Koji je najveći broj kojim se može smanjiti razlomak? Pretvaranje izraza
Zasnovan je na njihovom osnovnom svojstvu: ako se brojnik i nazivnik razlomka podijele istim polinomom koji nije nula, onda će se dobiti jednak razlomak.
Možete samo smanjiti množitelje!
Članovi polinoma se ne mogu skraćivati!
Da bi se smanjio algebarski razlomak, polinomi u brojniku i nazivniku moraju se prvo razložiti na faktore.
Pogledajmo primjere smanjenja razlomaka.
Brojilac i nazivnik razlomka sadrže monome. Oni predstavljaju rad(brojevi, varijable i njihove moći), množitelji možemo smanjiti.
Brojeve smanjujemo za njihov najveći zajednički djelitelj, odnosno za najveći broj kojim je svaki od ovih brojeva podijeljen. Za 24 i 36 ovo je 12. Nakon smanjenja ostaje 2 od 24, a 3 od 36.
Smanjujemo stepene za stepen sa najnižim indeksom. Smanjiti razlomak znači podijeliti brojilac i nazivnik istim djeliteljem i oduzeti eksponente.
a² i a⁷ se svode na a². U ovom slučaju u brojiocu a² ostaje jedan (1 upisujemo samo u slučaju kada nakon redukcije ne preostaje nijedan drugi faktor. Od 24 ostaje 2, tako da od a² ne pišemo 1). Od a⁷, nakon redukcije, ostaje a⁵.
b i b se smanjuju za b;
c³º i c⁵ su skraćeni na c⁵. Od c³º ostaje c²⁵, od c⁵ je jedan (mi to ne pišemo). dakle,
Brojilac i nazivnik ovog algebarskog razlomka su polinomi. Ne možete poništiti termine polinoma! (ne možete smanjiti, na primjer, 8x² i 2x!). Da biste smanjili ovaj razlomak, trebate . Brojilac ima zajednički faktor 4x. Izvadimo to iz zagrada:
I brojnik i imenilac imaju isti faktor (2x-3). Smanjujemo razlomak ovim faktorom. U brojiocu smo dobili 4x, u nazivniku - 1. Za 1 svojstvo algebarski razlomci, razlomak je 4x.
Možete samo smanjiti faktore (ne možete smanjiti ovaj razlomak za 25x²!). Stoga se polinomi u brojniku i nazivniku razlomka moraju faktorizirati.
U brojiocu - savršen kvadrat sume, imenilac je razlika kvadrata. Nakon dekompozicije korištenjem skraćenih formula za množenje, dobijamo:
Smanjujemo razlomak za (5x+1) (da biste to učinili, precrtajte dva u brojiocu kao eksponent, ostavljajući (5x+1)² (5x+1)):
Brojač ima zajednički faktor 2, izvadimo ga iz zagrada. Imenilac je formula za razliku kocki:
Kao rezultat proširenja, brojilac i imenilac su dobili isti faktor (9+3a+a²). Time smanjujemo razlomak:
Polinom u brojniku se sastoji od 4 člana. prvi član sa drugim, treći sa četvrtim i uklonite zajednički faktor x² iz prvih zagrada. Dekomponujemo imenilac koristeći formulu sume kocke:
U brojiocu, uzmimo zajednički faktor (x+2) iz zagrada:
Smanjite razlomak za (x+2):
Online kalkulator radi redukcija algebarskih razlomaka u skladu sa pravilom redukcije razlomaka: zamjena prvobitnog razlomka jednakim razlomkom, ali manjim brojnikom i nazivnikom, tj. Istovremeno dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka njihovim zajedničkim najvećim zajedničkim faktorom (GCD). Kalkulator također prikazuje detaljno rješenje koje će vam pomoći da shvatite redoslijed smanjenja.
Dato:
Rješenje:
Izvođenje redukcije frakcija
provjera mogućnosti izvođenja algebarske redukcije razlomaka
1) Određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojnika i nazivnika razlomka
određivanje najvećeg zajednički djelitelj(GCD) brojnika i nazivnika algebarskog razlomka
2) Smanjenje brojnika i nazivnika razlomka
smanjenje brojnika i nazivnika algebarskog razlomka
3) Odabir cijelog dijela razlomka
razdvajanje cijelog dijela algebarskog razlomka
4) Pretvaranje algebarskog razlomka u decimalni razlomak
pretvaranje algebarskog razlomka u decimalni
Pomoć za izradu web stranice projekta
Poštovani posjetitelju stranice.
Ako niste uspjeli pronaći ono što ste tražili, svakako napišite o tome u komentarima, šta trenutno nedostaje na stranici. To će nam pomoći da shvatimo u kom smjeru trebamo ići dalje, a drugi posjetitelji će uskoro moći dobiti potreban materijal.
Ako vam se stranica pokazala korisnom, donirajte je projektu samo 2 ₽ i znaćemo da se krećemo u pravom smeru.
Hvala što ste svratili!
I. Procedura za smanjenje algebarskog razlomka pomoću online kalkulatora:
- Da biste smanjili algebarski razlomak, unesite vrijednosti brojnika i nazivnika razlomka u odgovarajuća polja. Ako je razlomak pomiješan, popunite i polje koje odgovara cijelom dijelu razlomka. Ako je razlomak jednostavan, ostavite cijelo polje za dio praznim.
- Da biste odredili negativan razlomak, stavite znak minus na cijeli dio razlomka.
- Ovisno o navedenom algebarskom razlomku, automatski se izvršava sljedeći niz radnji:
- određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) brojnika i nazivnika razlomka;
- smanjenje brojioca i nazivnika razlomka za gcd;
- isticanje cijelog dijela razlomka, ako je brojnik konačnog razlomka veći od nazivnika.
- pretvaranje konačnog algebarskog razlomaka u decimalni razlomak zaokruženo na najbližu stotu.
II. Za referenciju:
Razlomak je broj koji se sastoji od jednog ili više dijelova (razlomaka) jedinice. Običan razlomak (prosti razlomak) se piše kao dva broja (brojilac razlomka i imenilac razlomka) odvojena horizontalnom crtom (razlomak) koja označava znak podjele. Brojač razlomka je broj iznad linije razlomka. Brojač pokazuje koliko je dionica uzeto iz cjeline. Imenilac razlomka je broj ispod linije razlomka. Imenilac pokazuje na koliko jednakih delova je podeljena celina. Prost razlomak je razlomak koji nema cijeli dio. Jednostavan razlomak može biti pravilan ili nepravilan. Pravi razlomak je razlomak čiji je brojilac manji od nazivnika, pa je pravi razlomak uvijek manji od jedan. Primjer pravih razlomaka: 8/7, 11/19, 16/17. nepravilan razlomak - razlomak u kojem je brojilac veći ili jednak nazivniku, stoga je nepravilan razlomak uvijek više od jedne ili jednako tome. Primjer nepravilnih razlomaka: 7/6, 8/7, 13/13. mješoviti razlomak je broj koji sadrži cijeli broj i pravi razlomak, a označava zbir tog cijelog broja i pravilnog razlomka. Svaki mješoviti razlomak se može pretvoriti u nepravilan razlomak prosti razlomak. Primjer miješanih frakcija: 1¼, 2½, 4¾.
III. Bilješka:
- Blok izvornih podataka je označen žuta , dodijeljen je srednji proračunski blok plava , blok rješenja je označen zelenom bojom.
- Za sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje običnih ili mješovitih razlomaka koristite online kalkulator razlomaka s detaljnim rješenjima.
U ovom članku ćemo pogledati osnovne operacije sa algebarskim razlomcima:
- redukcijske frakcije
- množenje razlomaka
- dijeljenje razlomaka
Počnimo sa redukcija algebarskih razlomaka.
Činilo bi se da, algoritam očigledno.
To smanji algebarske razlomke, treba
1. Faktori brojilac i imenilac razlomka.
2. Smanjite jednake faktore.
Međutim, školarci često griješe kada „smanjuju“ ne faktore, već termine. Na primjer, postoje amateri koji „smanjuju“ razlomke i dobiju kao rezultat, što, naravno, nije istina.
Pogledajmo primjere:
1.
Smanjite frakciju: 
1. Razložimo brojilac koristeći formulu kvadrata zbira, a imenilac pomoću formule razlike kvadrata
2. Podijelite brojilac i imenilac sa
2.
Smanjite frakciju: 
1. Rastavimo brojilac na faktore. Pošto brojilac sadrži četiri člana, koristimo grupisanje.
2. Razložimo imenilac na faktore. Možemo koristiti i grupisanje.
3. Zapišimo razlomak koji smo dobili i smanjimo iste faktore:
Množenje algebarskih razlomaka.
Prilikom množenja algebarskih razlomaka, brojilac množimo brojilom, a nazivnik množimo imenilac.
Bitan! Nema potrebe žuriti s množenjem brojnika i nazivnika razlomka. Nakon što smo zapisali umnožak brojnika razlomaka u brojiocu i umnožaka nazivnika u nazivniku, potrebno je da svaki faktor razložimo i smanjimo razlomak.
Pogledajmo primjere:
3. Pojednostavite izraz:
1. Zapišimo umnožak razlomaka: u brojiocu umnožak brojilaca, a u nazivniku umnožak nazivnika:
2. Razložimo svaku zagradu na faktore:
Sada moramo smanjiti iste faktore. Imajte na umu da se izrazi i razlikuju samo u znaku: 
a kao rezultat dijeljenja prvog izraza sa drugim dobijamo -1.
dakle, 
Algebarske razlomke dijelimo prema sljedećem pravilu:
To je Da biste podijelili razlomkom, morate pomnožiti sa "obrnutim".
Vidimo da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje, i Množenje se na kraju svodi na smanjenje razlomaka.
Pogledajmo primjer:
4. Pojednostavite izraz:
Da bismo razumjeli kako smanjiti razlomke, pogledajmo prvo primjer.
Smanjiti razlomak znači podijeliti brojilac i imenilac istom stvari. I 360 i 420 završavaju cifrom, tako da ovaj razlomak možemo smanjiti za 2. U novom razlomku, i 180 i 210 su također djeljivi sa 2, pa taj razlomak smanjujemo za 2. U brojevima 90 i 105, zbir cifara je djeljiv sa 3, pa su oba ova broja djeljiva sa 3, razlomak smanjujemo za 3. U novom razlomku 30 i 35 završavaju na 0 i 5, što znači da su oba broja djeljiva sa 5, pa smanjujemo razlomak za 5. Dobijeni razlomak od šest sedmih je nesvodljiv. Ovo je konačan odgovor.
Do istog odgovora možemo doći na drugačiji način.
I 360 i 420 završavaju na nulu, što znači da su djeljivi sa 10. Smanjujemo razlomak za 10. U novom razlomku, i brojnik 36 i nazivnik 42 dijele se sa 2. Smanjujemo razlomak za 2. U sljedeći razlomak, i brojnik 18 i imenilac 21 dijele se sa 3, što znači da razlomak smanjujemo za 3. Došli smo do rezultata - šest sedmina.
I još jedno rešenje.
IN sljedeći put Pogledajmo primjere smanjenja razlomaka.
Ako trebamo 497 podijeliti sa 4, onda ćemo prilikom dijeljenja vidjeti da 497 nije jednako djeljivo sa 4, tj. ostatak divizije ostaje. U takvim slučajevima se kaže da je završeno podjela sa ostatkom, a rješenje se piše na sljedeći način:
497: 4 = 124 (1 ostatak).
Komponente dijeljenja na lijevoj strani jednakosti nazivaju se isto kao i kod dijeljenja bez ostatka: 497 - dividenda, 4 - razdjelnik. Rezultat dijeljenja kada se podijeli s ostatkom se zove nepotpuno privatno. U našem slučaju to je broj 124. I na kraju posljednja komponenta, koje nema obicna podela, - ostatak. U slučajevima kada nema ostatka, kaže se da je jedan broj podijeljen drugim bez traga ili potpuno. Vjeruje se da je s takvom podjelom ostatak nula. U našem slučaju, ostatak je 1.
Ostatak je uvijek manji od djelitelja.
Dijeljenje se može provjeriti množenjem. Ako, na primjer, postoji jednakost 64: 32 = 2, onda se provjera može izvršiti ovako: 64 = 32 * 2.
Često u slučajevima kada se vrši dijeljenje s ostatkom, zgodno je koristiti jednakost
a = b * n + r,
gdje je a dividenda, b je djelitelj, n je parcijalni količnik, r je ostatak.
Količnik prirodnih brojeva može se napisati kao razlomak.
Brojnik razlomka je dividenda, a imenilac je djelitelj.
Pošto je brojnik razlomka dividenda, a imenilac djelitelj, vjeruju da linija razlomka znači djelovanje dijeljenja. Ponekad je zgodno napisati deljenje kao razlomak bez upotrebe znaka ":".
Kvocijent dijeljenja prirodnih brojeva m i n može se zapisati kao razlomak \(\frac(m)(n)\), gdje je brojnik m dividenda, a nazivnik n djelitelj:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Tačna su sljedeća pravila:
Da biste dobili razlomak \(\frac(m)(n)\), trebate podijeliti jedan sa n jednaki dijelovi(dionice) i uzeti m takvih dijelova.
Da biste dobili razlomak \(\frac(m)(n)\), trebate broj m podijeliti brojem n.
Da biste pronašli dio cjeline, trebate podijeliti broj koji odgovara cjelini sa nazivnikom i rezultat pomnožiti s brojnikom razlomka koji izražava ovaj dio.
Da biste pronašli cjelinu iz njenog dijela, trebate podijeliti broj koji odgovara ovom dijelu s brojnikom i rezultat pomnožiti sa nazivnikom razlomka koji izražava ovaj dio.
Ako se i brojnik i nazivnik razlomka pomnože istim brojem (osim nule), vrijednost razlomka se neće promijeniti:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Ako su i brojnik i nazivnik razlomka podijeljeni istim brojem (osim nule), vrijednost razlomka se neće promijeniti:
\(\veliki \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ovo svojstvo se zove glavno svojstvo razlomka.
Posljednje dvije transformacije se zovu smanjenje razlomka.
Ako razlomke treba predstaviti kao razlomke sa istim nazivnikom, onda se ova radnja poziva svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.
Pravilni i nepravilni razlomci. Mješoviti brojevi
Već znate da se razlomak može dobiti ako se cjelina podijeli na jednake dijelove i uzme nekoliko takvih dijelova. Na primjer, razlomak \(\frac(3)(4)\) znači tri četvrtine jedan. U mnogim problemima iz prethodnog paragrafa, razlomci su korišteni za predstavljanje dijelova cjeline. Zdrav razum nalaže da dio uvijek treba biti manji od cjeline, ali šta je sa razlomcima kao što su \(\frac(5)(5)\) ili \(\frac(8)(5)\)? Jasno je da ovo više nije dio jedinice. Vjerovatno se zato nazivaju razlomci čiji je brojilac veći ili jednak nazivniku nepravilni razlomci. Preostali razlomci, odnosno razlomci čiji je brojilac manji od nazivnika, nazivaju se tačne razlomke.
Kao što znate, bilo koji običan razlomak, i tačan i netačan, može se smatrati rezultatom dijeljenja brojnika sa nazivnikom. Dakle, u matematici, za razliku od običnog jezika, izraz „nepravilan razlomak“ ne znači da smo nešto pogriješili, već samo da je brojnik ovog razlomka veći ili jednak nazivniku.
Ako se broj sastoji od cijelog broja i razlomka, onda razlomci se nazivaju mješoviti.
Na primjer:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 je cijeli broj, a \(\frac(2)(3) \) je razlomak.
Ako je brojilac razlomka \(\frac(a)(b)\) djeljiv prirodnim brojem n, tada da bi se ovaj razlomak podijelio s n, njegov brojnik mora biti podijeljen ovim brojem:
\(\veliki \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Ako brojilac razlomka \(\frac(a)(b)\) nije djeljiv prirodnim brojem n, tada da biste podijelili ovaj razlomak sa n, morate njegov nazivnik pomnožiti s ovim brojem:
\(\veliki \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Imajte na umu da je i drugo pravilo tačno kada je brojilac djeljiv sa n. Stoga ga možemo koristiti kada je na prvi pogled teško odrediti da li je brojnik razlomka djeljiv sa n ili ne.
Radnje sa razlomcima. Zbrajanje razlomaka.
Možete izvoditi aritmetičke operacije sa razlomcima, baš kao i sa prirodnim brojevima. Pogledajmo prvo sabiranje razlomaka. Lako je sabirati razlomke sa sličnim nazivnicima. Nađimo, na primjer, zbir \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3)(7)\). Lako je shvatiti da je \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da saberete njihove brojnike i ostavite nazivnik isti.
Koristeći slova, pravilo za sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima može se napisati na sljedeći način:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Ako trebate sabirati razlomke sa različiti imenioci, onda se prvo moraju dovesti do zajedničkog imenioca. Na primjer:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Za razlomke, kao i za prirodne brojeve, vrijede komutativna i asocijativna svojstva sabiranja.
Dodavanje miješanih frakcija
Pozivaju se oznake kao što su \(2\frac(2)(3)\). miješane frakcije. U ovom slučaju se poziva broj 2 cijeli dio mješoviti razlomak, a broj \(\frac(2)(3)\) je njegov frakcijski dio. Unos \(2\frac(2)(3)\) se čita na sljedeći način: "dvije i dvije trećine."
Kada podijelite broj 8 sa brojem 3, možete dobiti dva odgovora: \(\frac(8)(3)\) i \(2\frac(2)(3)\). Oni izražavaju isti razlomak, tj. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Dakle, nepravilni razlomak \(\frac(8)(3)\) je predstavljen kao mješoviti razlomak \(2\frac(2)(3)\). U takvim slučajevima to kažu iz nepravilnog razlomka istakao ceo deo.
Oduzimanje razlomaka (razlomačkih brojeva)
Oduzimanje razlomci brojeva, kao i prirodni brojevi, određuje se na osnovu akcije sabiranja: oduzimanje drugog od jednog broja znači pronalaženje broja koji, kada se doda drugom, daje prvi. Na primjer:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) jer \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
Pravilo za oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima je slično pravilu za sabiranje takvih razlomaka:
Da biste pronašli razliku između razlomaka sa istim nazivnicima, potrebno je da oduzmete brojnik drugog od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane isti.
Koristeći slova, ovo pravilo se piše ovako:
\(\veliki \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Množenje razlomaka
Da biste pomnožili razlomak razlomkom, trebate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike i prvi proizvod napisati kao brojilac, a drugi kao nazivnik.
Koristeći slova, pravilo za množenje razlomaka može se napisati na sljedeći način:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Koristeći formulirano pravilo, možete pomnožiti razlomak prirodnim brojem, mješovitim razlomkom, a također i mješovite razlomke. Da biste to učinili, trebate napisati prirodni broj kao razlomak s nazivnikom 1, a mješoviti razlomak kao nepravilan razlomak.
Rezultat množenja treba pojednostaviti (ako je moguće) smanjenjem razlomka i izolacijom cijelog dijela nepravilnog razlomka.
Za razlomke, kao i za prirodne brojeve, vrijede komutativna i kombinativna svojstva množenja, kao i distributivna svojstva množenja u odnosu na sabiranje.
Podjela razlomaka
Uzmimo razlomak \(\frac(2)(3)\) i "okrenimo" ga, zamjenjujući brojnik i imenilac. Dobijamo razlomak \(\frac(3)(2)\). Ovaj razlomak se zove obrnuto razlomci \(\frac(2)(3)\).
Ako sada "obrnemo" razlomak \(\frac(3)(2)\), dobićemo originalni razlomak \(\frac(2)(3)\). Stoga se razlomci kao što su \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(3)(2)\) nazivaju međusobno inverzno.
Na primjer, razlomci \(\frac(6)(5) \) i \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) i \(\frac (18) )(7)\).
Koristeći slova, recipročni razlomci se mogu napisati na sljedeći način: \(\frac(a)(b) \) i \(\frac(b)(a) \)
To je jasno proizvod recipročnih razlomaka jednak je 1. Na primjer: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Koristeći recipročne razlomke, dijeljenje razlomaka možete svesti na množenje.
Pravilo za dijeljenje razlomka sa razlomkom je:
Da biste podijelili jedan razlomak drugim, trebate pomnožiti dividendu recipročnom vrijednosti djelitelja.
Koristeći slova, pravilo za dijeljenje razlomaka može se napisati na sljedeći način:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Ako je dividenda ili djelitelj prirodni broj ili mješovita frakcija, onda da bi se koristilo pravilo za dijeljenje razlomaka, prvo se mora predstaviti kao nepravilan razlomak.