Tarefa número 3. Faça um desenho e calcule a área da figura delimitada pelas linhas

Aplicação da integral à solução de problemas aplicados

Cálculo de área

A integral definida de uma função contínua não negativa f(x) é numericamente igual a a área de um trapézio curvilíneo delimitado pela curva y = f(x), o eixo O x e as retas x = a e x = b. De acordo com isso, a fórmula da área é escrita da seguinte forma:

Vejamos alguns exemplos de cálculo de áreas de figuras planas.

Tarefa número 1. Calcule a área delimitada pelas linhas y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Solução. Vamos construir uma figura cuja área teremos que calcular.

y = x 2 + 1 é uma parábola cujos ramos são direcionados para cima, e a parábola é deslocada para cima em uma unidade em relação ao eixo O y (Figura 1).

Figura 1. Gráfico da função y = x 2 + 1

Tarefa número 2. Calcule a área delimitada pelas linhas y = x 2 – 1, y = 0 no intervalo de 0 a 1.

Solução. O gráfico desta função é uma parábola de ramos direcionados para cima, e a parábola é deslocada em relação ao eixo O y para baixo em uma unidade (Figura 2).

Figura 2. Gráfico da função y = x 2 – 1

Tarefa número 3. Faça um desenho e calcule a área da figura delimitada pelas linhas

y = 8 + 2x – x 2 e y = 2x – 4.

Solução. A primeira dessas duas retas é uma parábola com seus ramos direcionados para baixo, pois o coeficiente x 2 é negativo, e a segunda reta é uma reta que cruza ambos os eixos coordenados.

Para construir uma parábola, encontramos as coordenadas do seu vértice: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abcissa do vértice; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 é sua ordenada, N(1;9) é seu vértice.

Agora vamos encontrar os pontos de intersecção da parábola e da reta resolvendo o sistema de equações:

Igualar os lados direitos de uma equação cujos lados esquerdos são iguais.

Obtemos 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ou x 2 – 12 = 0, de onde .

Portanto, os pontos são os pontos de intersecção de uma parábola e uma reta (Figura 1).

Figura 3 Gráficos das funções y = 8 + 2x – x 2 e y = 2x – 4

Vamos construir uma linha reta y = 2x – 4. Ela passa pelos pontos (0;-4), (2;0) nos eixos coordenados.

Para construir uma parábola, você também pode usar seus pontos de intersecção com o eixo 0x, ou seja, as raízes da equação 8 + 2x – x 2 = 0 ou x 2 – 2x – 8 = 0. Usando o teorema de Vieta, é fácil para encontrar suas raízes: x 1 = 2, x 2 = 4.

A Figura 3 mostra uma figura (segmento parabólico M 1 N M 2) delimitada por essas linhas.

A segunda parte do problema é encontrar a área desta figura. Sua área pode ser encontrada usando uma integral definida de acordo com a fórmula .

Em relação a esta condição, obtemos a integral:

2 Cálculo do volume de um corpo de rotação

O volume do corpo obtido a partir da rotação da curva y = f(x) em torno do eixo O x é calculado pela fórmula:

Ao girar em torno do eixo O y, a fórmula se parece com:

Tarefa nº 4. Determine o volume do corpo obtido a partir da rotação de um trapézio curvo delimitado por retas x = 0 x = 3 e curva y = em torno do eixo O x.

Solução. Vamos fazer um desenho (Figura 4).

Figura 4. Gráfico da função y =

O volume necessário é

Tarefa nº 5. Calcule o volume do corpo obtido a partir da rotação de um trapézio curvo delimitado pela curva y = x 2 e pelas retas y = 0 e y = 4 em torno do eixo O y.

Solução. Nós temos:

Revise as perguntas

Na verdade, para encontrar a área de uma figura, você não precisa de tanto conhecimento sobre integral indefinida e definida. A tarefa “calcular a área usando uma integral definida” envolve sempre a construção de um desenho, muito mais questão atual serão seus conhecimentos e habilidades em desenho. Nesse sentido, é útil refrescar a memória dos gráficos das funções elementares básicas e, no mínimo, ser capaz de construir uma reta e uma hipérbole.

Um trapézio curvo é uma figura plana delimitada por um eixo, linhas retas e o gráfico de uma função contínua em um segmento que não muda de sinal neste intervalo. Deixe esta figura ser localizada não menos eixo x:

Então a área de um trapézio curvilíneo é numericamente igual a uma integral definida. Qualquer integral definida (que exista) tem um valor muito bom significado geométrico.

Do ponto de vista da geometria, a integral definida é ÁREA.

Aquilo é, uma certa integral (se existir) corresponde geometricamente à área de uma determinada figura. Por exemplo, considere a integral definida. O integrando define uma curva no plano localizado acima do eixo (quem quiser pode fazer um desenho), e a própria integral definida é numericamente igual à área trapézio curvo correspondente.

Exemplo 1

Esta é uma declaração de atribuição típica. Primeiro e o momento mais importante soluções - desenho desenho. Além disso, o desenho deve ser construído CERTO.

Ao construir um desenho eu recomendo próximo pedido: inicialmenteé melhor construir todas as linhas retas (se existirem) e apenas Então- parábolas, hipérboles, gráficos de outras funções. É mais lucrativo construir gráficos de funções ponto por ponto.

Neste problema, a solução pode ser assim.
Vamos fazer o desenho (observe que a equação define o eixo):

No segmento, o gráfico da função está localizado acima do eixo, É por isso:

Responder:

Depois de concluída a tarefa, é sempre útil olhar o desenho e descobrir se a resposta é real. Neste caso, “a olho” contamos o número de células do desenho - bem, serão cerca de 9, parece ser verdade. É completamente claro que se obtivermos, digamos, a resposta: 20 unidades quadradas, então é óbvio que foi cometido um erro em algum lugar - 20 células claramente não cabem no número em questão, no máximo uma dúzia. Se a resposta for negativa, a tarefa também foi resolvida incorretamente.

Exemplo 3

Calcule a área da figura delimitada por linhas e eixos coordenados.

Solução: Vamos fazer um desenho:

Se um trapézio curvo estiver localizado sob o eixo(ou pela pelo menos, não mais alto dado eixo), então sua área pode ser encontrada usando a fórmula:

Nesse caso:

Atenção! Os dois tipos de tarefas não devem ser confundidos:

1) Se lhe for pedido que resolva simplesmente uma integral definida sem qualquer significado geométrico, então ela pode ser negativa.

2) Se você for solicitado a encontrar a área de uma figura usando uma integral definida, a área será sempre positiva! É por isso que o sinal de menos aparece na fórmula que acabamos de discutir.

Na prática, na maioria das vezes a figura está localizada no semiplano superior e inferior e, portanto, dos problemas escolares mais simples passamos para exemplos mais significativos.

Exemplo 4

Encontre a área de uma figura plana limitada pelas linhas , .

Solução: Primeiro você precisa completar o desenho. De modo geral, ao construir um desenho em problemas de área, estamos mais interessados ​​nos pontos de intersecção das retas. Vamos encontrar os pontos de intersecção da parábola e da reta. Isso pode ser feito de duas maneiras. O primeiro método é analítico. Resolvemos a equação:

Isto significa que o limite inferior de integração é limite superior integração

Se possível, é melhor não usar este método..

É muito mais rentável e rápido construir linhas ponto por ponto, e os limites da integração tornam-se claros “por si próprios”. No entanto, o método analítico de encontrar limites às vezes ainda tem que ser usado se, por exemplo, o gráfico for grande o suficiente, ou se a construção detalhada não revelar os limites de integração (eles podem ser fracionários ou irracionais). E também consideraremos esse exemplo.

Voltemos à nossa tarefa: é mais racional construir primeiro uma reta e só depois uma parábola. Vamos fazer o desenho:

E agora a fórmula de trabalho: Se houver alguma função contínua no segmento Melhor que ou igual a alguma função contínua , então a área da figura delimitada pelos gráficos dessas funções e pelas retas , , pode ser encontrada usando a fórmula:

Aqui você não precisa mais pensar onde a figura está localizada - acima do eixo ou abaixo do eixo e, grosso modo, importa qual gráfico é MAIOR(em relação a outro gráfico), e qual está ABAIXO.

No exemplo em consideração, é óbvio que no segmento a parábola está localizada acima da reta e, portanto, é necessário subtrair de

A solução completa pode ser assim:

A figura desejada é limitada por uma parábola acima e uma linha reta abaixo.
No segmento, de acordo com a fórmula correspondente:

Responder:

Exemplo 4

Calcule a área da figura delimitada pelas linhas , , , .

Solução: Primeiro vamos fazer um desenho:

A figura cuja área precisamos encontrar está sombreada em azul(observe atentamente a condição - como o número é limitado!). Mas, na prática, por desatenção, muitas vezes ocorre uma “falha” de que você precisa encontrar a área de uma figura sombreada em verde!

Este exemplo também é útil porque calcula a área de uma figura usando duas integrais definidas.

Realmente:

1) No segmento acima do eixo há um gráfico de uma reta;

2) No segmento acima do eixo está o gráfico de uma hipérbole.

É bastante óbvio que as áreas podem (e devem) ser somadas, portanto:

Problema 1(sobre como calcular a área de um trapézio curvo).

No sistema de coordenadas retangulares cartesianas xOy, é dada uma figura (ver figura) delimitada pelo eixo x, retas x = a, x = b (a por um trapézio curvilíneo. É necessário calcular a área de um curvilíneo trapézio.
Solução. A geometria nos dá receitas para calcular as áreas dos polígonos e algumas partes de um círculo (setor, segmento). Utilizando considerações geométricas, só podemos encontrar um valor aproximado da área necessária, raciocinando da seguinte forma.

Vamos dividir o segmento [a; b] (base de um trapézio curvo) em n partes iguais; esta partição é realizada usando os pontos x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Vamos desenhar linhas retas através desses pontos paralelas ao eixo y. Então o trapézio curvilíneo dado será dividido em n partes, em n colunas estreitas. A área de todo o trapézio é igual à soma das áreas das colunas.

Vamos considerar a k-ésima coluna separadamente, ou seja, um trapézio curvo cuja base é um segmento. Vamos substituí-lo por um retângulo com a mesma base e altura igual a f(x k) (ver figura). A área do retângulo é igual a \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), onde \(\Delta x_k \) é o comprimento do segmento; É natural considerar o produto resultante como um valor aproximado da área da k-ésima coluna.

Se fizermos agora o mesmo com todas as outras colunas, chegaremos ao seguinte resultado: a área S de um determinado trapézio curvilíneo é aproximadamente igual à área S n de uma figura escalonada composta por n retângulos (ver figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aqui, por uma questão de uniformidade de notação, assumimos que a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - comprimento do segmento, \(\Delta x_1 \) - comprimento do segmento, etc.; neste caso, como concordamos acima, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Então, \(S \approx S_n \), e essa igualdade aproximada é mais precisa, quanto maior for n.
Por definição, acredita-se que a área necessária de um trapézio curvilíneo seja igual ao limite da sequência (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problema 2(sobre mover um ponto)
Um ponto material se move em linha reta. A dependência da velocidade com o tempo é expressa pela fórmula v = v(t). Encontre o movimento de um ponto durante um período de tempo [a; b].
Solução. Se o movimento fosse uniforme, o problema seria resolvido de forma muito simples: s = vt, ou seja, s = v(b-a). Para movimentos desiguais, você deve usar as mesmas ideias nas quais se baseou a solução do problema anterior.
1) Divida o intervalo de tempo [a; b] em n partes iguais.
2) Considere um período de tempo e suponha que durante esse período a velocidade foi constante, a mesma que no tempo t k. Então assumimos que v = v(t k).
3) Vamos encontrar o valor aproximado do movimento do ponto durante um período de tempo, denotaremos esse valor aproximado como s k;
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Encontre o valor aproximado do deslocamento s:
\(s \aprox S_n \) onde
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) O deslocamento necessário é igual ao limite da sequência (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Vamos resumir. As soluções para vários problemas foram reduzidas ao mesmo modelo matemático. Muitos problemas de vários campos da ciência e tecnologia levam ao mesmo modelo no processo de solução. Então, é isso modelo matemático precisam ser especialmente estudados.

O conceito de integral definida

Vamos dar uma descrição matemática do modelo que foi construído nos três problemas considerados para a função y = f(x), contínua (mas não necessariamente não negativa, como foi assumido nos problemas considerados) no intervalo [a; b]:
1) divida o segmento [a; b] em n partes iguais;
2) faça a soma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calcular $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

No decorrer da análise matemática foi provado que este limite existe no caso de uma função contínua (ou contínua por partes). Ele é chamado uma certa integral da função y = f(x) sobre o segmento [a; b] e denotado da seguinte forma:
\(\int\limites_a^b f(x) dx \)
Os números aeb são chamados de limites de integração (inferior e superior, respectivamente).

Voltemos às tarefas discutidas acima. A definição de área dada no Problema 1 pode agora ser reescrita da seguinte forma:
\(S = \int\limites_a^b f(x) dx \)
aqui S é a área do trapézio curvilíneo mostrado na figura acima. Isso é significado geométrico de uma integral definida.

A definição do deslocamento s de um ponto movendo-se em linha reta com uma velocidade v = v(t) durante o período de tempo de t = a a t = b, dada no Problema 2, pode ser reescrita da seguinte forma:

Fórmula de Newton-Leibniz

Primeiro, vamos responder à pergunta: qual é a conexão entre a integral definida e a antiderivada?

A resposta pode ser encontrada no Problema 2. Por um lado, o deslocamento s de um ponto movendo-se em linha reta com uma velocidade v = v(t) durante o período de tempo de t = a a t = b é calculado por a fórmula
\(S = \int\limites_a^b v(t) dt \)

Por outro lado, a coordenada de um ponto móvel é uma antiderivada da velocidade - vamos denota-la como s(t); isso significa que o deslocamento s é expresso pela fórmula s = s(b) - s(a). Como resultado obtemos:
\(S = \int\limites_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
onde s(t) é a antiderivada de v(t).

O seguinte teorema foi provado no decorrer da análise matemática.
Teorema. Se a função y = f(x) for contínua no intervalo [a; b], então a fórmula é válida
\(S = \int\limites_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
onde F(x) é a antiderivada de f(x).

A fórmula dada é geralmente chamada Fórmula de Newton-Leibniz em homenagem ao físico inglês Isaac Newton (1643-1727) e ao filósofo alemão Gottfried Leibniz (1646-1716), que o receberam de forma independente e quase simultânea.

Na prática, em vez de escrever F(b) - F(a), eles usam a notação \(\left. F(x)\right|_a^b \) (às vezes é chamada substituição dupla) e, consequentemente, reescreva a fórmula de Newton-Leibniz nesta forma:
\(S = \int\limites_a^b f(x) dx = \esquerda. F(x)\direita|_a^b \)

Ao calcular uma integral definida, primeiro encontre a antiderivada e depois faça uma dupla substituição.

Com base na fórmula de Newton-Leibniz, podemos obter duas propriedades da integral definida.

Propriedade 1. A integral da soma das funções é igual à soma das integrais:
\(\int\limites_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limites_a^b f(x)dx + \int\limites_a^b g(x)dx \)

Propriedade 2. O fator constante pode ser retirado do sinal integral:
\(\int\limites_a^b kf(x)dx = k \int\limites_a^b f(x)dx \)

Calculando as áreas de figuras planas usando uma integral definida

Usando a integral, é possível calcular as áreas não apenas de trapézios curvos, mas também de figuras planas de tipo mais complexo, por exemplo, a mostrada na figura. A figura P é limitada pelas retas x = a, x = be gráficos de funções contínuas y = f(x), y = g(x), e no segmento [a; b] a desigualdade \(g(x) \leq f(x) \) é válida. Para calcular a área S de tal figura, procederemos da seguinte forma:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limites_a^b f(x) dx - \int\limites_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limites_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Assim, a área S de uma figura delimitada por retas x = a, x = b e gráficos de funções y = f(x), y = g(x), contínua no segmento e tal que para qualquer x do segmento [a; b] a desigualdade \(g(x) \leq f(x) \) é satisfeita, calculada pela fórmula
\(S = \int\limites_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabela de integrais indefinidas (antiderivadas) de algumas funções

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C\;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$

Começamos a considerar o processo real de cálculo da integral dupla e a nos familiarizar com seu significado geométrico.

A integral dupla é numericamente igual à área da figura plana (a região de integração). Esta é a forma mais simples de integral dupla, quando a função de duas variáveis ​​é igual a uma: .

Vamos primeiro considerar o problema em visão geral. Agora você ficará surpreso com o quão simples tudo realmente é! Vamos calcular a área de uma figura plana delimitada por linhas. Para maior certeza, assumimos isso no segmento . A área desta figura é numericamente igual a:

Vamos representar a área no desenho:

Vamos escolher a primeira forma de percorrer a área:

Por isso:

E imediatamente uma técnica técnica importante: integrais iteradas podem ser calculadas separadamente. Primeiro a integral interna, depois a integral externa. Este método Recomendo fortemente para iniciantes no assunto.

1) Vamos calcular a integral interna, e a integração é feita sobre a variável “y”:

A integral indefinida aqui é a mais simples, e então a fórmula banal de Newton-Leibniz é usada, com a única diferença que os limites da integração não são números, mas funções. Primeiro, substituímos o limite superior em “y” (função antiderivada), depois o limite inferior

2) O resultado obtido no primeiro parágrafo deve ser substituído na integral externa:

Uma representação mais compacta de toda a solução é assim:

A fórmula resultante é exatamente a fórmula de trabalho para calcular a área de uma figura plana usando a integral definida “comum”! Assista a aula Calculando a área usando uma integral definida, lá está ela a cada passo!

Aquilo é, problema de cálculo de área usando integral dupla não é muito diferente do problema de encontrar a área usando uma integral definida! Na verdade, é a mesma coisa!

Conseqüentemente, nenhuma dificuldade deverá surgir! Não examinarei muitos exemplos, já que você, de fato, se deparou repetidamente com essa tarefa.

Exemplo 9

Solução: Vamos representar a área no desenho:

Escolhamos a seguinte ordem de travessia da área:

Aqui e mais adiante não vou me alongar sobre como percorrer a área, uma vez que explicações muito detalhadas foram dadas no primeiro parágrafo.

Por isso:

Como já observei, é melhor para iniciantes calcular integrais iteradas separadamente, e seguirei o mesmo método:

1) Primeiro, usando a fórmula de Newton-Leibniz, tratamos da integral interna:

2) O resultado obtido na primeira etapa é substituído na integral externa:

O ponto 2 é, na verdade, encontrar a área de uma figura plana usando uma integral definida.

Responder:

Esta é uma tarefa tão estúpida e ingênua.

Um exemplo interessante para uma solução independente:

Exemplo 10

Usando uma integral dupla, calcule a área de uma figura plana limitada pelas linhas , ,

Um exemplo aproximado de solução final no final da lição.

Nos Exemplos 9 a 10, é muito mais lucrativo usar o primeiro método de percorrer a área. Leitores curiosos, aliás, podem alterar a ordem de travessia e calcular as áreas usando o segundo método; Se você não cometer um erro, naturalmente obterá os mesmos valores de área.

Mas em alguns casos, o segundo método de percorrer a área é mais eficaz e, ao final do curso do jovem nerd, vejamos mais alguns exemplos sobre esse assunto:

Exemplo 11

Usando uma integral dupla, calcule a área de uma figura plana delimitada por linhas,

Solução: Estamos ansiosos por duas parábolas com uma peculiaridade que ficam de lado. Não há necessidade de sorrir; coisas semelhantes ocorrem com bastante frequência em integrais múltiplas.

Qual é a maneira mais fácil de fazer um desenho?

Vamos imaginar uma parábola na forma de duas funções:
– o ramo superior e – o ramo inferior.

Da mesma forma, imagine uma parábola na forma de superior e inferior galhos.

A seguir, a plotagem pontual das regras dos gráficos, resultando em uma figura tão bizarra:

Calculamos a área da figura usando a integral dupla de acordo com a fórmula:

O que acontece se escolhermos o primeiro método de atravessar a área? Primeiramente, esta área terá que ser dividido em duas partes. E em segundo lugar, observaremos este triste quadro: . Integrais, claro, não são de um nível supercomplicado, mas... existe um velho ditado matemático: quem está próximo de suas raízes não precisa de teste.

Portanto, a partir do mal-entendido dado na condição, expressamos as funções inversas:

Funções inversas neste exemplo, eles têm a vantagem de especificar a parábola inteira de uma só vez, sem folhas, bolotas, galhos e raízes.

De acordo com o segundo método, o percurso da área será o seguinte:

Por isso:

Como dizem, sinta a diferença.

1) Tratamos da integral interna:

Substituímos o resultado na integral externa:

A integração sobre a variável “y” não deveria ser confusa; se houvesse uma letra “zy”, seria ótimo integrar sobre ela; Embora quem leu o segundo parágrafo da lição Como calcular o volume de um corpo de revolução, ele não sente mais o menor constrangimento com a integração de acordo com o método “Y”.

Preste atenção também ao primeiro passo: o integrando é par e o intervalo de integração é simétrico em relação a zero. Portanto, o segmento pode ser dividido pela metade e o resultado duplicado. Esta técnica comentado em detalhes na lição Métodos eficazes calculando uma integral definida.

O que adicionar…. Todos!

Responder:

Para testar sua técnica de integração, você pode tentar calcular . A resposta deve ser exatamente a mesma.

Exemplo 12

Usando uma integral dupla, calcule a área de uma figura plana delimitada por linhas

Este é um exemplo para você resolver sozinho. É interessante notar que se você tentar usar o primeiro método de percorrer a área, a figura não terá mais que ser dividida em duas, mas sim em três partes! E, consequentemente, obtemos três pares de integrais repetidas. As vezes acontece.

A master class chegou ao fim e é hora de passar para o nível de grande mestre - Como calcular integral dupla? Exemplos de soluções. Tentarei não ser tão maníaco no segundo artigo =)

Eu te desejo sucesso!

Soluções e respostas:

Exemplo 2:Solução: Vamos representar a área no desenho:

Escolhamos a seguinte ordem de travessia da área:

Por isso:
Vamos passar para funções inversas:


Por isso:
Responder:

Exemplo 4:Solução: Vamos passar para as funções diretas:


Vamos fazer o desenho:

Vamos mudar a ordem de passagem da área:

Responder: