分母が異なる複素分数と減算分数。 分母の異なる分数の引き算
このレッスンでは足し算と引き算について説明します。 代数分数と 分母が異なる。 私たちは、分母が異なる公分数を加算および減算する方法をすでに知っています。 これを行うには、分数を共通の分母に減らす必要があります。 代数の分数も同じ規則に従うことがわかります。 同時に、代数分数を公分母に還元する方法もすでに知っています。 分母の異なる分数の足し算と引き算は、中学 2 年生のコースで最も重要かつ難しいトピックの 1 つです。 また、このトピックは、今後学習する代数コースの多くのトピックに登場します。 レッスンの一環として、分母が異なる代数の分数の足し算と引き算のルールを学び、いくつかの典型的な例も分析します。
例1.分数を追加します: 。
解決：
分数の足し算のルールを覚えておきましょう。 まず、分数を共通の分母に減らす必要があります。 普通分数の共通分母は次のとおりです。 最小公倍数元の分母の (LCM)。
意味
少しでも 自然数、これは同時に と の数で割り切れます。
LCM を見つけるには、分母を次のように分解する必要があります。 素因数を選択し、両方の分母の展開に含まれるすべての素因数を選択します。
; 。 この場合、数値の最小公倍数には 2 が 2 つと 3 が 2 つ含まれている必要があります。
共通分母を見つけた後、各分数の追加の因数を見つける必要があります (実際には、共通分母を対応する分数の分母で割ります)。
次に、各分数に、結果として得られる追加係数が乗算されます。 前のレッスンで足し算と引き算を学習した同じ分母を持つ分数が得られます。
我々が得る： 
.
答え：.
ここで、分母の異なる代数的な分数の加算を考えてみましょう。 まず、分母が数字である分数を見てみましょう。
例2。分数を追加します: 。
解決：
解のアルゴリズムは前の例と全く同じです。 これらの分数の共通分母と、それぞれの追加の因数を見つけるのは簡単です。
.
答え：.
それでは、定式化しましょう 異なる分母を持つ代数分数を加算および減算するためのアルゴリズム:
1. 分数の最小公倍数を求めます。
2. 各分数の追加の因数を見つけます (共通の分母を指定された分数の分母で割ることによって)。
3. 分子に対応する追加係数を掛けます。
4. 分母が似ている分数の加算と減算の規則を使用して、分数を加算または減算します。
次に、分母に文字式が含まれる分数の例を考えてみましょう。
例 3.分数を追加します: 。
解決：
両方の分母の文字式が同じであるため、数値の共通分母を見つける必要があります。 最終的な共通分母は次のようになります。 したがって、この例の解決策は次のようになります。
答え：.
例4.分数の引き算: 。
解決：
共通分母を選択するときに「ごまかし」ができない場合 (因数分解したり、省略した乗算公式を使用したりすることはできません)、両方の分数の分母の積を共通分母として取得する必要があります。
答え：.
一般に、このような例を解くとき、最も重要なのは、 難しい仕事共通点を見つけることです。
より複雑な例を見てみましょう。
例5。簡略化する： 。
解決：
共通分母を見つけるときは、まず元の分母の分母を因数分解してみます (共通分母を単純化するため)。
この特定のケースでは次のようになります。
次に、共通分母を決定するのは簡単です。 
.
追加の要素を決定して、この例を解決します。
答え：.
次に、分母が異なる分数の足し算と引き算のルールを確立しましょう。
例6。簡略化する： 。
解決：
答え：.
例7。簡略化する： 。
解決：
.
答え：.
ここで、2 つではなく 3 つの分数が加算される例を考えてみましょう (結局のところ、より多くの分数に対する加算と減算の規則は同じままです)。
例8.簡略化する： 。
分数式は子供にとって理解するのが難しいです。 ほとんどの人が困難を抱えています。 「分数と整数の足し算」というテーマを勉強しているとき、子供は意識がもうろうとしてしまい、問題を解くのが難しいと感じます。 多くの例では、アクションを実行する前に、一連の計算を実行する必要があります。 たとえば、分数を変換したり、不適切な分数を適切な分数に変換したりします。
子どもにわかりやすく説明しましょう。 リンゴを 3 つ取り、そのうち 2 つは丸ごとにして、3 つ目は 4 つの部分に切ります。 切ったリンゴから 1 枚を切り離し、残りの 3 枚を丸ごと 2 つの果物の隣に置きます。 片側にリンゴの 4 分の 1、反対側に 2 ¾ が得られます。 それらを組み合わせると、リンゴが 3 個になります。 2 ¾ 個のリンゴを 1/4 ずつ減らしてみましょう。つまり、もう 1 つのスライスを削除すると、2 2/4 個のリンゴが得られます。
整数を含む分数の演算を詳しく見てみましょう。
まず、共通の分母を持つ分数式の計算規則を覚えましょう。
一見すると、すべてが簡単でシンプルです。 ただし、これは変換を必要としない式にのみ適用されます。
分母が異なる式の値を見つける方法
一部のタスクでは、分母が異なる式の意味を見つける必要があります。 特定のケースを見てみましょう。
3 2/7+6 1/3
2 つの分数の共通分母を見つけて、この式の値を求めてみましょう。
数値 7 と 3 の場合、これは 21 です。整数部分はそのままにして、小数部分を 21 にします。このため、最初の小数に 3 を掛け、2 番目の小数に 7 を掛けます。次のようになります。
6/21+7/21 は、部分全体を変換できないことに注意してください。 その結果、分母が同じ 2 つの分数が得られ、それらの合計を計算します。
3 6/21+6 7/21=9 15/21
足し算の結果がそうでない場合はどうなるか 適切な分数、これにはすでに整数部分があります。
2 1/3+3 2/3
この場合、整数部分と小数部分を合計すると、次のようになります。
5 3/3、ご存知のとおり、3/3 は 1、つまり 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6 を意味します。
合計を求めるのは明らかです。引き算を見てみましょう。
これまで述べてきたことから、帯分数の演算の規則は次のようになります。
- 分数式から整数を減算する必要がある場合、2 番目の数値を分数として表す必要はなく、整数部分に対してのみ演算を実行するだけで十分です。
式の意味を自分で計算してみましょう。
文字「m」の下の例を詳しく見てみましょう。
4 5/11-2 8/11 では、最初の分数の分子は 2 番目の分数より小さくなります。 これを行うには、最初の分数から 1 つの整数を借用すると、次のようになります。
3 5/11+11/11=3 16/11 全体、最初の分数から 2 番目の分数を引きます。
3 16/11-2 8/11=1 8/11 全体
- タスクを完了するときは注意してください。部分全体を強調表示して、仮分数を帯分数に変換することを忘れないでください。 これを行うには、分子の値を分母の値で割る必要があります。その後、部分全体が置き換えられ、余りが分子になります。
19/4=4 ¾、確認してみましょう: 4*4+3=19、分母 4 は変わりません。
要約:
分数に関連するタスクを開始する前に、それがどのような種類の式であるか、正しい解を得るために分数にどのような変換を行う必要があるかを分析する必要があります。 より合理的な解決策を探してください。 難しい道を行かないでください。 すべての行動を計画し、最初に草案形式で解決し、それから学校のノートに転送します。
分数式を解くときに混乱を避けるには、一貫性の規則に従う必要があります。 何事も焦らず慎重に決めてください。
§ 87. 分数の加算。
分数の加算は、整数の加算と多くの類似点があります。 分数の加算は、いくつかの指定された数値 (項) が、すべての単位と項の単位の分数を含む 1 つの数値 (和) に結合されるという事実からなるアクションです。
次の 3 つのケースを順番に検討します。
1. 分母が似ている分数の加算。
2. 分母の異なる分数の加算。
3. 帯分数の加算。
1. 分母が似ている分数の加算。
1/5 + 2/5 の例を考えてみましょう。
線分 AB (図 17) を 1 として、5 で割ってみましょう。 等しい部分の場合、このセグメントの部分 AC はセグメント AB の 1/5 に等しく、同じセグメント CD の部分は 2/5 AB に等しくなります。
図面から、セグメント AD を取ると、それは 3/5 AB に等しいことが明らかです。 ただし、セグメント AD は正確にセグメント AC と CD の合計です。 したがって、次のように書くことができます。
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
これらの項とその結果の合計を考慮すると、合計の分子は項の分子を加算することによって取得され、分母は変更されていないことがわかります。
これから、次のルールが得られます。 同じ分母を持つ分数を加算するには、それらの分子を加算し、同じ分母を残す必要があります。
例を見てみましょう:
2. 分母の異なる分数の加算。
分数を足してみましょう: 3 / 4 + 3 / 8 まず、それらを最小公倍数に減らす必要があります。
中間リンク 6/8 + 3/8 を書き込めませんでした。 わかりやすくするためにここに書きました。
したがって、分母の異なる分数を加算するには、まず分母を最小公倍数まで減算し、分子を加算して、共通分母にラベルを付ける必要があります。
例を考えてみましょう (対応する分数の上に追加の係数を書きます)。
3. 帯分数の加算。
数字を足してみましょう: 2 3/8 + 3 5/6。
まず、数値の小数部分を共通の分母にして、再度書き直してみましょう。
次に、整数部分と小数部分を順番に追加します。
§ 88. 分数の引き算。
分数の減算は、整数の減算と同じ方法で定義されます。 これは、2 つの項とそのうちの 1 つの項の合計を考慮して、別の項を見つけるというアクションです。 3 つのケースを続けて考えてみましょう。
1. 分母が似ている分数の引き算。
2. 分母の異なる分数の引き算。
3. 帯分数の引き算。
1. 分母が似ている分数の引き算。
例を見てみましょう:
13 / 15 - 4 / 15
セグメント AB (図 18) を 1 つの単位として、15 等分に分割してみましょう。 この場合、このセグメントの AC 部分は AB の 1/15 を表し、同じセグメントの AD 部分は 13/15 AB に対応します。 4/15 AB に等しい別のセグメント ED を確保しておきます。
13/15 から端数 4/15 を引く必要があります。 図では、これはセグメント AD からセグメント ED を減算する必要があることを意味します。 その結果、セグメント AB の 9/15 であるセグメント AE が残ります。 したがって、次のように書くことができます。
私たちが作成した例は、差の分子は分子を減算することによって得られますが、分母は同じままであることを示しています。
したがって、分母が似ている分数を引くには、被減数の分子から減数の分子を引いて、同じ分母を残す必要があります。
2. 分母の異なる分数の引き算。
例。 3/4～5/8
まず、これらの分数を最小公倍数に分解してみます。
中間の 6 / 8 ～ 5 / 8 はわかりやすくするためにここに書かれていますが、後でスキップできます。
したがって、分数から分数を引くには、まず最小公倍数まで減算し、次に被減数の分子から被減数の分子を引き、その差の下にある共通分母に署名する必要があります。
例を見てみましょう:
3. 帯分数の引き算。
例。 10 3/4 - 7 2/3。
被減数と減数の小数部分を最小公倍数に減らしてみましょう。
全体から全体を引き、分数から分数を引きました。 ただし、減算される小数部分が、削減される小数部分よりも大きい場合があります。 このような場合は、被減数の全体部分から 1 単位を取り出し、小数部分が表現される部分に分割して、被減数の小数部分に加算する必要があります。 その後、前の例と同じ方法で減算が実行されます。
§ 89. 分数の乗算。
分数の掛け算を勉強するとき、次のことを考慮します。 次の質問:
1. 分数に整数を掛けます。
2. 指定された数値の小数部を求める。
3. 整数と分数を掛けます。
4. 分数と分数を掛けます。
5.帯分数の掛け算。
6. 興味の概念。
7. 指定された数値のパーセンテージを求める。 順番に考えてみましょう。
1. 分数に整数を掛けます。
分数と整数の乗算は、整数と整数の乗算と同じ意味を持ちます。 分数 (被乗数) と整数 (因数) を乗算することは、各項が被乗数に等しく、項の数が乗数に等しい、同一の項の合計を作成することを意味します。
つまり、1/9 に 7 を掛ける必要がある場合は、次のように行うことができます。
同じ分母を持つ分数を加算するだけの操作なので、簡単に結果が得られました。 したがって、
この動作を考慮すると、分数に整数を掛けることは、この分数を整数内の単位の数だけ増やすことと同じであることがわかります。 そして、分数を増やすことは分子を増やすことによって達成されます。
または分母を減らすことによって 
の場合、分子に整数を掛けるか、分母を整数で割ることが可能であれば、そのどちらかを行うことができます。
ここから次のルールが得られます。
分数に整数を掛けるには、分子にその整数を掛けて分母を同じままにするか、可能であれば、分子を変更せずに分母をその数値で割ります。
乗算する場合は、次のような省略形が可能です。
2. 指定された数値の小数部を求める。与えられた数値の一部を見つけたり、計算したりしなければならない問題がたくさんあります。 これらの問題と他の問題の違いは、いくつかの物体または測定単位の数が与えられ、この数の一部 (ここでも特定の分数で示されています) を見つける必要があることです。 理解を容易にするために、最初にそのような問題の例を挙げ、次にそれらを解決する方法を紹介します。
タスク1。私は60ルーブルを持っていました。 このお金の1/3を本を買うのに使いました。 本の値段はいくらでしたか？
タスク2。列車は都市 A と都市 B の間を 300 km に相当する距離を移動しなければなりません。 彼はすでにこの距離の 2/3 を走行しました。 ここは何キロですか?
タスク3.村には400軒の家があり、その4分の3がレンガ造り、残りが木造です。 レンガ造りの家は全部で何軒ありますか?
これらは、特定の数値の一部を見つけるために遭遇する多くの問題の一部です。 これらは通常、指定された数値の小数部を見つける問題と呼ばれます。
問題 1 の解決策。 60こすりから。 1/3は本に費やしました。 これは、書籍の価格を求めるには、60 を 3 で割る必要があることを意味します。
問題2を解決します。問題のポイントは、300 km のうち 2/3 を見つける必要があるということです。 まず 300 の 1/3 を計算しましょう。 これは 300 km を 3 で割ることで達成されます。
300: 3 = 100 (つまり 300 の 1/3)。
300 の 3 分の 2 を求めるには、結果の商を 2 倍にする、つまり 2 を掛ける必要があります。
100 x 2 = 200 (つまり 300 の 2/3)。
問題3を解決します。ここでは、400 戸の 3/4 を構成するレンガ造りの家の数を決定する必要があります。まず 400 戸の 1/4 を見つけます。
400: 4 = 100 (400 の 1/4)。
400 の 4 分の 3 を計算するには、結果の商を 3 倍、つまり 3 倍する必要があります。
100 x 3 = 300 (つまり 400 の 3/4)。
これらの問題の解決策に基づいて、次のルールを導き出すことができます。
指定された数値から分数の値を求めるには、この数値を分数の分母で割り、得られた商に分子を掛ける必要があります。
3. 整数と分数を掛けます。
以前に (§ 26)、整数の乗算は同一の項の加算として理解されるべきであることが確立されました (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20)。 この段落 (ポイント 1) では、分数に整数を掛けることは、この分数に等しい同一項の合計を求めることを意味することが確立されました。
どちらの場合も、乗算は同一の項の合計を求めることで構成されます。
次に、整数と分数の掛け算に進みます。 ここでは、たとえば、9 2 / 3 という掛け算に遭遇します。 前述の乗算の定義がこの場合に当てはまらないことは明らかです。 これは、このような乗算を等しい数を加算することで置き換えることができないという事実から明らかです。
このため、私たちは乗算の新しい定義を与える必要があります。つまり、分数による乗算によって何を理解すべきか、この動作をどのように理解すべきかという質問に答える必要があります。
整数に分数を掛けることの意味は、次の式から明らかになります。 次の定義: 整数 (被乗数) に分数 (被乗数) を掛けることは、被乗数のこの分数を求めることを意味します。
つまり、9 に 2/3 を掛けることは、9 単位の 2/3 を求めることを意味します。 前の段落で、そのような問題は解決されました。 したがって、最終的に 6 になることは簡単にわかります。
しかしここで、興味深い重要な疑問が生じます。等しい数の和を求めることと、数値の分数を求めるなど、一見異なる演算が、算術ではなぜ同じ「乗算」という言葉で呼ばれるのでしょうか?
これは、前のアクション (用語を含む数値を数回繰り返す) と新しいアクション (数値の小数部を求める) が同種の質問に対する答えを与えるために発生します。 これは、ここでは、同種の質問やタスクは同じアクションによって解決されるという考察から進められることを意味します。
これを理解するために、次の問題を考えてみましょう。「1 メートルの布の値段は 50 ルーブルです。 このような布4mはいくらになりますか？
この問題は、ルーブル数 (50) にメートル数 (4) を掛けることで解決されます。つまり、50 x 4 = 200 (ルーブル) となります。
同じ問題を考えてみましょう。ただし、この問題では布の量が分数で表されます。「布 1 メートルの値段は 50 ルーブルです。 このような布の 3/4 メートルの値段はいくらですか?」
この問題は、ルーブル数 (50) にメートル数 (3/4) を掛けることによっても解決する必要があります。
問題の意味を変えることなく、その中の数字を何度か変更できます。たとえば、9/10 m や 2 3/10 m などです。
これらの問題は内容が同じで、数値が異なるだけであるため、問題を解くために使用されるアクションを同じ単語、つまり掛け算と呼びます。
整数に分数を掛けるにはどうすればよいですか?
最後の問題で出た数字を見てみましょう。
定義によれば、50 の 3/4 を見つける必要があります。最初に 50 の 1/4、次に 3/4 を見つけましょう。
50 の 1/4 は 50/4 です。
50 という数字の 3/4 は です。
したがって。
別の例を考えてみましょう: 12 5 / 8 =?
12という数字の1/8は12/8、
数字 12 の 5/8 は です。
したがって、
ここから次のルールが得られます。
整数と分数を掛けるには、整数に分数の分子を掛けてこの積を分子にし、この分数の分母を分母として符号を付ける必要があります。
このルールを文字を使って書いてみましょう。
この規則を完全に明確にするために、分数は商とみなされる可能性があることを覚えておく必要があります。 したがって、見つかったルールを、§ 38 で規定されている数値と商の乗算ルールと比較すると便利です。
乗算を実行する前に、(可能であれば) 乗算を実行する必要があることを覚えておくことが重要です。 削減、 例えば：
4. 分数と分数を掛けます。分数と分数の乗算は、整数と分数の乗算と同じ意味を持ちます。つまり、分数と分数を乗算する場合、最初の分数 (被乗数) から因数に含まれる分数を見つける必要があります。
つまり、3/4 に 1/2 (半分) を掛けることは、3/4 の半分を求めることを意味します。
分数と分数をどのように掛けますか?
例を見てみましょう: 3/4 に 5/7 を掛けます。 つまり、3/4 の 5/7 を見つける必要があります。 まず 3/4 の 1/7、次に 5/7 を見つけてみましょう。
3/4 の 1/7 は次のように表されます。
5/7 の数 3/4 は次のように表されます。
したがって、
別の例: 5/8 に 4/9 を掛けます。
5/8の1/9は、
数字 5/8 の 4/9 は です。
したがって、 
これらの例から、次の規則が推測できます。
分数と分数を掛けるには、分子と分子、分母と分母を掛けて、最初の積を分子、2 番目の積を積の分母にする必要があります。
これがルールです 一般的な見解次のように書くことができます:
乗算するときは、（可能であれば）リダクションを行う必要があります。 例を見てみましょう:
5.帯分数の掛け算。なぜなら 帯分数は仮分数で簡単に置き換えることができるため、この状況は通常、帯分数を掛けるときに使用されます。 これは、被乗数、乗数、またはその両方の因数が帯分数として表現されている場合、仮分数に置き換えられることを意味します。 たとえば、帯分数 2 1/2 と 3 1/5 を掛けてみましょう。 それぞれを仮分数に変換し、分数と分数の掛け算のルールに従って、結果の分数を掛けてみましょう。
ルール。帯分数を掛けるには、まず仮分数に変換してから、分数と分数の掛け算の規則に従って掛け算する必要があります。
注記。因数の 1 つが整数の場合、次のように分配法則に基づいて乗算を実行できます。
6. 興味の概念。問題を解いたり、さまざまな実践的な計算をしたりするとき、私たちはあらゆる種類の分数を使います。 しかし、多くの数量では、任意の分割ではなく、自然な分割が可能であることを心に留めておく必要があります。 たとえば、ルーブルの 100 分の 1 (1/100) を受け取ると 1 コペイカ、100 分の 2 は 2 コペイカ、100 分の 3 は 3 コペイカになります。 1 ルーブルの 10 分の 1 を受け取ると、「10 コペイカ」または 10 コペイカになります。1 ルーブルの 4 分の 1、つまり 25 コペイカ、または 1/2 ルーブル、つまり 50 コペイカ (50 コペイカ) を取ることができます。たとえば、ルーブルは 7 分の 1 に分割されていないため、ルーブルの 2/7 などは実際には受け取られません。
重量の単位、つまりキログラムでは、主に 1/10 kg や 100 g などの小数点以下の区切りが可能ですが、1/6、1/11、1/13 などのキログラムの端数は一般的ではありません。
一般に、私たちの（メートル法）メジャーは 10 進数であり、小数点以下の除算が可能です。
ただし、数量を細分化する同じ (均一な) 方法を使用することは、さまざまな場合に非常に便利で便利であることに注意してください。 長年の経験から、そのような十分に正当な分割が「100番目」の分割であることがわかっています。 人間の実践の最も多様な領域に関連するいくつかの例を考えてみましょう。
1. 書籍の価格が以前の12/100に下がりました。
例。 この本の以前の価格は10ルーブルでした。 1ルーブル減りました。 20コペイカ
2. 貯蓄銀行は、年間の貯蓄金額の 2/100 を預金者に支払います。
例。 500ルーブルがレジに預けられ、この金額からの年間収入は10ルーブルです。
3. 1 つの学校の卒業者数は全生徒数の 5/100 でした。
例 この学校の生徒数はわずか 1,200 人で、そのうち 60 人が卒業しました。
数値の 100 分の 1 をパーセンテージといいます.
「パーセンテージ」という言葉の由来は、 ラテン語その語根の「セント」は100を意味します。 前置詞 (pro centum) と合わせて、この単語は「100 のために」を意味します。 この表現の意味は、当初、古代ローマでは利息が債務者が貸し手に「100 ごとに」支払ったお金に与えられた名前であったという事実に由来しています。 「セント」という言葉は、セントナー (100 キログラム)、センチメートル (たとえばセンチメートル) などのよく知られた言葉で聞かれます。
たとえば、過去 1 か月間、その工場で生産された全製品の 1/100 に欠陥があったと言う代わりに、次のように言います。「先 1 か月間、その工場は 1 パーセントの欠陥を生産しました」とします。 「工場は確立された計画よりも 4/100 多くの製品を生産した」と言う代わりに、「工場は計画を 4% 上回った」と言うでしょう。
上記の例は、別の方法で表現できます。
1. 本の価格は以前の価格より 12% 下がりました。
2. 貯蓄銀行は、貯蓄に預けられた金額に対して年間 2 パーセントを預金者に支払います。
3. 1 つの学校の卒業生の数は全学校生徒の 5% でした。
文字を短くするには、「パーセント」という単語の代わりに % 記号を書くのが一般的です。
ただし、計算では % 記号は通常は記述されませんが、問題文や最終結果には記述できることに注意してください。 計算を実行するときは、この記号を使用して整数の代わりに分母が 100 の分数を記述する必要があります。
示されたアイコンの整数を、分母が 100 の分数に置き換えることができる必要があります。
逆に、分母が 100 の分数ではなく、指定された記号を使用して整数を書くことに慣れる必要があります。
7. 指定された数値のパーセンテージを求める。
タスク1。学校は２００立方メートルを受け取った。 m の薪、そのうち白樺の薪が 30% を占めます。 白樺の薪はどれくらいありましたか？
この問題の意味は、学校に届けられた薪のうち白樺の薪は一部のみであり、この部分は100分の30という端数で表されるということです。 これは、数値の小数を見つけるタスクがあることを意味します。 これを解くには、200 に 30/100 を掛けなければなりません (数値の小数を求める問題は、数値に小数を掛けることで解決されます)。
これは、200 の 30% が 60 に等しいことを意味します。
この問題で発生する端数 30/100 は、10 だけ減らすことができます。この削減を最初から実行することも可能です。 問題の解決策は変わらないでしょう。
タスク2。キャンプには300人の子供たちがいた さまざまな年齢。 11 歳の子供が 21%、12 歳の子供が 61%、最後に 13 歳の子供が 18% を占めました。 キャンプには各年齢の子供が何人いましたか?
この問題では、3 つの計算を実行する必要があります。つまり、11 歳、次に 12 歳、最後に 13 歳の子供の数を順番に求めます。
これは、ここでは数値の小数を 3 回求める必要があることを意味します。 やりましょう：
1) 11 歳の子供は何人いましたか?
2) 12 歳の子供は何人いましたか?
3) 13 歳の子供は何人いましたか?
問題を解決した後、見つかった数値を加算すると便利です。 それらの合計は 300 になるはずです。
63 + 183 + 54 = 300
問題ステートメントに示されているパーセンテージの合計が 100 であることにも注意してください。
21% + 61% + 18% = 100%
これは次のことを示唆しています 総数キャンプ内の子供たちの割合は100％とみなされました。
3 アダハア 3.労働者は月額 1,200 ルーブルを受け取りました。 このうち、彼は65％を食料、6％をアパートと暖房、4％をガス、電気、ラジオ、10％を文化的ニーズに費やし、15％を貯蓄しました。 問題で示されたニーズにどれだけのお金が費やされましたか?
この問題を解くには、1,200 の端数を 5 回求める必要があります。
1) 食費にどれくらいのお金を使いましたか? 問題では、この経費は総収入の 65%、つまり 1,200 の 65/100 であることがわかります。計算してみましょう。
2) 暖房付きのアパートにいくら支払いましたか? 前と同様の推論を行うと、次の計算が得られます。
3) ガス、電気、ラジオにいくら支払いましたか?
4) 文化的ニーズにどれくらいのお金が費やされましたか?
5) その労働者はいくらお金を節約しましたか?
確認するには、これら 5 つの質問で見つかった数値を合計すると便利です。 金額は1,200ルーブルでなければなりません。 すべての収益は 100% としてみなされます。これは、問題文に示されているパーセンテージの数値を合計することで簡単に確認できます。
私たちは 3 つの問題を解決しました。 これらの問題は異なる事柄（学校への薪の配達、さまざまな年齢の子供の数、労働者の経費）を扱っていたという事実にもかかわらず、同じ方法で解決されました。 これは、すべての問題において、与えられた数値の数パーセントを見つける必要があるために起こりました。
§ 90. 分数の割り算。
分数の割り算を勉強する際に、次の質問について考えてみましょう。
1. 整数を整数で割ります。
2. 分数を整数で割る
3. 整数を分数で割ります。
4. 分数を分数で割る。
5.帯分数の割り算。
6. 与えられた分数から数値を求める。
7. パーセンテージによって数値を見つける。
順番に考えてみましょう。
1. 整数を整数で割ります。
整数の分野で示したように、割り算は、2 つの因数 (配当) とこれらの因数の 1 つ (除数) の積から、別の因数が見つかるという事実からなるアクションです。
整数のセクションでは、整数を整数で割ることについて説明しました。 そこで私たちは、余りのない割り算、つまり「全体」 (150: 10 = 15) と、余りのある割り算 (100: 9 = 11 と 1 の余り) の 2 つの割り算に遭遇しました。 したがって、整数の分野では、被除数が常に除数と整数の積であるとは限らないため、正確な除算が常に可能であるとは限らないと言えます。 分数による乗算を導入した後は、可能な整数の除算のあらゆるケースを考慮できます (ゼロによる除算のみが除外されます)。
たとえば、7 を 12 で割るということは、12 と 12 の積が 7 に等しい数値を見つけることを意味します。7 / 12 12 = 7 であるため、そのような数値は分数 7 / 12 になります。 別の例: 14 / 25 25 = 14 であるため、14: 25 = 14 / 25。
したがって、整数を整数で割るには、分子が被除数に等しく、分母が除数に等しい分数を作成する必要があります。
2. 分数を整数で割ります。
分数 6 / 7 を 3 で割ります。上記の割り算の定義によれば、積 (6 / 7) と因数 (3) の 1 つが得られます。 3 を掛けると次のような 2 番目の係数を見つける必要があります。 この作品 6/7。 明らかに、この製品よりも 3 倍小さいはずです。 これは、私たちの前に設定された課題は、端数 6/7 を 3 倍減らすことであったことを意味します。
分数を減らすには、分子を減らすか、分母を増やすことで実行できることはすでにわかっています。 したがって、次のように書くことができます。
この場合、分子 6 は 3 で割り切れるので、分子を 3 倍する必要があります。
別の例を見てみましょう。5 / 8 を 2 で割ります。ここで、分子の 5 は 2 で割り切れません。つまり、分母にこの数値を掛ける必要があります。
これに基づいて、次のようなルールを作成できます。 分数を整数で割るには、分数の分子をその整数で割る必要があります。（もし可能なら）、 同じ分母を残すか、同じ分子を残して分数の分母にこの数値を掛けます。
3. 整数を分数で割ります。
5 を 1/2 で割る必要があるとします。つまり、1/2 を掛けた後に積が 5 になる数を見つけます。1/2 は適切な分数であるため、この数は 5 より大きくなければなりません。 、数値を乗算する場合、適切な分数の積は乗算される積より小さくなければなりません。 これを明確にするために、アクションを次のように書きましょう: 5: 1 / 2 = バツ 、つまり x 1 / 2 = 5 となります。
私たちはそのような数字を見つけなければなりません バツ 1/2 を掛けると 5 になります。特定の数に 1/2 を掛けるということは、この数の 1/2 を求めることを意味するため、未知の数の 1/2 になります。 バツ 5 と整数に等しい バツ 2 倍、つまり 5 2 = 10。
つまり、5: 1 / 2 = 5 2 = 10
確認しよう： 
別の例を見てみましょう。 6 を 2/3 で割るとします。 まず、図面を使用して目的の結果を見つけてみましょう (図 19)。
図19
6 ユニットに等しい線分 AB を描き、各ユニットを 3 等分します。 各ユニットでは、セグメント AB 全体の 3/3 (3/3) が 6 倍の大きさになります。 e. 18/3。 小さな括弧を使用して、2 の結果として得られる 18 個のセグメントを接続します。 セグメントは 9 つだけになります。 これは、分数 2/3 が 6 単位に 9 回含まれること、つまり、分数 2/3 は 6 単位全体の 9 倍少ないことを意味します。 したがって、
図面を使わずに計算のみを使用してこの結果を得るにはどうすればよいでしょうか? 次のように推論してみましょう: 6 を 2/3 で割る必要があります。つまり、2/3 は 6 に何回含まれるかという質問に答える必要があります。まず調べてみましょう: 1/3 は 6 に何回含まれますか? ユニット全体では 3 分の 3 があり、6 ユニットではさらに 6 倍、つまり 18 の 3 になります。 この数を求めるには、6 に 3 を掛ける必要があります。これは、1/3 が b 単位に 18 回含まれ、2/3 が b 単位に含まれるのは 18 回ではなく、その半分であることを意味します。つまり、18: 2 = 9したがって、6 を 2/3 で割るときは次のようにしました。
ここから、整数を分数で割る規則が得られます。 整数を分数で割るには、この整数に指定された分数の分母を掛け、この積を分子にして、指定された分数の分子で割る必要があります。
文字を使用してルールを書いてみましょう。
この規則を完全に明確にするために、分数は商とみなされる可能性があることを覚えておく必要があります。 したがって、見つかった規則を、§ 38 で規定されている、数値を商で割る規則と比較すると便利です。 そこでも同じ式が得られたことに注意してください。
分割する場合、次のような省略形が可能です。
4. 分数を分数で割る。
3/4 を 3/8 で割る必要があるとします。 割って出た数字は何を意味するのでしょうか？ 分数 3/8 は分数 3/4 に何倍含まれるかという質問に答えます。 この問題を理解するために、図を描いてみましょう (図 20)。
線分 AB を 1 つとして、4 つの等しい部分に分割し、そのような部分を 3 つマークしましょう。 セグメント AC はセグメント AB の 3/4 に等しくなります。 元の 4 つのセグメントをそれぞれ半分に分割すると、セグメント AB は 8 つの等しい部分に分割され、その各部分はセグメント AB の 1/8 に等しくなります。 このような 3 つのセグメントを円弧で接続すると、セグメント AD と DC のそれぞれはセグメント AB の 3/8 に等しくなります。 この図は、3/8 に等しいセグメントが 3/4 に等しいセグメントにちょうど 2 回含まれていることを示しています。 これは、除算の結果は次のように記述できることを意味します。
3 / 4: 3 / 8 = 2
別の例を見てみましょう。 15/16 を 3/32 で割る必要があるとします。
次のように推論できます。3/32 を掛けた後、積が 15/16 に等しくなる数値を見つける必要があります。 次のように計算を書いてみましょう。
15 / 16: 3 / 32 = バツ
3 / 32 バツ = 15 / 16
3/32 不明な番号 バツ 15/16です
未知の数の 1/32 バツ は 、
32 / 32 の数字 バツ 補う 。
したがって、
したがって、分数を分数で割るには、最初の分数の分子に 2 番目の分数の分母を掛け、最初の分数の分母に 2 番目の分数の分子を掛けて、最初の積を分子にする必要があります。そして2番目は分母です。
文字を使用してルールを書いてみましょう。
分割する場合、次のような省略形が可能です。
5.帯分数の割り算。
帯分数を除算するときは、まず次のように変換する必要があります。 仮分数と次に、得られた分数を割り算ルールに従って割り算します。 小数。 例を見てみましょう:
帯分数を仮分数に変換してみましょう。
では、分けてみましょう:
したがって、帯分数を割り算するには、仮分数に変換してから、分数の割り算の法則を使って割り算する必要があります。
6. 与えられた分数から数値を求める。
さまざまな分数の問題の中には、未知の数の分数の値が与えられ、その数値を見つける必要があるものもあります。 このタイプの問題は、指定された数値の小数部を求める問題の逆になります。 そこでは数値が与えられ、この数値の一部を見つける必要がありましたが、ここでは数値の一部が与えられ、この数値自体を見つけることが必要でした。 この種の問題の解決に目を向けると、この考えはさらに明確になります。
タスク1。初日、ガラス屋は建設された家の全窓の 1/3 に相当する 50 個の窓をガラス張りしました。 この家には窓が何個ありますか。
解決。この問題は、50 枚のガラス窓が家のすべての窓の 1/3 を占めることを示しています。つまり、合計で 3 倍の窓があることになります。
その家には150の窓がありました。
タスク2。この店では 1,500 kg の小麦粉を販売しましたが、これは店が保有していた小麦粉の総在庫量の 3/8 に相当します。 店に最初に供給された小麦粉はいくらでしたか?
解決。問題の状況から、販売された小麦粉 1,500 kg が在庫総量の 3/8 を占めることは明らかです。 これは、この準備金の 1/8 が 3 分の 1 になることを意味します。つまり、計算するには、1500 を 3 分の 1 に減らす必要があります。
1,500: 3 = 500 (これは予備の 1/8)。
明らかに、全体の供給量は 8 倍になります。 したがって、
500 8 = 4,000 (kg)。
店舗の小麦粉の初期在庫は 4,000 kg でした。
この問題を考慮すると、次の法則が導き出されます。
分数の指定された値から数値を求めるには、この値を分数の分子で割り、その結果に分数の分母を掛けるだけで十分です。
分数を与えられた数値を求める 2 つの問題を解決しました。 このような問題は、特に最後の問題から明らかなように、除算 (一部が見つかった場合) と乗算 (整数が見つかった場合) の 2 つのアクションによって解決されます。
しかし、分数の割り算を学んだ後は、上記の問題は 1 つのアクション、つまり分数による割り算で解決できます。
たとえば、最後のタスクは次のように 1 つのアクションで解決できます。
将来的には、分数から数値を求める問題を 1 つのアクション (割り算) で解決する予定です。
7. パーセンテージによって数値を見つける。
これらの問題では、その数の数パーセントを知っている数を見つける必要があります。
タスク1。初めに 今年貯蓄銀行から60ルーブルを受け取りました。 1年前に貯蓄した金額からの収入。 貯蓄銀行にいくら預けましたか? (キャッシュデスクでは預金者に年間 2% の利益が与えられます。)
問題の要点は、私が一定額のお金を貯蓄銀行に預け、そこに1年間留まったということです。 1年後、私は彼女から60ルーブルを受け取りました。 収入は私が預けたお金の100分の2です。 私はいくらお金を入れましたか？
したがって、このお金の一部を 2 つの方法 (ルーブルと端数) で表現して知ると、まだ未知の金額全体を見つけなければなりません。 これは、分数が与えられた数値を求める一般的な問題です。 次の問題は除算によって解決されます。
これは、3,000 ルーブルが貯蓄銀行に預けられたことを意味します。
タスク2。漁師たちは 2 週間で月次計画を 64% 達成し、512 トンの魚を収穫しました。 彼らの計画は何だったのでしょうか？
問題の状況から、漁師たちが計画の一部を完了したことがわかっています。 この部分は512トンに相当し、計画の64％となる。 計画に従って何トンの魚を準備する必要があるかわかりません。 この番号を見つけると問題が解決します。
このような問題は割り算によって解決されます。
これは、計画によれば、800トンの魚を準備する必要があることを意味します。
タスク3.列車はリガからモスクワまで行きました。 276キロメートルを通過したとき、乗客の1人が通りすがりの車掌に、すでにどのくらいの距離を移動したのかと尋ねた。 これに対して車掌は「すでに全行程の30％を走行しました」と答えた。 リガからモスクワまでの距離はどのくらいですか?
問題の状況から、リガからモスクワまでのルートの 30% が 276 km であることは明らかです。 これらの都市間の距離全体を見つける必要があります。つまり、この部分については、次の全体を見つけます。
§ 91. 逆数。 割り算を掛け算に置き換えます。
分数 2/3 を取り出し、分母の代わりに分子を置き換えると、3/2 が得られます。 この分数の逆数を求めました。
特定の分数の逆数である分数を取得するには、分母の代わりに分子を置き、分子の代わりに分母を置く必要があります。 このようにして、任意の分数の逆数を求めることができます。 例えば：
3/4、リバース4/3。 5/6、リバース6/5
最初の分数の分子が 2 番目の分数の分母であり、最初の分数の分母が 2 番目の分数の分子であるという性質を持つ 2 つの分数をと呼びます。 相互に反転します。
では、1/2の逆数は何分数になるかを考えてみましょう。 明らかに、それは 2 / 1、または単なる 2 になります。指定されたものの逆分数を探すことで、整数が得られます。 そして、このケースは孤立したものではありません。 逆に、分子が 1 のすべての分数では、逆数は整数になります。次に例を示します。
1/3、リバース3。 1/5、リバース5
逆分数を求める際に整数にも遭遇したため、以下では逆分数ではなく逆数について説明します。
整数の逆数を書く方法を考えてみましょう。 分数の場合、これは簡単に解決できます。分子の代わりに分母を置く必要があります。 同様に、整数の分母は 1 になるため、整数の逆数を求めることができます。これは、7 = 7/1 であるため、7 の逆数は 1/7 になることを意味します。 数値 10 の場合、10 = 10/1 であるため、逆数は 1/10 になります。
この考えは別の方法で表現できます。 指定された数の逆数は、1 を指定された数で割ることによって得られます。 このステートメントは整数だけでなく分数にも当てはまります。 実際、分数 5/9 の逆数を書く必要がある場合は、1 を 5/9 で割ることができます。
さて、一つ指摘しておきますが、 財産逆数、これは私たちに役立ちます: 逆数の積は 1 に等しい。確かに：
この性質を利用すると、次のように逆数を求めることができます。 8 の逆数を見つける必要があるとします。
文字で表しましょう バツ 、次に8 バツ = 1、したがって バツ = 1/8。 7/12 の逆数である別の数字を見つけて、それを文字で表してみましょう バツ 、その後7/12 バツ = 1、したがって バツ = 1:7 / 12 または バツ = 12 / 7 .
ここでは、分数の割り算についての情報を少し補足するために、逆数の概念を導入しました。
数字の 6 を 3/5 で割ると、次のようになります。
支払ってください 特別な注意式を入力し、指定された式と比較します。
前の式と関係なく、この式を個別に考えると、その式がどこから来たのか、つまり 6 を 3/5 で割る、または 6 に 5/3 を掛けるという問題を解決することは不可能です。 どちらの場合でも同じことが起こります。 したがって、次のように言えます。 ある数値を別の数値で除算することは、被除数に除数の逆数を乗算することで置き換えることができるということです。
以下に示す例は、この結論を完全に裏付けています。
このレッスンでは、分母が似ている代数分数の加算と減算について説明します。 私たちは、分母が似ている公用分数の足し算と引き算の方法をすでに知っています。 代数の分数も同じ規則に従うことがわかります。 分母が似ている分数の扱い方を学ぶことは、代数分数の扱い方を学ぶ基礎の 1 つです。 特に、このトピックを理解すると、より多くのことを簡単に習得できるようになります。 難しい話題- 分母の異なる分数の足し算と引き算。 レッスンの一環として、同様の分母を持つ代数分数の加算と減算のルールを学習し、いくつかの典型的な例も分析します。
分母が似ている代数分数の足し算と引き算のルール
Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) 1-on-to-you -mi の al-geb-ra-i-che-skih 分数know-me-na-te-la-mi (通常のショットビートの類似ルールと一致します): これは、one-to-you との al-geb-ra-i-che-skih 分数の加算または計算用です。 know-me-on-the-la-mi 必要な場合は、対応する数値の合計をコンパイルし、sign-me-na-tel は何もせずに終了します。
このルールは、通常のベン ドローの例とアル ゲブラ イ チェ ドローの例の両方で理解できます。
普通の分数に対するルールの適用例
例 1. 分数を加算します。
解決
符号はそのままにして、分数の数を加算してみましょう。 この後、数値と符号を単純な多重度と組み合わせに分解します。 取得しましょう: 
.
注: 同様のタイプの例を解くときに許可される標準エラー (次の考えられる解決策の -klu-cha-et-sya ): 
。 符号は元の分数と同じままであるため、これは重大な間違いです。
例 2. 分数を加算します。
解決
これは、前のものと何ら変わりません。
代数分数に対するルールの適用例
通常のドロビートから、アルゲブライチェスキムに移ります。
例 3. 分数を加算します。
解決策: すでに上で述べたように、アル・ゲブラ・イ・チェ・フラクションの構成は通常の銃撃戦と何ら変わりません。 したがって、解決方法は同じです。
例 4. あなたは分数です: 。
解決
加算によるアル・ゲブラ・イ・チェ・スキーの分数の計算は、使用される分数の数が pi-sy-va-et-sya で異なるという事実によってのみ行われます。 それが理由です 。
例 5. あなたは分数です: 。
解決： 。
例 6. 簡略化します。
解決： 。
ルールを適用した後に削減する例
複利や計算の結果において同じ意味を持つ分数は組み合わせが可能です。 さらに、al-geb-ra-i-che-skih 分数の ODZ についても忘れてはなりません。
例 7. 簡略化します。
解決： 。
ここで、 。 一般に、最初の分数の ODZ が合計の ODZ と一致する場合、それは省略できます (結局のところ、分数は答えに含まれており、対応する重要な変更も存在しません)。 ただし、使用した分数の ODZ と答えが一致しない場合は、ODZ を示す必要があります。
例 8. 簡略化します。
解決： 。 同時に、y (初期フラクションの ODZ は結果の ODZ と一致しません)。
分母の異なる分数の足し算と引き算
異なる know-me-on-the-la-mi の al-geb-ra-i-che-fraction を追加して読み取るには、通常の ven-ny 分数で ana-lo -giyu を実行し、それを al-geb に転送します。 -ra-i-che-分数。
普通の分数の最も単純な例を見てみましょう。
例1.分数を追加します: 。
解決：
分数の足し算のルールを覚えておきましょう。 分数を始めるには、分数を共通の符号に合わせる必要があります。 普通の分数の一般記号の役割を果たします。 最小公倍数(NOK) 初期の兆候。
意味
同時に数値と に分割される最小の数。
NOC を見つけるには、知識を単純なセットに分割し、両方のサインの分割に含まれる多数のセットをすべて選択する必要があります。
; 。 この場合、数値の最小公倍数には 2 が 2 つと 3 が 2 つ含まれている必要があります。
一般知識を見つけた後、分数のそれぞれについて、完全な多重度常駐を見つける必要があります (実際には、対応する分数の符号に共通符号を注ぐ必要があります)。
次に、各分数に 2 分の 1 の係数が乗算されます。 前のレッスンで学習したものと同じものからいくつかの分数を取得し、合計して読み上げてみましょう。
食べましょう： 
.
答え：.
次に、さまざまな符号を持つアル・ゲブラ・イ・チェ・フラクションの構成を見てみましょう。 次に、分数を見て、数字があるかどうかを確認してみましょう。
分母が異なる代数の分数の足し算と引き算
例2。分数を追加します: 。
解決：
前の例と同様に、絶対的な決断を下すアルゴリズム。 与えられた分数の共通符号を取得し、それぞれの分数に追加の乗数を求めるのは簡単です。
.
答え：.
それでは、形にしてみましょう 足し算のアルゴリズムと符号の異なるアル・ゲブラ・イ・チェ・スキー分数の計算:
1. 分数の最小共通符号を見つけます。
2. 各分数の追加の乗数を求めます (実際、符号の共通符号は -th 分数で与えられます)。
3. 対応する最大完全な多重度の最大数の数値。
4. 同じ知識「メ・ナ・テ・ラ・ミ」で分数の積分と計算のルールを使用して、分数を加算または計算します。
次に、分数の例を見てみましょう。その記号には文字 you -nia があります。
レッスン内容分母が似ている分数の足し算
分数の加算には 2 つのタイプがあります。
- 分母が似ている分数の足し算
- 分母の異なる分数の加算
まず、分母が似ている分数の足し算を学びましょう。 ここではすべてがシンプルです。 同じ分母を持つ分数を加算するには、分母を変更せずに分子を加算する必要があります。 たとえば、分数と を加算してみましょう。 分子を追加し、分母は変更しないままにします。
この例は、ピザが 4 つの部分に分かれていることを思い出すと簡単に理解できます。 ピザにピザを追加すると、ピザが得られます。
例2。分数と を加算します。
答えは仮分数でした。 仕事の終わりが来たら、仮分数を取り除くのが通例です。 仮分数を削除するには、その部分全体を選択する必要があります。 私たちの場合、部分全体は簡単に分離されます。2 を 2 で割った値は 1 になります。
この例は、2 つの部分に分かれたピザについて思い出すと簡単に理解できます。 ピザにさらにピザを追加すると、丸ごと 1 枚のピザが得られます。
例 3。 分数と を加算します。
繰り返しますが、分子を合計し、分母は変更しないままにします。
この例は、ピザが 3 つの部分に分かれていることを思い出すと簡単に理解できます。 ピザにさらにピザを追加すると、ピザが得られます。
例4.式の値を見つける 
この例は、前の例とまったく同じ方法で解決されます。 分子を追加し、分母は変更しないでください。
絵を使って解決策を描いてみましょう。 ピザにピザを追加してさらにピザを追加すると、丸ごと 1 枚のピザとさらに多くのピザが得られます。
ご覧のとおり、同じ分母を持つ分数を加算することは何も複雑ではありません。 次のルールを理解するだけで十分です。
- 同じ分母を持つ分数を加算するには、分母を変更せずに分子を加算する必要があります。
分母の異なる分数の加算
次に、分母が異なる分数を加算する方法を学びましょう。 分数を加算する場合、分数の分母は同じである必要があります。 しかし、それらは常に同じであるわけではありません。
たとえば、分母は同じであるため、分数を加算できます。
ただし、分数は分母が異なるため、すぐに足し算を行うことはできません。 このような場合、分数は同じ (共通の) 分母に減らす必要があります。
分数を同じ分母に減らす方法はいくつかあります。 他の方法は初心者にとって複雑に見えるかもしれないので、今日はそのうちの 1 つだけを見ていきます。
この方法の本質は、最初に両方の分数の分母の最小公倍数が検索されることです。 次に、LCM を最初の分数の分母で割って、最初の追加係数を取得します。 2 番目の分数についても同じことを行います。最小公倍数は 2 番目の分数の分母で除算され、2 番目の追加係数が取得されます。
次に、分数の分子と分母に追加の係数が乗算されます。 これらの動作の結果、分母が異なる分数は分母が同じ分数に変わります。 そして、そのような分数を加算する方法はすでに知っています。
例1。 分数を足してみましょう
まず、両方の分数の分母の最小公倍数を見つけます。 最初の分数の分母は数値 3 で、2 番目の分数の分母は数値 2 です。これらの数値の最小公倍数は 6 です。
LCM (2 および 3) = 6
さて、分数と に戻りましょう。 まず、最小公倍数を最初の分数の分母で割って、最初の追加係数を取得します。 LCM は数値 6 で、最初の分数の分母は数値 3 です。6 を 3 で割ると、2 が得られます。
結果として得られる数値 2 は、最初の追加乗数です。 それを最初の分数まで書きます。 これを行うには、分数の上に小さな斜線を引き、その上にある追加の因数を書き留めます。
2 番目の部分についても同じことを行います。 LCM を 2 番目の分数の分母で割って、2 番目の追加係数を取得します。 LCM は数値 6 で、2 番目の分数の分母は数値 2 です。6 を 2 で割ると、3 が得られます。
結果として得られる数値 3 は、2 番目の追加乗数です。 それを2番目の分数まで書きます。 もう一度、2 番目の分数の上に小さな斜線を描き、その上にある追加の因子を書き留めます。
これで、追加する準備がすべて整いました。 分数の分子と分母に追加の係数を乗算する作業が残ります。
私たちがたどり着いたものを注意深く見てください。 分母が異なる分数は分母が同じ分数になるという結論に達しました。 そして、そのような分数を加算する方法はすでに知っています。 この例を最後まで見てみましょう。
これで例は完了です。 を追加することがわかります。
絵を使って解決策を描いてみましょう。 ピザにピザを追加すると、丸ごと 1 枚のピザと、さらに 6 分の 1 のピザが得られます。
分数を同じ（共通）分母に減らすことは、絵を使用して表すこともできます。 分数と を公分母に換算すると、分数と が得られます。 これら 2 つの部分は、同じピザで表されます。 唯一の違いは、今回は均等に分割される (同じ分母に減らされる) ということです。
最初の図は分数 (6 個のうち 4 個) を表し、2 番目の図は分数 (6 個のうち 3 個) を表します。 これらの部分を追加すると、(6 個中 7 個の部分) が得られます。 この分数は不適切であるため、その部分全体を強調表示しました。 その結果、（丸ごとピザ 1 枚と 6 枚目のピザ）を入手しました。
この例については詳細に説明しすぎたことに注意してください。 で 教育機関こんなに詳しく書くのは習慣的ではありません。 両方の分母とそれらに対する追加因子の最小公倍数をすばやく見つけることができ、さらに、見つかった追加因子に分子と分母をすばやく乗算できる必要があります。 学校にいる間は、この例を次のように書く必要があります。
しかし、それもあります 裏側メダル。 数学を勉強する最初の段階で詳細なメモを取っていないと、その種の質問が現れ始めます。 「その数字はどこから来るのですか？」、「分数が突然まったく異なる分数になるのはなぜですか？」 «.
分母が異なる分数の加算を簡単にするには、次の段階的な手順を使用します。
- 分数の分母の最小公倍数を求めます。
- LCM を各分数の分母で割り、各分数の追加係数を取得します。
- 分数の分子と分母に追加の係数を掛けます。
- 同じ分母を持つ分数を加算します。
- 答えが仮分数であることが判明した場合は、その部分全体を選択します。
例2。式の値を見つける 
.
上記の手順を使用してみましょう。
ステップ 1. 分数の分母の最小公倍数を求める
両方の分数の分母の最小公倍数を求めます。 分数の分母は数字の 2、3、4 です。
ステップ 2. LCM を各分数の分母で割り、各分数の追加係数を取得します。
LCM を最初の分数の分母で割ります。 LCM は数値 12 で、最初の分数の分母は数値 2 です。12 を 2 で割ると 6 が得られます。最初の追加因数 6 が得られます。これを最初の分数の上に書きます。
次に、最小公倍数を 2 番目の分数の分母で割ります。 LCM は数値 12 で、2 番目の分数の分母は数値 3 です。12 を 3 で割ると 4 が得られます。2 番目の追加係数 4 が得られます。これを 2 番目の分数の上に書きます。
次に、最小公倍数を 3 番目の分数の分母で割ります。 LCM は数値 12 で、3 番目の分数の分母は数値 4 です。12 を 4 で割ると 3 が得られます。3 番目の追加因数 3 が得られます。これを 3 番目の分数の上に書きます。
ステップ 3. 分数の分子と分母に追加の係数を掛けます。
分子と分母に追加の係数を掛けます。
ステップ 4. 同じ分母を持つ分数を加算します
私たちは、分母が異なる分数が同じ（共通の）分母を持つ分数になるという結論に達しました。 残っているのは、これらの分数を加算することだけです。 合計してください:
追加が 1 行に収まらなかったため、残りの式を次の行に移動しました。 数学ではこれが許されています。 式が 1 行に収まらない場合は次の行に移動します。最初の行の末尾と新しい行の先頭には等号 (=) を入れる必要があります。 2 行目の等号は、これが 1 行目の式の続きであることを示します。
ステップ 5. 答えが仮分数であることが判明した場合は、その部分全体を選択します
答えに不適切な分数が含まれています。 その全体の部分を強調する必要があります。 私たちは次のことを強調します:
回答を受け取りました
分母が似ている分数の引き算
分数の引き算には 2 つのタイプがあります。
- 分母が似ている分数の引き算
- 分母の異なる分数の引き算
まず、分母が似ている分数の引き算を学びましょう。 ここではすべてがシンプルです。 ある分数から別の分数を引くには、最初の分数の分子から 2 番目の分数の分子を引く必要がありますが、分母は同じままにしておきます。
たとえば、式 の値を見つけてみましょう。 この例を解決するには、最初の分数の分子から 2 番目の分数の分子を引き、分母を変更しないままにする必要があります。 これをやろう：
この例は、ピザが 4 つの部分に分かれていることを思い出すと簡単に理解できます。 ピザからピザを切り出すと、次のようなピザが得られます。
例2。式の値を見つけます。
もう一度、最初の分数の分子から 2 番目の分数の分子を引き、分母は変更しないままにします。
この例は、ピザが 3 つの部分に分かれていることを思い出すと簡単に理解できます。 ピザからピザを切り出すと、次のようなピザが得られます。
例 3.式の値を見つける 
この例は、前の例とまったく同じ方法で解決されます。 最初の分数の分子から残りの分数の分子を引く必要があります。
ご覧のとおり、分母が同じ分数の引き算は何も複雑ではありません。 次のルールを理解するだけで十分です。
- ある分数から別の分数を引くには、最初の分数の分子から 2 番目の分数の分子を引き、分母は変更しないままにする必要があります。
- 答えが仮分数であることが判明した場合は、その部分全体を強調表示する必要があります。
分母の異なる分数の引き算
たとえば、分数の分母は同じであるため、分数から分数を引くことができます。 ただし、これらの分数は分母が異なるため、分数から分数を引くことはできません。 このような場合、分数は同じ (共通の) 分母に減らす必要があります。
共通の分母は、分母が異なる分数を加算するときに使用したのと同じ原理を使用して求められます。 まず、両方の分数の分母の最小公倍数を求めます。 次に、最小公倍数が最初の分数の分母で除算され、最初の追加係数が取得されます。これは最初の分数の上に書き込まれます。 同様に、最小公倍数は 2 番目の分数の分母で除算され、2 番目の追加係数が取得されます。これは 2 番目の分数の上に書き込まれます。
次に、分数に追加の係数が乗算されます。 これらの演算の結果、分母が異なる分数は分母が同じ分数に変換されます。 そして、私たちはそのような分数を引き算する方法をすでに知っています。
例1.式の意味を調べます。
これらの分数は分母が異なるため、同じ (共通の) 分母に減らす必要があります。
まず、両方の分数の分母の最小公倍数を求めます。 最初の分数の分母は数値 3 で、2 番目の分数の分母は数値 4 です。これらの数値の最小公倍数は 12 です。
LCM (3 および 4) = 12
さて、分数の話に戻って、
最初の分数に対する追加の因数を見つけてみましょう。 これを行うには、最小公倍数を最初の分数の分母で割ります。 LCM は数値 12 で、最初の分数の分母は数値 3 です。12 を 3 で割ると 4 が得られます。最初の分数の上に 4 を書きます。
2 番目の部分についても同じことを行います。 LCM を 2 番目の分数の分母で割ります。 LCM は数値 12 で、2 番目の分数の分母は数値 4 です。12 を 4 で割ると 3 が得られます。2 番目の分数に 3 を書きます。
これで減算の準備が整いました。 分数に追加の係数を乗算する作業が残ります。
分母が異なる分数は分母が同じ分数になるという結論に達しました。 そして、私たちはそのような分数を引き算する方法をすでに知っています。 この例を最後まで見てみましょう。
回答を受け取りました
絵を使って解決策を描いてみましょう。 ピザからピザを切り出せば、ピザが得られる
これはソリューションの詳細バージョンです。 もし私たちが学校にいたなら、この例題をもっと短く解く必要があるでしょう。 このような解決策は次のようになります。
分数を共通の分母に減らすことは、絵を使用して表すこともできます。 これらの分数を共通の分母に還元すると、分数 と が得られます。 これらの分数は同じピザのスライスで表されますが、今回は等しい割合に分割されます (同じ分母に減らされます)。
最初の写真は分数 (12 個中 8 個) を示し、2 番目の写真は分数 (12 個中 3 個) を示しています。 8 個から 3 個を切り出すと、12 個のうち 5 個が得られます。 この分数はこれら 5 つの部分を表します。
例2。式の値を見つける 
これらの分数は分母が異なるため、最初にそれらを同じ (共通の) 分母に減らす必要があります。
これらの分数の分母の最小公倍数を求めてみましょう。
分数の分母は数値 10、3、および 5 です。これらの数値の最小公倍数は 30 です。
LCM(10, 3, 5) = 30
ここで、各分数の追加の因数を見つけます。 これを行うには、最小公倍数を各分数の分母で割ります。
最初の分数に対する追加の因数を見つけてみましょう。 LCM は数値 30 で、最初の分数の分母は数値 10 です。30 を 10 で割ると、最初の追加因数 3 が得られます。これを最初の分数の上に書きます。
ここで、2 番目の部分に対する追加の因数を見つけます。 LCM を 2 番目の分数の分母で割ります。 LCM は数値 30 で、2 番目の分数の分母は数値 3 です。30 を 3 で割ると、2 番目の追加係数 10 が得られます。これを 2 番目の分数の上に書きます。
ここで、3 番目の分数に対する追加の因数を見つけます。 LCM を 3 番目の分数の分母で割ります。 LCM は数値 30 で、3 番目の分数の分母は数値 5 です。30 を 5 で割ると、3 番目の追加係数 6 が得られます。これを 3 番目の分数の上に書きます。
これで、すべての減算の準備が整いました。 分数に追加の係数を乗算する作業が残ります。
私たちは、分母が異なる分数が同じ（共通の）分母を持つ分数になるという結論に達しました。 そして、私たちはそのような分数を引き算する方法をすでに知っています。 この例を終了しましょう。
例の続きは 1 行に収まらないため、続きを次の行に移動します。 新しい行の等号 (=) を忘れないでください。
答えは正分数であることが判明し、すべてが適切であるように見えますが、あまりにも面倒で見苦しいです。 もっとシンプルにすべきです。 何ができるでしょうか？ この分数を短くすることができます。
分数を約分するには、その分子と分母を数値 20 と 30 の (GCD) で割る必要があります。
したがって、数値 20 と数値 30 の gcd を求めます。
ここで、例に戻り、分数の分子と分母を、見つかった gcd で、つまり 10 で割ります。
回答を受け取りました
分数と数値の掛け算
分数に数値を掛けるには、指定された分数の分子にその数値を掛け、分母はそのままにする必要があります。
例1。 分数に数値 1 を掛けます。
分数の分子に数値 1 を掛けます。
録音には半分の 1 時間がかかると理解できます。 たとえば、ピザを 1 回取ると、ピザが手に入ります。
乗法の法則から、被乗数と因数を交換しても積は変わらないことがわかります。 式が として書かれている場合でも、積は と等しくなります。 ここでも、整数と分数を乗算するルールが機能します。
この表記は 1 の半分を取ると理解できます。 たとえば、ピザが 1 枚あり、その半分を取ると、ピザができあがります。
例 2。 式の値を見つける
分数の分子に4を掛けます
答えは仮分数でした。 その全部分を強調してみましょう。
この式は 2 つの四半期を 4 回かかると理解できます。 たとえば、ピザを 4 枚取ると、丸ごと 2 枚のピザが得られます。
そして、被乗数と乗数を交換すると、次の式が得られます。 また、2 に等しくなります。この式は、4 枚のピザ全体から 2 枚のピザを取り出したものとして理解できます。
分数の掛け算
分数を掛けるには、分数の分子と分母を掛ける必要があります。 答えが仮分数であることが判明した場合は、その部分全体を強調表示する必要があります。
例1.式の値を見つけます。
回答をいただきました。 この部分を減らすことをお勧めします。 この分数は 2 で減らすことができます。その場合、最終的な解は次の形式になります。
この表現は、半分のピザからピザを取り出すと理解できます。 ピザが半分あるとしましょう:
この半分から3分の2をどうやって奪うのか？ まず、この半分を 3 つの等しい部分に分割する必要があります。
そして、これら 3 つの部分から 2 つを取り出します。
ピザを作ります。 ピザがどのようなものかを思い出してください。3 つの部分に分かれています。
このピザの 1 枚と、私たちが撮った 2 枚の寸法は同じになります。
言い換えると、 私たちが話しているのはほぼ同じサイズのピザ。 したがって、式の値は次のようになります。
例 2。 式の値を見つける
最初の分数の分子と 2 番目の分数の分子を掛け、最初の分数の分母と 2 番目の分数の分母を掛けます。
答えは仮分数でした。 その全部分を強調してみましょう。
例 3.式の値を見つける
最初の分数の分子と 2 番目の分数の分子を掛け、最初の分数の分母と 2 番目の分数の分母を掛けます。
答えは普通の分数になりましたが、短縮すればよかったです。 この分数を減らすには、この分数の分子と分母を数値 105 と 450 の最大公約数 (GCD) で割る必要があります。
それでは、数値 105 と 450 の gcd を求めてみましょう。
次に、答えの分子と分母を、今見つけた gcd で、つまり 15 で割ります。
整数を分数で表す
任意の整数は分数として表すことができます。 たとえば、数字の 5 は と表すことができます。 これによって 5 の意味が変わることはありません。この式は「数字の 5 を 1 で割ったもの」を意味し、ご存知のとおり、これは 5 に等しいからです。
逆数
今、私たちは非常に知ります 興味深い話題数学で。 それは「逆数」と呼ばれます。
意味。 番号を反転ある を乗算すると、ある 1つを与えます。
変数の代わりにこの定義に代入してみましょう ある番号 5 を選択して、定義を読んでみてください。
番号を反転 5 を乗算すると、 5 1つを与えます。
5を掛けると1になる数を見つけることはできますか? それは可能であることが分かりました。 5 を分数として想像してみましょう。
次に、分子と分母を入れ替えるだけで、この分数自体を掛け算します。 言い換えれば、分数を逆さまだけで乗算してみましょう。
この結果、何が起こるでしょうか? この例を引き続き解くと、次の結果が得られます。
これは、5 に 5 を掛けると 1 が得られるため、数値 5 の逆数が数値 であることを意味します。
数値の逆数は、他の整数に対しても求めることができます。
他の分数の逆数も求めることができます。 これを行うには、裏返すだけです。
分数を数値で割る
ピザが半分あるとします。
それを2人で均等に分けましょう。 一人当たりピザは何枚もらえるでしょうか？
ピザの半分を分割した後、2 つの等しい部分が得られ、それぞれがピザを構成していることがわかります。 それで全員がピザを食べます。
分数の除算は逆数を使用して行われます。 逆数を使用すると、割り算を掛け算に置き換えることができます。
分数を数値で割るには、分数に約数の逆数を掛ける必要があります。
このルールを使用して、ピザの半分を 2 つの部分に分割することを書き留めます。
したがって、分数を数値 2 で割る必要があります。 ここで、被除数は分数、約数は数値 2 です。
分数を数値 2 で割るには、この分数に約数 2 の逆数を掛ける必要があります。約数 2 の逆数が分数です。 したがって、乗算する必要があります