== Definições relacionadas ==
- O segmento que conecta o vértice e o limite da base é chamado geratriz do cone.
- A união dos geradores de um cone é chamada geratriz(ou lado) superfície do cone. A superfície formadora do cone é uma superfície cônica.
- Um segmento caído perpendicularmente do vértice ao plano da base (bem como o comprimento de tal segmento) é chamado altura do cone.
- Se a base de um cone tem um centro de simetria (por exemplo, é um círculo ou uma elipse) e a projeção ortogonal do vértice do cone no plano da base coincide com este centro, então o cone é chamado direto. Neste caso, a linha reta que liga o topo e o centro da base é chamada eixo cônico.
- Oblíquo (inclinado) cone - cone cuja projeção ortogonal do vértice na base não coincide com seu centro de simetria.
- Cone circular- um cone cuja base é um círculo.
- Cone circular reto(muitas vezes chamado simplesmente de cone) pode ser obtido girando um triângulo retângulo em torno de uma linha que contém a perna (esta linha representa o eixo do cone).
- Um cone apoiado em uma elipse, parábola ou hipérbole é chamado respectivamente elíptico, parabólico E cone hiperbólico(os dois últimos têm volume infinito).
- A parte do cone situada entre a base e um plano paralelo à base e localizada entre o topo e a base é chamada cone truncado.
Propriedades
- Se a área da base for finita, então o volume do cone também é finito e igual a um terço do produto da altura pela área da base. Assim, todos os cones apoiados em uma determinada base e tendo um vértice localizado em um determinado plano paralelo à base têm volume igual, pois suas alturas são iguais.
- O centro de gravidade de qualquer cone com volume finito está a um quarto da altura da base.
- O ângulo sólido no vértice de um cone circular reto é igual a
- A área da superfície lateral de tal cone é igual a
- O volume de um cone circular é igual a
- A intersecção de um plano com um cone circular reto é uma das seções cônicas (em casos não degenerados - uma elipse, parábola ou hipérbole, dependendo da posição do plano de corte).
Generalizações
Em geometria algébrica coneé um subconjunto arbitrário de um espaço vetorial sobre um corpo, para o qual para qualquer
Veja também
- Cone (topologia)
Fundação Wikimedia. 2010.
Veja o que é “Cone (figura geométrica)” em outros dicionários:
Cone: Em matemática Cone figura geométrica. Cone sobre o espaço topológico. Cone (Teoria da Categoria). Usando a técnica do Cone método instrumental interface entre ferramenta e fuso em máquinas-ferramentas. Unidade de dispositivo cônico... ... Wikipedia
A geometria é um ramo da matemática intimamente relacionado ao conceito de espaço; dependendo das formas de descrição deste conceito, tipos diferentes geometria. Supõe-se que o leitor, ao começar a ler este artigo, tenha alguma... Enciclopédia de Collier
Visualização da imagem informativa na tela do display (monitor). Ao contrário da reprodução de uma imagem em papel ou outra mídia, uma imagem criada em uma tela pode ser quase imediatamente apagada e/ou corrigida, comprimida ou esticada... ... dicionário enciclopédico
História da ciência ... Wikipédia
História da ciência Por tópico Matemática Ciências naturais ... Wikipedia
- (Grego geodaisia, de ge Terra e daio eu divido, divido), a ciência de determinar a posição dos objetos em superfície da Terra, sobre o tamanho, forma e campo gravitacional da Terra e de outros planetas. Este é um ramo da matemática aplicada, intimamente relacionado à geometria,... ... Enciclopédia de Collier
Definições:
Definição 1. Cone
Definição 2. Cone circular
Definição 3. Altura do cone
Definição 4. Cone reto
Definição 5. Cone circular direito
Teorema 1. Geradores do cone
Teorema 1.1. Seção axial cone
Volume e área:
Teorema 2. Volume de um cone
Teorema 3. Área da superfície lateral de um cone
Fruto:
Teorema 4. Seção paralela à base
Definição 6. Cone truncado
Teorema 5. Volume de um cone truncado
Teorema 6. Superfície lateral de um cone truncado
Definições
Um corpo delimitado lateralmente por uma superfície cônica tomada entre seu topo e o plano da guia, e a base plana da guia formada por uma curva fechada, é denominado cone.
Conceitos Básicos
Um cone circular é um corpo que consiste em um círculo (base), um ponto que não está no plano da base (vértice) e todos os segmentos que conectam o vértice aos pontos da base. 
Um cone reto é um cone cuja altura contém o centro da base do cone.
Considere qualquer linha (curva, quebrada ou mista) (por exemplo, eu), situado em um determinado plano, e um ponto arbitrário (por exemplo, M) não situado neste plano. Todas as linhas retas possíveis conectando o ponto M a todos os pontos de uma determinada linha eu, forma superfície chamada canônica. O ponto M é o vértice de tal superfície, e a linha dada eu - guia. Todas as linhas retas conectando o ponto M a todos os pontos da linha eu, chamado formando. Uma superfície canônica não é limitada nem por seu vértice nem por sua guia. Estende-se indefinidamente em ambas as direções a partir do topo. Seja agora a guia uma linha convexa fechada. Se a guia for uma linha quebrada, então o corpo, delimitado nas laterais por uma superfície canônica tomada entre seu topo e o plano da guia, e uma base plana no plano da guia, é chamado de pirâmide.
Se a guia for uma linha curva ou mista, então o corpo limitado nas laterais por uma superfície canônica tomada entre seu topo e o plano da guia, e uma base plana no plano da guia, é chamado de cone ou
Definição 1
. Um cone é um corpo constituído por uma base - figura plana, delimitado por uma linha fechada (curva ou mista), um vértice - um ponto que não está no plano da base e todos os segmentos que conectam o vértice a todos os pontos possíveis da base.
Todas as retas que passam pelo vértice do cone e qualquer um dos pontos da curva que delimita a figura da base do cone são chamadas de geradores do cone. Na maioria das vezes, em problemas geométricos, a geratriz de uma linha reta significa um segmento dessa linha reta, delimitado entre o vértice e o plano da base do cone.
A base de uma linha mista limitada é muito caso raro. É indicado aqui apenas porque pode ser considerado em geometria. O caso de uma guia curva é considerado com mais frequência. Embora tanto o caso com uma curva arbitrária quanto o caso com uma diretriz mista sejam de pouca utilidade e seja difícil derivar quaisquer padrões deles. Dentre os cones, o cone circular reto é estudado no curso de geometria elementar.
Sabe-se que um círculo é um caso especial de linha curva fechada. Um círculo é uma figura plana delimitada por um círculo. Tomando o círculo como guia, podemos definir um cone circular.
Definição 2
. Um cone circular é um corpo que consiste em um círculo (base), um ponto que não está no plano da base (vértice) e todos os segmentos que conectam o vértice aos pontos da base.
Definição 3
. A altura de um cone é a perpendicular que desce do topo até o plano da base do cone. Você pode selecionar um cone cuja altura caia no centro da figura plana da base.
Definição 4
. Um cone reto é um cone cuja altura contém o centro da base do cone.
Se combinarmos essas duas definições, obtemos um cone cuja base é um círculo e a altura cai no centro desse círculo.
Definição 5
. Um cone circular reto é um cone cuja base é um círculo e sua altura conecta o topo e o centro da base desse cone. Tal cone é obtido girando um triângulo retângulo em torno de uma de suas pernas. Portanto, um cone circular reto é um corpo de revolução e também é chamado de cone de revolução. Salvo indicação em contrário, por questões de brevidade, no que se segue, dizemos simplesmente cone.
Então aqui estão algumas propriedades do cone:
Teorema 1.
Todos os geradores do cone são iguais. Prova. A altura do MO é perpendicular a todas as retas da base, por definição, uma reta perpendicular ao plano. Portanto, os triângulos MOA, MOB e MOS são retangulares e iguais em dois catetos (MO é o geral, OA=OB=OS são os raios da base. Portanto, as hipotenusas, ou seja, os geradores, também são iguais.
O raio da base do cone é às vezes chamado raio do cone. A altura do cone também é chamada eixo cônico, portanto, qualquer seção que passa pela altura é chamada seção axial. Qualquer seção axial cruza a base em diâmetro (já que a linha reta ao longo da qual a seção axial e o plano da base se cruzam passa pelo centro do círculo) e forma um triângulo isósceles.
Teorema 1.1.
A seção axial do cone é um triângulo isósceles. Então o triângulo AMB é isósceles, porque seus dois lados MB e MA são geradores. O ângulo AMB é o ângulo no vértice da seção axial.
Um cone truncado é obtido se um cone menor for cortado do cone por um plano paralelo à base (Fig. 8.10). Um cone truncado tem duas bases: “inferior” - a base do cone original - e “superior” - a base do cone cortado De acordo com o teorema da seção de um cone, as bases de um cone truncado são semelhantes. .
A altura de um cone truncado é a perpendicular traçada de um ponto de uma base ao plano de outra. Todas essas perpendiculares são iguais (ver seção 3.5). A altura também é chamada de comprimento, ou seja, a distância entre os planos das bases.
O cone de revolução truncado é obtido a partir do cone de revolução (Fig. 8.11). Portanto, suas bases e todas as suas seções paralelas a elas são círculos com centros na mesma linha reta - no eixo. Um cone de revolução truncado é obtido girando trapézio retangular em torno de seu lado, perpendicular às bases, ou por rotação
trapézio isósceles em torno do eixo de simetria (Fig. 8.12).
Superfície lateral de um cone de revolução truncado
Esta é a parte da superfície lateral do cone de revolução do qual deriva. A superfície de um cone de revolução truncado (ou sua superfície completa) consiste em suas bases e sua superfície lateral.
8.5. Imagens de cones de revolução e cones de revolução truncados.
Um cone circular reto é desenhado assim. Primeiro, desenhe uma elipse representando o círculo da base (Fig. 8.13). Em seguida, encontre o centro da base - ponto O e desenhe um segmento vertical PO, que representa a altura do cone. Do ponto P, desenhe linhas tangentes (referência) à elipse (praticamente isso é feito a olho nu, aplicando uma régua) e selecione os segmentos RA e PB dessas linhas do ponto P aos pontos de tangência A e B. Observe que o segmento AB não é o diâmetro do cone base, e o triângulo ARV não é a seção axial do cone. A seção axial do cone é um triângulo APC: o segmento AC passa pelo ponto O. Linhas invisíveis são desenhadas com traços; O segmento OP muitas vezes não é desenhado, mas apenas delineado mentalmente para representar o topo do cone P diretamente acima do centro da base - ponto O.
Ao representar um cone de revolução truncado, é conveniente primeiro desenhar o cone do qual o cone truncado é obtido (Fig. 8.14).
8.6. Seções cônicas. Já dissemos que o plano intercepta a superfície lateral do cilindro de rotação ao longo de uma elipse (seção 6.4). Além disso, a seção da superfície lateral de um cone de rotação por um plano que não cruza sua base é uma elipse (Fig. 8.15). Portanto, uma elipse é chamada de seção cônica.
As seções cônicas também incluem outras curvas conhecidas - hipérboles e parábolas. Consideremos um cone ilimitado obtido estendendo a superfície lateral do cone de revolução (Fig. 8.16). Vamos intersectá-lo com um plano a que não passa pelo vértice. Se a intercepta todos os geradores do cone, então na seção, como já foi dito, obtemos uma elipse (Fig. 8.15).
Ao girar o plano OS, você pode garantir que ele cruze todas as geratrizes do cone K, exceto uma (à qual o OS é paralelo). Então na seção transversal obtemos uma parábola (Fig. 8.17). Finalmente, girando ainda mais o plano OS, iremos transferi-lo para uma posição tal que a, cruzando parte dos geradores do cone K, não cruze o número infinito de seus outros geradores e seja paralelo a dois deles (Fig. 8.18 ). Então, na seção do cone K com o plano a, obtemos uma curva chamada hipérbole (mais precisamente, um de seus “ramos”). Assim, uma hipérbole, que é o gráfico de uma função, é um caso especial de uma hipérbole – uma hipérbole equilátera, assim como um círculo é um caso especial de uma elipse.
Quaisquer hipérboles podem ser obtidas a partir de hipérboles equiláteras por meio de projeção, da mesma forma que uma elipse é obtida pela projeção paralela de um círculo.
Para obter os dois ramos da hipérbole, é necessário tomar uma seção de um cone que possui duas “cavidades”, ou seja, um cone formado não por raios, mas por retas contendo as geratrizes das superfícies laterais do cone de revolução (Fig. 8.19).
As seções cônicas foram estudadas pelos antigos geômetras gregos, e sua teoria foi um dos ápices da geometria antiga. O estudo mais completo das seções cônicas da antiguidade foi realizado por Apolônio de Perga (século III aC).
Existem várias propriedades importantes que combinam elipses, hipérboles e parábolas em uma classe. Por exemplo, esgotam o “não degenerado”, isto é, curvas que não são redutíveis a um ponto, uma linha ou um par de linhas, que são definidas em um plano em Coordenadas cartesianas equações da forma
Seções cônicas são reproduzidas papel importante na natureza: os corpos se movem em órbitas elípticas, parabólicas e hiperbólicas num campo gravitacional (lembre-se das leis de Kepler). As notáveis propriedades das seções cônicas são frequentemente utilizadas em ciência e tecnologia, por exemplo, na fabricação de certos instrumentos ópticos ou holofotes (a superfície do espelho em um holofote é obtida girando o arco de uma parábola em torno do eixo da parábola ). Seções cônicas podem ser observadas como limites da sombra de abajures redondos (Fig. 8.20).