胃痛

分数を使った演算のやり方。小数の除算

この記事では、分数の操作について概説します。ここでは、一般的な形式 A/B の分数の加算、減算、乗算、除算、累乗の規則を定式化して正当化します。ここで、A と B は数値、数値式、または変数を含む式です。いつものように、ソリューションの詳細な説明を含む説明例を資料として提供します。

ページナビゲーション。

一般的な分数を使用した演算を実行するための規則

一般的な分数とは、分子や分母が自然数だけでなく、他の数や数式でも表現できる分数を意味することに同意しましょう。わかりやすくするために、そのような分数の例をいくつか示します。 .

私たちはそれらが実行されるルールを知っています。同じルールを使用して、一般的な分数を使用した演算を実行できます。

ルールの根拠

一般形式の分数を使用した演算を実行するためのルールの妥当性を正当化するには、次の点から始めることができます。

分数直線は本質的には区切り記号,
ゼロ以外の数値による除算は、除数の逆数による乗算とみなすことができます (これにより、ルールがすぐに説明されます) 分数の割り算),
実数を使った演算の性質,
そしてその一般的な理解、

これらを使用すると、分数の加算と減算のルールを正当化する次の変換を実行できます。分母が異なる、分数の掛け算のルールも同様です。

例

前の段落で学んだルールに従って、一般的な分数を使用した演算を実行する例を示します。すぐに、通常、分数を使用した演算を実行した後、結果の分数を単純化する必要があり、分数を単純化するプロセスは、多くの場合、前のアクションを実行するよりも複雑であると考えてみましょう。関心のあるトピックから逸れないように、分数の単純化については詳しく説明しません (対応する変換については分数の変換の記事で説明します)。

分母が似ている分数の足し算と引き算の例から始めましょう。まず、分数とを足してみましょう。明らかに分母は等しいです。対応するルールに従って、分子が元の分数の分子の合計に等しい分数を書き留め、分母は同じままにします。加算が完了したら、残っているのは結果の分数を単純化することだけです。。それで、 .

溶液は別の方法で処理することもできます。まず通常の分数に変換してから、加算を実行します。このアプローチにより、 .

では分数から引いてみましょう分数。分数の分母は等しいため、同じ分母を持つ分数を引き算する規則に従います。

分母が異なる分数の足し算と引き算の例に移りましょう。ここでの主な困難は、分数を共通の分母にすることです。一般的な分数については、かなり広範囲にわたるトピックなので、別の記事で詳しく説明します。 分数を共通の分母にする。さて、カップルに限定しましょう一般的な推奨事項現時点では、分数を使って演算を実行する手法に興味があるからです。

一般に、このプロセスは普通の分数を共通の分母に減らすことに似ています。つまり、分母は積の形で表示され、最初の分数の分母からすべての因子が取得され、2 番目の分数の分母から欠落している因子がそれらに追加されます。

加算または減算される分数の分母に共通の因数がない場合、それらの積を共通の分母とするのが論理的です。例を挙げてみましょう。

分数と 1/2 の加算を実行する必要があるとします。ここで、共通の分母として、元の分数の分母の積、つまりを求めるのが論理的です。この場合、最初の分数の追加係数は 2 になります。分子と分母にそれを乗算すると、分数はの形式になります。 2 番目の分数では、追加の要素は式です。この助けを借りて、分数 1/2 はの形に短縮されます。残っているのは、結果として得られた同じ分母を持つ分数を加算することだけです。ソリューション全体の概要は次のとおりです。

一般分数の場合、通常は最小公倍数で約定される最小公倍数については話していません。ただし、この問題では、ミニマリズムを追求することをお勧めします。これにより、元の分数の分母の積を直ちに共通の分母としてとるべきではないと言いたいのです。たとえば、分数と積の公分母を取る必要はまったくありません。。ここで、を取得できます。

一般的な分数の掛け算の例に移りましょう。分数とを掛けてみましょう。このアクションを実行するためのルールは、分子が元の分数の分子の積であり、分母が分母の積である分数を書き出すように指示します。我々は持っています。ここでも、分数を掛けるときの他の多くの場合と同様に、分数を減らすことができます。 .

分数の割り算のルールを使用すると、逆分数による割り算から掛け算に移行できます。ここで、指定された分数の逆数を取得するには、指定された分数の分子と分母を交換する必要があることを覚えておく必要があります。一般的な分数の除算から乗算への移行の例を次に示します。。残っているのは、乗算を実行して、結果の分数を単純化することだけです (必要に応じて、無理数式の変換を参照してください)。

この段落の情報の締めくくりとして、任意の数字や数字が存在することを思い出してください。数値式は分母が 1 の分数として表すことができるため、数値と分数の加算、減算、乗算、除算は、分母に 1 が含まれる分数を使用して対応する演算を実行すると考えることができます。たとえば、式で置き換えると、 3 の根と分数の場合、分数と数値の乗算から 2 つの分数の乗算に移行します。 .

変数を含む分数を扱う

この記事の最初の部分のルールは、変数を含む分数を使用した演算の実行にも適用されます。最初のものを正当化しましょう。同じ分母を持つ分数の加算と減算の規則は、残りもまったく同じ方法で証明されます。

任意の式 A、C、D (D はゼロに等しくありません) について等式が成り立つことを証明しましょう。変数の許容値の範囲について。

ODZ から特定の変数セットを取得してみましょう。式 A、C、D が変数のこれらの値として値 a 0、c 0、d 0 を取るものとします。次に、選択したセットの変数の値を式に代入すると、分母が似ている分数の加算 (減算) の規則に従って、分母が似ている分数の次の形式の合計 (差分) になります。、はに等しい。ただし、選択したセットの変数の値を式に代入すると、同じ分数になります。これは、ODZ から選択した変数値のセットについて、式との値が等しいことを意味します。示された式の値が、ODZ からの変数の他の値セットと等しいことは明らかです。これは、式とが全く等しいこと、つまり、等価性が証明されていることを意味します。 .

変数を使用した分数の加算と減算の例

加算または減算される分数の分母が同じである場合、すべては非常に単純です。分子は加算または減算されますが、分母は同じままです。この後に得られる部分は、必要かつ可能であれば単純化されることは明らかです。

分数の分母は一見しただけで異なる場合がありますが、実際には全く同じ式であることに注意してください。たとえば、次のようになります。と、または、と。また、元の分数を単純化して、同じ分母が「現れる」だけで十分な場合もあります。

例。

、b) 、V) .

解決。

a) 分母が似ている分数を引く必要があります。対応するルールに従って、分母を同じにして分子を減算すると、次のようになります。。アクションは完了しました。ただし、分子の括弧を開いて同様の項を表示することもできます。 .

b) 明らかに、加算される分数の分母は同じです。したがって、分子を合計し、分母は同じままにします。追加が完了しました。しかし、結果の端数を減らすことができることは簡単にわかります。実際、結果として得られる分数の分子は、和の二乗公式を (lgx+2) 2 として使用して折りたたむことができます (省略された乗算の公式を参照)。したがって、次の変換が行われます。 .

c) 合計の端数分母が異なります。ただし、分数の 1 つを変換したら、同じ分母を持つ分数の加算に進むことができます。 2 つの解決策を示します。

最初の方法。最初の分数の分母は二乗差の公式を使用して因数分解し、この分数を減らすことができます。。したがって、。分数の分母の不合理性から解放されることは、それでも悪いことではありません。 .

2番目の方法。 2 番目の分数の分子と分母にを掛けると (この式は、元の式の ODZ からの変数 x の値がゼロになることはありません)、2 つの目標を同時に達成できます。それは、非合理性から解放され、次に進むというものです。同じ分母を持つ分数を加算します。我々は持っています

答え：

A) 、b) 、V) .

最後の例では、分数を公分母に換算するという問題を取り上げました。そこでは、加算された分数の 1 つを単純化することで、ほぼ偶然に同じ分母に到達しました。しかし、ほとんどの場合、分母の異なる分数を足したり引き算したりする場合は、意図的に分数を共通の分母に合わせる必要があります。これを行うには、通常、分数の分母が積の形式で表示され、最初の分数の分母からすべての因子が取得され、2 番目の分数の分母から欠落している因子がそれらに追加されます。

例。

分数を使った演算を実行します。、b)、c) .

解決。

a) 分数の分母については何もする必要はありません。共通の分母として、製品を取り上げます。。この場合、最初の分数の追加係数は式であり、2 番目の分数の追加係数は数値 3 です。これらの追加の要素により、分数が共通の分母になり、後で必要なアクションを実行できるようになります。

b) この例では、分母はすでに積として表されており、追加の変換は必要ありません。明らかに、分母の因数は指数のみが異なります。したがって、最大の指数を持つ因子の積を共通の分母としてとります。。この場合、最初の分数の追加係数は x 4 となり、2 番目の分数の追加係数は ln(x+1) になります。これで、分数を減算する準備が整いました。

c) そしてこの場合、最初に分数の分母を扱います。二乗の差と和の二乗の公式を使用すると、元の合計から次の式に移動できます。。これらの分数が共通の分母に還元できることは明らかです。。このアプローチを使用すると、ソリューションは次のようになります。

答え：

A)

b)

V)

分数と変数の乗算の例

分数を乗算すると、元の分数の分子の積が分子、分母の積が分母となる分数が生成されます。ここでは、ご覧のとおり、すべてが見慣れた単純なものであり、このアクションの結果として得られる分数は、多くの場合、約分可能であることが判明することだけを付け加えておきます。このような場合、当然のことながら必要かつ正当な場合を除き、減額されます。

分数は一般的で小数です。後者の存在を知ると、学生は、たとえそれが必須でなくても、機会あるごとに可能なすべてのものを 10 進数形式に変換し始めます。

奇妙なことに、高校生や学生の間で好みは変わります。普通の分数。そして、卒業生が扱う値を損失なく10進数形式に変換することが単純に不可能な場合もあります。その結果、どちらのタイプの分数も、何らかの形でタスクに適応し、それぞれに長所と短所があることがわかります。それらと連携する方法を見てみましょう。

意味

端数は株と同じです。オレンジに 10 個の部分があり、1 つを与えられた場合、果物の 1/10 が手にあることになります。前の文のように書くと、分数は普通分数と呼ばれます。 0.1-10進数と同じことを書くと。どちらのオプションも同等ですが、それぞれ利点があります。最初のオプションは乗算と除算に便利で、2 番目のオプションは加算、減算やその他の多くの場合に便利です。

分数を別の形式に変換する方法

分数があり、それを小数に変換したいとします。何をする必要がありますか?

ちなみに、すべての数値が問題なく 10 進数形式で記述できるわけではないことを事前に決めておく必要があります。場合によっては、結果を四捨五入して小数点以下の特定の桁を失う必要がありますが、多くの分野 (精密科学など) では、これはまったく手の届かない贅沢です。同時に、5 年生の小数および普通分数の演算により、少なくともトレーニングとして、ある型から別の型へのこのような変換を干渉なく実行することができます。

整数の乗算または除算によって分母から 10 の倍数の値が得られる場合、変換は問題なく進みます。¾ は 0.75、13/20 は 0.65 になります。

逆の手順は、精度を損なうことなく常に小数から普通の分数を取得できるため、さらに簡単です。たとえば、0.2 は 1/5 になり、0.08 は 4/25 になります。

内部変革

通常の分数を使用して結合演算を実行する前に、可能な数学演算のために数値を準備する必要があります。

まず最初に、例内のすべての分数を 1 つの一般的な形式にする必要があります。これらは通常または 10 進数のいずれかである必要があります。乗算と除算を前者で実行する方が便利であることをすぐに予約しましょう。

数字を準備する際に、さらなるアクションその分野を勉強する初期の段階と、大学で研究される高等数学の両方で知られ、使用されているルールが役に立ちます。

分数の性質

あなたに何らかの価値があるとしましょう。 2/3としましょう。分子と分母を3倍すると何が変わるでしょうか? 6/9になります。それが100万だったらどうしますか？ 2000000/3000000。しかし、待ってください。数値は定性的にまったく変化しません。2/3 は 2000000/3000000 に等しいままです。形式が変わるだけで、内容は変わりません。両辺を同じ値で割った場合も同じことが起こります。これは分数の主な特性であり、テストや試験で小数や普通の分数を使った演算を繰り返し行うのに役立ちます。

分子と分母に同じ数を掛けることを分数の展開といい、割り算を約分といいます。分数の掛け算や割り算の際に上下の同じ数字に取り消し線を引くのはすごいと言わざるを得ません。楽しい手順（もちろん、数学の授業内で）。答えはすでに近くにあり、例は実質的に解決されているようです。

仮分数

仮分数とは、分子が分母以上である分数のことです。言い換えれば、部品全体をそこから分離できる場合は、この定義に当てはまります。

そのような数値 (以上または 1に等しい) が普通分数で表される場合、これを仮分数と呼びます。そして、分子が分母より小さい場合は、正しいです。どちらのタイプも、通常の分数を使用して可能な演算を実行する場合には同様に便利です。掛け算や割り算、足し算や引き算も簡単に行えます。

全体が同時に選択され、端数の形で余りがある場合、結果として得られる数値は混合と呼ばれます。将来あなたが出会うであろう違う方法このような構造と変数の組み合わせ、およびこの知識が必要な方程式を解くこともできます。

算術演算

分数の基本的な性質がすべて明らかであれば、分数の掛け算の際にどのように動作すればよいでしょうか? 5 年生の普通分数の演算には、あらゆる種類の算術演算が含まれ、2 つの異なる方法で実行されます。

掛け算と割り算はとても簡単です。最初のケースでは、2 つの分数の分子と分母が単純に乗算されます。 2番目では、同じことですが、横方向のみです。したがって、最初の分数の分子には 2 番目の分数の分母が乗算され、その逆も同様です。

加算と減算を実行するには、式のすべてのコンポーネントを共通の分母にするという追加のアクションを実行する必要があります。これは、分数の下の部分を同じ値、つまり両方の既存の分母の倍数に変更する必要があることを意味します。たとえば、2 と 5 の場合は 10 になります。3 と 6 の場合は 6 になります。上部? 一番下を変更した場合、同じままにすることはできません。分数の基本的な性質に従って、分子に分母と同じ数を掛けます。この操作は、加算または減算するそれぞれの数値に対して実行する必要があります。ただし、6 年生の普通の分数を使用したこのような演算はすでに「自動的に」実行されており、困難が発生するのは次の場合のみです。初期トピックを勉強しています。

比較

2 つの分数の分母が同じ場合、分子が大きい方の分数が大きくなります。上の部分が同じなら、分母が小さい方が大きくなります。このような比較が成功する状況はめったに起こらないことを心に留めておく価値があります。おそらく、式の上部と下部の両方が一致しません。それから覚えておく必要があります可能なアクション通常の分数を使用し、加算と減算で使用されるテクニックを使用します。また、次のことを話している場合は、負の数の場合、係数が大きい分数は小さいことがわかります。

共通分数の利点

教師が子供たちに次のようなフレーズを伝えることがあります。その内容は次のように表現できます。課題を作成するときに与えられる情報が多ければ多いほど、解決策は簡単になります。奇妙に聞こえると思いますか？しかし実際には、いつ大量の既知の量であれば、ほぼすべての公式を使用できますが、数が 2、3 つしか指定されていない場合は、追加の考察が必要になる可能性があり、定理を覚えて証明し、自分の正しさを支持する議論を行う必要があります...

なぜこれを行うのでしょうか? さらに、普通の分数は面倒ではありますが、生徒の生活を大幅に簡素化することができ、掛け算や割り算の際に値の行全体を短縮したり、和や差を計算する際に一般的な議論を行ったり、また短縮したりすることができます。

一般企業と共同して行動する必要がある場合小数、変換は前者を優先して実行されます。3/17 を 10 進数形式に変換するにはどうすればよいですか? 情報が失われた場合のみであり、それ以外の場合はそうではありません。ただし、0.1 は 1/10 として表すことができ、さらに 17/170 として表すことができます。そして、結果として得られる 2 つの数値を加算または減算できます: 30/170 + 17/170 = 47/170。

なぜ小数が役に立つのでしょうか?

通常の分数を使用した演算の方が便利ですが、分数を使用してすべてを書き出すのは非常に不便です。比較: 1748/10000 と 0.1748。これは 2 つの要素で表されるのと同じ値です。さまざまなオプション。もちろん、2 番目の方法の方が簡単です。

さらに、すべてのデータには桁違いのみの共通の基数があるため、小数を表すのが容易になります。たとえば、30% の割引を簡単に理解し、それが重要であると評価することさえできます。 30% または 137/379 のどちらが多いかすぐにわかりますか? したがって、小数は計算の標準化を提供します。

高校では生徒が決める二次方程式。変数の値を計算する式には合計の平方根が含まれているため、ここで通常の分数を使用して演算を実行することはすでに非常に問題があります。小数に換算できない分数がある場合、解は非常に複雑になり、電卓なしでは正確な答えを計算することはほとんど不可能になります。

したがって、分数を表すそれぞれの方法には、適切なコンテキストにおいて独自の利点があります。

記録フォーム

通常の分数を使用してアクションを記述する方法は 2 つあります。水平線を 2 つの「段」で書く方法と、スラッシュ (別名「スラッシュ」) を使って 1 行に書く方法です。学生がノートに書くときは、通常、最初のオプションの方が便利であり、したがって一般的です。行内のセルに数値を分配すると、計算を行ったり変換を実行したりする際の注意力を養うことができます。文字列に書き込む場合、うっかりアクションの順序を混同したり、一部のデータを失ったり、つまり間違いを犯してしまう可能性があります。

最近では、コンピュータで数字を印刷する必要が非常に頻繁にあります。 Microsoft Word 2010 以降の機能を使用すると、従来の水平線を使用して分数を区切ることができます。実際、これらのバージョンのソフトウェアには「式」と呼ばれるオプションがあります。画面上に長方形の変形可能なフィールドが表示され、その中で数学記号を組み合わせて 2 階建ておよび「4 階建て」の両方の分数を作成できます。分母と分子には括弧と演算記号を使用できます。その結果、共同アクションを常分数と小数を使って書き留めることができるようになります。伝統的な形、つまり、学校でそれを行うように教える方法です。

標準のテキストエディタのメモ帳を使用する場合は、すべての分数式をスラッシュで記述する必要があります。残念ながら、ここでは他に方法がありません。

結論

そこで、すべての基本アクションを通常の分数で調べましたが、分数はそれほど多くないことがわかりました。

最初はこれが数学の難しいセクションであると思われるかもしれませんが、これは一時的な印象にすぎません。覚えておいてください、あなたはかつて九九について、そしてさらに以前には、普通のコピーブックと1から10までの数え方についてこのように考えたことがあるでしょう。

分数は日常生活のいたるところで使用されることを理解することが重要です。お金と工学的な計算を扱います。情報技術そして音楽リテラシー、そしてどこでも、どこでも！ - 小数点が表示されます。したがって、このトピックはそれほど複雑ではないので、怠けずに徹底的に勉強してください。

分子、で割ったものが分母です。

分数を書くには、まず分子を書き、次に数字の下に水平線を引き、その線の下に分母を書きます。分子と分母を区切る水平線を分数線といいます。斜めの「/」や「∕」で描かれることもあります。この場合、分子は行の左側に、分母は右側に書かれます。したがって、たとえば、「3 分の 2」という分数は 2/3 と表記されます。わかりやすくするために、通常、分子は行の一番上に書かれ、分母は一番下に書かれます。つまり、2/3 の代わりに 2/3 が表示されます。

分数の積を計算するには、まず分子に 1 を掛けます。分数分子までが違います。結果を新しい変数の分子に書き込みます。分数。この後、分母を掛けます。新しい欄に合計値を入力します分数。例えば1/3とか？ 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15)。

ある分数を別の分数で割るには、まず最初の分数の分子と 2 番目の分数の分母を掛けます。 2 番目の分数 (除数) についても同じことを行います。または、すべてのアクションを実行する前に、都合がよければ、まず除数を「反転」します。分子の代わりに分母が表示されます。次に、被除数の分母に除数の新しい分母を乗算し、分子を乗算します。たとえば、1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3)。

出典:

基本的な分数の問題

小数は次のように表現できます。さまざまな形で数量の正確な値。分数でも、整数の場合と同じ減算、加算、乗算、除算の演算を行うことができます。決断することを学ぶために分数、その特徴のいくつかを覚えておく必要があります。種類によって異なります分数、整数部分の存在、共通の分母。一部の算術演算では、実行後に結果の小数部を減算する必要があります。

必要になるだろう

- 電卓

説明書

数字をよく見てください。分数の中に小数と不規則な分数が含まれる場合、最初に小数で演算を実行してから、それらを不規則な形に変換する方が便利な場合があります。あなたは翻訳できますか分数最初はこの形式で、分子に小数点以下の値を書き込み、分母に 10 を入れます。必要に応じて、上下の数値を 1 つの約数で割って分数を減らします。整数部分が分離されている分数は、分母を乗算し、結果に分子を加算することによって、間違った形式に変換する必要があります。与えられた値新しい分子になります分数。最初に間違った部分から全体を選択するには分数、分子を分母で割る必要があります。からの結果全体を書き込みます分数。そして、割り算の残りが新しい分子、分母になります。分数それは変わりません。整数部分を含む分数の場合、最初に整数、次に小数部分に対して個別にアクションを実行できます。たとえば、1 2/3 と 2 ¾ の合計は次のように計算できます。
- 分数を間違った形式に変換する:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- 項の整数部分と小数部分を個別に合計:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

「:」区切り文字を使用してこれらを書き換えて続行します通常の分割.

最終結果を得るには、分子と分母を 1 つの整数 (この場合は可能な最大) で割って、結果の分数を減らします。この場合、線の上下に整数がなければなりません。

注記

分母が異なる分数で算術を実行しないでください。各分数の分子と分母にその値を乗算すると、両方の分数の分母が等しくなるような数値を選択してください。

役立つアドバイス

録音時小数配当金は線の上に書かれています。この量は分数の分子として指定されます。分数の約数、つまり分母は線の下に書かれています。たとえば、端数としての米 1.5 キログラムは次のように記述されます: 米 1 1/2 kg。分数の分母が 10 の場合、その分数は小数と呼ばれます。この場合、分子（配当）は全体の右側にカンマで区切って書かれています：米1.5kg。計算を容易にするために、このような分数は常に間違った形式、つまりジャガイモ 1 2/10 kg で書くことができます。単純化するために、分子と分母の値を 1 つの整数で割ることによって、それらの値を減らすことができます。この例では、2 で割ることができます。結果は 1 1/5 kg のジャガイモになります。算術を実行する数値が同じ形式で表現されていることを確認してください。

分数展開。分数の約定。分数の比較。
共通分母への帰着。分数の足し算と引き算。
分数の掛け算。分数の割り算。
分数展開。分数の分子と分母にゼロ以外の同じ数を掛けても、分数の値は変わりません。この変換は分数展開と呼ばれます。例えば、

分数の約定。分数の分子と分母をゼロ以外の同じ数で割っても、分数の値は変わりません。この変換は分数リダクションと呼ばれます。例えば、

分数の比較。同じ分子を持つ 2 つの分数のうち、分母が小さい方が大きくなります。

分母が同じ 2 つの分数のうち、分子が大きい方の分数の方が大きくなります。

分子と分母が異なる分数を比較するには、それらを展開して共通の分母にする必要があります。
例 2 つの分数を比較します。

ここで使用される変換は、分数の共通分母への還元と呼ばれます。
分数の足し算と引き算。分数の分母が同じ場合、分数を加算するには分子を加算する必要があり、分数を減算するには分子を (同じ順序で) 減算する必要があります。結果として得られる合計または差が結果の分子となります。分母は変わりません。分数の分母が異なる場合は、まず分数を共通の分母に減らす必要があります。帯分数を加算する場合、整数部と小数部は別々に加算されます。帯分数を減算する場合は、まず仮分数に変換し、次に一方からもう一方を減算し、必要に応じて結果を再度帯分数形式に変換することをお勧めします。
例

分数の掛け算。数値に分数を掛けるとは、分子を掛けてその積を分母で割ることを意味します。したがって、私たちは原則分数の乗算: 分数を乗算するには、分子と分母を別々に乗算し、最初の積を 2 番目の積で割る必要があります。
例

分数の割り算。数値を分数で割るには、この数値に逆数を掛ける必要があります。この規則は、除算の定義に従います (「算術演算」のセクションを参照)。
例

ロシアの偉大な批評家V. G. ベリンスキーは、詩の使命は「人生の散文から人生の詩を抽出し、人生の忠実な描写で魂に衝撃を与えることである」と述べました。 N. V. ゴーゴリはまさにそのような作家であり、時には世界で最も重要ではない人間の存在の描写で魂を揺さぶる作家です。私の意見では、ゴーゴリはロシア社会に対する最大の貢献だ。

この記事は、太陽観測愛好家の間で最も一般的な望遠鏡に関するさまざまな情報をまとめようとするものです。程度の差はあれ、それはロシアおよび外国の天文インターネットフォーラムで収集されており、以下に掲載されているすべての写真もインターネット上で収集されています。技術的なパラメータ、設計上の特徴が可能です。

10 進数体系 10 進数体系は、10 進数に基づく位置記数体系です。世界で最も一般的な記数体系です。数字を書くために最も一般的に使用される記号は、アラビア数字と呼ばれる 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 です。 10 進数は人の指の数に関係すると考えられています。。

数学。グレード 1 ～ 4 このセクションでは、足し算、引き算、掛け算、割り算などの概念や用語に慣れます。また、数学的演算とその実装順序、数学のおとぎ話などについても学びます。。

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通常の分数の加算は次のように行われます。

a) 分数の分母が同じ場合、2 番目の分数の分子を最初の分数の分子に加算し、分母は同じのままにします。

b) 分数の分母が異なる場合、分数はまず共通の分母、できれば最小値に減算され、その後ルール a) が適用されます。

例 1. 分数と溶液を追加します。我々は持っています：

普通の分数の減算は次のように実行されます。

a) 分数の分母が同じ場合、

b) 分母が異なる場合、まず分数が共通の分母に減算され、次にルール a) が適用されます。

通常の分数の乗算は次のように実行されます。

つまり、分子と分母を別々に乗算し、最初の積が分子、2 番目の積が分母になります。

例えば、

普通の分数の割り算は次のように行われます。

つまり、被除数には除数の逆数が乗算されます。

例えば、。

例 2: 数値式の値を求める

解決。 1) 分子と分母を 3 で減らすと (これは、分子と分母で乗算演算を実行する前に行うと便利です)、次のようになります。

3) 式の値を求めるときに、加算と減算の演算を同時に実行できます。数値 15、20、30 の最小公倍数は、数値 60 です。追加の係数を使用して、3 つの分数すべてを分母の 60 に減算しましょう。最初の分数は 4、2 番目の分数は 3、3 番目の分数は 2 です。得る：

例 3. 次の手順に従います。

解決策、a) 最初の方法。これらの帯分数をそれぞれ仮分数に変換してから、加算を実行してみましょう。

次に、仮分数を帯分数に変換してみましょう。

2番目の方法。我々は持っています

b) 帯分数の乗算と除算の場合は、常に仮分数を使用します。

それで7時に

普通の分数を使った演算

セクション:数学

1) テーマに関する生徒の知識の管理と体系化。

2) 計算スキル、論理、数学的注意力を養う。

3) 独立性、主題への関心、教育活動に対する誠実な態度を養います。

装置：コンピューター教室、PC - 9台

1) 生徒中心の学習。

2）レベルの差別化。

3）ゲームテクノロジー。

2. レッスンの目的を設定する。

今日は前夜祭テスト作業私たちには分析する機会があります教育活動また、電子シミュレーターで普通の分数を使ったすべての演算を実行する計算スキルを練習します。

生徒は特製の用紙に作品番号と作品名を記入します。

3. 最新の背景知識

個々の作業にアクセスするには、質問に口頭で答える必要があります （全員が机の上にA.P.エルショフ、V.V.ゴロボロドコによる教訓資料「口頭数学」を持っています）：

1. 分数の主な性質を定式化します。

2. 2 つの分数の最小公倍数を見つけるための規則。

3. 加算を実行する

4. 逆数と呼ばれる数値は何ですか?

5. 分数を分数で割るにはどうすればよいですか?

生徒は、普通の分数を使った演算を実行するためのルールを直接繰り返し、解説付きでタスクを完了します。

4. レッスンの各段階を完了するための指示

今日、コンピューター科学者、数学者、アナリストの 3 つのカテゴリーで自分自身をテストする機会があります。学生は 3 つのグループに分けられ、自己分析カード (付録 1) が渡され、それに応じてすべての段階を通過します。 (教師は 3 段階すべての成績を記録し、チームカード付録 2 に算術平均を設定します)

コンピューター上、テスト用紙上、添削カードまたは創造的な課題の使用

5. ステージ1電子シミュレーター (付録 3) – コンピューターサイエンス

まず第一に、この段階での成功は、バイアスロンゲームのルールにどれだけ注意深く従うかにかかっています。

トレーニングは 3 つの段階で構成されており、タスクの複雑さがそれぞれ異なります。各ステージには「スキーレース」と「射撃場」が含まれます。「スキーレース」モードでは、提案されたステートメントが真か偽かを判断し、画面上の対応するボタンをクリックする必要があります。

「射撃ライン上」モードでは、2 つの分数の和、差、積、商を計算するために 4 つ (ステージ 1) または 3 つ (ステージ 2 と 3) のタスクを完了する必要があります。あなたの答えは、標的に向かって撃つことです。答えが既約分数の場合、的中します。

教師はコンピューターによって与えられた成績を記録します。チームカードにあります。

口頭での独立した作業学習。

学生は質問に口頭で答え、アクションを実行し、結果をコンピュータに記録します。そして自己分析カードに自分の間違いを記録します。

(グループ内の各生徒はコンピューターの前にいます)

ゲームの終了時に、コンピューターが生徒を評価します。

6. ステージ2理論テスト ( A.P. Ershova「口頭数学」）：— アナリスト

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普通の分数。普通の分数の演算

2001 年 2 月 12 日に完成した OHP フィルムから印刷するために署名されました。 84x108/32 でフォーマットします。バルティカのヘッドセット。紙の種類その2. オフセット印刷。条件付きオーブン l. 25.1。発行部数は5000部。注文番号106。

税制優遇措置 - 全ロシア製品分類子 OK-005-093、ボリューム 2。 953000 - 書籍、パンフレット。

GIPP “Uralsky Rabochiy”, 620219, Ekaterinburg, st. で既製の OHP フィルムから印刷ツルゲーネワ、13歳。

話題その1。

算術計算。興味。

普通の分数。通常の分数の演算。

1°。整数- これらは数を数えるときに使用される数字です。すべての自然数の集合は N で表されます。 N= 。

分数単位のいくつかの分数で構成される数値です。 公分数は次の形式の数値と呼ばれます。自然数 nどれくらいかを示します等しい部分 1 を割ると自然数は メートルは、そのような等しい部分がいくつ取られるかを示します。数字 メートルそして nそれに応じて呼ばれます分子そして分母分数

分子が分母より小さい場合、分数が呼び出されます。 正しい; 分子が分母以上の場合、分数が呼び出されます。 間違っている。整数と小数部からなる数値をといいます。 帯分数.

たとえば、 - 通常の分数、 - 仮分数、 1 - 帯分数。

2度。通常の分数を使用して演算を実行する場合は、次の規則に留意する必要があります。

1) 分数の主な性質。分数の分子と分母に同じ自然数を乗算または除算すると、指定された分数と等しい分数が得られます。

たとえば、 a) ; b) 。

分数の分子と分母をそれらの値で割ります。公約数、1とは異なり、と呼ばれます 分数を減らす.

2) 帯分数を仮分数として表すには、その整数部分に小数部分の分母を掛け、得られた積に小数部分の分子を加算し、得られた金額を分数の分子として書く必要があります。そして分母はそのままにします。

同様に、任意の自然数は、任意の分母を持つ仮分数として書くことができます。

たとえば、a) なぜなら、; b）など

3) 仮分数を帯分数として書くには (つまり、整数部分を仮分数から分離します)、分子を分母で割り、除算の商を整数部分とし、余りを分子とする必要があります。、分母はそのままにします。

たとえば、a) 200 以降: 7 = 28 (残り 4)。
b) 20 以降: 5 = 4 (残り 0)。

4) 分数を最小公倍数に減らすには、これらの分数の分母の最小公倍数 (LCM) を見つけて (これが最小公倍数になります)、最小公倍数をこれらの分数の分母で割る必要があります (つまり、分数の追加の因数を見つけて、各分数の分子と分母にその追加の因数を掛けます。

たとえば、分数を最小公倍数まで分解してみましょう。

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

手段、 ; ; 。

5) 普通の分数の算術演算の規則:

a) 同じ分母を持つ分数の加算と減算は、次の規則に従って実行されます。

b) 異なる分母を持つ分数の加算と減算は、最初に分数を最小公倍数に減算した後、ルール a) に従って実行されます。

c) 帯分数を加算および減算する場合、次のように変換できます。仮分数、ルール a) および b) に従ってアクションを実行します。

d) 分数を掛けるときは、次の規則を使用します。

e) ある分数を別の分数で割るには、被除数に除数の逆数を掛ける必要があります。

f) 帯分数の掛け算と割り算を行う場合は、まず仮分数に変換した後、d) と e) のルールが適用されます。

トピック「数学」に関するプレゼンテーション：「数学教師エフゲニア・ヴィクトロヴナ・コルビナによる「普通の分数によるアクション」のレッスンのプレゼンテーション。」無料で登録なしでダウンロードできます。 - 転写:

1 数学教師エフゲニア・ヴィクトロヴナ・コルビナによる「普通の分数を使ったアクション」のレッスンのプレゼンテーション

2 レッスンの目標。教育的: 普通の分数の比較、加算、減算、乗算、除算の規則の繰り返し。普通分数に関する知識の一般化と体系化、普通分数を扱うスキルの強化と向上。暗算スキルと、より多くの問題を解くときにルールを適用する能力を練習します。複雑な例。発達: 教育活動および認知活動におけるスキルの発達。口腔の発達と書き込み; 自己管理スキルの開発と、達成した知識とスキルの自己評価。教育: 注意力、活動性、独立性、責任感を育みます。

3 数学者、ドラマー、さらには狩猟者にとっても欠かせないものは何ですか?

4 今は何月ですか? どの季節ですか？冬は何が好きですか？

5 今日のレッスンでは、あなたと私は雪だるまを作りますが、雪からではなく、私たちの知識から作ります。

6 評価シート（学生の氏名）「吹きだまり」「1 部屋」「2 部屋」「3 部屋」「属性」総合評価

7 1. 分数を別の分数と比較 (加算、減算) するには、次の操作を行う必要があります。 1) 指定された分数を約分します。 2) 結果の分数を比較 (加算、減算) します。 2. 帯分数を加算 (減算) するには、次の操作を行う必要があります。 1) 小数部を次のようにします。 2) 部分と小数部分の加算(減算)を別々に行います。 3. 分数に自然数を掛けるには、その数値を掛けてそのままにしておく必要があります。分母 LCD (最小公倍数) LCD 整数分子分母 4. 分数と分数を掛けるには、積と積を見つける必要があります。 5. 帯分数を掛けるには、分数として書き留めてから、分数の法則を使用する必要があります。 6. ある分数を別の分数で割るには、約数を掛ける必要があります。分子間違った乗算の被除数逆数の分母「ドリフト」正しいルールごとに - 1 ポイント

8 「1 com」正解ごとに 1 ポイント

10 I オプション 635(a) II オプション 635(b) 「2 com」正しいアクションごとに - 1 ポイント

12 草は小さい、小さい。木々は高い、高い。風が木々を揺らします。右に傾いてから左に傾きます。さあ、上がって、そして戻ります。曲がってしまいます。鳥は飛んで飛んでいきます。学生たちは静かに机に座っています。フィズミヌトカ

13 問題観光客はハイキングに行きました。初日に彼らはキロメートル歩きましたが、これは二日目よりもキロメートル多く歩きました。そして3日目には、1日目に比べて歩く量が2分の1に減りました。観光客はこの 3 日間で何キロ歩きましたか。「3ルーム」

14 1) 観光客が 2 日目に歩いた量を求めてみましょう。これを減算します。 2) 観光客が 3 日目に歩いた量を求め、これを 2 で割ります。 3) 最初のアクションと2 番目のアクションの結果を調べて、この 3 日間にどれだけ歩いたかを調べます。答え: 解決策正しいアクションごとに – 1 ポイント + 正解に対して 1 ポイント

16 テスト「属性」正解1つにつき1点

18 27～30点 – 「5」点 – 「4」点 – 「3」 0～14点 – 「2」

19 宿題: 635 (g)、643 テーマに関するレポートを作成する: 普通分数の起源

20 レッスンのまとめ全部気に入りました！難しいけど面白い！疲れた！

21 ロシアの偉大な作家、L.N. トルストイは、人は分数のようなもので、その分母はその人が自分についてどう思うか、分子は他人が自分についてどう思うかであると信じていました。あなたの人生の分子が分母よりも大きくなることを願っています。

分数を使用したアクション。

注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）

それで、分数、分数の種類、変換とは何ですか - 思い出しました。本題に入りましょう。

分数を使って何ができるでしょうか?そう、そこにあるものはすべて普通の数字。加算、減算、乗算、除算。

これらすべてのアクションは、 10進数分数を扱うことは、整数を扱うことと何ら変わりません。実際、それが小数点の良いところです。唯一のことは、カンマを正しく入力する必要があるということです。

帯分数 、すでに述べたように、ほとんどのアクションにはほとんど役に立ちません。通常の分数に変換する必要があります。

しかし、とのアクションは、 普通の分数彼らはもっと狡猾になるだろう。そしてさらに重要なことです！思い出させてください: 文字、サイン、未知数などを含む分数式を使用するすべてのアクションは、通常の分数を使用するアクションと何ら変わりません。！普通の分数を使った演算はすべての代数の基礎です。このような理由から、ここではこのすべての算術を詳細に分析します。

分数の足し算と引き算。

誰もが同じ分母を持つ分数の足し算（引き算）ができるようになります（本当にそう願っています！）。さて、すっかり忘れっぽい人に思い出してもらいたいのですが、足す（引く）とき、分母は変わりません。分子を加算 (減算) して、結果の分子を求めます。タイプ：

要するに、一般的な見解:

分母が違う場合はどうなるでしょうか？次に、分数の基本的な性質を使用して (ここでも便利です!)、分母を同じにします。例えば：

ここでは、分数 2/5 から分数 4/10 を作成する必要がありました。分母を同じにするという唯一の目的のため。念のため言っておきますが、2/5 と 4/10 は 同じ分数！私たちにとって不便なのは 2/5 だけで、4/10 は本当に問題ありません。

ちなみに、これは数学の問題を解くための本質です。私たちがからのとき不快私たちは表現をします 同じことですが、解決するのにより便利です.

もう一つの例：

状況も同様です。ここでは 16 のうち 48 を作ります。単純な掛け算で 3. これはすべて明らかです。しかし、次のようなものに遭遇しました。

どうやって？ 7 点中 9 点を出すのは難しいです。しかし、私たちは賢いのでルールを知っています。変身しましょう毎分母が同じになるように分数します。これを「共通の分母に減らす」といいます。

おお！ 63 についてどうやって知りましたか? とてもシンプルです！ 63 は 7 と 9 で同時に割り切れる数です。このような数は、分母を乗算することで常に取得できます。たとえば、数値を 7 で乗算すると、結果は必ず 7 で割り切れます。

いくつかの分数を加算 (減算) する必要がある場合、2 つずつ段階的に行う必要はありません。すべての分数に共通する分母を見つけて、各分数をこの同じ分母に減らすだけです。例えば：

そしてその共通点は何でしょうか？もちろん、2、4、8、16 を掛けることもできます。結果は 1024 になります。悪夢です。 16 という数字は 2、4、8 で完全に割り切れると推定する方が簡単です。したがって、これらの数字から 16 を得るのは簡単です。この数字が公分母になります。 1/2 を 8/16 に、3/4 を 12/16 に、というように変換してみましょう。

ちなみに、1024を共通分母にすると、すべてがうまくいき、最終的にはすべてが削減されます。しかし、計算上、誰もがこの目的に到達できるわけではありません...

自分で例を完成させてください。ある種の対数ではありません...29/16 であるはずです。

それで、分数の足し算（引き算）は明らかだと思いますか？もちろん、乗数を追加した短縮バージョンで作業する方が簡単です。しかし、この喜びは、低学年で誠実に取り組み、何も忘れなかった人に与えられます。

そして今度は同じアクションを実行しますが、分数ではなく、 分数式。新しい熊手はここで発見されるでしょう、そうです...

したがって、2 つの分数式を追加する必要があります。

分母を同じにする必要があります。そして助けがあってこそ乗算！これが分数の主な性質によって決まります。したがって、分母の最初の分数の X に 1 を加えることができません。（それはいいね！）。しかし、分母を掛け合わせると、すべてが一緒に大きくなります。そこで、分数の行を書き留め、上部に空白を残して追加し、分母の積を下に忘れないように書きます。

そしてもちろん、右側には何も掛けず、かっこも開きません。ここで、右側の共通分母を見ると、最初の分数の分母 x(x+1) を取得するには、この分数の分子と分母に (x+1) を掛ける必要があることがわかります。。そして2番目の部分ではxに。得られるものは次のとおりです。

注記！ここに括弧があります! 多くの人が踏む熊手です。もちろん括弧ではなく、括弧が存在しないことです。乗算しているため括弧が表示されます全て分子と全て分母！そして彼らの個々の作品ではありません...

右側の分子には分子の合計を書きます。すべては分数で表されます。次に、右側の分子の括弧を開けます。すべてを掛け合わせて、同様のものを与えます。分母の括弧を開けたり、何かを掛けたりする必要はありません。一般に、分母（任意）において、製品は常により快適になります。我々が得る：

それで答えが得られました。このプロセスは長くて難しいように見えますが、練習次第です。例題を解いて慣れてしまえば、すべてが簡単になります。やがて分数をマスターした人は、これらすべての操作を左手 1 つで自動的に実行します。

そしてもう一つ注意事項。多くの人は分数を賢く扱いますが、次の例で行き詰まってしまいます。全体数字。例: 2 + 1/2 + 3/4= ? ツーピースをどこに留めるか？どこにでも固定する必要はありません。2 分の 1 を作る必要があります。簡単ではありませんが、とても簡単です! 2=2/1。このような。任意の整数を分数として書くことができます。分子は数値そのもの、分母は 1 です。 7 は 7/1、3 は 3/1 などです。手紙も同じです。 (a+b) = (a+b)/1、x=x/1 など。そして、すべてのルールに従ってこれらの分数を処理します。

さて、分数の足し算と引き算の知識が新しくなりました。ある種類の分数を別の種類に変換することを繰り返しました。検査を受けることもできます。少し解決しましょうか？）

計算します:

答え（混乱中）：

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

分数の掛け算と割り算 - 次のレッスンで。分数を含むすべての演算のタスクもあります。

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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)

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