Осевая симметрия в природе. Что такое симметрия? Понятие «симметрия» выросло на изучении живых организмов и живого вещества, в первую очередь человека

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Гуляя осенью в роще, я собрал красивые опавшие листья и принес их домой. Мой папа (Радионов А. А., научный сотрудник Южного математического института ВНЦ РАН), глядя на них, проронил фразу: вот ещё один пример симметрии в природе. Я заинтересовался и первым делом посмотрел в словаре С.И.Ожегова, что означает слово «симметрия», а потом стал приставать к отцу с расспросами: как он определил, что перед нами «симметрия» и каких видов бывает симметрия? Это и послужило поводом изучить этот вопрос.

Цель работы: показать, какие виды симметрии наблюдаются в природе, и как они описываются при помощи математики.

Моей задачей было:

Дать описание различных видов симметрии;

Попытаться самостоятельно найти математические соотношения в строении листьев деревьев.

Объект исследования: кленовые и виноградные листья.

Предмет исследования: симметрия в природных объектах.

Методы, используемые в работе: анализ литературы по теме, научный эксперимент.

Данная работа относится к реферативно-экспериментальной.

Значимость полученных результатов заключается в том, что листья растений могут быть изучены математически, измерены инструментально и симметричность этих природных объектов может быть проверена.

Симметрия в окружающей нас природе

Симметрия (древнегреческое - «соразмерность») - закономерное расположение подобных (одинаковых) частей тела или форм живого организма относительно центра или оси симметрии. При этом подразумевается, что соразмерность - часть гармонии, правильного сочетания частей целого .

Гармония - греческое слово, обозначающее «согласованность, соразмерность, единство частей и целого». Внешне гармония может проявляться в симметрии и пропорциональности.

Симметрия очень распространенное явление, ее всеобщность служит эффективным методом познания природы. В живой природе симметрия не абсолютна и всегда содержит некоторую степень асимметрии. Асимметрия - (греческое «без» и «симметрии») - отсутствие симметрии.

Внимательно рассматривая природные явления, можно увидеть общее даже в самых незначительных вещах и деталях, найти проявления симметрии. Форма листа дерева не является случайной: она строго закономерна. Листок как бы склеен из двух более или менее одинаковых половинок, одна из которых расположена зеркально относительно другой. Симметрия листка повторяется для всех листиков данного дерева. Это пример зеркальной симметрии - когда объект можно разделить на правую и левую или верхнюю и нижнюю половины воображаемой осью, называемой осью зеркальной симметрии. Находящиеся по разные стороны оси половинки почти идентичны друг другу. Зеркало в точности воспроизводит то, что оно «видит», но рассмотренный порядок является обращенным: правая рука у двойника в зеркале оказывается левой. Зеркальную симметрию можно обнаружить повсюду: в листьях и цветах растений. Более того, зеркальная симметрия присуща телам почти всех живых существ (Приложение №1, рис. а).

Многие цветы обладают радиальной симметрией: внешний вид узора не изменится, если его повернуть на некоторый угол вокруг его центра. Такая симметрия называется поворотной симметрией или осевой симметрией . При этой симметрии лист или цветок, поворачиваясь вокруг оси симметрии, переходит сам в себя. Если разрезать стебель растения или ствол дерева, то на срезе зачастую отчетливо видна радиальная симметрия в виде полосок (Приложение №1, рис. б).

Поворот на определенное число градусов, сопровождаемый увеличением размера вдоль оси поворота (или уменьшением размера или же без изменения размера), порождает винтовую симметрию - симметрию винтовой лестницы (Приложение №1, рис. в).

Симметрия подобия . Еще один вид симметрии - симметрия подобия, связанная с одновременным увеличением или уменьшением подобных частей фигуры и расстояний между ними. Такую симметрию демонстрируют все растущие организмы: маленький росток любого растения содержит все особенности зрелого растения. Симметрия подобия повсеместно проявляется в природе на всем, что растет: в растущих предметах растений, животных и кристаллов (Приложение №1, рис. г).

В математике самоподобные геометрические объекты называются фракталами . Для фракталов характерно, что малая часть геометрической кривой подобна всей кривой. На рисунке представлен процесс построения самоподобных кривой Коха и снежинки Коха (первые 4 шага). (приложение №2)

Любой отрезок построенной таким образом кривой имеет бесконечную длину. Фракталы характеризуются фрактальной размерностью. Термин фрактал и фрактальная размерность были введены математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 г . Фрактальная размерность была введена как коэффициент, описывающий геометрически сложные формы, для которых детали являются более важными, чем полный рисунок.

Размерность 2 означает, что любую кривую мы можем однозначно определить двумя числами. Поверхность сферы двумерна (ее можно определить с помощью двух углов широты и долготы). Размерность определяется следующим образом: для одномерных объектов - увеличение в два раза их линейного размера приводит к увеличению размеров тоже в два раза. Для двумерных объектов увеличение в два раза линейных размеров приводит к увеличению размера (площадь прямоугольника) в четыре раза. Для 3-х мерных объектов увеличение линейных размеров в два раза приводит к увеличению объема в восемь раз.

Размерность D может быть определена математически с помощью правила:

где N -N число деталей, - коэффициент масштаба, D - размерность.

Отсюда для размерности получим формулу:

Возьмем отрезок, поделим его на три равные части (N = 3), каждая полученная часть будет длиной в 3 раза меньше (), чем длина начального отрезка:

следовательно для отрезка размерность равняется одному.

Аналогично для площади: если измерить площадь квадрата, а затем измерить площадь квадрата со стороной длинною от длины стороны начального квадрата, то она окажется в 9 раз меньше (N = 9) площади начального квадрата:

для плоской фигуры размерность равняется двум. Для пространственной фигуры, такой как куб, вычисленная размерность равняется трем.

Аналогичные вычисления для кривой Коха дают результат:

следовательно фракталам соответствует не целая, а дробная размерность.

Проведение научного эксперимента

Обоснование выбора:

В качестве экспериментального материала выбраны опавшие листья деревьев: клена и винограда на внешний вид симметричные (осевая, зеркальная симметрия).

Последовательность эксперимента:

Измерение площади левой и правой частей листа;

Измерение углов между прожилками на листе;

Измерение длин прожилок, имеющихся на листе;

Запись полученных результатов;

Поиск математических закономерностей;

Выводы по полученным результатам.

Список того, что надо изучить на листе дерева:

Симметрия;

Фракталы;

Геометрическая прогрессия;

Логарифмы.

Рассмотрение опавших листьев показало, что листья симметричны относительно своей оси. Более подробное рассмотрение показывает, что симметрия незначительно нарушается на краях листа, а в некоторых случаях и внутри поверхности листа.

Чтобы убедиться, насколько левая и правая части листа одинаковы, были проведены следующие измерения:

1) измерение площади левой и правой частей листа;

2) измерение углов, под которым пересекаются прожилки в левой и правой частях листа;

3) измерение длины основных прожилок в левой и правой частях листа;

4) измерение длины вторичных прожилок в левой и правой частях листа;

5) измерение длины самых мелких прожилок листа.

Для удобства проведения измерений все листы были сначала отсканированы, а затем распечатаны на бумаге на черно-белом принтере с точным сохранением размеров и деталей изображения. На бумажном изображении листа и проводились измерения. Для измерения площади левой и правой частей листа на изображение дополнительно накладывалась сетка с шагом 5 мм. Площади левой или правой частей листа подсчитывались по количеству заполняемых листом маленьких квадратиков площадью 5x5 мм 2 . Некоторые квадратики оказывались частично заполненными: заполненные более половины учитывались при подсчете, а заполненные менее чем на половину не учитывались в подсчетах.

На фотографиях показан процесс проведения измерений (Приложение № 3).

Кленовый лист

1) измерение площади левой части показало 317 квадратиков по 25 мм 2 или 79,25 квадратных сантиметров. Измерение правой части показало 312 квадратиков по 25 мм 2 или 78 квадратных сантиметров. С учетом погрешности в точности измерений полученный результат говорит о том, что приблизительно площади левой и правой частей листа одинаковы (Приложение №4, рис. 1).

2) Определение углов, под которыми расходятся прожилки листа от его основания показывает, что эти углы приблизительно одинаковы и составляют около 25 градусов. В правой части листа при движении по часовой стрелки от середины листа, первая прожилка отстоит на 26 градусов, вторая - на 52 градуса, третья - на 74 градуса. А в левой части листа при движении против часовой стрелки от оси листа, первая прожилка отклоняется на 24 градуса, вторая - на 63 градуса, третья - на 80 градусов. На рисунке 2 Приложения №4 представлены эти измерения: видно, что при всей симметричности листа, наблюдаются некоторые незначительные нарушения симметрии.

3) Измерения длин прожилок. На рисунке вместе с углами отмечены измеренные длины основных прожилок. В тех случаях, когда прожилка листа оказывалась сильно искривленной, её длина измерялась по длине ломанной кривой: изогнутая прожилка делилась на три приблизительно одинаковые части и каждая часть измерялась как прямая - линейкой. Длина основных прожилок в правой части листа составила 30,2 см. В левой части листа - 30,6 см. Общая длина вместе с центральной прожилкой - 75 см.

Дополнительно, были измерены длины всех вторичных, малых прожилок листа, которые выходят не из основания листа. В левой части листа их суммарная длина равняется 52,6 см, а в правой части листа - 51.1 см. Общая длина составляет 103,7 см (Приложение №4, рис. 3).

Удивительно, но суммарная длина малых прожилок листа больше, чем длина главных прожилок листа. В левой части отношение этих длин равняется 1,72. В правой части - 1,69. Полученные отношения близки друг другу, но не равны в точности.

Виноградный лист

1) Измерение углов, под которыми расходятся прожилки листа винограда от его основания показывает, что эти углы приблизительно одинаковы и составляют около 40 градусов. В правой части листа таких прожилок две и при движении по часовой стрелки от середины листа, первая прожилка отстоит на 41 градус, вторая - на 86 градусов. В левой части листа при движении против часовой стрелки от оси листа, первая прожилка отклоняется на 41 градус, вторая - на 80 градусов. На рисунке 1 Приложения №5 представлены эти измерения. Здесь же отмечены длины основных прожилок листа.

Не менее интересно измерение углов, под которыми пересекаются вторичные прожилки (которые отходят не от центра основания листа). Эти измерения представлены на рисунке 2 Приложения №5: для вторичных прожилок листа наблюдается больший разброс значений углов, под которыми они пересекаются с другими прожилками, но в среднем этот угол составляет приблизительно 60 градусов. Этот средний угол одинаков как в левой части листа, так и в правой его части. Здесь же отмечены длины этих вторичных прожилок.

2) Измерение длин прожилок. Длина основных (исходящих из основания листа) в левой части листа равна 16 см. В правой части листа - 16,4 см. Длина с центральной прожилкой - 44,4 см.

Длина вторичных прожилок в левой части листа составляет 41,2 см, а правой части - 43 см. В сумме общая длина вторичных прожилок составляет 84,2 см. Для виноградного листа длина вторичных прожилок приблизительно в два раза больше, чем длина основных прожилок листа.

Для виноградного листа удается измерить и длину сетки самых мелких прожилок. Они отчетливо видны на задней поверхности листа. Измерения длин самых маленьких прожилок проводились при помощи подсчета их количества на половине расстояния между двумя вторичными прожилками, после чего найденное количество умножалось на их длину одной из них (приблизительно половина расстояния между двумя основными прожилками). При этом из подсчета могли выпадать мелкие прожилки, которые не соединяются с основными прожилками и находятся между более крупных прожилок.

Измеренная таким образом длина самых мелких прожилок в левой части листа составила 110,7 см, а в правой части листа - 133,9 см. Общая длина самых мелких прожилок - 244,6 см (Рис. 3, Приложение №5).

Удивительный вывод состоит в том, что чем меньше прожилки, тем больше их общая длина. В левой части листа отношение измеренных длин:

самые мелкие прожилки / вторичные прожилки = 110,7 / 41,2 = 2,69;

вторичные прожилки / основные прожилки = 41,2 / 16,0 = 2,57.

В правой части аналогичные отношения есть

133,9 / 43,0 = 3,11,

43,0 / 16,4 = 2,62.

Полученные отношения длин точнее для отношения вторичных к основным прожилкам, поскольку эти длины измеряются более точно. Для левой части отношение длины самых мелких прожилок к длине вторичных прожилок также дает приблизительно такое же значение около 2,7. Только в правой части листа это отношение заметно больше и равно 3,11.

Из измерения длин и углов пересечения прожилок можно сделать следующие выводы.

В левой и правой частях листа наблюдаются приблизительно одинаковые углы между основными и вторичными прожилками.

Также в левой и правой частях приблизительно одинаковы и длины основных и вторичных прожилок.

Отношение длин вторичных прожилок к длине основных прожилок приблизительно равно 2,6. Это означает, что при переходе от основных прожилок к вторичным - их длина увеличивается в 2,6 раза. Отношение длин самых мелких прожилок к длине вторичных прожилок равном 2,7 для левой части листа и 3,1 для правой части листа. Это означает, что при переходе от вторичных прожилок к самым мелким - их длина увеличивается в 2,7 раза (3,1 для правой части листа).

Найденная закономерность может объясняться фрактальной структурой листа: при переходе от крупного масштаба к более мелкому масштабу наблюдается приблизительно один коэффициент увеличения длины соответствующих прожилок.

Для углов пересечения прожилок разного масштаба говорить о фрактальной структуре нельзя. Основные прожилки пересекаются по углом в 40 градусов, вторичные - под углом в 60 градусов, а самые мелкие - приблизительно под углом 90 градусов.

Применим формулу фрактальной размерности для листа винограда.

для левой части листа:

количество основных: 2;

длина основных: 16,0 см;

количество вторичных: 12;

длина вторичных 41,2 см;

количество самых мелких прожилок: 407;

длина самых мелких прожилок 110,7 см;

Вычисления фрактальной размерности для геометрического фрактала на этапах 2) и 3) должны дать близкие значения. Полученные цифры различаются более чем в два раза. Это говорит о том, что прожилки виноградного листа не образуют геометрического фрактала. Аналогичный вывод следует из сравнения углов, под которыми пересекаются прожилки разных уровней (40, 60, 90 градусов).

Заключение

В своей работе я на конкретном примере показал, что природные симметричные листья деревьев подчиняются математическим законам. Однако, даже с учетом погрешности измерений, исследованные мною листья не являются совершенно симметричными - в левой и правой частях листа найдены отличия, то есть в живой природе симметрия не абсолютна и всегда содержит некоторую степень асимметрии. Например, длина основных прожилок листа клена в левой части составляет 30,6 см, а в правой - 30,2 см. В процентном выражении это отличие составляет 1,3 %. Для виноградного листа такое же отличие составляет 2,5 %.

При переходе от большего масштаба прожилок листа к меньшему масштабу этих прожилок наблюдается приблизительно одинаковый коэффициент увеличения длин соответствующих прожилок. Этот коэффициент равняется 2,6 (для листа винограда) и сохраняется при переходе от самых крупных прожилок к более мелким, а от них - при переходе к самым мелким прожилкам.

Такое поведение прожилок не является фрактальной структурой виноградного листа: измерение фрактальной размерности дает различные значения для прожилок разного уровня. Наблюдающаяся сложная структура прожилок листьев образуется для снабжения водой и питательными веществами всей площади листа растения. По всей видимости, фрактальная структура прожилок листьев не всегда является наилучшей (оптимальной) формой для выполнения этой задачи растением.

Список использованной литературы:

1.Пайтген Х.О., Рихтер П.Х., Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем//Мир.- М., 1993 г., 206 с. ISBN 5-03-001296-6

2. Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир//Просвещение.-М.,1982-с.176

3. Ожегов С.И. Словарь русского языка // Русский язык.-20-е изд. М.,1988-с.585

4.Википедия, Фрактальная размерность. https://ru.wikipedia.org/wiki/Фрактальная_размерность

5. Фракталы вокруг нас. http://sakva.net/fractals_rus/

6. Ивановский А. Фрактальная геометрия мира. http://w-o-s.ru/article/4003

7. Симметрия в природе. http://wonwilworl.blogspot.ru/2014/01/blog-post.html

Приложение №1

Приложение № 2

Кривая Коха

Снежинки Коха

Приложение №3

Приложение №4

Тема реферата была выбрана после изучения раздела «Осевая и центральная симметрия». Остановился именно на этой теме не случайно, хотелось узнать принципы симметрии, её виды, разнообразие её в живой и неживой природе.

Введение…………………………………………………………………………3

Раздел I. Симметрия в математике………………………………………………5

Глава 1. Центральная симметрия………………………………………………..5

Глава 2. Осевая симметрия……………………………………………………….6

Глава 4. Зеркальная симметрия…………………………………………………7

Раздел II. Симметрия в живой природе………………………………………….8

Глава 1. Симметрия в живой природе. Асимметрия и симметрия…………8

Глава 2. Симметрия растений…………………………………………………10

Глава 3. Симметрия животных………………………………………………….12

Глава 4. Человек – существо симметричное…………………………………14

Заключение……………………………………………………………………….16

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №3

Реферат по математике на тему:

«Симметрия в природе»

Подготовила: ученик 6 класса «В» Звягинцев Денис

Учитель: Курбатова И.Г.

с. Безопасное, 2012г.

Введение…………………………………………………………………………3

Раздел I. Симметрия в математике………………………………………………5

Глава 1. Центральная симметрия………………………………………………..5

Глава 2. Осевая симметрия……………………………………………………….6

Глава 4. Зеркальная симметрия…………………………………………………7

Раздел II. Симметрия в живой природе………………………………………….8

Глава 1. Симметрия в живой природе. Асимметрия и симметрия…………8

Глава 2. Симметрия растений…………………………………………………10

Глава 3. Симметрия животных………………………………………………….12

Глава 4. Человек – существо симметричное…………………………………14

Заключение……………………………………………………………………….16

Введение

Под симметрией (от греч. symmetria - соразмерность) в широком смысле понимают правильность в строении тела и фигуры. Учение о симметрии представляет собой большую и важную ветвь тесно связанную с науками разных отраслей. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например, зубчатые колеса.

Было интересно, потому что данная тема затрагивает не только математику, хотя она и лежит в её основе, но и другие области науки, техники, природы. Симметрия, как мне кажется, является фундаментом природы, представление о котором слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений людей.

Я обратил внимание на то, что во многих вещах, в основе красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все её виды - от простейших до самых сложных. Можно говорить о симметрии, как о гармонии пропорций, как о «соразмерности», регулярности и упорядоченности.

Нам это важно, потому что для многих людей математика – скучная и сложная наука, но математика – не только цифры, уравнения и решения, но и красота в строении геометрических тел, живых организмов и даже является фундаментом для многих наук от простых до самых сложных.

Цели реферата были следующими:

раскрыть особенности видов симметрии;
показать всю привлекательность математики как науки и её взаимосвязь с природой в целом.

Задачи:

сбор материала по теме реферата и его обработка;
обобщение обработанного материала;
выводы о проделанной работе;
оформление обобщенного материала.

Раздел I. Симметрия в математике

Глава 1. Центральная симметрия

Понятие центральной симметрии следующее: «Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры». Поэтому говорят, что фигура обладает центральной симметрией.

Понятия центра симметрии в «Началах» Евклида нет, однако в 38-ом предложении XI книги содержится понятие пространственной оси симметрии. Впервые понятие центра симметрии встречается в XVI в. В одной из теорем Клавиуса, гласящей: «если параллелепипед рассекается плоскостью, проходящей через центр, то он разбивается пополам и, наоборот, если параллелепипед рассекается пополам, то плоскость проходит через центр». Лежандр, который впервые ввёл в элементарную геометрию элементы учения о симметрии, показывает, что у прямого параллелепипеда имеются 3 плоскости симметрии, перпендикулярные к ребрам, а у куба 9 плоскостей симметрии, из которых 3 перпендикулярны к рёбрам, а другие 6 проходят через диагонали граней.

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма – точка пересечения его диагоналей. Любая прямая также обладает центральной симметрией. Однако, в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии, у прямой их бесконечно много – любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник.

В алгебре при изучении чётных и нечётных функций рассматриваются их графики. График чётной функции при построении симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции – относительно начала координат, т.е. точки О. Значит, нечётная функция обладает центральной симметрией, а чётная функция – осевой.

Таким образом, две центрально симметричные плоские фигуры всегда можно наложить друг на друга, не выводя их из общей плоскости. Для этого достаточно одну из них повернуть на угол 180° около центра симметрии.

Как в случае зеркальной, так и в случае центральной симметрии плоская фигура непременно имеет ось симметрии второго порядка, но в первом случае эта ось лежит в плоскости фигуры, а во втором – перпендикулярна к этой плоскости.

Глава 2. Осевая симметрия

Понятие осевой симметрии представлено следующим образом: «Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры». Тогда говорят, что фигура обладает осевой симметрией.

В более узком смысле осью симметрии называют ось симметрии второго порядка и говорят об «осевой симметрии», которую можно определить так: фигура (или тело) обладает осевой симметрией относительно некоторой оси, если каждой её точке Е соответствует такая принадлежащая этой же фигуре точка F, что отрезок EF перпендикулярен к оси, пересекает её и в точке пересечения делится пополам. Рассмотренная выше (гл. 1) пара треугольников обладает (кроме центральной) еще осевой симметрией. Её ось симметрии проходит через точку С перпендикулярно к плоскости чертежа.

Приведём примеры фигур, обладающих осевой симметрией. У неразвернутого угла одна ось симметрии - прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник- три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат- четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

Глава 3. Зеркальная симметрия

Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Говорят, что одна фигура (или тело) зеркально симметрично другой, если вместе они образуют зеркально симметричную фигуру (или тело).

Игрокам в бильярд издавна знакомо действие отражения. Их «зеркала» - это борта игрового поля, а роль луча света исполняют траектории шаров. Ударившись о борт возле угла, шар катится к стороне, расположенной под прямым углом, и, отразившись от неё, движется обратно параллельно направлению первого удара.

Важно отметить, что два симметричных друг другу тела не могут быть вложены или наложены друг на друга. Так перчатку правой руки нельзя надеть на левую руку. Симметрично зеркальные фигуры при всём своём сходстве существенно отличаются друг от друга. Чтобы убедиться в этом, достаточно поднести лист бумаги к зеркалу и попытаться прочесть несколько слов, напечатанных на ней, буквы и слова просто-напросто будут перевёрнуты справа налево. По этой причине симметричные предметы нельзя называть равными, поэтому их называют зеркально равными.

Рассмотрим пример. Если плоская фигура ABCDE симметрична относительно плоскости Р (что возможно лишь в случае взаимной перпендикулярности плоскостей ABCDE и Р), то прямая KL, по которой пересекаются упомянутые плоскости, служит осью симметрии (второго порядка) фигуры ABCDE. Обратно, если плоская фигура ABCDE имеет ось симметрии KL, лежащую в её плоскости, то эта фигура симметрична относительно плоскости Р, проведённой через KL перпендикулярно к плоскости фигуры. Поэтому ось КЕ можно назвать также зеркальной L прямой плоской фигуры ABCDE.

Две зеркально симметричные плоские фигуры всегда можно наложить
друг на друга. Однако для этого необходимо вывести одну из них (или обе) из их общей плоскости.

Вообще зеркально равными телами (или фигурами) называются тела (или фигуры) в том случае, если при надлежащем их смещении они могут образовать две половины зеркально симметричного тела (или фигуры).

Раздел II. Симметрия в живой природе

Глава 1. Симметрия в живой природе. Асимметрия и симметрия

Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она не только радует глаз и вдохновляет поэтов всех времен и народов, а позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.

В живой природе огромное большинство живых организмов обнаруживает различные виды симметрии (формы, подобия, относительного расположения). Причем организмы разного анатомического строения могут иметь один и тот же тип внешней симметрии.

Внешняя симметрия может выступить в качестве основания классификации организмов (сферическая, радиальная, осевая и т.д.) Микроорганизмы, живущие в условиях слабого воздействия гравитации, имеют ярко выраженную симметрию формы.

Асимметрия присутствует уже на уровне элементарных частиц и проявляется в абсолютном преобладании в нашей Вселенной частиц над античастицами. Известный физик Ф. Дайсон писал: "Открытия последних десятилетий в области физики элементарных частиц заставляют нас обратить особое внимание на концепцию нарушения симметрии. Развитие Вселенной с момента ее зарождения выглядит как непрерывная последовательность нарушений симметрии. В момент своего возникновения при грандиозном взрыве Вселенная была симметрична и однородна. По мере остывания в ней нарушается одна симметрия за другой, что создает возможности для существования все большего и большего разнообразия структур. Феномен жизни естественно вписывается в эту картину. Жизнь - это тоже нарушение симметрии"

Молекулярная асимметрия открыта Л. Пастером, который первым выделил "правые" и "левые" молекулы винной кислоты: правые молекулы похожи на правый винт, а левые - на левый. Такие молекулы химики называют стереоизомерами.

Молекулы стереоизомеры имеют одинаковый атомный состав, одинаковые размеры, одинаковую структуру - в то же время они различимы, поскольку являются зеркально асимметричными, т.е. объект оказывается нетождественным со своим зеркальным двойником. Поэтому здесь понятия "правый-левый" - условны.

В настоящее время хорошо известно, что молекулы органических веществ, составляющие основу живой материи, имеют асимметричный характер, т.е. в состав живого вещества они входят только либо как правые, либо как левые молекулы. Таким образом, каждое вещество может входить в состав живой материи только в том случае, если оно обладает вполне определенным типом симметрии. Например, молекулы всех аминокислот в любом.живом организме могут быть только левыми, сахара ~ только правыми. Это свойство живого вещества и его продуктов жизнедеятельности называют дисимметрией. Оно имеет совершенно фундаментальный характер. Хотя правые и левые молекулы неразличимы по химическим свойствам, живая материя их не только различает, но и делает выбор. Она отбраковывает и не использует молекулы, не обладающие нужной ей структурой. Как это происходит, пока не ясно. Молекулы противоположной симметрии для нее яд.

Если бы живое существо оказалось в условиях, когда вся пища была бы составлена из молекул противоположной симметрии, не отвечающей дисимметрии этого организма, то оно погибло бы от голода. В неживом веществе правых и левых молекул поровну. Дисимметрия - единственное свойство, благодаря которому мы можем отличить вещество биогенного происхождения от неживого вещества. Мы не можем ответить на вопрос, что такое жизнь, но имеем способ отличить живое от неживого. Таким образом, асимметрию можно рассматривать как разграничительную линию между живой и неживой природой. Для неживой материи характерно преобладание симметрии, при переходе от неживой к живой материи уже на микроуровне преобладает асимметрия. В живой природе асимметрию можно увидеть всюду. Очень удачно это подметил в романе "Жизнь и судьба" В. Гроссман: "В большом миллионе русских деревенских изб нет и не может быть двух неразличимо схожих. Все.живое неповторимо.

Симметрия лежит в основе вещей и явлений, выражая нечто общее, свойственное разным объектам, тогда как асимметрия связана с индивидуальным воплощением этого общего в конкретном объекте. На принципе симметрии основан метод аналогий, предполагающий отыскание общих свойств в различных объектах. На основе аналогий создаются физические модели различных объектов и явлений. Аналогии между процессами позволяют описывать их общими уравнениями.

Глава 2. Симметрия растений

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

Среди цветов наблюдаются поворотные симметрии разных порядков. Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займёт положение соседнего, цветок же совместится с самим собой. Такой цветок обладает осью симметрии. Минимальный угол, на который нужно повернуть цветок вокруг оси симметрии, чтобы он совместился с самим собой, называется элементарным углом поворота оси. Этот угол для различных цветов не одинаков. Для ириса он равен 120є, для колокольчика – 72є, для нарцисса – 60є . Поворотную ось можно характеризовать и с помощью другой величины, называемой порядком оси и показывающей, сколько раз произойдет совмещение при повороте на 360є. Те же цветы ириса, колокольчика и нарцисса обладают осями третьего, пятого и шестого порядков соответственно. Особенно часто среди цветов встречается симметрия пятого порядка. Это такие полевые цветы как колокольчик, незабудка, зверобой, лапчатка гусиная и др.; цветы плодовых деревьев – вишня, яблоня, груша, мандарин и др., цветы плодово-ягодных растений – земляника, ежевика, малина, шиповник; садовые цветы – настурция, флокс и др.

В пространстве существуют тела, обладающие винтовой симметрией, т. е. совмещающиеся со своим первоначальным положением после поворота на угол вокруг оси, дополненного сдвигом вдоль той же оси.

Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Это интересное ботаническое явление носит название филлотаксиса, что буквально означает строение листа. Другим проявлением филлотаксиса оказывается устройство соцветия подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего более или менее шестиугольные ячейки, которые образуют ряды, идущие в различных направлениях.

Глава 3. Симметрия животных

Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все её виды – от простейших до самых сложных. Симметрия в строение животных – почти общее явление, хотя почти всегда встречаются исключения из общего правила.

Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии. Строение тела многих многоклеточных организмов отражает определённые формы симметрии, такие как радиальную (лучевая) или билатеральную (двусторонняя), которые являются основными типами симметрии. Кстати, склонность к регенерации (восстановление) зависит от типа симметрии животного.

В биологии о радиальной симметрии идёт речь, когда через трёхмерное существо проходят две или более плоскости симметрии. Эти плоскости пересекаются в прямой. Если животное будет вращаться вокруг этой оси на определённый градус, то оно будет отображаться само на себе. В двухмерной проекции радиальная симметрия может сохраняться, если ось симметрии направлена перпендикулярно к проекционной плоскости. Иными словами, сохранение радиальной симметрии зависит от угла наблюдения.

При радиальной или лучистой симметрии тело имеет форму короткого или длинного цилиндра либо сосуда с центральной осью, от которого отходят в радиальном порядке части тела. Среди них встречается так называемая пентасимметрия, базирующаяся на пяти плоскостях симметрии.

Радиальная симметрия характерна для многих стрекающих, а также для большинства иглокожих, кишечнополостных. Взрослые формы иглокожих приближаются к радиальной симметрии, в то время как их личинки билатерально симметричны.

Лучевую симметрию мы также видим у медуз, кораллов, актиний, морских звёзд. Если вращать их вокруг собственной оси, они несколько раз «совместятся сами с собой». Если отрезать у морской звезды любое из пяти щупалец, оно сумеет восстановить всю звезду. От радиальной симметрии различаются двулучевая радиальная симметрия (две плоскости симметрии, к примеру, гребневики), а также билатеральная симметрия (одна плоскость симметрии, к примеру, двусторонне-симметричные).

При билатеральной симметрии осей симметрии три, но симметричных сторон только одна пара. Потому что две другие стороны – брюшная и спинная – друг на друга не похожи. Этот вид симметрии характерен для большинства животных, в том числе насекомых, рыб, земноводных, рептилий, птиц, млекопитающих. Например, черви, членистоногие, позвоночные. У большинства многоклеточных (у человека в том числе) другой тип симметрии – двусторонняя. Левая половина их тела - это как бы «отражённая в зеркале правая». Этот принцип, однако, не относится к отдельным внутренним органам, что демонстрирует, например, расположение печени или сердца у человека. Плоский червь планария имеет двустороннюю симметрию. Если разрезать его вдоль оси тела или поперёк, из обеих половинок вырастут новые черви. Если же измельчить планарию как-нибудь иначе - скорее всего ничего не выйдет.

Можно сказать также, что каждое животное (будь то насекомое, рыба или птица) состоит из двух энантиоморфов – правой и левой половин. Энантиоморфы – пара зеркально асимметричных объектов (фигур), являющихся зеркальным изображением один другого (например, пара перчаток). Иными словами – это объект и его зазеркальный двойник при условии, что сам объект зеркально асимметричен.

Сферическая симметрия имеет место у радиолярий и солнечников, тело которых сферической формы, а его части распределены вокруг центра сферы и отходят от неё. У таких организмов нет ни передней, ни задней, ни боковых частей тела, любая плоскость, проведённая через центр, делит животное на одинаковые половинки.

Губки и пластинчатые не проявляют симметрию.

Глава 4. Человек - существо симметричное

Не станем пока разбираться, существует ли на самом деле абсолютно симметричный человек. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта находятся на разной высоте, во всяком случае, у большинства людей. И всё же это лишь мелкие несоответствия. Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая и обе руки совершенно одинаковы! НО! Здесь стоит остановиться. Если бы наши руки и в самом деле были совершенно одинаковы, мы могли бы в любой момент поменять их. Было бы возможно, скажем, путем трансплантации пересадить левую ладонь на правую руку, или, проще, левая перчатка подходила бы тогда к правой руке, но на самом деле это не так. Каждому известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале. Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела, во всяком случае, до тех пор, пока ими руководило желание в своих произведениях как можно точнее следовать природе.

Известны каноны пропорций, составленные Альбрехтом Дюрером и Леонардо да Винчи. Согласно этим канонам, человеческое тело не только симметрично, но и пропорционально. Леонардо открыл, что тело вписывается в круг и в квадрат. Дюрер занимался поисками единой меры, которая находилась бы в определенном соотношении с длиной туловища или ноги (такой мерой он считал длину руки до локтя). В современных школах живописи в качестве единой меры чаще всего принимается размер головы по вертикали. С известным допущением можно считать, что длина туловища превосходит размер головы в восемь раз. На первый взгляд это кажется странным. Но нельзя забывать, что большинство высоких людей отличаются удлинённым черепом и, наоборот, редко можно встретить низкорослого толстяка с головой удлинённой формы. Размеру головы пропорциональна не только длина туловища, но и размеры других частей тела. По этому принципу построены все люди, оттого-то мы, в общем, похожи друг на друга. Однако наши пропорции согласуются лишь приблизительно, а потому люди лишь похожи, но не одинаковы. Во всяком случае, все мы симметричны! К тому же некоторые художники в своих произведениях особенно подчёркивают эту симметрию. И в одежде человек тоже, как правило, старается поддерживать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина - левой. Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния. Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем асимметрию, например, расчесывая волосы на косой пробор - слева или справа или делая асимметричную стрижку. Или, скажем, помещая на костюме асимметричный кармашек на груди. Или, надев кольцо на безымянный палец только одной руки. Лишь на одной стороне груди носятся ордена и значки (чаще на левой). Полная безукоризненная симметрия выглядела бы нестерпимо скучно. Именно небольшие отклонения от неё и придают характерные, индивидуальные черты.И вместе с тем порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым. В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов (например, одной красной, а другой черной или белой). В не столь отдалённые дни были популярны джинсы с яркими заплатами или цветными разводами. Но подобная мода всегда недолговечна. Лишь тактичные, скромные отклонения от симметрии остаются на долгие времена.

Заключение

С симметрией мы встречаемся везде ~ в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике,химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии. Существует множество видов симметрии как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира.

Еще одним интересным проявлением симметрии жизненных npoifeccoe являются биологические ритмы (биоритмы), циклические колебания биологических процессов и их характеристик (сокращения сердца, дыхание, колебания интенсивности деления клеток, обмена веществ, двигательной активности, численности растений и животных), зачастую связанные с приспособлением организмов к геофизическим циклам. Исследованием биоритмов занимается особая наука - хронобиология. Помимо симметрии существует также понятие ассиметрии; Симметрия лежит в основе вещей и явлений, выражая нечто общее, свойственное разным объектам, тогда как асимметрия связана с индивидуальным воплощением этого общего в конкретном объекте.

Симметрия – однородность, пропорциональность, гармония, инвариантность структуры материального объекта относительно его преобразований. Это признак полноты и совершенства.

Симметрия - однородность, пропорциональность, гармония, инвариантность структуры материального объекта относительно его преобразований;

Асимметрия – это несимметрия, т. е. такое состояние, когда симметрия отсутствует;

Дисимметрия – внутренняя, или расстроенная, симметрия, т. е. отсутствие у объекта некоторых элементов симметрии;

Антисимметрия – противоположная симметрия, связанная с переменой знака фигуры.

Виды ситмметрий:

1. В конформной (круговой) симметрии главным преобразованием является инверсия относительно сферы. Главная особенность конформного преобразования состоит в том, что оно всегда сохраняет углы фигуры и сферу и всегда переходит в сферу другого радиуса.

Известно, что кристаллы какого-либо вещества могут иметь самый разный вид, но углы между гранями всегда постоянны.

2. Зеркальная симметрия . Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой.

В то время как симметричные фигуры полностью соответствуют своему отражению, несимметричные отличны от него: из спирали, закручивающейся справа налево, в зеркале получится спираль, закручивающаяся слева направо.

В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например на руле грузовика или на штурвале корабля.

Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и живой природы. В мир неживой природы очарование симметрии вносят кристаллы. Каждая снежинка- это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией - поворотной симметрией 6-го порядка и, кроме того, зеркальной симметрией.

3. Винтовая симметрия. В пространстве существуют тела , обладающие винтовой симметрией, т.е. совмещаемые со своим первоначальным положением после поворота на какой-либо угол вокруг оси, дополненного сдвигом вдоль той же оси. Если данный угол поделить на 360 градусов - рациональное число, о поворотная ось оказывается также осью переноса.

Симметрия в механике.

Однородность пространства .

Пространство вблизи земной поверхности физически неоднородно: все тела стремятся занять самые низкие положения, поближе к Земле. Столь же неоднородно пространство вблизи Солнца. Но вся Солнечная система как целое движется прямолинейно, по крайней мере, в течение миллионов лет отклонений от прямолинейного движения не было. Пространство, в котором она движется, свободно от тяготеющих к нему тел и здесь можно говорить о его однородности. Из второго закона Ньютона следует прямолинейность и равномерность движения центра инерции системы тел в однородном пространстве. Никакие внутренние силы не нарушают однородности пространства по отношению к системе как к целому.

Изотропия пространства – еще один вид симметрии – относительно поворотов координатных систем. В физике это проявляется в том, что вокруг любой прямой можно повернуть координатную систему на любой угол, и повернутая система будет во всех отношениях равноценна первоначальной.

Однородность времени .

Пространство имеет группу симметрии относительно произвольных переносов по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Симметрия же времени напоминает симметрию прямой относительно переносов. Время однородно, т.е. все его моменты равноценны, по крайней мере по отношению к чисто механическим явлениям.

Симметрия в живой природе.

Если рассматривать царство живого, то любому его представителю, от простейшей водоросли до эвкалипта, от крошечного жучка до кита, от червяка до человека, можно приписать одну из групп симметрии (точечных или пространственных), выведенных для материальных фигур.

Живой организм не имеет кристаллического строения, однако, упорядоченные структуры в ней представлены очень широко. Если они жидкие, то их называют жидкими кристаллами. Это и желчь, и кровь, и хрусталик глаза, и серое вещество мозга.

Прежде всего познакомимся с основными понятиями теории симметрии. Какие тела обычно считают равными? Такие, которые совершенно одинаковы, или, точнее, которые при взаимном наложении совмещаются друг с другом во всех своих деталях, как, например, два лепестка на рисунке 1, а. Однако в теории симметрии помимо такого совместимого равенства выделяют еще два вида равенства - зеркальное и совместимо-зеркальное. При зеркальном равенстве левый лепесток рисунка 1, б можно точно совместить с правым лепестком, лишь отразив его предварительно в зеркале. Если же два тела можно совместить друг с другом как до, так и после отражения в зеркале, это совместимо-зеркальное равенство. Лепестки на рисунке 1, в равны друг другу и совместимо и зеркально.

Но наличия одних равных частей в фигуре еще недостаточно, чтобы признать фигуру симметричной: на рисунке 1, г лепестки венчика цветка расположены хаотично, незакономерно и фигура несимметрична, внизу (д) лепестки расположены однообразно, закономерно и венчик симметричен. Такое закономерное, однообразное расположение равных частей фигуры относительно друг друга и называют симметрией.

Рис. 1. Пары лепестков: а - совместимо равные; б - зеркально равные; в - и совместимо и зеркально равные. Фигуры из пяти лепестков: г - расположенных относительно друг друга хаотично; д - закономерно. Верхняя фигура асимметричная, нижняя - симметричная.

Равенство и однообразие расположения частей фигуры выявляют посредством операций симметрии. Операциями симметрии называют повороты, переносы, отражения и их комбинации. Под поворотами понимают обычные повороты вокруг оси на 360°, в результате которых равные части симметричной фигуры обмениваются местами, а фигура в целом раз совмещается с собой. Ось, вокруг которой происходит поворот, называется простой осью симметрии (п). Это название не случайное, так как в теории симметрии различают еще и сложные оси различного рода. Число совмещений фигуры с самой собой при одном полном обороте вокруг оси (п) называется порядком оси. На рисунке 2 изображены объекты, которые имеют лишь одну простую ось симметрии того или иного порядка. Такой вид симметрии называется осевой или аксиальной.

Под отражениями понимают любые зеркальные отражения - в точке, линии, плоскости. Воображаемая плоскость, которая делит фигуры на две зеркальные половины, называется плоскостью симметрии. Каждая из изображенных на рисунке 3 фигур - рак, бабочка, лист растения - обладает лишь одной плоскостью симметрии, делящей ее на две зеркально равные части. Поэтому данный вид симметрии в биологии называется двусторонней или билатеральной.

На рисунке 4 изображены тела, обладающие уже не одной, а четырьмя плоскостями симметрии, пересекающимися на оси четвертого порядка. Симметрию таких тел можно обозначить так: 4*т. Цифра 4 здесь означает одну ось симметрии четвертого порядка, a m - плоскость, точка - знак пересечения четырех плоскостей на этой оси. Общая формула симметрии таких фигур записывается в виде п * т, где символ оси, т - символ плоскости; может быть равно 1, 2, 3, ... . В биологии симметрия п * т называется радиальной (из-за целого веера пересекающихся на оси плоскостей). Понятно, что билатеральная симметрия - частный случай радиальной, так как в этом случае т = 1 * т.

Переносы - это перемещения вдоль прямой АВ на расстояние а. Такая операция применима лишь для объектов, вытянутых в одном особенном направлении АВ. Наименьший путь а, который должен быть пройден рядом фигур, прежде чем произойдет самосовмещение, называется элементарным переносом. Операции переноса также соответствует особый элемент симметрии - ось переносов (а): прямая АВ или любая прямая, параллельная АВ. Ось переносов (о) присуща только бесконечным фигурам, тем, которые бесконечно вытянуты лишь в одном особенном направлении (типа «стержней»), в двух особенных направлениях (типа «слоев»), в трех особенных направлениях (типа «кристаллов»). При этом считается, что телам, не вытянутым бесконечно ни в одном особенном направлении (типа изображенных на рисунках 2, 3, 4, 5), присуща нульмерная симметрия; телам, вытянутым в одном особенном направлении, - одномерная симметрия, в двух - двумерная симметрия, в трех - трехмерная симметрия. А теперь каждую из этих симметрии рассмотрим по порядку.

Рис. 2. Аксиальная симметрия: а - медуза аурелия инсулинда; б - детская вертушка; в - молекула химического соединения. При повороте этих фигур на 360 о равные части фигур совпадут друг с другом соответственно 4, 4, 6 раз.

Нульмерная симметрия, как уже говорилось, присуща телам, бесконечно це вытянутым ни в одном особенном направлении. Очевидно, такова симметрия отдельной буквы А, отдельного атома углерода (С), листа растения, моллюска, человека, молекулы углекислого газа (СО 2), воды (Н 2 О), Земли, Солнечной системы. Сюда же относятся некоторые исключительно симметричные примитивные организмы (рис. 5). Теоретически возможно бесчисленное множество видов нульмерной симметрии. Однако практически в живой природе наиболее распространенными оказываются уже известные нам симметрии вида и п * m и особенно частный случай последнего вида: 1 * m = m. Любопытно, что двусторонняя симметрия m в неживой природе не имеет преобладающего значения, но зато чрезвычайно богато представлена в живой природе. Она характерна для внешнего строения тела человека, млекопитающих, птиц, пресмыкающихся, земноводных, рыб, многих моллюсков, ракообразных, насекомых, червей, а также многих растений, например цветков львиного зева.

Рис. 3. Двусторонняя, или билатеральная, симметрия. Через середины фигур - рака, бабочки, листа растения - проходит плоскость симметрии, делящая каждую из фигур на две зеркальные половины.

Полагают, что такая симметрия связана с различиями движений организмов вверх - вниз, вперед - назад, тогда как их движения направо - налево совершенно одинаковы. Нарушение билатеральной симметрии неизбежно приводит к торможению движения одной из сторон и изменению поступательного движения в круговое. Поэтому не случайно активно подвижные животные двусторонне симметричны. Но такой вид симметрии встречается и у неподвижных организмов и их органов. Она возникает в этом случае вследствие неодинаковости условий, в которых находятся прикрепленная и свободная стороны. По-видимому, так объясняется билатеральность некоторых листьев, цветков и лучей коралловых полипов.

Рис. 4. Радиальная симметрия: а-цветок растения; б - гидромедуза клиция; в - схема четырех плоскостей симметрии, проходящих через фигуры а и б. Они имеют одну ось симметрии четвертого порядка и четыре пересекающиеся плоскости отражения.

Рис. 5. Совершенные нульмерно-симметричные примитивные организмы - радиолярии: а - шарообразная, содержащая бесконечное число осей бесконечного порядка + бесконечное число плоскостей симметрии + центр симметрии; б - кубическая, характеризующаяся симметрией куба, исчерпываемой 3 осями четвертого порядка + 4 осями третьего порядка + + 6 осями второго порядка + + 9 плоскостями + + центром симметрии; в - додекаэдрическая, характеризующаяся симметрией правильных многогранников - додекаэдра и икосаэдра, исчерпываемой 6 осями пятого порядка + 10 осями третьего порядка +15 осями второго порядка + + 15 плоскостями + + центром симметрии.

Одномерная симметрия присуща телам, во-первых, вытянутым в одном каком-либо особенном направлении, во-вторых, вытянутым в этом направлении благодаря монотонному повторению - «размножению» одной и той же части. Такова, например, симметрия бесконечной линейной совокупности одних и тех же букв А: ... АААААА... Из биологических объектов такую симметрию имеют наиболее важные для обмена веществ полимерные цепные молекулы белков, нуклеиновых кислот, целлюлозы, крахмала; вирусы табачной мозаики, побеги традесканции, отрезки тела полихет и многих других животных (рис. 6). Наконец заметим, что симметрия молекулы ДНК, вируса табачной мозаики обусловлена переносом + поворотом. Поэтому их симметрия и содержит винтовую ось соответствующего вида. Симметрия же побега традесканции обусловлена переносом + отражением, т. е. она ограничивается лишь одной плоскостью скользящего отражения. Двумерной симметрией обладают тела, во-первых, вытянутые в двух взаимно перпендикулярных направлениях, во-вторых, вытянутые в этих направлениях благодаря «размножению» одной и той же части. Такова, например, симметрия бесконечной двумерной совокупности букв А типа

и бесконечного шахматного поля, построенного бесконечным повторением черного и белого квадратиков в двух направлениях, перпендикулярных друг другу. Из биологических объектов такую симметрию имеют плоские орнаменты граней кристаллов ферментов, чешуи рыб, клеток в биологических срезах, мозаичного взаиморасположения листьев, «электронных картин» поперечного среза мышечной фибриллы, однородных сообществ организмов, складчатых слоев полипептидных цепей (рис. 7).

В заключение заметим: и двумерная симметрия и трехмерная характеризуются теми же элементами симметрии, что и нульмерная и одномерная.

Рис. 6. Одномерная симметрия: а - модель молекулы ДНК; б - модель вируса табачной мозаики; в - побег традесканции; г - полихета; наверху - бордюр.

Трехмерная симметрия присуща телам, во-первых, вытянутым в трех взаимно перпендикулярных направлениях, во-вторых, вытянутым в этих трех направлениях благодаря монотонному повторению одной и той же части. Такова симметрия биологических кристаллов, построенных «бесконечным» повторением одних и тех же кристаллических ячеек - в длину, ширину и высоту (рис. 8).

Рис. 7. Двумерная симметрия (плоские орнаменты): а - чешуя рыб; б - складчатый слой полипептидных цепей; в - египетский орнамент.

Объекты, симметрия которых исчерпывается лишь простыми (круговыми), или (и) переносными (трансляционными), или (и) винтовыми осями симметрии, называются диссимметрическими, т. е. расстроенной симметрии. К таким объектам относятся и тела аксиальной симметрии. От всех остальных объектов диссимметрические отличаются, в частности, очень своеобразным отношением к зеркальному отражению. Если тело речного рака (рис. 3) после зеркального отражения совсем не изменяет своей формы, то аксиальный цветок анютиных глазок (рис. 9), асимметрическая винтовая раковина моллюска, кристалл кварца, асимметрическая молекула после зеркального отражения изменяют свою фигуру, приобретая ряд противоположных признаков. Так, винтовая раковина брюхоногого моллюска, расположенного перед зеркалом, закручена слева вверх направо, а зеркального - справа вверх налево и т. д.

Рис. 8. Трехмерная симметрия. Небольшой кристалл белка вируса некроза табака в электронном микроскопе (увеличение в 73 тыс. раз). Ясно видны аккуратно уложенные по трем различным направлениям молекулы белка.

Что касается простейшего, частного случая осевой симметрии (п = 1), то биологам он известен давно и называется асимметрическим. Для примера достаточно сослаться на картину внутреннего строения подавляющего большинства видов животных и человека.

Уже из приведенных примеров нетрудно заметить, что диссимметрические объекты могут существовать в двух разновидностях: в виде оригинала и зеркального отражения (руки человека, раковины моллюсков, венчики анютиных глазок, кристаллы кварца). При этом одна из форм (неважно какая) называется правой - П, а другая левой - Л. Здесь очень важно уяснить себе, что правыми и левыми называются не только руки или ноги человека, но и любые диссимметрические тела - винты с правой и левой резьбой, организмы, неживые тела.

Обнаружение и в живой природе П- и Л-форм поставило перед биологией ряд новых и очень важных вопросов, многие из которых сейчас решаются сложными математическими и физико-химическими методами.

Первый - это вопрос о закономерностях формы и строения П- и Л-биологических объектов (биообъектов). Самое главное достижение здесь - создание теории строения П- и Л-биообъектов. На ее основе было предсказано много совершенно новых типов и классов изомерии, предсказана и открыта советскими учеными биологическая изомерия. Изомерия - это множество объектов различного строения, но при одном и том же наборе составляющих эти объекты частей. На рисунке 10 показана изомерия венчиков, предсказанная, а затем и обнаруженная на многих десятках тысяч экземпляров венчиков цветков около 60 видов растений. Здесь для каждого случая число лепестков одно и то же - 5, различно лишь их взаимное расположение.

Второй вопрос: как часто встречаются П- и Л-формы биообъектов? Найдено, что частота встречаемости этих форм (Е) подчиняется следующей общей для всей живой природы закономерности: либо ЕП = ЕЛ, либо ЕП > ЕЛ, либо ЕП < ЕЛ форм - соответственно для одних, других, третьих биообъектов. Например, ЕH форм листьев бегонии и традесканции равна ЕЛ их форм. Нарцисс, ячмень, рогоз и многие другие растения - правши: их листья встречаются только в П-винтовой форме. Зато фасоль - левша, листья первого яруса до 2,3 раза чаще бывают Л-формы. Задняя часть тела волков и собак при беге несколько заносится вбок, поэтому их разделяют на право- и левобегающих. Птицы-левши складывают крылья так, что левое крыло накладывается на правое, а правши - наоборот. Некоторые голуби при полете предпочитают кружиться вправо, а другие - влево. За это голубей издавна в народе делят на «правухов» и «левухов». Раковина моллюска фрутицикола лантци встречается главным образом в П-закрученной форме. Замечено, что при питании морковью преобладающие П-формы этого моллюска прекрасно растут, а их антиподы - Л-моллюски резко теряют в весе. Инфузория-туфелька из-за спирального расположения ресничек на ее теле передвигается в капельке воды, как и многие другие простейшие, по левозавивающемуся штопору. Инфузории, вбуравливающиеся в среду по правому штопору, встречаются редко.

Много интересных фактов может сообщить наука о симметрии и о человеке. Как известно, в среднем на земном шаре примерно 3 % левшей (99 млн.) и 97 % правшей (3 млрд. 201 млн.). Интересно отметить, что центры речи в головном мозгу у правшей расположены слева, а у левшей - справа (по другим данным - в обоих полушариях). Правая половина тела управляется левым, а левая - правым полушарием, и в большинстве случаев правая половина тела и левое полушарие развиты лучше. У людей, как известно, сердце на левой стороне, печень - на правой. Но на каждые 7-12 тыс. человек встречаются люди, у которых все или часть внутренних органов расположены зеркально, т. е. наоборот. Но самое важное в этой области открытие было сделано на молекулярно-химическом уровне. Знаменитый французский ученый Л. Пастер и многие другие ученые обнаружили, что клетки организмов состоят в основном только или преимущественно из Л-аминокислот, Л-белков, П-нуклеиновых кислот, П-сахаров, Л-алкалоидов. Такую особенность протоплазмы Пастер назвал диссимметрией протоплазмы.

Рис. 9. Диссимметрические объекты: а - цветки анютиных глазок; б - раковины моллюска; в - кристаллы кварца; г - модель асимметрической молекулы.

Третий вопрос - о свойствах П- и Л-форм. Основное достижение здесь - это открытие диссимметрии жизни (СССР). Оказывается, ряд свойств П- и Л-форм биообъектов качественно различаются. Вот некоторые примеры. Широкоизвестный антибиотик пенициллин вырабатывается грибком только в П-форме; искусственно приготовленная Л-форма его антибиотически неактивна. В аптеках продается антибиотик левомицетин, а не его антипод - правомицетин, так как последний по своим лечебным свойствам значительно уступает первому. В табаке содержится алкалоид Л-никотин. Он в несколько раз более ядовит, чем искусственно приготовленный П-никотин. Чаще встречающиеся винтообразные Л-корнеплоды сахарной свеклы содержат на 0,5- 1 % больше сахара, чем П-корнеплоды. Чаще встречающиеся (на 2-3%) левовинтовые по расположению листьев кокосовые пальмы более урожайны (в среднем на 12%), чем П-пальмы. Семена Л-растений подсолнечника более масличны (на 1,4%), чем семена П-растений. Коробочки льна, полученные с различных по изомерии венчиков цветков, различаются и количественно и качественно по содержанию жирных кислот.

Четвертый вопрос: в чем причина именно таких, а не других свойств П- и Л-форм? Никакой теории, отвечающей на этот вопрос, пока не существует. Предложенные гипотезы исходят из молекулярно-химической обусловленности П- и Л-модификаций организмов и их органов. В частности, было установлено, что, выращивая микроорганизмы бациллюс микоидес на агар-агаре с П- и Л-соединениями (сахарозой, винной кислотой, аминокислотами), Л-формы его можно превратить в П-формы, а П-формы в Л-формы. В ряде случаев эти изменения носили длительный, возможно, наследственный характер. Эти опыты говорят о том, что внешняя П- или Л-форма организмов зависит от обмена веществ и участвующих в этом обмене П- и Л-молекул.

Рис. 10. Изомерия венчиков цветков растений.

Иногда превращения П-форм в Л-формы и наоборот происходят без вмешательства человека. Академик В. И. Вернадский отмечал, что все раковины ископаемых моллюсков фузус антиквуус, найденные в Англии, Л-формы, а современные раковины - П-формы. Очевидно, причины, вызывающие такие перемены, складывались в течение геологических эпох.

Конечно, смена видов симметрии по мере эволюции жизни происходила не только у диссимметрических организмов. Так, некоторые иглокожие когда-то были двустороннесимметричными подвижными формами. Затем они перешли к сидячему образу жизни, и у них выработалась радиальная симметрия (правда, личинки их до сих пор сохранили двустороннюю симметрию). У части иглокожих, вторично перешедших к активному образу жизни, радиальная симметрия вновь заменилась билатеральной (неправильные ежи, голотурии).

До сих пор мы говорили о причинах, определяющих П- и Л-форму организмов. А почему эти формы встречаются не в равных количествах? Как правило, бывает больше либо П-, либо Л-форм. Согласно одной очень правдоподобной гипотезе, причинами могут быть диссимметрические элементарные частицы, а также правый свет, который в небольшом избытке всегда присутствует в рассеянном солнечном свете и образуется при отражении обычного света от зеркальной поверхности морей и океанов. Все это могло привести к тому, что сначала стали встречаться в неодинаковых количествах правые и левые формы диссимметрических органических молекул, а затем П- и Л-организмы и их части.

Таковы лишь некоторые вопросы биосимметрики - науки о симметрии и диссимметрии в живой природе.

Симметрия всегда была меткой совершенства и красоты в классических греческих иллюстрациях и эстетике. Естественная симметрия природы, в частности, была предметом исследования философов, астрономов, математиков, художников, архитекторов и физиков, таких как Леонардо Да Винчи. Мы видим это совершенство ежесекундно, хотя и не всегда замечаем. Вот 10 красивых примеров симметрии, частью которой являемся и мы сами.

Брокколи Романеско

Этот вид капусты известен своей фрактальной симметрией. Это сложный образец, где объект сформирован в одной и то же геометрической фигуре. В этом случае вся брокколи составлена из одной и той же логарифмической спирали. Брокколи Романеско не только красива, но также и очень полезна, богата каротиноидами, витаминами C и K, а по вкусу подобна цветной капусте.

Медовые соты

На протяжении тысяч лет пчелы инстинктивно производили шестиугольники идеальной формы. Многие ученые верят, что пчелы производят соты в этой форме, чтобы сохранить большую часть меда при использовании наименьшего количества воска. Другие не так уверены и полагают, что это - естественное формирование, а воск образуется, когда пчелы создают свое жилище.

Подсолнухи

Эти дети солнца имеют сразу две формы симметрии – радиальная симметрия, и числовая симметрия последовательности Фибоначчи. Последовательность Фибоначчи проявляется в числе спиралей из семян цветка.

Раковина Наутилуса

Еще одна естественная последовательность Фибоначчи проявляется в раковине Наутилуса. Оболочка Наутилуса растет по “спирали Fibonacci” в пропорциональной форме, что позволяет наутилусу внутри сохранять одну и ту же форму на всей продолжительность жизни.

Животные

Животные, как и люди, симметричны с двух сторон. Это означает, что есть осевая линия, где они могут быть разделены на две идентичных половины.

Паутина паука

Пауки создают совершенные круговые сети. Сеть паутины состоит из равно отдаленных радиальных уровней, которые распространяются из центра по спирали, переплетаясь друг с другом при максимальной прочностью.

Круги на полях.

Круги на полях происходят вовсе не "естественно", однако это довольно удивительно симметрия, которой могут достигнуть люди. Многие полагали, что круги на полях являются результатом посещения НЛО, но в итоге оказалось, что это дело рук человека. Круги на полях демонстрируют различные формы симметрии, включая спирали Фибоначчи и фракталы.

Снежинки

Вам определенно понадобится микроскоп, чтобы засвидетельствовать красивую радиальную симметрию в этих миниатюрных шестисторонних кристаллах. Эта симметрия сформирована в процессе кристаллизации в молекулах воды, которые формируют снежинку. Когда молекулы воды замерзают, они создают водородные связи с гексагональными формами.

Галактика Млечный Путь

Земля не единственное место, которое придерживаются естественной симметрии и математики. Галактика Млечного пути - поразительный пример зеркальной симметрии и составлена из двух главных рукавов, известных как Персей и Щит Центавра. У каждого из этих рукавов есть логарифмическая спираль, подобная оболочке наутилуса, с последовательностью Фибоначчи, которая начинается в центре галактики и расширяется.

Лунно-Солнечная симметрия

Солнце намного больше, чем луна, фактически в четыреста раз больше. Тем не менее, явления солнечного затмения происходят каждые пять лет, когда лунный диск полностью перекрывает солнечный свет. Симметрия происходит, потому что Солнце в четыреста раз дальше от Земли, чем Луна.

По сути, симметрия заложена в самой природе. Математическое и логарифмическое совершенство создает красоту вокруг и внутри нас.