不等式系 - 初期情報。不平等を解決する方法に関するいくつかのポイント

線形計画問題をグラフィカルに解く、線形計画問題の正規形式も参照

このような問題の制約系は、2 つの変数の不等式で構成されます。
目的関数の形式は次のとおりです。 F = C 1 バツ + C 2 yそれを最大化する必要があります。

質問に答えてみましょう: どのような数字のペア ( バツ; y) は不等式系の解、つまりそれぞれの不等式を同時に満たすものですか? 言い換えれば、システムをグラフィカルに解くとはどういう意味でしょうか?
まず、2 つの未知数を持つ 1 つの線形不等式の解は何かを理解する必要があります。
2 つの未知数を含む線形不等式を解くことは、その不等式が成り立つ未知の値のすべてのペアを決定することを意味します。
たとえば、不等式 3 バツ – 5y≥ 42 のペアを満たす ( バツ , y) : (100, 2); (3、-10) など。タスクは、そのようなペアをすべて見つけることです。
2 つの不等式を考えてみましょう。斧 + による≤ c, 斧 + による≥ c。真っ直ぐ斧 + による = c平面を 2 つの半平面に分割し、そのうちの 1 つの点の座標が不等式を満たすようにします。斧 + による >c、および他の不等式斧 + +による <c.
確かに、座標で点を取ってみましょうバツ = バツ 0 ; 次に、直線上にあり、横座標を持つ点バツ 0、縦軸あり

確実に言っておきますある<0、 b>0, c>0。すべての点と横軸バツ 0 上に横たわっている P(たとえば、ドット M）、持っている yM>y 0 、およびその点より下のすべての点 P、横軸付きバツ 0 、持っています yN<y 0 。なぜならバツ 0 は任意の点です。その場合、線の片側には常に点が存在します。斧+ による > c、半平面を形成し、反対側にある点斧 + による< c.

写真1

半平面の不等号は数値によって異なりますある, b , c.
これにより、システムをグラフィカルに解く次の方法が導き出されます。線形不等式 2 つの変数から。このシステムを解決するには、次のものが必要です。

それぞれの不等式について、その不等式に対応する方程式を書きます。
方程式で指定された関数のグラフである直線を作成します。
各線について、不等式によって与えられる半平面を決定します。これを行うには、直線上にない任意の点を取得し、その座標を不等式に代入します。不等式が真の場合、選択した点を含む半平面が元の不等式の解になります。不等式が偽の場合、線の反対側の半平面がこの不等式の解のセットになります。
不等式系を解くには、系の各不等式の解となるすべての半平面の交差面積を見つける必要があります。

この領域は空であることが判明する可能性があり、その場合、不等式システムには解決策がなく、矛盾します。それ以外の場合、システムは一貫していると言われます。
解は有限数または無限数存在する可能性があります。領域は閉じた多角形または境界のないものにすることができます。

関連する 3 つの例を見てみましょう。

例 1. 系をグラフィカルに解きます。
バツ + はい – 1 ≤ 0;
–2バツ - 2y + 5 ≤ 0.

不等式に対応する方程式 x+y–1=0 および –2x–2y+5=0 を考えてみましょう。
これらの方程式で与えられる直線を作図してみましょう。

図2

不等式によって定義される半平面を定義しましょう。任意の点を (0; 0) としましょう。考えてみましょうバツ+ y– 1 0、点 (0; 0) を代入します: 0 + 0 – 1 ≤ 0。これは、点 (0; 0) が存在する半平面内で、バツ + y – 1 ≤ 0、つまり線の下にある半平面が最初の不等式の解になります。この点 (0; 0) を 2 番目の点に代入すると、 –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0、つまり点 (0; 0) が位置する半平面では、-2 バツ – 2y+ 5≥ 0、そして –2 がどこにあるか尋ねられました。バツ – 2yしたがって、もう一方の半平面、つまり直線の上の半平面では + 5 ≤ 0 となります。
これら 2 つの半平面の交点を見つけてみましょう。線は平行であるため、平面はどこでも交差しません。これは、これらの不等式の系には解がなく、矛盾していることを意味します。

例 2. 不等式系の解をグラフィカルに求めます。

図3
1. 不等式に対応する方程式を書き出して、直線を作成しましょう。
バツ + 2y– 2 = 0

バツ	2	0
y	0	1

y – バツ – 1 = 0

バツ	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. 点 (0; 0) を選択したら、半平面内の不等式の符号を決定します。
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0、つまりバツ + 2y– 直線の下の半平面では 2 ≤ 0。
0 – 0 – 1 ≤ 0、つまり y –バツ– 直線の下の半平面では 1 ≤ 0。
0 + 2 =2 ≥ 0、つまり y直線上の半平面では + 2 ≥ 0。
3. これら 3 つの半平面の交点は三角形の領域になります。対応する線の交点として領域の頂点を見つけることは難しくありません。

したがって、あ(–3; –2), で(0; 1), と(6; –2).

結果として得られるシステムのソリューションドメインが制限されない別の例を考えてみましょう。

この記事では、不等式システムに関する初期情報を提供します。ここでは、不平等系の定義と不平等系の解決策の定義を示します。学校の代数の授業で最も頻繁に扱わなければならない主なタイプのシステムもリストされ、例が示されています。

ページナビゲーション。

不平等システムとは何ですか?

連立方程式の定義を導入したのと同じ方法、つまり、表記の種類とそこに埋め込まれた意味によって、不等式系を定義すると便利です。

意味。

不平等系は、上下に書かれた一定数の不等式を表すレコードで、左側で中括弧で結合されており、システムの各不等式の解であるすべての解のセットを示します。

不平等系の例を挙げてみましょう。たとえば、2 x−3>0 と 5−x≥4 x−11 の 2 つの任意のものを取り上げ、それらを上下に書いてみましょう。
2 x−3>0 、
5−x≧4 x−11
そして体系記号 (中括弧) と結合すると、結果として次の形式の不等式体系が得られます。

学校の教科書の不平等系についても同様の考え方が示されています。それらの定義がより狭く与えられていることに注目する価値があります: 1 つの変数による不等式の場合または 2 つの変数を使用します。

不平等系の主な種類

無限に多くのものを構成できることは明らかです。さまざまなシステム不平等この多様性の中で迷子にならないように、それらを独自の特徴を持つグループに分けて考えることをお勧めします。すべての不等式は、次の基準に従ってグループに分類できます。

システム内の不等式の数によって。
記録に含まれる変数の数によって異なります。
不平等そのものの種類によって。

レコードに含まれる不等式の数に基づいて、2、3、4 などのシステムが区別されます。不平等前の段落では、2 つの不等式からなるシステムの例を示しました。 4 つの不等式からなるシステムの別の例を示してみましょう .

それとは別に、1 つの不平等のシステムについて話すのは無意味であると言います。この場合、本質的には私たちが話しているのはシステムの問題ではなく、不平等そのものについてです。

変数の数に注目すると、1、2、3 などの不等式系が存在します。変数（または、未知数とも言われます）。見る最新のシステム不等式は 2 つ上の段落で書かれています。これは 3 つの変数 x、y、z を持つシステムです。最初の 2 つの不等式には 3 つの変数すべてが含まれているわけではなく、そのうちの 1 つだけが含まれていることに注意してください。このシステムの文脈では、これらはそれぞれ x+0・y+0・z≧−2 および 0・x+y+0・z≦5 の形式の 3 つの変数をもつ不等式として理解されるべきです。この学校は 1 つの変数による不等式に焦点を当てていることに注意してください。

記録システムにどのような種類の不平等が関係するかについては、まだ議論の余地があります。学校では、主に 1 つまたは 2 つの変数を含む 2 つの不等式 (頻度は低いですが 3 つ、さらに頻度は低いですが 4 つ以上) の系を検討します。また、不等式自体は通常、 不平等全体第一学位または第二学位（頻度は低いですが、より高い学位または分数合理的）。しかし、統一国家試験の準備資料の中で、無理数、対数、指数関数などの不等式を含む不等式に遭遇しても驚かないでください。例として、不等式を示します。から取られています。

不平等システムの解決策は何でしょうか?

不等式系に関連する別の定義、つまり不等式系の解の定義を紹介しましょう。

意味。

1 つの変数を使用して系の不等式を解くは、系の各不等式を真にするような変数の値と呼ばれます。つまり、系の各不等式の解です。

例を挙げて説明しましょう。 1 つの変数を持つ 2 つの不等式からなるシステムを考えてみましょう。変数 x の値が 8 であるとします。これは、系の不等式に代入すると 2 つの正しい数値不等式 8>7 および 2−3・8≤0 が得られるため、定義上、不等式の解となります。逆に、unity を変数 x に代入すると、最初の不等式が正しくなくなるため、unity はシステムの解ではありません。数値的不等式 1>7 .

同様に、2、3、および 3 の不等式をもつ系に対する解の定義を導入することができます。多数の変数:

意味。

2 つ、3 つなどの不平等系を解く。変数ペア、スリーなどと呼ばれます。これらの変数の値は、同時にシステムのあらゆる不等式の解でもあり、つまりシステムのあらゆる不等式を正しい数値不等式に変えます。

たとえば、値のペア x=1、y=2、または別の表記法 (1, 2) は、1+2 であるため、2 つの変数をもつ不等式の解となります。<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

不等式系には解がない場合もあれば、有限数の解がある場合もあれば、無限数の解がある場合もあります。人々は、不平等系に対する一連の解決策についてよく話します。システムに解がない場合、その解のセットは空になります。解の数が有限である場合、解のセットには有限数の要素が含まれ、解の数が無限にある場合、解のセットは無限数の要素で構成されます。

一部の情報源では、たとえばモルドコビッチの教科書にあるように、不平等系に対する特定の一般的な解決策の定義が紹介されています。下 不平等系の私的解決法彼女のたった一つの決断を理解してください。その順番で 不平等系の一般的な解決策- これらはすべて彼女の個人的な決定です。ただし、これらの用語は、どのような種類の解決策について話しているのかを具体的に強調する必要がある場合にのみ意味を持ちますが、通常、これは文脈からすでに明らかであるため、単に「不平等システムの解決策」と言うことがはるかに多くなります。

この記事で紹介した不等式系とその解の定義から、不等式系の解は、この系のすべての不等式に対する解の集合の積であることがわかります。

参考文献。

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代数： 9年生：教育。一般教育用機関/[ゆ。 N.マカリチェフ、N.G.ミンデュク、K.I.ネシュコフ、S.B.スヴォロワ]。によって編集 S.A.テリャコフスキー。 - 第 16 版 - M.: 教育、2009. - 271 p. ：病気。 - ISBN 978-5-09-021134-5。
モルドコビッチ A.G.代数。 9年生。 2 時間で。パート 1。一般教育機関の学生向けの教科書 / A. G. Mordkovich、P. V. Semenov。 - 第 13 版、消去されました。 - M.: Mnemosyne、2011. - 222 p.: 病気。 ISBN 978-5-346-01752-3。
モルドコビッチ A.G.代数と数学的解析の始まり。 11年生。 2時間で終わります。パート1。一般教育機関の学生向けの教科書（プロフィールレベル）/ A. G. Mordkovich、P. V. Semenov。 - 第 2 版、消去されました。 - M.: Mnemosyne、2008. - 287 p.: 病気。 ISBN 978-5-346-01027-2。
統一国家試験-2013年。数学: 標準試験オプション: 30 オプション / 編 A.L.セメノバ、I.V.ヤシチェンコ。 – M.: 出版社「国民教育」、2012年。 – 192 p。 – (USE-2013. FIPI - 学校)。

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不平等系

皆さん、線形と二次不等式、これらのトピックに関する問題を解決する方法を学びました。さて、数学の新しい概念である不等式の話に移りましょう。不等式系は方程式系に似ています。連立方程式を覚えていますか? 7 年生で連立方程式を勉強しました。どのように解いたかを思い出してみてください。

不平等系の定義を紹介しましょう。
それぞれの不等式が正しい数値式を形成する x のすべての値を見つける必要がある場合、いくつかの変数 x を含むいくつかの不等式が不等式系を形成します。

各不等式が正しい数値表現をとる x の値は、その不等式の解となります。プライベートソリューションとも言えます。
プライベートソリューションとは何ですか? たとえば、回答では x>7 という式を受け取りました。この場合、x=8、x=123、または 7 より大きいその他の数値が特定の解となり、式 x>7 が一般的な解となります。一般的なソリューションは、多くのプライベートソリューションによって形成されます。

連立方程式をどのように組み合わせたのでしょうか? そうです、中括弧です。つまり、不等式でも同じことを行います。不等式系の例を見てみましょう: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
不等式系が同一の式で構成されている場合、たとえば $\begin(cases)x+7>5\\x+7
では、不平等体系の解決策を見つけるとはどういう意味でしょうか?
不等式の解は、システムの両方の不等式を一度に満たす、不等式の部分解のセットです。

不等式系の一般形式は $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$ と書きます。

$Х_1$ を不等式 f(x)>0 の一般解として表すことにします。
$X_2$ は、不等式 g(x)>0 の一般解です。
$X_1$ と $X_2$ は、特定のソリューションのセットです。
不等式系の解は、$X_1$ と $X_2$ の両方に属する数値になります。
集合に対する演算を覚えてみましょう。両方のセットに属するセットの要素を一度に見つけるにはどうすればよいでしょうか? そうです、これには交差操作があります。したがって、不等式の解は集合 $A= X_1∩ X_2$ になります。

不平等系の解決策の例

不平等系を解く例を見てみましょう。

不平等システムを解決します。
a) $\begin(cases)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(cases)2x-4≤6\\-x-4
解決。
a) 各不等式を個別に解きます。
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$。
$5x-10
1 つの座標線上に間隔をマークしてみましょう。

システムの解は、間隔の交差部分になります。不等式が厳密であれば、セグメントは開きます。
答え: (1;3)。

B) 各不等式も個別に解きます。
$2x-4≤6; 2x≤10; x ≤ 5 ドル。
$-x-4 -5$。

システムの解は、間隔の交差部分になります。 2 番目の不等式が厳密である場合、セグメントは左側が開きます。
答え: (-5; 5]。

学んだことをまとめてみましょう。
$\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$ という不等式系を解く必要があるとします。
したがって、区間 ($x_1; x_2$) が最初の不等式の解となります。
間隔 ($y_1; y_2$) は、2 番目の不等式の解です。
不等式系の解は、各不等式の解の交差部分です。

不等式系は、一次不等式だけでなく、他の種類の不等式でも構成できます。

不平等システムを解決するための重要なルール。
システムの不等式の 1 つに解がない場合、システム全体にも解はありません。
変数の任意の値について不等式の 1 つが満たされる場合、システムの解は他の不等式の解になります。

例。
連立不等式を解きます: $\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
解決。
それぞれの不等式を個別に解いてみましょう。
$x^2-16>0$。
$(x-4)(x+4)>0$。

2番目の不等式を解いてみましょう。
$x^2-8x+12≤0$。
$(x-6)(x-2)≤0$。

不等式の解は区間です。
両方の間隔を同じ線上に描き、交点を見つけてみましょう。
間隔の交点はセグメント (4; 6] です。
答え: (4;6]。

不平等システムを解決します。
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases) )$。

解決。
a) 最初の不等式の解は x>1 です。
2番目の不等式の判別式を求めてみましょう。
$D=16-4 * 2 * 4=-16$。 $D ルールを思い出してください。不等式の 1 つに解がない場合、系全体にも解はありません。
回答: 解決策はありません。

B) 最初の不等式の解は x>1 です。
2 番目の不等式は、すべての x についてゼロより大きくなります。この場合、システムの解は最初の不等式の解と一致します。
答え: x>1。

独立した解法のための不等式系の問題

不等式系を解く：
a) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(cases)x^2-25 d) $\begin(cases)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(cases)$
e) $\begin(case)x^2+36

線形不等式系を解く方法の例を見てみましょう。

4x + 29 \end(array) \right.\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

システムを解決するには、そのシステムを構成するそれぞれの不等式が必要です。別々にではなく、中括弧で組み合わせて一緒に書き留めることが決定されただけです。

システムの各不等式において、未知のものを一方の側に移動し、既知のものを反対の符号でもう一方の側に移動します。

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簡略化した後、不等式の両辺を X の前の数字で割る必要があります。最初の不等式を正の数で割るので、不等式の符号は変わりません。 2 番目の不等式を次のように割ります。負の数したがって、不等号を反転する必要があります。

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不等式の解を数直線上にマークします。

それに応じて、解の交点、つまり両方の線に網掛けがある部分を書き留めます。

答え: x∈[-2;1)。

最初の不等式で、分数を取り除きましょう。これを行うには、両側に最小公倍数 2 を乗算します。正の数を乗算しても、不等号は変わりません。

2 番目の不等式では括弧を開けます。 2 つの式の和と差の積は、これらの式の二乗の差に等しくなります。右側は 2 つの式の差の 2 乗です。

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未知のものを一方の側に移動し、既知のものを反対の符号でもう一方の側に移動し、単純化します。

不等式の両辺を X の前の数字で割ります。最初の不等式では負の数で割るので、不等式の符号が反転します。 2 番目の例では、正の数で除算しますが、不等号は変わりません。

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どちらの不等式にも「未満」の記号があります (一方の記号が厳密に「未満」であり、もう一方の記号が緩やかな「以下」であることは問題ではありません)。両方のソリューションをマークすることはできませんが、「」ルールを使用します。小さい方が 1 であるため、システムは不等式に帰着します。

その解を数直線上にマークします。

答え: x∈(-∞;1]。

括弧を開けます。最初の不等式では - 。これは、これらの式の 3 乗の合計に等しくなります。

2 番目では、2 つの式の和と差の積であり、二乗の差に等しい。ここでは括弧の前にマイナス記号があるため、括弧を 2 段階で開くことをお勧めします。最初に式を使用し、次に括弧を開き、各項の符号を反対に変更します。

未知数を一方向に移動し、既知数を反対の符号でもう一方の方向に移動します。

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どちらも記号よりも大きいです。「以上」ルールを使用して、不平等系を 1 つの不平等に還元します。 2 つの数値のうち大きい方は 5 なので、次のようになります。

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不等式の解を数直線上にマークし、答えを書き留めます。

答え: x∈(5;∞)。

代数学では、線形不等式系は独立したタスクとしてだけでなく、解く過程でも発生するため、いろいろな種類方程式、不等式などについては、時間内にこのトピックをマスターすることが重要です。

で次回不等式の 1 つが解を持たない場合、またはその解が任意の数である場合の特殊な場合に、線形不等式系を解く例を考えます。

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構造や構造が似ている不平等を解決する方法を誰もが知っているわけではありません。特徴的な機能方程式付き。方程式は 2 つの部分で構成される演習であり、その間には等号があり、不等号の部分の間には「以上」または「未満」の記号が存在します。したがって、特定の不等式の解を見つける前に、式で両辺を乗算する必要がある場合は、数値の符号 (正または負) を考慮する価値があることを理解する必要があります。二乗は乗算によって実行されるため、不等式を解くために二乗が必要な場合も同じ事実を考慮する必要があります。

不平等システムを解決する方法

不平等系を解決することは、通常の不平等よりもはるかに困難です。 9年生の不等式の解き方を見てみましょう具体的な例。二次不等式 (系) や他の不等式系を解く前に、各不等式を個別に解いて比較する必要があることを理解してください。不平等系の解は、肯定的または否定的な答えになります (系に解があるかどうかは関係ありません)。

タスクは一連の不等式を解くことです。

それぞれの不等式を個別に解いてみましょう

一連の解を描く数直線を作成します。

集合は解の集合の和集合であるため、数直線上のこの集合には少なくとも 1 行の下線を引く必要があります。

係数を使用して不等式を解く

この例では、係数を使用して不等式を解く方法を示します。したがって、次のような定義があります。

不等式を解く必要があります。

このような不等式を解く前に、係数（符号）を取り除く必要があります。

定義データに基づいて次のように書いてみましょう。

次に、各システムを個別に解決する必要があります。

解のセットを表す 1 つの数直線を作成しましょう。

その結果、多くのソリューションを組み合わせたコレクションができました。

二次不等式を解く

数直線を使用して、2次不等式を解く例を見てみましょう。不等式があります:

二次三項式のグラフは放物線であることがわかっています。また、a>0 の場合、放物線の枝は上を向くことがわかります。

×2-3x-4< 0

ビエタの定理を使用して、根 x 1 = - 1 を求めます。 × 2 = 4

放物線、というかそのスケッチを描いてみましょう。

したがって、2 次三項式の値は、-1 から 4 までの区間で 0 未満になることがわかりました。

g(x) のような二重不等式を解くときに多くの人が疑問を感じます。< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

実際、不等式を解く方法はいくつかあるため、グラフィカルな方法を使用して複雑な不等式を解くことができます。

分数不等式を解く

分数不等式には、より慎重なアプローチが必要です。これは、一部の分数不等式を解く過程で符号が変わる可能性があるためです。分数不等式を解く前に、区間法を使って解くことを知っておく必要があります。分数不等式は、符号の一方の側が分数の有理式のように見え、もう一方の側が「- 0」のように見えるように表現する必要があります。このように不等式を変形すると、結果として f(x)/g(x) > ( が得られます。

区間法を使用して不等式を解く

区間テクニックは完全帰納法に基づいています。つまり、不等式の解を見つけるには、すべての区間を通過する必要があります。可能なオプション. この方法 8 年生の生徒には、簡単な練習問題である 8 年生の不等式の解き方を知っている必要があるため、解法は必要ないかもしれません。しかし、高学年にとって、この方法は分数不等式を解くのに役立つため、不可欠です。この手法を使用して不等式を解くことは、0 になる値の間の符号を保持するなどの連続関数の特性にも基づいています。

多項式のグラフを作成しましょう。これは、値 0 を 3 回取る連続関数です。つまり、f(x) は、多項式の根である点 x 1、x 2、および x 3 で 0 に等しくなります。これらの点の間の間隔では、関数の符号が保存されます。

不等式 f(x)>0 を解くには関数の符号が必要なので、グラフから離れて座標線に進みます。

x(x 1 ; x 2) および x(x 3 ;) の場合、f(x)>0

f(x)x(- ; x 1) および x (x 2 ; x 3)

このグラフは、不等式 f(x)f(x)>0 の解を明確に示しています (最初の不等式の解は青で、2 番目の不等式の解は赤で表示されます)。区間上の関数の符号を決定するには、いずれかの点での関数の符号がわかっていれば十分です。このテクニックを使用すると、次のような不等式を迅速に解くことができます。左側なぜなら、このような不平等では根を見つけるのが非常に簡単だからです。