Que tipo de movimento oscilatório é chamado harmônico? Oscilações

Mudanças em qualquer quantidade são descritas usando as leis do seno ou cosseno, então tais oscilações são chamadas de harmônicas. Consideremos um circuito composto por um capacitor (que foi carregado antes de ser incluído no circuito) e um indutor (Fig. 1).

Imagem 1.

A equação de vibração harmônica pode ser escrita da seguinte forma:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

onde $t$ é tempo; $q$ cobrança, $q_0$-- desvio máximo da cobrança em relação ao seu valor médio (zero) durante as alterações; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- fase de oscilação; $(\alpha )_0$- fase inicial; $(\omega )_0$ - frequência cíclica. Durante o período, a fase muda em $2\pi $.

Equação da forma:

equação de vibrações harmônicas em forma diferencial para um circuito oscilatório que não conterá resistência ativa.

Qualquer tipo de oscilações periódicas pode ser representada com precisão como uma soma de oscilações harmônicas, as chamadas séries harmônicas.

Para o período de oscilação de um circuito composto por uma bobina e um capacitor, obtemos a fórmula de Thomson:

Se diferenciarmos a expressão (1) em relação ao tempo, podemos obter a fórmula para a função $I(t)$:

A tensão no capacitor pode ser encontrada como:

Das fórmulas (5) e (6) segue-se que a intensidade da corrente está à frente da tensão no capacitor em $\frac(\pi )(2).$

Vibrações harmônicas pode ser representado na forma de equações, funções e diagramas vetoriais.

A equação (1) representa oscilações livres não amortecidas.

Equação de oscilação amortecida

A mudança de carga ($q$) nas placas do capacitor no circuito, levando em consideração a resistência (Fig. 2), será descrita por uma equação diferencial da forma:

Figura 2.

Se a resistência que faz parte do circuito $R\

onde $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ é a frequência de oscilação cíclica. $\beta =\frac(R)(2L)-$coeficiente de amortecimento. A amplitude das oscilações amortecidas é expressa como:

Se em $t=0$ a carga do capacitor for igual a $q=q_0$ e não houver corrente no circuito, então para $A_0$ podemos escrever:

Fase de oscilação em momento inicial tempo ($(\alpha )_0$) é igual a:

Quando $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ a mudança na carga não é uma oscilação, a descarga do capacitor é chamada de aperiódica.

Exemplo 1

Exercício: O valor máximo de cobrança é $q_0=10\ C$. Varia harmonicamente com um período de $T= 5 s$. Determine o máximo força possível atual

Solução:

Como base para resolver o problema usamos:

Para encontrar a intensidade da corrente, a expressão (1.1) deve ser diferenciada em relação ao tempo:

onde o máximo (valor de amplitude) da intensidade da corrente é a expressão:

A partir das condições do problema sabemos o valor da amplitude da carga ($q_0=10\ C$). Você deve encontrar a frequência natural das oscilações. Vamos expressá-lo como:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\esquerda(1.4\direita).\]

Neste caso, o valor desejado será encontrado utilizando as equações (1.3) e (1.2) como:

Como todas as quantidades nas condições do problema são apresentadas no sistema SI, realizaremos os cálculos:

Responder:$I_0=12,56\ A.$

Exemplo 2

Exercício: Qual é o período de oscilação em um circuito que contém um indutor $L=1$H e um capacitor, se a intensidade da corrente no circuito muda de acordo com a lei: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ Qual é a capacitância do capacitor?

Solução:

Da equação das flutuações atuais, que é dada nas condições do problema:

vemos que $(\omega )_0=20\pi $, portanto, podemos calcular o período de oscilação usando a fórmula:

\ \

De acordo com a fórmula de Thomson para um circuito que contém um indutor e um capacitor, temos:

Vamos calcular a capacidade:

Responder:$T=0,1$ c, $C=2,5\cponto (10)^(-4)F.$

Oscilação harmônica mecânica- este é um movimento retilíneo irregular no qual as coordenadas de um corpo oscilante (ponto material) mudam de acordo com a lei do cosseno ou seno dependendo do tempo.

De acordo com esta definição, a lei da mudança de coordenadas em função do tempo tem a forma:

Onde wt é a quantidade sob o sinal cosseno ou seno; c- coeficiente, cujo significado físico será revelado a seguir; A é a amplitude das vibrações harmônicas mecânicas.

As equações (4.1) são as equações cinemáticas básicas das vibrações harmônicas mecânicas.

Vamos considerar próximo exemplo. Tomemos o eixo do Boi (Fig. 64). A partir do ponto 0 desenhamos um círculo com raio R = A. Deixe o ponto M da posição 1 começar a se mover ao redor do círculo a uma velocidade constante v(ou com velocidade angular constante c, v = wА). Depois de algum tempo t o raio irá girar em um ângulo f: f = peso.

Com tal movimento circular do ponto M, sua projeção no eixo x M x se moverá ao longo do eixo x, cuja coordenada x será igual a x = A cos f = = UMA porque peso. Assim, se um ponto material se move ao longo de um círculo de raio A, cujo centro coincide com a origem das coordenadas, então a projeção deste ponto no eixo x (e no eixo y) realizará vibrações mecânicas harmônicas.

Se o valor wt, que está sob o sinal do cosseno, e a amplitude A forem conhecidos, então x também pode ser determinado na equação (4.1).

A quantidade wt, situada sob o sinal do cosseno (ou seno), que determina exclusivamente a coordenada do ponto oscilante em uma determinada amplitude, é chamada fase de oscilação. Para um ponto M movendo-se em círculo, o valor w significa sua velocidade angular. Qual é o significado físico do valor w para um ponto M x realizando oscilações harmônicas mecânicas? As coordenadas do ponto oscilante M x são as mesmas em algum momento t e (T +1) (da definição do período T), ou seja, A cos peso = A cos w (t + T), o que significa que c(t + T) - peso = 2 PI(da propriedade de periodicidade da função cosseno). Segue que

Consequentemente, para um ponto material que realiza oscilações mecânicas harmônicas, o valor de w pode ser interpretado como o número de oscilações para um determinado ciclo tempo igual 2l. Portanto o valor c chamado cíclico(ou frequência circular).

Se o ponto M começar seu movimento não a partir do ponto 1, mas a partir do ponto 2, então a equação (4.1) terá a forma:

Tamanho f 0 chamado fase inicial.

Encontramos a velocidade do ponto M x como a derivada da coordenada em relação ao tempo:

Definimos a aceleração de um ponto oscilando de acordo com uma lei harmônica como a derivada da velocidade:

Da fórmula (4.4) fica claro que a velocidade de um ponto que realiza oscilações harmônicas também muda de acordo com a lei dos cossenos. Mas a velocidade da fase está à frente da coordenada em PI/2. A aceleração durante uma oscilação harmônica varia de acordo com a lei dos cossenos, mas está à frente da coordenada em fase por P. A equação (4.5) pode ser escrita em termos da coordenada x:

A aceleração durante vibrações harmônicas é proporcional ao deslocamento com sinal oposto. Multiplicamos os lados direito e esquerdo da equação (4.5) pela massa do ponto material oscilante m, obtemos as seguintes relações:

De acordo com a segunda lei de Newton, o significado físico do lado direito da expressão (4.6) é a projeção da força F x, que fornece movimento mecânico harmônico:

O valor de F x é proporcional ao deslocamento x e tem direção oposta a ele. Um exemplo de tal força é a força elástica, cuja magnitude é proporcional à deformação e dirigida de forma oposta a ela (lei de Hooke).

O padrão de aceleração versus deslocamento, que segue da equação (4.6), que consideramos para oscilações harmônicas mecânicas, pode ser generalizado e aplicado ao considerar oscilações de natureza física diferente (por exemplo, uma mudança na corrente em um circuito oscilatório, um mudança de carga, tensão, indução de campo magnético, etc.). Portanto, a equação (4.8) é chamada de equação principal dinâmica harmônica.

Consideremos o movimento de uma mola e de um pêndulo matemático.

Deixe uma mola (Fig. 63), localizada horizontalmente e fixada no ponto 0, ser fixada em uma extremidade a um corpo de massa m, que pode se mover ao longo do eixo x sem atrito. Seja o coeficiente de rigidez da mola igual a k. Vamos remover o corpo m por uma força externa da posição de equilíbrio e liberá-lo. Então, ao longo do eixo x, apenas uma força elástica atuará sobre o corpo, que, de acordo com a lei de Hooke, será igual a: F yпp = -kx.

A equação do movimento deste corpo será:

Comparando as equações (4.6) e (4.9), tiramos duas conclusões:

Das fórmulas (4.2) e (4.10) derivamos a fórmula para o período de oscilação da carga na mola:

Um pêndulo matemático é um corpo de massa m suspenso por um longo fio inextensível de massa desprezível. Na posição de equilíbrio, este corpo será influenciado pela força da gravidade e pela força elástica do fio. Essas forças se equilibrarão.

Se a linha estiver inclinada em um ângulo A da posição de equilíbrio, então as mesmas forças atuam sobre o corpo, mas não se equilibram mais, e o corpo começa a se mover ao longo de um arco sob a influência da componente da gravidade direcionada ao longo da tangente ao arco e igual a mg sen a.

A equação de movimento do pêndulo assume a forma:

O sinal negativo no lado direito significa que a força F x = mg sin a é direcionada contra o deslocamento. A oscilação harmônica ocorrerá em pequenos ângulos de deflexão, isto é, desde que um 2* pecado a.

Vamos substituir o pecado e em equação (4.12), obtemos a seguinte equação.

O movimento de um pêndulo em um relógio, um terremoto, uma corrente alternada em um circuito elétrico, os processos de transmissão e recepção de rádio são processos completamente diferentes e não relacionados entre si. Cada um deles tem suas próprias razões especiais, mas estão unidos por um sinal - um sinal da natureza geral da mudança quantidades físicas ao longo do tempo. Em muitos casos, é aconselhável considerar estes e muitos outros processos de várias naturezas físicas como um tipo especial de fenômenos físicos - oscilações.

Uma característica comum dos fenômenos físicos chamados oscilações é a sua repetibilidade ao longo do tempo. Com diferentes naturezas físicas, muitas vibrações ocorrem de acordo com as mesmas leis, o que permite aplicar métodos gerais para sua descrição e análise.

Vibrações harmônicas. De número grande de várias vibrações na natureza e na tecnologia, as vibrações harmônicas são especialmente comuns. As oscilações que ocorrem de acordo com a lei do cosseno ou seno são chamadas de harmônicas:

onde está a quantidade que sofre flutuações; - tempo; - um valor constante, cujo significado será esclarecido mais adiante.

O valor máximo de uma quantidade que muda de acordo com uma lei harmônica é chamado de amplitude das oscilações. O argumento cosseno ou seno para oscilações harmônicas é chamado de fase de oscilação

A fase de oscilação no momento inicial é chamada de fase inicial. A fase inicial determina o valor da quantidade no momento inicial

Os valores da função seno ou cosseno são repetidos quando o argumento da função muda em , portanto, com oscilações harmônicas, os valores da quantidade são repetidos quando a fase da oscilação muda em . Por outro lado, com uma oscilação harmônica, a quantidade deve assumir os mesmos valores após um intervalo de tempo denominado período de oscilação T. Consequentemente, a mudança de fase não ocorre

através do período de oscilação T. Para o caso em que obtemos:

Da expressão (1.2) segue-se que a constante na equação das oscilações harmônicas é o número de oscilações que ocorrem em segundos. A quantidade é chamada de frequência cíclica de oscilações. Usando a expressão (1.2), a equação (1.1) pode ser expressa em termos da frequência ou período T das oscilações:

Junto com o método analítico de descrição de oscilações harmônicas, métodos gráficos para representá-las são amplamente utilizados.

O primeiro método é definir um gráfico de flutuações em Sistema cartesiano coordenadas O tempo I é traçado ao longo do eixo das abcissas, e o valor da quantidade variável é traçado ao longo do eixo das ordenadas. Para oscilações harmônicas, este gráfico é uma onda senoidal ou cosseno (Fig. 1).

A segunda forma de representar o processo oscilatório é espectral. A amplitude é medida ao longo do eixo das ordenadas e a frequência das oscilações harmônicas é medida ao longo do eixo das abcissas. Um processo oscilatório harmônico com frequência e amplitude é representado neste caso por um segmento de reta vertical traçado a partir do ponto com a coordenada no eixo das abcissas (Fig. 2).

A terceira maneira de descrever oscilações harmônicas é o método dos diagramas vetoriais. Neste método, a seguinte técnica puramente formal é usada para encontrar, a qualquer momento, o valor de uma quantidade que muda de acordo com uma lei harmônica:

Selecionemos um eixo coordenado direcionado arbitrariamente no plano ao longo do qual mediremos a quantidade que nos interessa. A partir da origem das coordenadas ao longo do eixo traçamos um vetor cujo módulo é igual à amplitude da oscilação harmônica xm. Se imaginarmos agora que o vetor gira em torno da origem das coordenadas no plano com uma velocidade angular constante c no sentido anti-horário, então o ângulo a entre o vetor rotativo e o eixo em qualquer momento é determinado pela expressão.

Oscilações harmônicas são oscilações realizadas de acordo com as leis do seno e do cosseno. A figura a seguir mostra um gráfico de mudanças nas coordenadas de um ponto ao longo do tempo de acordo com a lei dos cossenos.

foto

Amplitude de oscilação

A amplitude de uma oscilação harmônica é chamada valor mais alto deslocamento de um corpo de sua posição de equilíbrio. A amplitude pode levar Significados diferentes. Dependerá de quanto deslocarmos o corpo no momento inicial da posição de equilíbrio.

A amplitude é determinada pelas condições iniciais, ou seja, a energia transmitida ao corpo no momento inicial. Como o seno e o cosseno podem assumir valores na faixa de -1 a 1, a equação deve conter um fator Xm, expressando a amplitude das oscilações. Equação de movimento para vibrações harmônicas:

x = Xm*cos(ω0*t).

Período de oscilação

O período de oscilação é o tempo que leva para completar uma oscilação completa. O período de oscilação é indicado pela letra T. As unidades de medida do período correspondem às unidades de tempo. Ou seja, no SI são segundos.

A frequência de oscilação é o número de oscilações realizadas por unidade de tempo. A frequência de oscilação é designada pela letra ν. A frequência de oscilação pode ser expressa em termos do período de oscilação.

ν = 1/T.

As unidades de frequência estão em SI 1/seg. Esta unidade de medida é chamada Hertz. O número de oscilações em um tempo de 2*pi segundos será igual a:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Frequência de oscilação

Essa quantidade é chamada de frequência cíclica de oscilações. Em alguma literatura aparece o nome frequência circular. A frequência natural de um sistema oscilatório é a frequência das oscilações livres.

A frequência das oscilações naturais é calculada pela fórmula:

A frequência das vibrações naturais depende das propriedades do material e da massa da carga. Quanto maior for a rigidez da mola, maior será a frequência das suas próprias vibrações. Quanto maior a massa da carga, menor a frequência das oscilações naturais.

Estas duas conclusões são óbvias. Quanto mais rígida for a mola, maior será a aceleração que ela transmitirá ao corpo quando o sistema for desequilibrado. Quanto maior a massa de um corpo, mais lentamente a velocidade desse corpo mudará.

Período de oscilação livre:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Vale ressaltar que em pequenos ângulos de deflexão o período de oscilação do corpo na mola e o período de oscilação do pêndulo não dependerão da amplitude das oscilações.

Vamos escrever as fórmulas para o período e a frequência das oscilações livres de um pêndulo matemático.

então o período será igual

T = 2*pi*√(l/g).

Esta fórmula será válida apenas para pequenos ângulos de deflexão. Pela fórmula vemos que o período de oscilação aumenta com o aumento do comprimento do fio do pêndulo. Quanto maior o comprimento, mais lentamente o corpo vibrará.

O período de oscilação não depende em nada da massa da carga. Mas depende da aceleração da queda livre. À medida que g diminui, o período de oscilação aumentará. Esta propriedade é amplamente utilizada na prática. Por exemplo, para medir o valor exato da aceleração livre.