Лекция: Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка

Конус – это тело, которой состоит из окружности, которая находится в основании, из точки равноудаленной от всех точек на окружности, а также от прямых, соединяющих эту точку (вершину) со всеми точками, лежащими на окружности.

Несколькими вопросами ранее, мы рассматривали пирамиду. Так вот конус – это частный случай пирамиды, в основании которой лежит окружность. Практически все свойства пирамиды подходят и для конуса.

Каким образом можно получить конус? Вспомните прошлый вопрос и то, как мы получили цилиндр. Теперь возьмите равнобедренный треугольник и крутите его вокруг своей оси – Вы получите конус.

Образующие конуса – это отрезки, заключенные между точками окружности и вершиной конуса. Образующие конуса равны между собой.

Чтобы найти длину образующей, следует воспользоваться формулой:

Если все образующие соединить между собой, можно получить боковую поверхность конуса. Общая его поверхность состоит из боковой поверхности и основания в виде окружности.

Конус имеет высоту . Чтобы ее получить, достаточно опустить перпендикуляр из вершины, непосредственно, в центр основания.

Чтобы найти площадь боковой поверхности, следует воспользоваться формулой:

Для нахождения полной площади поверхности конуса воспользуйтесь следующей формулой.

Конус. Усеченный конус

Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис.32).

Данная кривая называется направляющей , прямые – образующими , точка – вершиной конической поверхности.

Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис.33).

Конусом (прямым круговым конусом ) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис.34).

Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.

Круг, ограничивающий конус, называется его основанием . Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Для конуса верны формулы:

где R – радиус основания;

H – высота;

l – длина образующей;

S осн – площадь основания;

S бок

S полн

V – объем конуса.

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис.35).

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.

Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями . Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса называются образующими . Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.

Для усеченного конуса верны формулы:

(8)

где R – радиус нижнего основания;

r – радиус верхнего основания;

H – высота, l – длина образующей;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

V – объем усеченного конуса.

Пример 1. Сечение конуса параллельное основанию делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 36).

Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (8). Найдем радиусы оснований О 1 А и О 1 В и образующую АВ.

Рассмотрим подобные треугольники SO 2 B и SO 1 A , коэффициент подобия , тогда

Отсюда

Так как то

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:

Ответ: .

Пример2. Четверть круга радиуса свернута в коническую поверхность. Найти радиус основания и высоту конуса.

Решение. Четверить круга является разверткой боковой поверхности конуса. Обозначим r – радиус его основания, H – высота. Площадь боковой поверхности вычислим по формуле: . Она равна площади четверти круга: . Получим уравнение с двумя неизвестными r и l (образующая конуса). В данном случае образующая равна радиусу четверти круга R , значит, получим следующее уравнение: , откуда Зная радиус основания и образующую, найдем высоту конуса:

Ответ: 2 см, .

Пример 3. Прямоугольная трапеция с острым углом 45 О, меньшим основанием 3см и наклонной боковой стороной равной , вращается вокруг боковой стороны перпендикулярной основаниям. Найти объем полученного тела вращения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 37).

В результате вращения получим усеченный конус, чтобы найти его объем вычислим радиус большего основания и высоту. В трапеции O 1 O 2 AB проведем AC^O 1 B . В имеем: значит, этот треугольник равнобедренный AC =BC =3 см.

Ответ:

Пример 4. Треугольник со сторонами 13 см, 37 см и 40 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большей стороне и находится от нее на расстоянии 3 см (Ось расположена в плоскости треугольника). Найти площадь поверхности полученного тела вращения.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 38).

Поверхность полученного тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов и боковой поверхности цилиндра. Для того чтобы вычислить эти площади необходимо знать радиусы оснований конусов и цилиндра (BE и OC ), образующие конусов (BC и AC ) и высоту цилиндра (AB ). Неизвестной является только CO . это расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Найдем DC . Площадь треугольника ABC с одной стороны равна произведению половины стороны AB на высоту, проведенную к ней DC , с другой стороны, зная все стороны треугольника, его площадь вычислим по формуле Герона.

а плоскостью, параллельной основанию (рис. ). Объём У. к. равен , где r 1 и r 2 – радиусы оснований, h – высота.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Усечённый конус" в других словарях:

Геометрическое тело, отсечённое от конуса плоскостью, параллельной основанию (рис.). Объём усечённого конуса равен. * * * УСЕЧЕННЫЙ КОНУС УСЕЧЕННЫЙ КОНУС, геометрическое тело, отсеченное от конуса плоскостью, параллельной основанию. Объем… … Энциклопедический словарь

усечённый конус - — Тематики нефтегазовая промышленность EN truncated cone … Справочник технического переводчика

УСЕЧЁННЫЙ, усечённая, усечённое; усечён, усечена, усечено. 1. прич. страд. прош. вр. от усечь (книжн.). 2. Такой, у которого верхняя часть отсечена плоскостью, параллельной основанию (о конусе, пирамиде; мат.). Усечённый конус. Усеченная пирамида … Толковый словарь Ушакова

усечённый - ая, ое.; матем. Такой, у которого верхняя часть отсечена плоскостью, параллельной основанию. Усечённый конус. У ая пирамида … Словарь многих выражений

УСЕЧЁННЫЙ, ая, ое. В математике: такой, у к рого вершинная часть отделена, отсечена плоскостью, параллельной основанию. У. конус. Усечённая пирамида. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Ая, ое. 1. прич. страд. прош. от усечь. 2. в знач. прил. мат. Такой, у которого верхняя часть отсечена плоскостью, параллельной основанию. Усеченный конус. Усеченная пирамида. 3. в знач. прил. грамм., лит. С усечением (во 2 знач.), представляющий … Малый академический словарь

Прямой круговой конус. Прямой и … Википедия

- (лат. conus, от греч. konos) коническая поверхность множество прямых (образующих) пространства, соединяющих все точки нек рой линии (направляющей) с данной точкой (вершиной) пространства. Простейший К. круглый, или прямой круговой, направляющей к … Большой энциклопедический политехнический словарь

- (лат. conus, от греч. konos) (математика), 1) К., или коническая поверхность, геометрическое место прямых (образующих) пространства, соединяющих все точки некоторой линии (направляющей) с данной точкой (вершиной) пространства.… … Большая советская энциклопедия

Окружающий нас мир динамичен и разнообразен, и далеко не всякий объект можно просто обмерить линейкой. Для подобного переноса используются специальные техники, как то триангуляция. Потребность в составлении сложных развёрток, как правило,… … Википедия

Конус (с греческого «konos») – сосновая шишка. Конус знаком людям с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга «О методе», написанная Архимедом (287-212 гг. до н. э.), в этой книге дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед говорит, что это открытие принадлежит древнегреческому философу Демокриту (470-380 гг. до н.э.), который с помощью данного принципа получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Конус (круговой конус) – тело, которое состоит из круга – основание конуса, точки, не принадлежащей плоскости этого круга, – вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса и точки окружности основания. Отрезки, которые соединяют вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Конус называется прямым, если прямая, которая соединяет вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. Прямой круговой конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность – по окружности с центром на оси конуса.

Плоскость, перпендикулярная оси конуса отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усечённым конусом.

Объём конуса равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:

S бок = πRl,

Площадь полной поверхности конуса находится по формуле:

S кон = πRl + πR 2 ,

где R – радиус основания, l – длина образующей.

Объём кругового конуса равен

V = 1/3 πR 2 H,

где R – радиус основания, Н – высота конуса

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S бок = π(R + r)l,

Площадь полной поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S кон = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, l – длина образующей.

Объём усечённого конуса можно найти следующим образом:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

где R – радиус нижнего основания, r – радиус верхнего основания, Н – высота конуса.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Рис. 1. Предметы из жизни, имеющие форму усеченного конуса

Как вы думаете, откуда в геометрии берутся новые фигуры? Все очень просто: человек в жизни сталкивается с похожими объектами и придумывает, как бы их назвать. Рассмотрим тумбу, на которой сидят львы в цирке, кусок морковки, который получается, когда мы нарезали только часть ее, действующий вулкан и, например, свет от фонарика (см. рис. 1).

Рис. 2. Геометрические фигуры

Мы видим, что все эти фигуры похожей формы - и снизу, и сверху они ограничены кругами, но они сужаются кверху (см. рис. 2).

Рис. 3. Отсечение верхней части конуса

Это похоже на конус. Только не хватает верхушки. Мысленно представим, что мы берем конус и отсекаем от него верхнюю часть одним взмахом острого меча (см. рис. 3).

Рис. 4. Усеченный конус

Получается как раз наша фигура, называется она усеченный конус (см. рис. 4).

Рис. 5. Сечение, параллельное основанию конуса

Пусть дан конус. Проведем плоскость, параллельную плоскости основания этого конуса и пересекающую конус (см. рис. 5).

Она разобьет конус на два тела: одно из них - конус меньшего размера, а второе и называется усеченным конусом (см. рис. 6).

Рис. 6. Полученные тела при параллельном сечении

Таким образом, усеченный конус - это часть конуса, заключенная между его основанием и параллельной основанию плоскостью. Как и в случае с конусом, усеченный конус может иметь в основании круг - в этом случае его называют круговым. Если исходный конус был прямым, то и усеченный конус называют прямым. Как и в случае с конусами, мы будем рассматривать исключительно прямые круговые усеченные конусы, если специально не указано, что речь идет о непрямом усеченном конусе или в его основаниях не круги.

Рис. 7. Вращение прямоугольной трапеции

Наша глобальная тема - тела вращения. Усеченный конус - не исключение! Вспомним, что для получения конуса мы рассматривали прямоугольный треугольник и вращали его вокруг катета? Если полученный конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, то от треугольника останется прямоугольная трапеция. Ее вращение вокруг меньшей боковой стороны и даст нам усеченный конус. Заметим снова, что речь, разумеется, идет только о прямом круговом конусе (см. рис. 7).

Рис. 8. Основания усеченного конуса

Сделаем несколько замечаний. Основание полного конуса и круг, получающийся в сечении конуса плоскостью, называют основаниями усеченного конуса (нижним и верхним) (см. рис. 8).

Рис. 9. Образующие усеченного конуса

Отрезки образующих полного конуса, заключенные между основаниями усеченного конуса, называют образующими усеченного конуса. Так как все образующие исходного конуса равны и все образующие отсеченного конуса равны, то и образующие усеченного конуса равны (не путать отсеченный и усеченный!). Отсюда и следует равнобедренность трапеции осевого сечения (см. рис. 9).

Отрезок оси вращения, заключенный внутри усеченного конуса, называют осью усеченного конуса. Этот отрезок, разумеется, соединяет центры его оснований (см. рис. 10).

Рис. 10. Ось усеченного конуса

Высота усеченного конуса - это перпендикуляр, проведенный из точки одного из оснований к другому основанию. Чаще всего, в качестве высоты усеченного конуса рассматривают его ось.

Рис. 11. Осевое сечение усеченного конуса

Осевое сечение усеченного конуса - это сечение, проходящее через его ось. Оно имеет вид трапеции, чуть позже мы докажем ее равнобедренность (см. рис. 11).

Рис. 12. Конус с введенными обозначениями

Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса. Пусть основания усеченного конуса имеют радиусы и , а образующая равна (см. рис. 12).

Рис. 13. Обозначение образующей отсеченного конуса

Найдем площадь боковой поверхности усеченного конуса как разность площадей боковых поверхностей исходного конуса и отсеченного. Для этого обозначим через образующую отсеченного конуса (см. рис. 13).

Тогда искомая .

Рис. 14. Подобные треугольники

Осталось выразить .

Заметим, что из подобия треугольников , откуда (см. рис. 14).

Можно было бы выразить , разделив на разность радиусов, но нам это не нужно, ведь в искомом выражении как раз фигурирует произведение . Подставив вместо него , окончательно имеем: .

Несложно теперь получить и формулу для площади полной поверхности. Для этого достаточно добавить площади двух кругов оснований: .

Рис. 15. Иллюстрация к задаче

Пусть усеченный конус получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее высоты . Средняя линия трапеции равна , а большая боковая стороны - (см. рис. 15). Найти площадь боковой поверхности полученного усеченного конуса.

Решение

По формуле мы знаем, что .

Образующей конуса будет являться большая сторона исходной трапеции, то есть Радиусы конуса - это основания трапеции. Найти их мы не можем. Но нам и не надо: нужна лишь их сумма, а сумма оснований трапеции вдвое больше ее средней линии, то есть она равна . Тогда .

Обратите внимание, что, когда мы говорили о конусе, мы проводили параллели между ним и пирамидой - формулы были аналогичными. Так же и здесь, ведь усеченный конус очень похож на усеченную пирамиду, так что формулы для площадей боковой и полной поверхностей усеченного конуса и пирамиды (а скоро будут и формулы для объема) аналогичны.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Радиусы оснований усеченного конуса равны и , а образующая равна . Найти высоту усеченного конуса и площадь его осевого сечения (см. рис. 1).