Деление натуральных чисел.
Делимость чисел. Простые и составные числа.
Делимость натуральных чисел..................................................................................................................... | |
Основная теорема арифметики................................................................................................................... | |
Признаки делимости.................................................................................................................................... | |
Утверждения, связанные с делимостью чисел........................................................................................... | |
Устные задачи............................................................................................................................................... | |
«Полуустные» задачи.................................................................................................................................. | |
Когда до полного числа десятков…............................................................................................................. | |
Задачи на делимость сумм:.......................................................................................................................... | |
Нестандартные задачи............................................................................................................................... | |
Некоторые задачи из учебников................................................................................................................ | |
Сравнения.................................................................................................................................................... | |
Малая теорема Ферма................................................................................................................................ | |
Решение уравнений в целых числах.......................................................................................................... | |
Список литературы:..................................................................................................................................... |
Генрих Г.Н. | ФМШ №146 г. Пермь |
Одной из целей математического образования, нашедшей отражение в федеральном компоненте государственного стандарта по математике, является интеллектуальное развитие учащихся.
Тема «Делимость чисел. Простые и составные числа» – одна из таких тем, которые, начиная с 5 класса, позволяют в большей степени развивать математические способности детей. Работая в школе с углубленным изучением математики, физики и информатики, где обучение ведется с 7 класса, кафедра математики нашей школы заинтересована в том, чтобы ученики уже в 5-7 классах более подробно знакомились с данной темой. Мы стараемся это реализовать на занятиях в школе юных математиков (ШЮМ), а также в региональном летнем математическом лагере, где вместе с учителями нашей школы преподаю и я. Я постаралась подобрать такие задачи, которые интересны учащимся с 5 по 11 класс. Ведь ученики нашей школы изучают данную тему по программе. А выпускники школы последние 2 года встречаются с задачами по этой теме на ЕГЭ (в задачах типа С6). Теоретический материал в различных случаях рассматриваю в разном объеме.
Делимость натуральных чисел.
Некоторые определения:
Говорят, что натуральное число a делится на натуральное число b, если существует такое натуральное число c, что a=bc. При этом пишут: a b . В этом
случае b называют делителем числа a, а a- кратным числа b. Натуральное число называется простым , если у него нет делителей,
отличных от него самого и от единицы (например: 2, 3, 5, 7 и т. д.). Число называетсясоставным , если оно не является простым. Единица не является ни простым, ни составным.
Число n делится на простое число p в том и только в том случае, если p встречается среди простых множителей, на которые разлагается n.
Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, одновременно являющееся делителем a и делителем b, обозначается НОД (a;b) или D (a;b).
Наименьшим общим кратным называют наименьшее число, делящееся и на a, и на b, обозначается НОК (a;b) или K (a;b).
Числа a и b называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен единице.
Генрих Г.Н. | ФМШ №146 г. Пермь |
Основная теорема арифметики
Всякое натуральное число n единственным образом (с точностью до порядка множителей) раскладывается в произведение степеней простых сомножителей:
n = p1 k 1 p2 k 2 pm k m
здесь p1, p2 ,…pm - различные простыеделители числа n, а k1 , k2 , …km - степени вхождения (степени кратности) этих делителей.
Признаки делимости
∙ Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2 (то есть четная).
∙ Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
∙ Число делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, составленное из двух последних цифр, делится на 4.
∙ Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).
∙ Чтобы узнать, делится ли число на 7 (на 13), надо разбить его десятичную запись справа налево на группы по 3 цифры в каждой (самая левая группа может содержать 1 или 2 цифры), после чего взять группы с нечетными номерами со знаком «минус», а с четными номерами - со знаком «плюс». Если полученное выражение делится на 7 (на 13), то и заданное число делится на 7 (на 13).
∙ Число делится на 8 тогда и только тогда, когда трехзначное число, составленное из трех последних цифр, делится на 8.
∙ Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 9.
∙ Число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра - ноль.
∙ Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на четных местах в десятичной записи, и сумма его цифр, стоящих на нечетных местах в десятичной записи, дают одинаковые остатки при делении на 11.
Утверждения, связанные с делимостью чисел.
∙ Еслиa b иb c , тоa c .
∙ Если a m , то и ab m.
∙ Если a m и b m, то a+b m
∙ Если a+.b m и a m, то и b m
∙ Если a m и a k, причем m и kвзаимно просты, то a mk
∙ Если ab m и a взаимно просто с m, то b m
Генрих Г.Н. | ФМШ №146 г. Пермь |
∙ На занятиях по данной теме в зависимости от возраста учеников, места и времени проведения занятий, я рассматриваю различные задачи. Подбираю эти задачи, в основном, из источников, которые указаны в конце работы, в том числе и из материалов Пермского регионального турнира юных математиков прошлых лет и материалов II и III этапов Российской олимпиады школьников по математике прошлых лет.
Следующие задачи использую для проведения занятий в 5, 6, 7 классах в ШЮМ1 е при прохождении темы «Делимость чисел. Простые и составные числа. Признаки делимости».
Устные задачи.
1. К числу 15 слева и справа припишите по 1 цифре так, чтобы число делилось на 15.
Ответ: 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150.
2. К числу 10 слева и справа припишите по 1 цифре так, чтобы число делилось на 72.
Ответ: 4104.
3. Некоторое число делится на 6 и на 4. Обязательно ли оно делится на 24?
Ответ: нет, например, 12.
4. Найдите наибольшее натуральное число, кратное 36, в записи которого участвуют все цифры по 1 разу.
Ответ: 9876543120.
5. Дано число 645*7235. Замените * цифрой так, чтобы полученное число стало кратно 3. Ответ: 1, 4, 7.
6. Дано число 72*3*. Замените * цифрами так, чтобы полученное число стало кратно 45. Ответ: 72630, 72135.
«Полуустные» задачи.
1. Сколько воскресений может быть в году?
2. В некотором месяце три воскресенья пришлись на четные числа. Какой день недели был 7 числа этого месяца?
3. Начнем считать пальцы рук следующим образом: первым пусть будет большой палец, вторым – указательный, третьим – средний, четвертым – безымянный, пятым – мизинец, шестым – снова безымянный, седьмым – средний, восьмым – указательный, девятым – большой, десятым – указательный палец и т.д. Какой палец будет 2000-м?
1 ШЮМ – Школа Юных Математиков – субботняя школа при ФМШ №146
Генрих Г.Н. | ФМШ №146 г. Пермь |
При каких n число1111...111 делится на 7?
При каких n число1111...111 делится на 999 999 999?
6. Дробь b a – сократима. Будет ли сократима дробьa a + − b b ?
7. В стране Анчурии в обращении имеются купюры достоинством 1 анчур, 10 анчуров, 100 анчуров, 1000 анчуров. Можно ли отсчитать 1 000 000 анчуров с помощью 500 000 купюр?
8. Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.
1. В году может быть 365 или 366 дней, каждый седьмой день – воскресенье, значит, 365=52× 7+1 или 366=52× 7+2, их может быть 52, или 53, если воскресенье пришлось на 1 число.
2. Эти 3 воскресенья пришлись на 2, 16 и 30 числа. Значит, 7 число этого месяца будет пятницей.
3. Количество пальцев при счете будут повторяться с периодом 8, значит, достаточно посчитать остаток от деления 2000 на 8. Он равен 0. Т.к. восьмым идет указательный палец, то и 2000-ым будет указательный палец.
нацело на 7, а 111111=7× 15873. Отсюда следует, что если в записи данного числа больше 6 единиц, то после каждой 6 единицы очередной остаток равен 0. Т.о.,
число вида 1111...111 делится на 7 тогда и только тогда, когда количество его
цифр делится на 6 , т.е. n=7× t, где tÎ Z.
одновременно. В данном числе количество единиц кратно 9. Однако первое и второе такие числа 111 111 111 и 111 111 111 111 111 111 не делятся на 999 999 999. А число, в котором 18 единиц, делится на 999 999 999. При этом, начиная с 18-го, каждое 18-ое число делится на 999 999 999, т.е. n=18× t, где tÎ N.
6. Дробь | a – сократима, т.е. a=bn, где nÎ Z. Тогда перепишем дробь | a − b | ||||||
a + b | ||||||||
bn − b | b (n − 1) | n − 1 | Очевидно, что дробь a a + − b b | сократима. | ||||
bn + b | b (n + 1) | n + 1 | ||||||
7. Пусть было a купюр достоинством в 1 анчур, b – достоинством в 10 анчуров, c достоинством в 100 анчуров и d достоинством в 1000 анчуров. Получим
Деление - это арифметическое действие обратное умножению, посредством которого узнаётся, сколько раз одно число содержится в другом.
Число, которое делят, называют делимым , число, на которое делят, называют делителем , результат деления называют частным .
Подобно тому, как умножение заменяет неоднократно повторяемое сложение, деление заменяет неоднократно повторяемое вычитание. Например, число 10 разделить на 2 - значит узнать, сколько раз число 2 содержится в 10:
10 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = 0
Повторяя операцию вычитания 2 из 10, мы находим, что 2 содержится в числе 10 пять раз. Это легко проверить сложив пять раз 2 или умножив 2 на 5:
10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 · 5
Для записи деления используется знак: (двоеточие), ÷ (обелюс) или / (косая черта). Он ставится между делимым и делителем, при этом делимое записывается слева от знака деления, а делитель - справа. Например, запись 10: 5 означает, что число 10 делится на число 5. Справа от записи деления ставят знак = (равно), после которого записывают результат деления. Таким образом, полная запись деления выглядит так:
Эта запись читается так: частное десяти и пяти равняется двум или десять разделить на пять равно два.
Также деление можно рассматривать как действие, посредством которого одно число делится на столько равных частей, сколько единиц содержится в другом числе (на которое делится). Таким образом определяется сколько единиц содержится в каждой отдельной части.
Например, у нас есть 10 яблок, разделив 10 на 2 мы получим две равные части, каждая из которых содержит 5 яблок:
Проверка деления
Для проверки деления можно частное умножить на делитель (или наоборот). Если в результате умножения получится число, равное делимому, то деление выполнено верно.
Рассмотрим выражение:
где 12 - это делимое, 4 - это делитель, а 3 - частное. Теперь выполним проверку деления, умножив частное на делитель:
или делитель на частное:
Деление также можно проверить делением, для этого надо делимое разделить на частное. Если в результате деления получится число, равное делителю, то деление выполнено правильно:
Основное свойство частного
У частного есть одно важное свойство:
Частное не изменится, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же натуральное число.
Например,
32: 4 = 8, (32 · 3) : (4 · 3) = 96: 12 = 8 32: 4 = 8, (32: 2) : (4: 2) = 16: 2 = 8
Деление числа самого на себя и единицу
Для любого натурального числа a верны равенства:
a
: 1 = a
a
: a
= 1
Число 0 в делении
При делении нуля на любое натуральное число получается нуль:
0: a = 0
Делить на нуль нельзя.
Рассмотрим, почему нельзя делить на нуль. Если делимое не нуль, а любое другое число, например 4, то разделить его на нуль значило бы найти такое число, которое после умножения на нуль даёт в результате число 4. Но такого числа нет, потому что любое число после умножения на нуль даёт снова нуль.
Если же делимое тоже равно нулю, то деление возможно, но частным может служить любое число, потому что в этом случае любое число после умножения на делитель (0) даёт нам делимое (т. е. снова 0). Таким образом, деление хоть и возможно, но не приводит к единственному определённому результату.
В рамках этой статьи мы изучим общие представления, связанные с делением натуральных чисел. Их принято называть свойствами процесса деления. Мы разберем основные из них, поясним их значение и подкрепим свои рассуждения примерами.
Деление двух равных натуральных чисел
Чтобы понять, как разделить одно натуральное число на другое, равное ему, нужно вернуться к пониманию смысла самого процесса деления. От того, какой смысл мы придаем делителю, зависит конечный результат. Разберем два возможных варианта.
Итак, мы имеем a предметов (a – произвольно взятое натуральное число). Распределим предметы по группам поровну, при этом число групп должно быть равно a. Очевидно, что в каждой группе при этом будет всего один предмет.
Переформулируем немного иначе: как распределить a предметов в группы по a предметов в каждой? Сколько групп получится в итоге? Конечно, всего одна.
Подведем итоги и выведем первое свойство деления натуральных чисел одинаковой величины:
Определение 1
Деление натурального числа на равное ему дает в итоге единицу. Иначе говоря, a: a = 1 (a – любое натуральное число).
Разберем для наглядности два примера:
Пример 1
Если 450 разделить на 450 , будет 1 . Если 67 разделить на 67 , получится 1 .
Как видно, от конкретных цифр тут ничего не зависит, результат будет один и тот же при условии равенства делимого и делителя.
Деление натурального числа на единицу
Как и в предыдущем пункте, начнем с задач. Допустим, что у нас имеются любые предметы в количестве, равном a . Необходимо разделить их на некоторое количество частей по одному предмету в каждой. Понятно, что у нас выйдет a частей.
А если мы спросим: сколько предметов будет в группе, если в нее поместить a предметов? Ответ очевиден – a .
Таким образом, мы подходим к формулированию свойства деления натуральных чисел на 1:
Определение 2
При делении любого натурального числа на единицу получится то же самое число, то есть a: 1 = a .
Разберем 2 примера:
Пример 2
Если разделить 25 на 1 , получится 25 .
Пример 3
Если разделить 11 345 на 1 , результатом будет 11 345 .
Отсутствие переместительного свойства для деления натуральных чисел
В случае с умножением мы свободно можем поменять множители местами и получить тот же результат, однако на деление это правило не распространяется. Менять местами делимое и делитель можно только в случае, если они являются равными натуральными числами (это свойство мы уже рассматривали в первом пункте). То есть можно сказать, что переместительное свойство распространяется только на случай, если в делении участвуют равные натуральные числа.
В остальных случаях менять местами делимое с делителем нельзя, поскольку это приведет к искажению результата. Объясним подробнее, почему.
Разделять любые натуральные числа на другие, также произвольно взятые, мы можем не всегда. Например, если делимое меньше делителя, то такой пример решить мы не можем (как делить натуральные числа с остатком, мы разберем в отдельном материале). Иными словами, если некоторое натуральное число, равное a , мы можем разделить на b ? И их значения при этом не равны, то a будет больше b , а запись b: a смысла иметь не будет. Выведем правило:
Определение 3
Деление суммы 2-х натуральных чисел на другое натуральное число
Чтобы лучше объяснить это правило, возьмем наглядные примеры.
У нас есть группа детей, между которыми надо поровну разделить мандарины. Фрукты сложены в два пакета. Возьмем условие, что количество мандаринов таково, что можно поделить их на всех детей без остатка. Можно пересыпать мандарины в один общий пакет, а потом поделить и раздать. А можно поделить сначала фрукты из одного пакета, а потом из другого. Очевидно, что и в том, и в другом случае никто не будет в обиде и все будет разделено поровну. Следовательно, мы можем сказать:
Определение 4
Результат деления суммы 2 -х натуральных чисел на другое натуральное число равен результату сложения частных от деления каждого слагаемого на то же натуральное число, т.е. (a + b) : c = a: c + b: c . При этом значения всех переменных – это натуральные числа, значение a можно разделить на c , и b также можно разделить на c без остатка.
У нас получилось равенство, в правой части которого первым выполняется деление, а вторым – сложение (вспомним, как правильно выполнять арифметические действия по порядку).
Докажем справедливость получившегося равенства на примере.
Пример 4
Возьмем для него подходящие натуральные числа: (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 .
Теперь вычислим и узнаем, верное ли оно. Подсчитаем значение левой части: 18 + 36 = 54 , и (18 + 36) : 6 = 54: 6 .
Результат мы помним из таблицы умножения (если забыли, найдите в ней нужное значение): 54: 6 = 9 .
Вспоминаем, сколько будет 18: 6 = 3 и 36: 6 = 6 . Значит, 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9 .
Получается верное равенство: (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 .
Сумма натуральных чисел, которая стоит в примере в качестве делимого, может быть не только 2 , но и 3 и больше. Это свойство в комбинации с сочетательным свойством сложения натуральных чисел дает нам возможность выполнять и такие подсчеты.
Пример 5
Так, (14 + 8 + 4 + 2) : 2 будет равно 14: 2 + 8: 2 + 4: 2 + 2: 2 .
Деление разности 2-х натуральных чисел на другое натуральное число
Подобным образом можно вывести правило для разности натуральных чисел, которую мы будем делить на другое натуральное число:
Определение 5
Результат деления разности двух натуральных чисел на третье равен тому, что мы получим, отняв от частного уменьшаемого и третьего числа частное вычитаемого и третьего числа.
Т.е. (a - b) : c = a: c – b: c . Значения переменных – натуральные числа, при этом a больше b или равно ему, a и b можно разделить на c .
Докажем справедливость этого правила на примере.
Пример 6
Подставим подходящие значения в равенство и вычислим: (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 . 45 - 25 = 20 (о том, как находить разность натуральных чисел, мы уже писали ранее). (45 - 25) : 5 = 20: 5 .
По таблице умножения вспоминаем, что результат будет равен 4 .
Считаем правую часть: 45: 5 - 25: 5 . 45: 5 = 9 , а 25: 5 = 5 , в итоге 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4 . 4 = 4 , выходит, что (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 – верное равенство.
Деление произведения двух натуральных чисел на другое натуральное число
Вспомним о том, какая связь существует между делением и умножением, тогда свойство деления произведения на натуральное число, равное одному из множителей, будет нам очевидно. Выведем правило:
Определение 6
Если разделить произведение двух натуральных чисел на третье, равное одному из множителей, в итоге мы получим число, равное другому множителю.
В буквенном виде это можно записать как (a · b) : a = b или (a · b) : b = a (значения a и b представляют собой натуральные числа).
Пример 7
Так, результат деления произведения 2 и 8 на 2 будет равен 8 , а (3 · 7) : 7 = 3 .
А как быть в случае, если делитель не равен ни одному из множителей, которые образуют делимое? Тогда здесь действует другое правило:
Определение 7
Результат деления произведения двух натуральных чисел на третье натуральное число равен тому, что получится, если разделить на это число один из множителей и результат умножить на другой множитель.
Мы получили весьма неочевидное на первый взгляд утверждение. Однако если учесть, что умножение натуральных чисел, по сути, сводится к сложению равных по значению слагаемых (см. материал об умножении натуральных чисел), то можно вывести этой свойство из другого, о котором мы говорили чуть выше.
Запишем это правило в буквенном виде (значения всех переменных – натуральные числа).
Если a мы можем разделить на c , то будет верно (a · b) : c = (a: c) · b .
Если b делится на c , то верно (a · b) : c = a · (b: c) .
Если и a , и b делятся на c , то можем приравнять одно равенство к другому: (a · b) : c = (a: c) · b = a · (b: c) .
С учетом рассмотренного выше свойства деления произведения на другое натуральное число будут верны равенства (8 · 6) : 2 = (8: 2) · 6 и (8 · 6) : 2 = 8 · (6: 2) .
Мы можем записать их в виде двойного равенства: (8 · 6) : 2 = (8: 2) · 6 = 8 · (6: 2) .
Деление натурального числа на произведение 2-х других натуральных чисел
И вновь мы начнем с примера. У нас есть некоторое количество призов, обозначим его a . Их надо поровну распределить между участниками команд. Обозначим число участников буквой c , а команд – буквой b . При этом возьмём такие значения переменных, при которых запись деления будет иметь смысл. Задачу можно решить двумя разными способами. Рассмотрим оба.
1. Можно вычислить общее количество участников, умножив b на c , после чего разделить все призы на полученное число. В буквенном виде это решение можно записать как a: (b · c) .
2. Можно поделить сначала призы на количество команд, а потом распределить их внутри каждой команды. Запишем это как (a: b) : c .
Очевидно, что оба способа дадут нам идентичные ответы. Поэтому оба равенства мы можем приравнять друг к другу: a: (b · c) = (a: b) : c . Это и будет буквенная запись свойства деления, которое мы рассматриваем в этом пункте. Сформулируем правило:
Определение 8
Результат деления натурального числа на произведение равен числу, которое мы получим, разделив это число на один из множителей и получившееся частное разделить на другой множитель.
Пример 8
Приведем пример задачи. Докажем, что справедливо равенство 18: (2 · 3) = (18: 2) : 3 .
Подсчитаем левую часть: 2 · 3 = 6 , а 18: (2 · 3) – это 18: 6 = 3 .
Считаем правую часть: (18: 2) : 3 . 18: 2 = 9 , а 9: 3 = 3 , тогда (18: 2) : 3 = 3 .
У нас получилось, что 18: (2 · 3) = (18: 2) : 3 . Это равенство иллюстрирует нам свойство деления, которое мы привели в данном пункте.
Деление нуля на натуральное число
Что такое нуль? Ранее мы условились, что он означает отсутствие чего-либо. Нуль мы не относим к натуральным числам. Получается, что, если мы разделим нуль на натуральное число, это будет равнозначно попытке разделить пустоту на части. Понятно, что в итоге мы все равно получим «ничто», на сколько бы частей мы его не делили. Выводим отсюда правило:
Определение 9
При делении нуля на любое натуральное число мы получим нуль. В буквенном виде это записывается как 0: a = 0 , при этом значение переменной может быть любое.
Пример 9
Так, например, 0: 19 = 0 , и 0: 46869 тоже будет равно нулю.
Деление натурального числа на нуль
Это действие выполнить нельзя. Давайте выясним, почему именно.
Возьмем произвольное число a и предположим, что его можно разделить на 0 и получить в итоге некое число b . Запишем это как a: 0 = b . Теперь вспомним, как связано между собой умножение и деление, и выведем равенство b · 0 = a , которое также должно быть справедливым.
Но ранее мы уже поясняли свойство умножения натуральных чисел на ноль. Согласно ему b · 0 = 0 . Если сопоставить полученные равенства, у нас получится, что a = 0 , а это противоречит исходному условию (ведь нуль не является натуральным числом). Выходит, что у нас получилось противоречие, которое доказывает невозможность такого действия.
Определение 10
Делить натуральное число на нуль нельзя.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Однозначные натуральные числа легко делить в уме. Но как делить многозначные числа? Если в числе уже более двух разрядов, устный счет может занять много времени, да и вероятность ошибки при операциях с многоразрядными числами возростает.
Деление столбиком - удобный метод, часто применяемый для операции деления многозначных натуральных чисел. Именно этому методу и посвящена данная статья. Ниже мы рассмотрим, как выполнять деление столбиком. Сначала рассмотрим агоритм деления в столбик многозначного числа на однозначное, а затем - многозначного на многозначное. Помимо теории в статье приведены практические примеры деления в столбик.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Удобнее всего вести записи на бумаге в клетку, так как при расчетах разлиновка не даст вам запутаться в разрядах. Сначала делимое и делитель записываются слева направо в одну строчку, а затем разделяются специальным знаком деления в столбик, который имеет вид:
Пусть нам нужно разделить 6105 на 55 , запишем:
Промежуточные вычисление будем записывать под делимым, а результат запишется под делителем. В общем случае схема деления столбиком выглядит так:
Следует помнить, что для вычислений понадобится свободное место на странице. Причем, чем больше разница в разрядах делимого и делителя, тем больше будет вычислений.
Например, для деления чисел 614 808 и 51 234 понадобится меньше места, чем для деления числа 8 058 на 4. Несмотря на то, что во втором случае числа меньше, разница в числе их разрядов больше, и вычисления будут более громоздкими. Проиллюстрируем это:
Практические навыки удобнее всего отрабатывать на простых примерах. Поэтому, разделим числа 8 и 2 в столбик. Конечно, данную операцию легко произвести в уме или по таблице умножения, однако провести подробный разбор будет полезно для наглядности, хоть мы и так знаем, что 8 ÷ 2 = 4 .
Итак, сначала запишем делимое и делитель согласно методу деления в столбик.
Следующим шагом нужно выяснить, сколько делителей содержит делимое. Как это сделать? Последовательно умножаем делитель на 0 , 1 , 2 , 3 . . Делаем это до тех пор, пока в результате не получится число, равное или большее, чем делимое. Если в результате сразу получается число, равное делимому, то под делителем записываем то число, на которое умножали делитель.
Иначе, когда получается число, большее чем делимое, под делителем записываем число, вычисленное на предпоследнем шаге.На место неполного частного записываем то число, на которое умножался делитель на предпоследнем шаге.
Вернемся к примеру.
2 · 0 = 0 ; 2 · 1 = 2 ; 2 · 2 = 4 ; 2 · 3 = 6 ; 2 · 4 = 8
Итак, мы сразу получили число, равное делимому. Записываем его под делимым, а число 4 , на которое мы умножали делитель, записываем на место частного.
Теперь осталось вычесть числа под делителем (также по методу столбика). В нашем случае 8 - 8 = 0 .
Данный пример - деление чисел без остатка. Число, получащееся после вычитания - это остаток деления. Если оно равно нулю, значит числа разделились без остатка.
Теперь рассмотрим пример, когда числа делятся с остатком. Разделим натуральное число 7 на натуральное число 3 .
В данном случае, последовательно умножая тройку на 0 , 1 , 2 , 3 . . получаем в результате:
3 · 0 = 0 < 7 ; 3 · 1 = 3 < 7 ; 3 · 2 = 6 < 7 ; 3 · 3 = 9 > 7
Под делимым записываем число, полученное на предпоследнем шаге. По делителем записываем число 2 - неполное частное, полученное на предпоследнем шаге. Именно на двойку мы умножали делитель, когда получили 6 .
В завершение операции вычитаем 6 из 7 и получаем:
Данный пример - деление чисел с остатком. Неполное частное равно 2 , а остаток равен 1 .
Теперь, после рассмотрения элементарых примеров, перейдем к делению многозначных натуральных чисел на однозначные.
Алгоритм деления столбиком будем рассматривать на примере деления многозначного числа 140288 на число 4 . Сразу скажем, что понять суть метода гораздо легче на практических примерах, и данный пример выбран не случайно, так как иллюстрирует все возможные нюансы деления натуральных чисел столбиком.
1. Запишем числа вместе с символом деления столбиком. Теперь смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Возможны два случая: число, определяемое этой цифрой, больше, чем делитель, и наоборот. В первом случае мы работаем с этим числом, во втором - дополнительно берем следующую цифру в записи делимого и работаем с соответствующим двузначным числом. Согласно с этим пунктом, выделим в записе примера число, с которым будем работать первоначально. Это число - 14 , так как первая цифра делимого 1 меньше, чем делитель 4 .
2. Определяем, сколько раз числитель содержится полученном числе. Обозначим это число как x = 14 . Последовательно умножаем делитель 4 на каждый член ряда натуральных чисел ℕ , включая нуль: 0 , 1 , 2 , 3 и так далее. Делаем это, пока не получим в результате x или число, большее чем x . Когда в результате умножения получается число 14 , записываем его под выделенным числом по правилам записи вычитания в столбик. Множитель, на который умножался делитель, записываем под делітелем. Если в результате умножения получается число, большее чем x , то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного (под делителем) пишем множитель, на который на предпоследнем шаге проводилось умножение.
В соответствии с алгоритмом имеем:
4 · 0 = 0 < 14 ; 4 · 1 = 4 < 14 ; 4 · 2 = 8 < 14 ; 4 · 3 = 12 < 14 ; 4 · 4 = 16 > 14 .
Под выделенным числом записываем число 12 , полученное на предпоследнем шаге. На место частного записываем множитель 3 .
3. Столбиком вычитаем из 14 12 , результат записываем под горизонтальной чертой. По аналогии с первым пунктом сравниваем полученное число с делителем.
4. Число 2 меньше числа 4 , поэтому записываем под горизонтальной чертой после двойки цифру,расположенную в следующем разряде делимого. Если же в делимом более нет цифр, то на этом операция деления заканчивается. В нашем примере после полученного в предыдущем пункте числа 2 записываем следубщую цифру делимого - 0 . В итоге отмечаем новое рабочее число - 20 .
Важно!
Пункты 2 - 4 повторяются циклически до окончания операции деления натуральных чисел столбиком.
2. Снова посчитаем, сколько делителей содержится в числе 20 . Умножая 4 на 0 , 1 , 2 , 3 . . получаем:
Так как мы получили в результе число, равное 20 , записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, в следубщем разряде, записываем 5 - множитель, на который проводилось умножение.
3. Проводим вычитание столбиком. Так как числа равны, получаем в результате число ноль: 20 - 20 = 0 .
4. Мы не будем записывать число ноль, так как данный этап - еще не окончание деления. Просто запомним место, куда мы могли его записать и запишем рядом число из следующего разряда делимого. В нашем случае - число 2 .
Принимаем это число за рабочее и снова выполняем пункты алгоритма.
2. Умножаем делитель на 0 , 1 , 2 , 3 . . и сравниваем результат с отмеченным числом.
4 · 0 = 0 < 2 ; 4 · 1 = 4 > 2
Соответственно, под отмеченным числом записываем число 0 , и под делителем в следующий разряд частного также записываем 0 .
3. Выполняем операцию вычитания и под чертой записываем результат.
4. Справа под чертой добавляем цифру 8 , так как это следующая цифра делимого числа.
Таким образом, получаем новое работчее число - 28 . Снова повторяем пункты алгоритма.
Проделав все по правилам, получаем результат:
Переносим под черту вниз последнюю цифру делимого - 8 . В последний раз повторяем пункты алгоритма 2 - 4 и получаем:
В самой нижней строчке записываем число 0 . Это число записывается только на последнем этапе деления, когда операция завершена.
Таким образом, результатом деления числа 140228 на 4 является число 35072 . Данный пример разобран очень подробно, и при решении практических заданий расписывать все действия столь досканально не нужно.
Приведем другие примеры деления чисел в столбик и примеры записи решений.
Пример 1. Деление натуральных чисел в столбик
Разделим натуральное число 7136 на натуральное число 9 .
После второго, третьего и четвертого шага алгоритма запись примет вид:
Повторим цикл:
Последний проход, и поучаем результат:
Ответ: Неполное неполное частное чисел 7136 и 9 равно 792 , а остаток равен 8 .
При решении практических примеров в иделе вообще не использовать пояснения в виде словесных комментариев.
Пример 2. Деление натуральных чисел в столбик
Разделим число 7042035 на 7 .
Ответ: 1006005
Алгоритм деления многозначных чисел в столбик очень похож на рассмотренный ранее алгорим деления многозначного числа на однозначное. Если быть точнее, изменения касаются только первого пункта, а пункты 2 - 4 остаются неизменными.
Если при делении на однозначное число мы смотрели только на первую цифру делимого, то теперь будем смотреть на столько цифр, сколько есть в делителе.Когда число, определяемое этими цифрами, больше делителя, принимам его за рабочее число. Иначе - добавляем еще одну цифру из следующего разряда делимого. Затем следуем пунктам описанного выше алгоритма.
Рассмотрим применение алгоритма деления многозначных чисел на примере.
Пример 3. Деление натуральных чисел в столбик
Разделим 5562 на 206 .
В записи делителя участвуют три знака, поэтому в делимом сразу выделим число 556 .
556 > 206 , поэтому принимаем это число за рабочее и переходим к пункту 2 аглоритма.
Умножаем 206 на 0 , 1 , 2 , 3 . . и получаем:
206 · 0 = 0 < 556 ; 206 · 1 = 206 < 556 ; 206 · 2 = 412 < 556 ; 206 · 3 = 618 > 556
618 > 556 , поэтому под делителем записываем результат предпоследнего действия, а под делимым - множитель 2
Выполняем вычитание столбиком
В результате вычитания имеем число 144 . Справа от результата под чертой записываем число из соответствующего разряда делимого и получаем новое рабочее число - 1442 .
Повторяем с ним пункты 2 - 4 . Получаем:
206 · 5 = 1030 < 1442 ; 206 · 6 = 1236 < 1442 ; 206 · 7 = 1442
Под отмеченным рабочим числом записываем 1442 , а в следующий разряд частного записываем цифру 7 - множитель.
Выполняем вычитание в столбик, и понимаем, что на этом операция деления окончена: в делителе более нет цифр, чтобы записать их правее от результата вычитания.
В завершение данной темы приведем еще один пример деления многозначных чисел в столбик, уже без пояснений.
Пример 5. Деление натуральных чисел в столбик
Разделим натуральное число 238079 на 34 .
Ответ: 7002
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Деление натуральных чисел
Урок комплексного применения знаний и способов действий
на основе системно - деятельностного метода обучения
5 класс
Ф. И. О. Жукова Надежда Николаевна
Место работы : МАОУ СОШ №6 г.Пестово
Должность : учитель математики
Тема Деление натуральных чисел
(учебное занятие комплексного применения знаний и способов действий)
Цель: создание условий для совершенствования знаний, умений и навыков деления натуральных чисел и способов действий в измененных условиях и нестандартных ситуациях
УДД:
Предметные
Моделируют ситуацию, иллюстрирующие арифметическое действие и ход его выполнения, выбирают алгоритм решения нестандартной задачи, решают уравнения на основе зависимости между компонентами и результатом арифметического действия.
Метапредметные
Регулятивные : определяют цель учебной деятельности, осуществляют средства ее достижения.
Познавательные : передают содержание в сжатом или развернутом виде.
Коммуникативные : умеют высказать свою точку зрения, пытаясь ее обосновать, приводя аргументы.
Личностные :
Объясняют самому себе свои отдельные ближайшие цели саморазвития, дают позитивную самооценку результата учебной деятельности, понимают причины успеха учебной деятельности, проявляют познавательный интерес к изучению предмета.
Ход урока
1.Организационный момент.
В труде применяем сложение,
Сложению честь и почет!
К умениям прибавим терпение,
И сумма успех принесет.
Нельзя забывать вычитание.
Чтоб зря не потратился день,
Из суммы стараний и знаний
Мы вычтем безделье и лень!
В труде умножение поможет,
Чтобы полезной работа была,
Стократ трудолюбие умножим-
Умножатся наши дела.
Деление служит на деле,
Оно нам поможет всегда.
Кто трудности поровну делит-
Разделит успехи труда!
Поможет любое из действий-
Они нам удачу несут.
И в жизни поэтому вместе
Шагают наука и труд.
II. Формулирование темы и задач урока
Вам понравилось стихотворение? Чем оно вам понравилось?
(ответы учащихся)
Очень хорошо вы сказали. Прочитанные строки очень хорошо подходят к нашему сегодняшнему уроку. Вспомните услышанное вами стихотворение и попробуйте определить тему урока.
(Деление натуральных чисел ) (слайд 1) . Запишите число и тему урока в тетради.
Сегодня первый урок по теме «Деление чисел»? Что у вас не получается еще и чему бы вы хотели научиться? (ответы учащихся)
Итак, сегодня мы будем совершенствовать навыки деления, будем учиться обосновывать свои решения,находить ошибки и исправлять их, оценивать свою работу и работу своих одноклассников.
III .Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности
- Мотивация учения школьников
Делению человечество обучалось дольше всего. До сих пор в Италии сохранилась поговорка «Трудная вещь - деление». Это трудно и с точки зрения математики, и технически, и нравственно. Не каждому человеку дано умение делить и делиться.
В средние века человек, усвоивший деление, получал звание «доктор абака »
Абак-это счеты.
Сначала знака для действия деления не было. Это действие писали словом.
А математики Индии записывали деление первой буквой названия действия.
Знак двоеточия для обозначения деления вошел в употребление в 1684г благодаря немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу.
Деление еще обозначают косой или горизонтальной чертой. Этот знак впервые стал использовать итальянский ученый Фибоначчи.
- Как выполняем деление многозначных чисел? (Уголком)
А вы помните как называются компоненты при делении? (слайд 2)
- А вы знаете, что компоненты деления: делимое, делитель,частное впервые в России ввел Магницкий.Кто это и как этого ученого звали по-настоящему? Подготовьте ответы на эти вопросы к следующему уроку.
2) Актуализация опорных знаний учащихся
- Графический диктант
1.Деление - это действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель.
2.Деление обладает переместительным свойством.
3.Чтобы найти делимое, надо частное умножить на делитель.
4. Делить можно на любое число.
5.Чтобы найти делитель, надо делимое разделить на частное.
6.Равенство с буквой значение которой надо найти, называют уравнением
(Обозначения: да; - нет) (слайд 3)
КЛЮЧ: (слайд 4)
Б) Индивидуальная работа учащихся по карточкам.
(одновременно с диктантом)
- Докажите, что число 4 - корень уравнения 44: х + 9 =20.
- Решение . Если х=4.то 44:4+9=20
11+9=20
20=20,верно.
2.Вычисли: а) 16224: 52 = (312) г) 13725:45 = (305)
Б) 4230:18 = (235) д) 54756: 39 = (1404)
в) 9800: 28= (350)
3. Решите уравнение: 124: (у – 5) = 31
Ответ: у=9
4. Двое учащихся работают по карточкам: решают по 3 задания и задают друг другу вопросы по теории
в) Коллективная проверка индивидуальной работы (слайд 5)
(Учащиеся задают отвечающим вопросы по теории)
- Применение знаний и способов действий
А) Самостоятельная работа с самопроверкой (Слайды 6 -7)
Выберите и решите только те примеры, в которых в частном три цифры:
Вариант 1 Вариант 2
А)2888: 76 = (38) а)2491:93= (47)
Б)6539:13 = (503) б)5698: 14= (407)
В) 5712: 28 = (204) в)9792: 32= (306)
Б)Физкультминутка.
Дружно встали, потянулись.
Руки на пояс, повернулись.
Вправо, влево, раз, другой,
Повертели головой.
На носочках постояли,
Спинку стрункой подержали
А теперь, тихонько сели,
Мы с вами еще не все успели.
В)Работа в парах (слайд 8)
(во время работы в парах при необходимости учитель дает консультации)
№ 484 (учебник, стр76)
Х см-длина одной из сторон восьмиугольника
4х+4·4 =24
4х+16=24
4х=24-16
4х=8
Х=2
2 см-длина одной из сторон восьмиугольника
Решить уравнения:
а) 96: х = 8 б) х: 60 = 14 в) 19 * х = 76
Г)Работа в группах
Прежде чем приступить к выполнению заданий, прочитайте правила работы в группах
Группа I (1ряд)
Правила работы в группах
Исправь ошибки:
А)9100:10=91; а) 9100:10 = 910
Б)5427: 27=21; б) 5427: 27 = 201
В)474747: 47=101; в) 474 747: 47 = 10101
Г)42·11=442. г) 42 · 11 = 462
Группа II (2ряд)
Правила работы в группах
- Активно участвуй в совместной работе.
- Внимательно выслушивай собеседника.
- Не перебивай товарища, пока он не закончит свой рассказ.
- Выскажи свою точку зрения по данному вопросу, будь при этом вежлив.
- Не смейся над чужими недостатками и ошибками, но тактично укажи на них.
Проверьте, верно ли выполнено задание. Предложите свое решение
Найдите значение выражения х:19 +95, если х =1995.
Решение.
Если х=1995, то х:19 +95 = 1995:19 +95=15+95=110
(1995: 19 + 95 = 200)
Группа III (3 ряд)
Правила работы в группах
- Активно участвуй в совместной работе.
- Внимательно выслушивай собеседника.
- Не перебивай товарища, пока он не закончит свой рассказ.
- Выскажи свою точку зрения по данному вопросу, будь при этом вежлив.
- Не смейся над чужими недостатками и ошибками, но тактично укажи на них.
Докажите, что при решении уравнения допущена ошибка.
Решите уравнение.
124: (у-5) =31
У-5 = 124·31 у – 5 =124: 31
У-5 = 3844 у – 5 = 4
У = 3844+ 5 у = 4+ 5
У = 3849 у = 9
Ответ:3849 Ответ: 9
Д) Взаимопроверка работы в парах
Учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют работы друг друга, подчеркивают ошибки простым карандашом и выставляют отметку
Е) Отчет групп о проделанной работе
(Слайды 5-7)
На слайде демонстрируется задание для каждой группы. Руководитель группы объясняет допущенную ошибку и записывает на доске решение, предложенное группой.
V. Контроль знаний учащихся
Индивидуальное тестирование «Момент истины»
Тест по по теме «Деление»
Вариант1
1.Найдите частное чисел 2876 и 1.
а) 1 ; б) 2876; в) 2875; г) свой ответ_______________
2.Найдите корень уравнения 96: х =8
а) 88 ; б) 12; в) 768; г) свой ответ ________________
3 .Найдите частное чисел 3900 и 13.
а) 300 ; б) 3913; в) 30; г) свой ответ_______________
4 .В одной коробке 48 карандашей, а в другой в 4 раза меньше. Сколько карандашей в двух коробках?
а) 192; б) 60; в) 240; г) свой ответ________________
5. Найдите два числа, если одно из них в 3 раза больше другого, а их
Их сумма равна 32.
а) 20 и 12 ; б) 18 и 14; в)26 и 6; г) свой ответ_________
Тест по по теме «Деление»
Фамилия, имя___________________________________________
Вариант 2
Подчеркните правильный ответ или запишите свой ответ
1 .Найдите частное чисел 2563 и 1.
а) 1 ; б) 2563 ; в) 2564; г) свой ответ_______________
2. Найдите корень уравнения 105: х = 3
а) 104 ; б) 35 ; в) 315 ; г) свой ответ ________________
3 .Найдите частное чисел 7800 и 13.
а)600 ; б) 7813 ; в) 60; г) свой ответ_______________
4 . В одной кадке пасечник имел 24 кг. меда, а в другой в 2 раза больше. Сколько килограммов меда было у пасечника в двух кадках?
а) 12 ; б) 72 ; в) 48 ; г) свой ответ_______________
5. Найдите два числа, если одно из них в 4 раза меньше другого, а
Их разность равна 27
А) 39 и 12 ; б) 32 и 8; в) 2 и 29; г) свой ответ_____________
Ключ для проверки теста
Вариант 1
Номер задания | |||||
9; 36 |
VI. Итог урока. Домашнее задание.
Дом. Задание. П.12, №520,523,528 (сочинение).
Итак, наш урок подошел к концу. Я хотела бы взять у вас интервью об итогах вашей работы.
Продолжите предложения:
Своей работой на уроке я... доволен\ не доволен
У меня получилось …
Было трудно...
Материал урока мне был … полезен/ бесполезен
Чему учит математика?