加算と減算の性質を文字で表現したもの。自然数の足し算の性質

それで、 V 一般的な場合引き算自然数可換性を持たない。このステートメントを文字で書いてみましょう。 a と b が等しくない自然数の場合、 a−b≠b−a。たとえば、45−21≠21−45です。

自然数から 2 つの数の和を引く性質。

次の性質は、自然数から 2 つの数値の合計を減算することに関連しています。この特性を理解するための例を見てみましょう。

手に7枚のコインがあると想像してみましょう。最初は2枚のコインを保持することにしますが、これでは足りないと考えて、もう1枚のコインを保持することにします。自然数を加算する意味に基づいて、この場合は 2+1 の合計で決まるコインの数を保存することにしたと主張できます。そこで、2枚のコインを取り、それに別のコインを加えて貯金箱に入れます。この場合、手に残っているコインの数は、差 7−(2+1) によって決まります。

ここで、7 枚のコインがあり、2 枚のコインを貯金箱に入れ、その後に別のコインを入れたと想像してください。このプロセスは数学的に次のように説明されます数値式: (7−2)−1 .

手に残っているコインを数えると、最初のケースと 2 番目のケースの両方で、コインが 4 枚あります。つまり、7-(2+1)=4、(7-2)-1=4、したがって、7-(2+1)=(7-2)-1となる。

考慮された例では、与えられた自然数から 2 つの数値の合計を減算する性質を定式化できます。与えられた自然数から 2 つの自然数の与えられた和を減算することは、与えられた自然数から与えられた和の第 1 項を減算し、その結果の差から第 2 項を減算することと同じです。

自然数の減算に意味を与えたのは、被減数が減数より大きいか、被減数に等しい場合だけであることを思い出してください。したがって、指定された自然数から指定された合計を減算できるのは、この合計が減算される自然数より大きくない場合に限られます。この条件が満たされる場合、各項は和を引いた自然数を超えないことに注意してください。

文字を使用すると、与えられた自然数から 2 つの数の和を引く性質は等価と書きます。 a−(b+c)=(a−b)−cここで、a、b、c は自然数であり、a>b+c または a=b+c の条件が満たされます。

考慮された性質と自然数の加算の組み合わせ性質により、与えられた自然数から 3 つ以上の数値の合計を引くことが可能になります。

2 つの数値の合計から自然数を引く性質。

次の特性に移りましょう。これは、2 つの自然数の指定された合計から指定された自然数を減算することに関連しています。 2 つの数値の合計から自然数を引くというこの性質を「理解」するのに役立つ例を見てみましょう。

最初のポケットに 3 つのキャンディーがあり、2 つ目のポケットに 5 つのキャンディーがあり、2 つのキャンディーを配る必要があるとします。できるよ違う方法。一つずつ見ていきましょう。

まず、すべてのキャンディーを 1 つのポケットに入れ、そこから 2 つのキャンディーを取り出して配ります。これらのアクションを数学的に説明してみましょう。キャンディーを 1 つのポケットに入れると、その数は 3 + 5 の合計によって決まります。さて、キャンディーの総数のうち 2 個をプレゼントしますが、残りのキャンディーの数は次の差 (3+5) − 2 で決まります。

次に、最初のポケットからキャンディーを 2 つ取り出すことができます。この場合、差 3-2 によって最初のポケットにあるキャンディーの残りの数が決まり、合計残りのキャンディーは、(3−2)+5 の合計によって決まります。

第三に、2 番目のポケットから 2 つのキャンディーを差し出すことができます。次に、差 5-2 は 2 番目のポケットに残っているキャンディーの数に対応し、残りのキャンディーの総数は合計 3+(5-2) によって決まります。

すべての場合において、同じ数のキャンディーが得られることは明らかです。したがって、等式 (3+5)-2=(3-2)+5=3+(5-2) が成り立ちます。

2 つではなく 4 つのキャンディーを配らなければならない場合、2 つの方法でこれを行うことができます。まず、キャンディーを 4 つ配ります。すべて 1 つのポケットに入れておきます。この場合、キャンディーの残り数は、（３＋５）−４の式で求められる。次に、2 番目のポケットから 4 つのキャンディーを配ることができます。この場合、キャンディーの総数は次の合計 3+(5−4) になります。最初のケースと 2 番目のケースの両方で、同じ数のキャンディーがあることは明らかなので、等式 (3+5)−4=3+(5−4) が成り立ちます。

前の例を解くことで得られた結果を分析すると、与えられた 2 つの数値の合計から与えられた自然数を減算する性質を定式化できます。 2 つの数値の所定の合計から所定の自然数を減算することは、一方の項から所定の数値を減算し、結果として生じた差ともう一方の項を加算することと同じです。減算される数値は、その数値が減算される項より大きくてはいけないことに注意してください。

和から自然数を引く性質を文字で書いてみましょう。 a、b、c を自然数とする。次に、a が c 以上である場合、等式は真になります。 (a+b)−c=(a−c)+b、そして b が c 以上であるという条件が満たされる場合、等価性は true になります。 (a+b)−c=a+(b−c)。 a と b の両方が c 以上である場合、最後の等式は両方とも true であり、次のように書くことができます。 (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

類推により、3 つ以上の数値の合計から自然数を引く性質を定式化できます。この場合、この自然数は任意の項から減算でき (もちろん、減算される数値以上の場合)、残りの項を結果の差に加算できます。

音響特性を視覚化するには、たくさんのポケットがあり、その中にキャンディーが入っていると想像してください。キャンディーを 1 つプレゼントする必要があるとします。どのポケットからでもキャンディーを 1 つ配ることができることは明らかです。同時に、どのポケットからそれを配っても、私たちが残すキャンディーの量には影響を与えないため、問題ではありません。

例を挙げてみましょう。 a、b、c、d を自然数とする。 a>d または a=d の場合、差 (a+b+c)-d は合計 (a-d)+b+c に等しくなります。 b>d または b=d の場合、(a+b+c)-d=a+(b-d)+c となります。 c>d または c=d の場合、等式 (a+b+c)-d=a+b+(c-d) が成り立ちます。

3 つ以上の数値の合計から自然数を減算する性質は、自然数を加算する性質と 2 つの数値の合計から数値を減算する性質から派生するため、新しい性質ではないことに注意してください。

参考文献。

数学。一般教育機関の 1 年生、2 年生、3 年生、4 年生の教科書。
数学。一般教育機関の 5 年生用の教科書。

このアクションに固有の多くの結果に注目することができます。これらの結果は次のように呼ばれます 自然数の足し算の性質。この記事では、自然数の加算の性質を詳細に分析し、文字を使用して記述し、説明的な例を示します。

ページナビゲーション。

自然数の加算の組み合わせの性質。

ここで、自然数の加算の結合特性を示す例を示しましょう。

状況を想像してみましょう。最初のリンゴの木から 1 個のリンゴが落ち、2 番目のリンゴの木から 2 個とさらに 4 個のリンゴが落ちました。ここで次の状況を考えてみましょう。1 個のリンゴとさらに 2 個のリンゴが最初のリンゴの木から落ち、4 個のリンゴが 2 番目のリンゴの木から落ちました。最初のケースと 2 番目のケースの両方で、地面に同じ数のリンゴがあることは明らかです (これは再計算によって確認できます)。つまり、数値 1 と数値 2 と数値 4 の合計を加算した結果は、数値 1 と数値 2 の合計と数値 4 を加算した結果と等しくなります。

この例では、自然数の加算の組み合わせ特性を定式化できます。2 つの数値の指定された合計を指定された数に加算するには、指定された合計の最初の項をこの数値に加算し、その合計の 2 番目の項を加算することができます。結果の結果に与えられた合計。このプロパティは、次のような文字を使用して記述できます。 a+(b+c)=(a+b)+cここで、a、b、c は任意の自然数です。

等式 a+(b+c)=(a+b)+c には括弧「(」と「)」が含まれることに注意してください。括弧は、アクションが実行される順序を示すために式で使用されます。括弧内のアクションが最初に実行されます (これについてはセクションで詳しく説明します)。つまり、値が最初に評価される式は括弧内に置かれます。

この段落の結論として、加算の組み合わせ特性により、3 つ、4 つ、またはそれ以上の自然数の加算を一意に決定できることに注意してください。

ゼロと自然数を足す性質、ゼロとゼロを足す性質。

私たちはゼロが自然数ではないことを知っています。では、なぜこの記事でゼロと自然数を加算する性質を検討することにしたのでしょうか? これには 3 つの理由があります。 1 つ目: このプロパティは、列に自然数を追加するときに使用されます。 2 番目: このプロパティは、自然数を減算するときに使用されます。第三に、ゼロが何もないことを意味するとすると、ゼロと自然数を加える意味は、自然数を２つ加える意味と一致する。

ゼロと自然数を加算する性質を定式化するのに役立つ推論を実行してみましょう。ボックス内にオブジェクトがまったくなく (つまり、ボックス内にオブジェクトが 0 個あり)、その中にオブジェクトが置かれていると想像してみましょう。ここで、a は任意の自然数です。つまり、0 と 1 つのオブジェクトを追加しました。このアクションの後、ボックス内にオブジェクトがあることは明らかです。したがって、等式 0+a=a は真です。

同様に、ボックスにアイテムが含まれており、そこにアイテムが 0 個追加された場合 (つまり、アイテムが追加されなかった場合)、このアクションの後、ボックス内にアイテムが存在します。したがって、 a+0=a となります。

これで、ゼロと自然数を加算する性質を定式化できます。 2 つの数値の合計 (そのうちの 1 つはゼロ) は 2 番目の数値に等しい。数学的には、このプロパティは次の等式として記述できます。 0+a=aまたは a+0=aここで、a は任意の自然数です。

これとは別に、自然数とゼロを加算する場合、加算の可換性、つまり a+0=0+a が成り立つことに注意してください。

最後に、ゼロとゼロを加算する性質を定式化しましょう (これは非常に明白であり、追加のコメントは必要ありません)。 それぞれゼロに等しい 2 つの数値の合計はゼロに等しい。あれは、 0+0=0 .

今度は自然数を加算する方法を考えてみましょう。

参考文献。

数学。一般教育機関の 1 年生、2 年生、3 年生、4 年生の教科書。
数学。一般教育機関の 5 年生用の教科書。

ある数値を別の数値に加算するのは非常に簡単です。 4+3=7 の例を見てみましょう。この式は、4 単位に 3 単位を加えて 7 単位になったことを意味します。
追加した数字 3 と 4 は次のように呼ばれます。条項。そして、数字の 7 を足した結果は次のように呼ばれます。額.

和数字の足し算です。プラス記号「+」。
リテラル形式では、この例は次のようになります。

α+b=c

追加コンポーネント:
ある- 学期、 b- 条項、 c-合計。
3 つの単位に 4 つの単位を加算すると、加算の結果は同じ 7 になります。

この例から、用語をどのように交換しても、答えは同じであると結論付けられます。

この項の性質は次のように呼ばれます。 加算の交換法則.

加算の交換法則。

項の位置を変更しても合計は変わりません。

でアルファベット表記変位の法則は次のようになります。

α+b=b+ある

たとえば、3 つの項を考慮すると、数値 1、2、および 4 が取られます。そして、この順序で加算を実行し、最初に 1 + 2 を加算し、次に結果の合計に 4 を加算すると、次の式が得られます。

(1+2)+4=7

逆に、最初に 2+4 を加算し、次に結果の合計に 1 を加算することもできます。この例は次のようになります。

1+(2+4)=7

答えは変わりません。同じ例に対するどちらのタイプの加算も同じ答えになります。結論としては次のようになります。

(1+2)+4=1+(2+4)

この加算の性質は次のように呼ばれます。 加算の結合法則.

加算の交換結合法則は、負でないすべての数値に適用されます。

加算の組み合わせ法則。

2 つの数値の合計に 3 番目の数値を加算するには、2 番目と 3 番目の数値の合計を最初の数値に加算します。

(α+b)+c=a+(b+c)

結合法則は、任意の数の項に対して機能します。便利な順序で数字を追加する必要がある場合、この法則を使用します。たとえば、3 つの数値 12、6、8、および 4 を加算してみましょう。最初に 12 と 8 を加算し、次に 2 つの数値 6 と 4 の合計を結果の合計に加算する方が便利です。
(12+8)+(6+4)=30

ゼロとの加算の性質。

数値にゼロを加えた場合、結果の合計は同じ数値になります。

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

リテラル式では、ゼロを含む加算は次のようになります。

a+0=ある
0+ a=ある

自然数の加算に関する質問:
加算表を作成して、交換法則の性質がどのように機能するかを確認してください。
1 から 10 までの加算表は次のようになります。

追加テーブルの 2 番目のバージョン。

加算表を見ると、交換法則がどのように機能するかがわかります。

a+b=c という式の合計はいくらになるでしょうか?
答え: 合計は項を加算した結果です。 a+bとc。

a+b=c という式では、どうなるでしょうか?
答え: a と b。加数は足し算する数値です。

数値に 0 を加えるとどうなるでしょうか?
答え: 何もありません。数値は変わりません。ゼロを加えた場合、ゼロは 1 がないことを意味するため、数値は変わりません。

加算の結合法則を適用するには、例に項がいくつある必要がありますか?
答え：3期以上からです。

交換法則を文字通りに書きますか?
答え: a+b=b+a

タスクの例。
例 #1:
与えられた式の答えを書き留めてください: a) 15+7 b) 7+15
答え: a) 22 b) 22

例2:
組み合わせの法則を項に適用します: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
答え: 20。

例 #3:
式を解きます。
a) 5921+0 b) 0+5921
解決：
a) 5921+0 =5921
b) 0+5921=5921

このレッスンで取り上げるトピックは「加算の性質」です。このレッスンでは、加算の可換性と結合性の性質について学びます。具体的な例。どのような場合にそれらを使用すると、計算プロセスが容易になるかを調べてください。テスト例は、学習した内容をどの程度習得したかを判断するのに役立ちます。

レッスン: 加算の性質

次の式を注意深く見てください。

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

私たちはその価値を見つける必要があります。やりましょう。

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

式の結果は、9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40 となります。
教えてください、計算するのは便利でしたか？計算するのはあまり便利ではありませんでした。この式の数字をもう一度見てください。計算をより便利にするためにそれらを交換することは可能ですか?

数字を別の方法で並べ替えると、次のようになります。

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

式の最終結果は、9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40 となります。
式の結果が同じであることがわかります。

計算に都合がよい場合は項を入れ替えることができますが、合計の値は変わりません。

数学には法則があります。 加算の交換法則。項を並べ替えても合計は変わらないと述べています。

ヒョードルおじさんとシャリクは口論した。シャリクは、書かれている式の意味を見つけ、フョードルおじさんは、もっと便利な別の計算方法を知っていると言った。もっと良い計算方法はありますか?

シャリックは式が書かれたとおりに解きました。そして、ヒョードルおじさんは、用語を交換できる法則を知っていると言い、25と3という数字を交換しました。

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

結果は同じですが、計算がはるかに簡単になっていることがわかります。

次の表現を見て読んでください。

6 + (24 + 51) = 81 (6 に 24 と 51 の合計を加算します)
そうじゃない便利な方法計算のため？
6 と 24 を加算すると、概数が得られることがわかります。丸い数字に何かを加えるほうが常に簡単です。数字6と24の合計を括弧内に入れてみましょう。
(6 + 24) + 51 = …
(6 と 24 の合計に 51 を加えます)

式の値を計算して、式の値が変化したかどうかを確認してみましょう。

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

式の意味は同じままであることがわかります。

もう 1 つの例で練習してみましょう。

(27 + 19) + 1 = 47 (27 と 19 の合計に 1 を加えます)
便利な方法を形成するためにグループ化すると便利な番号は何ですか?
あなたは、これらが数字 19 と 1 であると推測しました。数字 19 と 1 の合計を括弧内に入れてみましょう。
27 + (19 + 1) = …
(27 に 19 と 1 の合計を加えます)
この式の意味を調べてみましょう。括弧内のアクションが最初に実行されることを思い出してください。
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

私たちの表現の意味は変わりません。

加算の結合法則: 2 つの隣接する項は、それらの和で置き換えることができます。

では、両方の法則を使って練習してみましょう。次の式の値を計算する必要があります。

38 + 14 + 2 + 6 = …

まず、加算の可換特性を使用して、加数を交換できるようにします。項 14 と項 2 を入れ替えてみましょう。

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

ここで、結合プロパティを使用してみましょう。これにより、隣接する 2 つの項をそれらの合計で置き換えることができます。

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

まず、38 と 2 の合計の値を求めます。

これで合計は 14 と 6 になります。

3.教育アイデアの祭典「公開授業」（）。

家で作ってみよう

1. さまざまな方法で項の合計を計算します。

a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16

2. 式の結果を評価します。

a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1

3. 便利な方法で金額を計算します。

a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13